Notas de Aula de Quântica

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Notas de Aula de Mecaˆnica Quaˆntica
Jose´ Soares Barbosa
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
Departamento de F´ısica Nuclaer e Altas Energia
Rio de Janeiro, marc¸o de 2011
Suma´rio
1 Problemas sem soluc¸a˜o nos limites da f´ısica cla´ssica 2
1.1 Breve histo´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Radiac¸a˜o de corpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Efeito fotoele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Modelos atoˆmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Novas ide´ias de quantizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Estado Quaˆntico 8
2.1 Estrutura formal da mecaˆnica quaˆntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Espac¸o de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Amplitude transic¸a˜o e densidade de probabilidade . . . . . . . . . 17
2.1.3 Produto Direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Comutador Q, P e Operador deslocamento espacial . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Func¸o˜es de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Princ´ıpio de incerteza e incerteza mı´nima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1 Pacote de incerteza mı´nima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Dinaˆmica Quaˆntica: Equac¸a˜o de Schro¨dinger 31
3.1 Hipo´teses e argumentac¸a˜o necessa´ria para se chegar a equac¸a˜o de Schro¨dinger 31
3.2 Equac¸a˜o de continuidade e corrente de probabilidade . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Equac¸a˜o de Schro¨dinger independente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Analogia com os fenoˆmenos ondulato´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Equac¸a˜o de Schro¨dinger: aplicac¸o˜es 37
4.1 Soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger para um potencial V (x) = V0 . . . . . . 37
4.1.1 Potencial degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1.2 Coeficientes de reflexa˜o e transmissa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Oscilador harmoˆnico Linear 42
5.1 operadores de levantamento e abaixamento A e A† . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.1 Espectro de energia e func¸a˜o de onda do oscilador harmoˆnico . . . . 46
5.1.2 Autovetores |n〉 do operador H do oscilador harmoˆnico . . . . . . . 47
i
5.2 Oscilador: soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.1 Func¸a˜o geratriz dos polinoˆmios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2.2 Ortogonalidade dos polinoˆmios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . 53
6 Operador momento angular 56
6.1 Momento angular em coordenadas esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2 Construc¸a˜o dos autovetores comuns de L2 e Lz . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 Equac¸a˜o diferencial de legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3.1 Ca´lculo dos harmoˆnicos esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3.2 Matrizes de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Operadores e a a´lgebra de matrizes 75
7.1 Matrizes do hamiltoniano H do oscilador e dos operadores A e A′ . . . . . 76
7.2 Matrizes: propriedades gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8 Eq. radial de Schro¨dinger: A´tomo de hidrogeˆnio 80
9 Matriz de densidade 84
9.1 Equil´ıbrio te´rmico de um sistema quaˆntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10 Teoria de perturbac¸a˜o 88
10.1 Perturbac¸a˜o independente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.2 Perturbac¸a˜o dependente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
11 Teoria Quaˆntica de Espalhamento por um Potencial 92
11.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.2 Espalhamento por um Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11.2.1 Sec¸a˜o de choque diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11.3 Espalhamento de Estados Estaciona´rio, Ca´lculo da sec¸a˜o eficaz . . . . . . . 94
11.3.1 Ca´lculo da sec¸a˜o de choque eficaz a partir das correntes de proba-
bilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
11.4 Equac¸a˜o Integral do Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.5 Func¸a˜o de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.5.1 Aproximac¸a˜o de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
11.6 sec¸a˜o de choque diferencial de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
11.6.1 Aproximac¸a˜o de Born para o potencial de Yukawa . . . . . . . . . . 101
11.6.2 Densidade estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
12 Apeˆndice 104
13 Apeˆndice 109
14 Problemas 114
ii
Introduc¸a˜o
A figura abaixo ilustra bem o esta´gio atual do desenvolvimento cient´ıfico na inves-
tigac¸a˜o do micro e macrocosmo.
Figura 1: Quadro geral dos diferentes ramos da f´ısica e seus limites de aplicac¸a˜o
1
Cap´ıtulo 1
Problemas sem soluc¸a˜o nos limites
da f´ısica cla´ssica
1.1 Breve histo´rico
No final do se´culo XIX e inicio do se´culo XX apesar de f´ısica cla´ssica ter tido grande
eˆxito na soluc¸a˜o da maioria dos problemas –tais como ma´quinas te´rmicas e teoria cine´tica
de gases; descric¸a˜o do movimento dos planetas com a mecaˆnica celeste; unificac¸a˜o da
eletricidade-magnetismo-o´tica com as equac¸o˜es de Maxwell, dando origem a uma nova
teoria a eletrodinaˆmica de Maxwell–, alguns problemas na˜o puderam ser descritos pela
f´ısica cla´ssica. aqui neste curso estamos particularmente interessados em treˆs proble-
mas, sa˜o eles Radiac¸a˜o de corpo negro, Efeito fotoele´trico e Modelos atoˆmicos. A busca
de soluc¸a˜o destes problemas serviu de motivac¸a˜o para o desenvolvimento da Mecaˆnica
Quaˆntica na˜o relativ´ıstica. Na pro´xima sec¸a˜o vamos descrever os treˆs problemas apresen-
tando as soluc¸o˜es encontradas na e´poca e apresentamos as novas ide´ias que surgiram em
consequ¨eˆncia das soluc¸o˜es apresentas por Planck, Einstein e Bohr.
1.1.1 Radiac¸a˜o de corpo negro
O problema da radiac¸a˜o de corpo negro e´ um marco histo´rico das limitac¸o˜es de f´ısica
cla´ssica para a descric¸a˜o microsco´pica da mate´ria. As tentativas de compreender o espec-
tro da radiac¸a˜o do corpo negro no contexto da f´ısica cla´ssica falharam, enta˜o surgiu pela
primeira vez a ide´ia de discretizac¸a˜o de grandezas tidas como cont´ınuas.
A discussa˜o, pelo menos esquema´ticamente desta tentativa, sera´ o ponto de partida
para uma breve revisa˜o das origens da Mecaˆnica Quaˆntica.
Nosso trabalho consiste em explicar a distribuic¸a˜o, em func¸a˜o da frequeˆncia, da inten-
sidade do campo de radiac¸a˜o, em equil´ıbrio te´rmico com um ambiente de temperatura T .
Um abordagem desse problema utilizando ide´ias cla´ssicas foi levada a efeito por Rayleigh
em 1900 e por P. Jeans em 1905, a chave da questa˜o era introduzir o aspecto estat´ıstico no
2
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Primeira aula valendonull
CAPI´TULO 1. PROBLEMAS SEM SOLUC¸A˜O NOS LIMITES DA FI´SICA CLA´SSICA3
tratamento da dinaˆmica do campo de radiac¸a˜o, descritos atrave´s das equac¸o˜es de Maxwell.
E´ importante ressaltar que utilizar tratamento estat´ıstico para sistemas de part´ıculas era
algo consagrado, afinal de contas a mecaˆnica estat´ıstica estava bem estabelecida. No en-
tanto como estender este tratamento para a radiac¸a˜o, se o campo de radiac¸a˜o era uma
entidade ta˜o desvinculada do cara´ter corpuscular? O passo mais fundamental para que
se tenha a compreensa˜o do problema, e´ aquele que permite estabelecer a equivaleˆnciaes-
trutural entre as equac¸o˜es do campo de radiac¸a˜o e de um sistema dinaˆmico de part´ıculas.
Ja´ que este tipo de racioc´ınio e´ extremamente fundamental e muito instrutivo, vamos a
esta discussa˜o.
O campo de radiac¸a˜o, i. e. o campo eletromagne´tico, e´ expresso em termos de um
campo vetorial a quatro componentes,
Aµ = {A0(~r, t), ~A(~r, t)}, (1.1)
a partir do qual podemos expressar o campo ele´trico ~E e o campo magne´tico ~H dados
por:
~E(~r, t) = −1
c
∂ ~A
∂t
− ~∇A0
~H(~r, t) = ~∇× ~A.
 (1.2)
Das equac¸o˜oes de Maxwell, em uma condic¸a˜o de gauge apropriada, nos leva a equac¸a˜o do
campo vetorial Aµ (
1
c2
∂2
∂t2
−∇2
)
Aµ = 0. (1.3)
De um modo geral, o campo de radiac¸a˜o tem seus estados descritos por uma super-
posic¸a˜o de ondas planas de diferentes frequeˆncias,
Aµ(~r, t) =
1
(2pi)3
∫
aµ,k(t) e
i~k·~r d3k, (1.4)
onde aµ,k(t) funcionam como novas varia´veis dinaˆmicas em subistituic¸a˜o a Aµ. Tudo se
passa como se os aµ,k(t) fossem as componentes dos Aµ’s numa base constitu´ıda pelo
conjunto de todos as ondas planas, onde cada elemento da base esta´ especificado pelo
ı´ndice (cont´ınuo) “k”. Tomando o campo expresso em termos destas componentes aµ,k(t),
a equac¸a˜o de Maxwell (1.3) fica:
1
(2pi)3
∫ ( 1
c2
a¨µ,k(t) + k
2 aµ,k(t)
)
ei
~k·~r d3k = 0 (1.5)
a eq.(1.5) e´ identicamente nula. Isto sera´ verdade se e somente se o termo entre pareˆnteses
for nulo, i. e.
a¨µ,k(t) + ω
2aµ,k(t) = 0 (1.6)
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Equivalência entre o campo magnético (radiação) e o oscilador harmônico null
CAPI´TULO 1. PROBLEMAS SEM SOLUC¸A˜O NOS LIMITES DA FI´SICA CLA´SSICA4
onde ω =| k | c.
A equac¸a˜o (1.6) mostra que qualquer componente aµ,k do campo de radiac¸a˜o se com-
porta como um oscilador harmoˆnico simples. A equivaleˆncia entre a equac¸a˜o Maxwell e a
mecaˆnica cla´ssica agora fica mais n´ıtida, se considerarmos os aµ,k’s como varia´veis gene-
ralizadas, e que os graus de liberdade do sistema campo se traduzem nas oscilac¸o˜es deste
conjunto infinito de osciladores harmoˆnicos cla´ssicos. Assim sendo a dinaˆmica do campo
fica expressa numa liguagem mecaˆnica, permitindo a utilizac¸a˜o da mecaˆnica estat´ıstica.
Neste sentido, o equil´ıbrio te´rmico do campo com o ambiente a temperatura T pode ser
tratado como o equil´ıbrio de um sistema de osciladores em contato com um reservato´rio
te´rmico a` temperatura T .
A equipartic¸a˜o da energia e´ o ingrediente adicional para o ca´lculo da distribuic¸a˜o
de intensidade do campo de radiac¸a˜o, com base nesta equivaleˆncia, a expressa˜o para a
densidade de energia por intervalo de frequeˆncia assim obtida e´ conhecida por fo´rmula de
Rayleigh – Jeans;
du(ν)
dν
=
8piKT
c3
ν2. (1.7)
Com tudo persiste ainda uma incompatibilidade com os dados experimentais, o fato
e´ que a eq. (1.7) so´ consegue reproduzir as medidas na regia˜o de baixa frequeˆncia. Aleˆm
disso, a energia total do campo, desse modo calculada sera´ infinita, resultado inaceita´vel
fisicamente. Portanto, existe algo de errado na expressa˜o obtida por Rayleigh – Jeans.
No final do ano 1900 M. Planck apresentou uma proposta consideravelmente arrojada
para resolver esse desacordo entre as predic¸o˜es Teo´ricas e os resultados Experimentais.
No ca´lculo da func¸a˜o de partic¸a˜o de “osciladores” harmoˆnicos do campo com uma dada
frequeˆncia, aparece uma integral sobre a configurac¸a˜o inicial do oscilador, no espac¸o de
fase. Ao realizar o ca´lculo desta integral Planck introduziu uma ce´lula unita´ria para o
espac¸o de fase do oscilador. Em outras palavras ao inve´s de realizar a integrac¸a˜o sobre uma
energia cont´ınua dos osciladores, a substituiu por um somato´rio sobre valores discretos de
energia em intervalos ∆E
∫
dE →
n∑
i=1
∆Ei
Planck mostrou que as dificuldades sa˜o eliminadas quando se escolhe
∆E = hν = h¯ω, sendo h¯ =
h
2pi
onde ω e´ a frequ¨encia do oscilador e h¯ e´ uma constante universal, chamada de constante
Planck
h¯ = 1, 054× 10−27ergs˙
note que agora ∆E = h¯ω e´ finito isto significa que a energia e´ discretizada e so´ pode
assumir valores multiplos de h¯ω, E = (h¯ω, 2h¯ω, 3h¯ω, . . . , nh¯ω) desse modo os estados
de uma onda plana estariam associados de algum modo a um conjunto de “quantas”de
energia h¯ω.
CAPI´TULO 1. PROBLEMAS SEM SOLUC¸A˜O NOS LIMITES DA FI´SICA CLA´SSICA5
A fo´rmula obtida por Planck para a densidade u(ν) de energia por intervalo de frequ¨en-
cia e´:
u(ν) =
16pi2h¯
c3
ν3
e
hν
KT − 1 . (1.8)
Se ν2 � ν, ⇒ e h νKT = 1 + h ν
KT
+ O
(
( h ν
KT
)2
)
' 1 + h ν
KT
. E´ facil verificar que a eq.(1.8)
tem a eq.(1.7) como limite
1.1.2 Efeito fotoele´trico
A manifestac¸a˜o de natureza corpuscular foi observada por Lenard, que observou que a
energia cine´tica do ele´tron emitido por efeito fotoele´trico na˜o depende da intensidade da
luz incidente, mas sim apenas de sua frequ¨encia. Este fato foi explicado por Einstein em
1905, utilizando o conceito de quanta de radiac¸a˜o de Planck. A conservac¸a˜o da energia
estabelece que a energia cine´tica do ele´tron, Ee:
Ee = Eγ − V (1.9)
sendo Eγ a energia da radiac¸a˜o incidente e V a energia necessa´ria para arrancar o ele´tron
do metal. Se ha´ absorc¸a˜o de “um”quantum de luz com energia h¯ω, a energia cine´tica do
ele´tron sera´ dada por:
Ee = h¯ω − V. (1.10)
Desta maneira, a raza˜o por que a energia do ele´tron na˜o depende da intensidade da luz,
mas sim depende apenas da frequ¨encia, ficava completamente esclarecida. Um aumento
da intensidade da luz acarretaria apenas num aumento do nu´mero de ele´trons que sa˜o
ejetados do metal.
Comparando a eq.(1.10) com dados experimentais do efeito fotoele´trico, verificou-se
que o valor da constante h¯ coincidia com aquele que Planck havia estabelecido.
Posteriormente, em 1923, foi verificado que um quantum de luz comporta-se exata-
mente como uma part´ıcula de energia h¯ω e de momento linear h¯k, atrave´s da esperieˆncia
de Compton.
1.1.3 Modelos atoˆmicos
O in´ıcio do nosso se´culo tambe´m e´ marcado pela preocupac¸a˜o direta com a estrutura do
a´tomo, tido como constituinte fundamental da mate´ria, dentre os va´rios trabalhos sobre o
modelo atoˆmico, destacamos os de Rutherford e Bohr, o modelo de Rutherford apresentava
uma falha com a experieˆncia neste modelo o a´tomo era insta´vel.
Em 1913 N. Bohr lanc¸ou uma proposta de quantizac¸a˜o do momento angular das o´rbitas
dos ele´trons, que combinado com a ide´ia do quantum de luz de Planck, reproduzia a natu-
reza discreta dos expectros atoˆmicos. Da quantizac¸a˜o do momento angular, a consequ¨eˆncia
imediata era a quantizac¸a˜o da energia do sistema, permitindo-lhes apenas certos valores
de energia,
En,` = − mz
2e4
2(2pinh¯)2
. (1.11)
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Provar isso em casanull
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Uma partícula que deforma sua trajetória natural (faz curva) está acelerada. quando acelerada ela emite fóton e, desta forma, perde energianull
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e se ao invés de a partícula acelerar ou desacelerar para ela perder e ou ganhar energia, a partícula possa dar saltos entre suas camadas energéticas?null
CAPI´TULO 1. PROBLEMAS SEM SOLUC¸A˜O NOS LIMITES DA FI´SICA CLA´SSICA6
O modelo atoˆmico de Bohr, postulando a quantizac¸a˜o do momento angular, e´ confir-
mado por Franck e Hertz em 1914 atrave´s do espalhamento de ele´trons por a´tomos de
mercu´rio. O resultado experimental evidenciava a estrutura de n´ıveis discretos de energia.
Apesar do sucesso fenomenolo´gico e seu papel histo´rico, importante para indicar ca-
minho da f´ısica, a velha mecaˆnica quaˆntica ale´m de apresentar limitac¸o˜es em sua aplica-
bilidade, as regras de quantizac¸a˜oeram postas a “ma˜o”numa estrutura cla´ssica.
1.2 Novas ide´ias de quantizac¸a˜o
A de´cada seguinte presencia o lanc¸amento da ide´ia mais fundamental da atual formulac¸a˜o
da mecaˆnica quaˆntica. preocupado ainda com a dualidade onda-part´ıcula do campo eletro-
magne´tico, de Broglie, em sua tese de doutorado, em 1924, lanc¸ou uma proposta simples
mas extremamente importante;
Se a radiac¸a˜o apresenta um carater dual estando associado a um “quantum”de momento
e energia dados por
p = h¯k E = h¯ω. (1.12)
Por que enta˜o uma part´ıcula, como por exemplo o ele´tron, na˜o estaria associada a
uma onda? Se for o caso, por simetria, esta onda deveria caracterizar-se por vetor de
onda k e frequ¨eˆncia ω dados por
k =
p
h¯
ω =
E
h¯
. (1.13)
Com esta associac¸a˜o de Broglie mostrou que a quantizac¸a˜o de Bohr nada mais era que
a condic¸a˜o de estacionariedade de uma onda num potencial esfe´rico. Esta previsa˜o de um
comportamento ondulato´rio de part´ıcula so´ vai encontrar uma comprovac¸a˜o experimental
treˆs anos depois, com a difrac¸a˜o de ele´trons num metal, atrave´s das experieˆncias de
Davisson e Germer (1927).
Ainda em 1924, Heisemberg, analisando o mecanismo de emissa˜o de radiac¸a˜o dos
a´tomos, no esquema da velha mecaˆnica quaˆntica, concluiu que uma formulac¸a˜o autocon-
sistente era obtida se as grandezas f´ısicas fossem representadas por matrizes. segundo ele,
os valores medidos destas grandezas corresponderiam aos autovalores das matrizes que as
representavam.
Seguindo outro caminho Schro¨dinger, em 1926, obte´m a equac¸a˜o da onda, para a
onda associada a uma part´ıcula, sugerida por de Broglie. As duas teorias apesar de ta˜o
diferenciadas em apareˆncias, se mostraram igualmente capazes de calcular os espectros
atoˆmicos.
Na verdade, a posteriori, foi mostrada a completa equivaleˆncia das mesmas, atrave´s dos
trabalhos do pro´prio Schro¨dinger, Dirac, Jordan e outros, que estabeleceram a formulac¸a˜o
elegante da atual Mecaˆnica Quaˆntica.
Devemos ressaltar aqui que dentro desta formulac¸a˜o a especificac¸a˜o do estado de um
sistema esta´ completamente fora dos moldes cla´ssicos. Na mecaˆnica quaˆntica os esta-
dos sa˜o tratados em termos de conceitos probabil´ısticos, como foi pela 1a vez apontado
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Efeito Compton e efeito Thompson null
CAPI´TULO 1. PROBLEMAS SEM SOLUC¸A˜O NOS LIMITES DA FI´SICA CLA´SSICA7
por M. Born em 1927, estabelecendo que a mecaˆnica quaˆntica trata-se de uma teoria
essencialmente probabil´ıstica; Fato hoje consagrado.
Cap´ıtulo 2
Estado Quaˆntico
Procuramos aqui, dentro de uma linguagem menos formal conceituar algumas carac-
ter´ısticas de estado quaˆntico de um sistema, que e´ o elemento fundamental para a estrutura
da mecaˆnica quaˆntica. Consideremos para este fim, o sistema mais simples: Uma part´ıcula
livre, sem grau de liberdade interno, descrevendo um movimento unidimensional.
No tratamento cla´ssico, utiliza-se a varia´vel de posic¸a˜o q e o momento linear p para a
descric¸a˜o da dinaˆmica da part´ıcula. Os valores assumidos por estas grandezas, i. e. dois
nu´meros reais, especificam completamente o estado de uma part´ıcula num dado instante
de tempo. Um outro ponto que vale apena lembrar e´ que, na Mecaˆnica Cla´ssica supo˜e-
se implicitamente que estas grandezas podem ser medidas, em principio, com precisa˜o
ilimitada, abstraindo-se a natureza do aparato de medida utilizado. O fato novo dos
fenoˆmenos quaˆnticos e´ que, em contraste com a mecaˆnica cla´ssica, a medic¸a˜o e´ capaz de
alterar profundamente o estado da part´ıcula. Na˜o ha´, em principio, meios de observar
o estado da part´ıcula sem perturba-lo. Sendo assim, um valor de q obtido apo´s uma
medida indica apenas um resultado da interac¸a˜o entre a part´ıcula e o sistema de medic¸a˜o,
o material de um detector. Em outras palavras, este valor na˜o necessa´riamente carrega
informac¸o˜es diretas sobre o estado da part´ıcula “antes” da medic¸a˜o. Se um valor, digamos
q1 e´ obtido numa medic¸a˜o da posic¸a˜o, a u´nica afirmac¸a˜o que pode-se fazer e´ que a part´ıcula
foi ali observada “depois”da medida, a nada mais. Neste sentido, podemos notar que
na˜o ha´ condic¸a˜o de determinar o momento linear p da part´ıcula atrave´s de medidas de
suas posic¸o˜es sucessivas no tempo. Pois, para isto, precisaria-mos realizar medidas de
posic¸ oes em pontos infinitesimalmente pro´ximos, sem alterar a dinaˆmica da part´ıcula,
isto e´ imposs´ıvel na mecaˆnica quaˆntica.
Por outro lado, suponha que numa medida de momento linear, encontramos o valor
p. Neste caso, segundo de Broglie, o estado da part´ıcula e´ caracterizado por uma onda
plana exp {ipq/h¯} que se distribui no espac¸o inteiro, deixando em aberto a localizac¸a˜o da
part´ıcula. Isto significa que a medic¸a˜o do momentum perturba o estado da part´ıcula e
nada podemos saber sobre sua localizac¸a˜o pre´via.
Sendo assim, se o processo de medic¸a˜o interfere e modifica da maneira imprevis´ıvel, as
informac¸o˜es sobre o estado, como podemos descrever a dinaˆmica de uma part´ıcula? De
8
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 9
fato, no mundo microsco´pico, o processo de medida envolve uma interac¸ ao incontrola´vel
entre o objeto e o instrumento de medida. Entretanto, as medic¸o˜es de um fenoˆmeno
quaˆntico demonstram que e´ poss´ıvel tratar a dinaˆmica da part´ıcula dentro de um contexto
probabil´ıstico. Para melhor situar a questa˜o, consideremos a experieˆncia de dupla fenda.
Seja por exemplo, a montagem (ver fig. abaixo) onde A e B sa˜o duas fendas no
anteparo
Figura 2.1: nesta figura ha´ 3 configurac¸o˜es: em (a) temos as fendas A aberta e B fechada,
em (b) a situac¸a˜o e´ sime´trica, na configurac¸a˜o (c) ambas fendas esta˜o abertas
se ele´trons incidir, um a um, sobre o lado esquerdo do dispositivo, sendo detectados
pela chapa de emulsa˜o. Quando um so´ ele´tron e´ lanc¸ado atrave´s das fendas, tambe´m ob-
servamos uma u´nica marca “ponteforme”na chapa. Nunca um fracionamento do ele´tron,
nem mesmo um padra˜o de distibuic¸a˜o sobre a chapa. Este fato representa nitidamente
a natureza corpuscular do ele´tron. Entretanto, a marca deixada por um ele´tron, difi-
cilmente sera´ reproduzida nos pro´ximos lanc¸amentos. Um outro ele´tron mesmo lanc¸ado
em condic¸o˜es ideˆnticas sera´ observado possivelmente em outra posic¸a˜o. Neste sentido e´
que a observac¸a˜o da posic¸a˜o q em cada lanc¸amento e´ imprevis´ıvel. Em compensac¸a˜o, se
levantarmos um histograma da frequ¨eˆncia das diferentes posic¸o˜es das marcas de milha-
res de lanc¸amentos, encontramos uma distribuic¸a˜o P
A+B
(q) como mostra figura (14.1).
Esta distribuic¸a˜o na˜o depende da maneira de detectar a part´ıcula, ou seja independe do
detector. Assim sendo esta distribuic¸a˜o na˜o deve ser associada ao processo de medida
em si, mas sim, ao estado intr´ınseco da part´ıcula diante do arranjo experimental, antes
mesmo da sua detecc¸a˜o. Apesar do carater imprevis´ıvel do resultado de cada medic¸a˜o,
um conjunto de muitas medidas caracteriza a natureza do estado.
O fato de que a detecc¸a˜o de cada evento fornece resultados aleato´rios, e de que um
conjunto de detecc¸o˜es traduz a informac¸a˜o sobre o estado da part´ıcula, leva-nos a atribuir
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 10
um carater probabil´ıstico ao pro´prio ao conceito de “estado”que e´ definido indepente da
observac¸a˜o da part´ıcula. Tentaremos enta˜o, especificar o estado de uma part´ıcula por
uma func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade P (q), que parece ser capaz de representar o
“estado”da part´ıcula.
Mas especificar o estado de uma part´ıcula em termos de uma func¸a˜o de distribuic¸a˜o
probabilidade na˜o e´ satisfato´rio, em contraste ao que acontece na mecaˆnica estat´ıstica.
Veja a sequ¨eˆncia de experieˆncias
Na primeira experieˆncia fecha-se a fenda B com A aberta obte´m-sea func¸a˜o PA(q)
depois, fecha-se A e abre B, obte´m-se PB(q) a superposic¸a˜o destes dois resultados na˜o
coincide com aquele obtido quando as duas fendas esta˜o abertas, PA+B(q) isto e´,
PA(q) + PB(q) 6= PA+B(q)
Isto significa que quando ambas as fendas esta˜o abertas, as duas ifluenciam no es-
tado da part´ıcula simultaneamente! Ale´m disto, a comparac¸a˜o de PA(q) + PB(q) com
PA+B(q) permite concluir que existe um processo t´ıpico de interfereˆncia ondulato´ria na
superposic¸a˜o de estados. Para resolver a questa˜o desta interfereˆncia devemos introduzir
func¸o˜es complexas, Ψ(q) para representar o estado de uma part´ıcula de tal modo que
PA(q) =| ΨA(q) |2
PB(q) =| ΨB(q) |2
PA+B(q) =| ΨA+B(q) |2 .
Fac¸amos agora uma se´rie de experieˆncias medindo o momento p da part´ıcula na direc¸a˜o
q. Estas experieˆncias forneceram as distribuic¸o˜es de probabilidades, ou as amplitudes, em
relac¸a˜o aos momentos.
Sejam ΦA(p), ΦB(p) e ΦA+B(p) as amplitudes correspondentes as experieˆncias com
somente a fenda A aberta, com somente a fenda B aberta e com ambas as fendas A
abertas respectivamente. Tambe´m neste caso, verificaremos que as amplitudes em p sa˜o
complexas e satisfazem a superposic¸a˜o
ΦA+B(p) = ΦA(p) + ΦB(p).
Analisando as func¸o˜es Ψ(q) e Φ(p) encontramos uma relac¸a˜o entre as elas Φ(p) nada
mais e´ que a transformada de Fourier da correspondente Ψ(q) i. e.
Φ(p) =
1√
2pih¯
∫
dqΨ(q)e−ipq/h¯
ou de modo inverso
Ψ(p) =
1√
2pih¯
∫
dpΦ(p)eipq/h¯.
Na verdade, esta relac¸a˜o e´ universal no sentido de que na˜o depende nem da montagem
experimental, nem da energia da part´ıcula incidente, nem mesmo do tipo de part´ıcula
utilizada.
Ricardo Sales
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Ricardo Sales
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Ricardo Sales
Sticky Note
explicação no cadernonull
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 11
A universalidade da relac¸a˜o entre as amplitudes em relac¸a˜o a q e em relac¸a˜o a p,
mostra que a medida de p na˜o traz nenhuma informac¸a˜o f´ısica nova sobre o estado, todas
as informac¸o˜es obtidas ja´ estavam contidas em Ψ(q). E representar o estado da part´ıculas
em termos da amplitude em relac¸a˜o a q ou p seriam procedimentos equivalentes.
O fato de que Ψ(q) e Φ(p) sa˜o equivalentes para a descric¸a˜o de um estado quaˆntico,
sugere a ide´ia da que deve existir uma uˆnica entidade capaz de especificar o estado, do
qual Ψ(q) e Φ(p) sa˜o apenas duas diferentes reprentac¸o˜es desta entidade, de acordo com a
o processo de observac¸a˜o. A existeˆncia de uma tal entidade constitui o pressuposto ba´sico
para a conceituac¸a˜o do “estado quaˆntico”de um sistema. Assim e´ extremamente impor-
tante encontrar um objeto matema´tico para que possamos associa-lo ao estado quaˆntico
e a partir deste desenvolver estrutura matema´tica da mecaˆnica quaˆntica.
2.1 Estrutura formal da mecaˆnica quaˆntica
2.1.1 Espac¸o de Hilbert
Antes de apresentar a estrutura formal da Mecaˆnica Quaˆntica e´ preciso definir, primeiro,
o Espac¸o de Hilbert (H), isto por que, todas as grandezas da mecaˆnica quaˆntica sa˜o
definidas a partir de objetos do espac¸o H. Espac¸o de Hilbert: O Espac¸o de Hilbert e´ um
espac¸o vetorial linear de dimensa˜o infinita e de quadrados integra´veis.
Agora vamos apresentar os conceitos ba´sicos da mecaˆnica quaˆntica numa linguagem
matema´tica mais rigorosa. Para isso, vamos enunciar alguns postulados:
Postulado I:
Os estados de um sistema quaˆntico sa˜o representados por vetores do espac¸o Hilbert H,
de corpo complexo, C. A correspondeˆncia e´ tal que dois vetores linearmente dependente
represente o mesmo estado.
Denota-se por | Ψ〉 o vetor de H correspondente a um dado estado quaˆntico. Em
H, deve ser definido o produto interno (produto escalar) entre dois vetores | Ψ〉 e | φ〉,
denotado por 〈φ | Ψ〉, que satisfaz as seguintes propriedades:
i) 〈φ | Ψ〉 = 〈Ψ | φ〉∗
ii) 〈Ψ | Ψ〉 ≥ 0
iii) Se 〈Ψ | Ψ〉 = 0 enta˜o | Ψ〉 = 0
iv) ∀ x, y ∈ C vale propriedade 〈φ | {x | Ψ〉+ y | ϕ〉} = x〈φ | Ψ〉+ y〈φ | ϕ〉.

(2.1)
A propriedade iv) indica a linearidade da operac¸a˜o de produto escalar.
A operac¸a˜o de produto escalar de | Ψ〉 com qualquer vetor | φ〉 ∈ H, com | Ψ〉 varrendo
todo o espac¸o H, forma um novo espac¸o vetorial. Este por sua vez, e´ chamado de espac¸o
dual de H que aqui denotaremos por H†. Por construc¸a˜o, para cada vetor de H, | Ψ〉,
existe o seu dual, | Ψ〉†, que denotaremos por 〈Ψ |, ou seja
∀ | Ψ〉 ∈ H,
∃ 〈Ψ | ≡ | Ψ〉† ∈ H†.
}
(2.2)
Ricardo
Realce
Ricardo
Realce
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 12
Desta maneira fica definida a operac¸a˜o de conjugac¸a˜o, “ † ”, para os vetores | Ψ〉. A
operac¸a˜o de conjugac¸a˜o para os vetores 〈Ψ | e´ tal que
〈Ψ |† ≡ | Ψ〉.
Operadores no espac¸o H
Um operador e´ definido como um mapeamento de H sobre ele pro´prio. Isto e´, trata-se de
uma regra de associac¸a˜o que leva qualquer vetor | Ψ〉 ∈ H em outro vetor de H,
| Ψ〉 → | Φ〉 = O | Ψ〉 ∈ H
Como exemplo de um operador linear, podemos usar o operador denotado por O =|
Ψ〉〈Φ |, constru´ıdos a partir de dois vetores | Ψ〉 e | Φ〉, arbitra´rios, e do produto escalar.
Consequeˆncias da aplicac¸a˜o de O sobre | ϕ〉: Seja O um operador que pertence a H,
definido por
O ≡| Ψ〉〈Φ | (2.3)
a aplicac¸a˜o de O em | ϕ〉 tem a seguinte consequeˆncia:
O | ϕ〉 ≡ (| Ψ〉〈Φ |) | ϕ〉 = 〈Φ | ϕ〉 | Ψ〉 =| Ψ′〉 (2.4)
a expressa˜o acima e´ va´lida para todo | ϕ〉 ∈ H e | Ψ′〉 tambe´m pertence ao espac¸o H.
Ainda como consequ¨eˆncia da definic¸a˜o do operador O, um teorema importante pode ser
demonstrado a partir das equac¸o˜es acima, o chamado Teorema da Completeza.
Teorema da “Completeza”: Seja {| i〉} uma base numera´vel ortogonal de H,
onde e´ va´lida a condic¸a˜o de normalizac¸a˜o 〈i | j〉 = δij.
Enta˜o vale a seguinte identidade:
n∑
i=1
| i〉〈i |≡ 11 . (2.5)
onde
δij =
{
1 ∀ i = j
0 ∀ i 6= j
A eq.(2.5) expressa a chamada de relac¸a˜o de completeza, onde “1l ”representa o ope-
rador identidade no espac¸o sobre H.
Demonstrac¸a˜o: O estado | ψ〉, arbitra´rio, pode ser definido a partir de uma combinac¸a˜o
linear da base {| i〉} do seguinte modo:
| ψ〉 =
n∑
i=1
Ci | i〉 (2.6)
Ci pode ser calculado fazendo o produto escalar de 〈i | com | ψ〉
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 13
〈i | ψ〉 = 〈i |
n∑
j=1
Cj | j〉 =
n∑
j=1
Cj〈i | j〉 =
n∑
j=1
Cjδij = Ci
Ci = 〈i | ψ〉 (2.7)
substituindo a eq.(3.7) na eq.(3.6)
| ψ〉 =
n∑
i=1
〈i | ψ〉 | i〉 =
(
n∑
i=1
| i〉〈i |
)
| ψ〉 =⇒ (2.8)
Sendo | ψ〉 arbitra´rio, conclui-se que
n∑
i=1
| i〉〈i |= 11 . (2.9)
No caso de uma base cont´ınua { | x〉 } com normalizac¸a˜o
〈x′ | x〉 = δ(x− x′) (2.10)
O estado | ψ〉 pode ser definido a partir da base { | x〉 } do seguinte modo:
| ψ〉 =
∫
dxC(x) | x〉 (2.11)
C(x) pode ser calculada usando a normalizac¸a˜o da eq.(2.10). Tomando o produto escalar
entre 〈x′ | e | ψ〉 teremos:
〈x′ | ψ〉 = 〈x′ |
(∫
dxC(x) | x〉
)
=
∫
dxC(x)〈x′ | x〉 =
∫
dxC(x)δ(x− x′) = C(x′)
(2.12)
enta˜o
C(x) = 〈x | ψ〉 (2.13)
Substituindo a eq.(2.13) na eq.(2.11) teremos:
| ψ〉 =
∫
dx 〈x | ψ〉 | x〉 =
(∫
dx | x〉〈x |
)
| ψ〉 ⇒
∫
dx | x〉〈x |= 11 (2.14)
Nota-se que a operac¸a˜o de produto escalar definida no item i) induz naturalmente a
atuac¸a˜o, em H†, de um operador A definido sobre H. Isto e´, podemos definir o vetor
〈a|A ∈ H†. Admitindo-se a regra de associatividade,
(〈a | A ) | b〉 = 〈a | (A | b〉) (2.15)
ou seja do lado direito toma-se o produto escalar de | a〉 com o resultado da aplicac¸a˜o
de A sobre | b〉 ∈ H e do lado esquerdo 〈a | A sobre | b〉.
Teorema da completeza
Delta de Dirac
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 14
Com a definic¸a˜o de 〈a | A, e a operac¸a˜o de conjugac¸a˜o de vetores eq.(3.2) podemos
definir a operac¸a˜o de conjugac¸a˜o hermitiana para operadores. Assim o operador conjugado
hermitiano de de A, A′, e´ definido por:
A† | a〉 ≡ (〈a | A)†. (2.16)
Da propriedade i) da eq.(2.1)do produto escalar, conclu´ımos que
〈a | A† | b〉 = 〈b | A | a〉?. (2.17)
Exemplo 1: Sejam A e B dois operadores quaisquer do espac¸o H. Prove que:
a)
(
A†
)†
= A
b) (AB)† = B†A†
Soluc¸a˜o:
a)
Se | Φ〉 = A | Ψ〉 (2.18)
usando a propriedade 〈Φ |=| Φ〉†, termos
〈Φ |=| Φ〉† = (A | Ψ〉)† = 〈Ψ | A†.
Tomando-se o conjugado hermitiano de 〈Φ | se conclui que
| Φ〉 = 〈Φ |†=
(
〈Ψ | A†
)†
= (A†)† | Ψ〉 (2.19)
Comparando as equac¸o˜es (2.18) e (2.19) teremos, | Φ〉 = A | Ψ〉 = (A†)† | Ψ〉 este
resultado permite concluir que:
A = (A†)†. (2.20)
b) sejam | ψ〉 e | b〉 dois vetores quaisquer de H, que satisfazem a seguinte relac¸a˜o:
| ψ〉 = AB | b〉.
Se | ψ〉 = A | a〉 e | a〉 = B | b〉 tomando o conjugado hermitiano de | ψ〉 teremos
| ψ〉† = 〈ψ |= 〈b | (AB)† = 〈a | A† = 〈b | B†A†, de onde se conclui que
(AB)† = B†A†. (2.21)
Operdores hermitianos
Quando um operador A† e´ ideˆntico a A, isto e´, A† = A, enta˜o A e´ chamado de operador
hermitiano. Um teorema muito importante pode ser enunciado neste ponto, o teorema
do operador hermitiano
Teorema do operador hermitiano: Sendo A, um operador hermitiano qulquer do espac¸o H,
enta˜o seus autovalores sa˜o reais.
Ricardo
Realce
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 15
Demonstrac¸a˜o: Sejam A um operador hermitiano e | a〉 autoestado de A com autovalor
“ a ”, a equac¸a˜o de autovalores de A sera´
A | a〉 = a | a〉 (2.22)
tomando o produto escalar da equac¸a˜o acima com 〈a|
〈a|A | a〉 = a〈a | a〉 (2.23)
tomando o conjugado hermitiano da eq.(2.22) teremos
〈a | A† = a?〈a | (2.24)
como A e´ hermitiano A? = A enta˜o
〈a | A† = 〈a | A = a?〈a | (2.25)
tomando o produto escalar da equac¸a˜o acima com | a〉 tem-se
〈a|A | a〉 = a?〈a | a〉 (2.26)
subtraindo a eq.(2.23) da eq.(2.26)
a〈a | a〉 − a?〈a | a〉 = (a− a?)〈a | a〉 = 0 (2.27)
como 〈a | a〉 6= 0 a− a? = 0 enta˜o
a? = a
logo o autovalor a e´ real.
Postulado II: Qualquer varia´vel dinaˆmica cla´ssica sera´ representada por operadores line-
ares hermitianos cujos autovetores constuem uma base sobre o espac¸o H.
Qualquer func¸a˜o destas veria´veis dinaˆmicas, tambem fica representada por
uma func¸a˜o do operador. Estes operadores sa˜o ditos observa´veis.
Conforme foi visto no exemplo da experieˆncia de dupla fenda, o resultado das medidas
tem natureza probabil´ıstica associada a um estado quaˆntico | ψ〉. Esta natureza proba-
bil´ıstica se reflete nas “previso˜es” estat´ısticas sobre um “ensamble” infinito de medidas
de observa´veis do sistema se estas fossem realizadas. Para formalizar esse cara´ter proba-
bil´ıstico postula-se
Postulado III: A medida de um observa´vel A para um sistema
no estado | ψ〉, resulta numa transic¸a˜o deste estado
para um e somente um dos autoestados |χi〉 de A.
O valor da medida e´ dito autovalor χi do observa´vel.
Propriedade distributiva do produto escalarnull
Ricardo
Realce
Ricardo
Realce
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 16
Entretanto, para qualquer teoria fazer sentido, o estado apo´s a realizac¸a˜o de uma
medida de um observa´vel deve poder ser reconfirmado por um medida subsequeˆnte da
mesma quantidade. O estado alcanc¸ado pelo sistema apo´s uma medida de um observa´vel
A e´ dito autoestado deste observa´vel. Para caracterizar o processo de medida postula-se
Postulado IV: A probabilidade de transic¸a˜o | ψ〉 →| χi〉 numa
medic¸a˜o de A e´ dada por | 〈χi | ψ〉 |2, sendo
ambos normalizados a um.
A mecaˆnica quaˆntica na˜o se propo˜e a discutir o mecanismo de transic¸a˜o quaˆntica do
sistema f´ısico por ocasia˜o de uma medic¸a˜o. E´ exigido, apenas, que a segunda medida de
reconfirmac¸a˜o, na˜o mais altere o estado quaˆntico do sistema. Do ponto vista matema´tico,
podemos reformular o mecanismo do processo de medida acima, como sendo uma operac¸a˜o
de projec¸a˜o do vetor ‖ψ〉 na direc¸a˜o |χi〉.
Podemos identificar um vetor estado apo´s uma medida de um observa´vel como sendo
um autovetor do operador correspondente ao observa´vel.
Teorema III: Os autoestados de um observa´vel sa˜o autovetores
do operador que representa o observa´vel.
Prova:
Seja | χi〉 um autoestado de A. Pela definic¸a˜o de autoestado e usamos f(A) ≡ A no
postulado III tem-se
〈f(A)〉 = 〈A〉 = 〈χi | A | χi〉 = χi. (2.28)
Fazendo agora f(A) = (A− 〈A〉)2 , o valor esperado de (A− 〈A〉)2 representa a dis-
persa˜o estat´ıstica nas medidas de A.
〈∆A2〉 = 〈χi | {A− 〈A〉}2 | χi〉 = 〈χi | {A− χi}2 | χi〉 = 0. (2.29)
A eq.(2.29) decorre imediatamente da definic¸a˜o de autoestado, i.e significa que o valor
das medidas de A no estado | χi〉 tem sempre o mesmo valor χi.
Utilizando a propriedade hermitiana do operador A na eq(2.29), pode-se reescrever a
eq.(2.28) do seguinte modo:
〈χi | {A− χi}2 | χi〉 = 〈χi | {A− χi}†︸ ︷︷ ︸
〈Φ|
{A− χi} | χi〉︸ ︷︷ ︸
|Φ〉
= 0. (2.30)
Na equac¸a˜o acima o produto escalar entre dois vetores iguais e´ nulo, da definic¸a˜o do
produto escalar, propriedade iii) da eq.(2.1) 〈Φ | Φ〉 = 0 ⇒ | Φ〉 = 0 enta˜o, da
eq.(2.30)
caderno de Mec quantica 26/09
Ricardo
Realce
Ricardo
Realce
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 17
{A− χi} | χi〉 = 0. (2.31)
⇒ A | χi〉 = χi | χi〉. (2.32)
ficou provado.
2.1.2 Amplitude transic¸a˜o e densidade de probabilidade
O conjunto dos autovalores, {χi }, de um observa´vel A e´ dito espectro de A. No caso
de um observa´vel de espectro cont´ınuo, os postulados IV e V devem compatibilizar a
natureza cont´ınua do observa´vel. A medida de um observa´vel A do espectro cont´ınuo e´
caracterizada por um valor definido no intervalo (χ, χ + dχ). Os autovetores, neste caso,
formam um conjunto cont´ınuo. A transic¸a˜o de um estado arbitra´rio | ψ〉, causada pela
medida do observa´vel A, ocorre para um e so´ um dos autoestados, | χ′〉, de A. | χ′〉 esta´
definido no subespac¸o {| χ′〉; onde χ′ ∈ (χ, χ + dχ)}, a relac¸a˜o entre | ψ〉 e | χ〉 e´ dada
por:
| ψ〉 =
∫
dχC(χ) | χ〉. (2.33)
Onde C(χ) e´ amplitude de probabilidade de transic¸a˜o de | ψ〉 para | χ〉.
Usando a normalizac¸a˜o definida na eq.(2.10) 〈χ′ | χ〉 = δ(χ − χ′), pode-se definir a
densidade de probabilidade de transic¸a˜o | ψ〉 →| χ〉, tomando o produto do estado 〈χ′ |
pela eq.(2.33)
〈χ′ | ψ〉 = 〈χ′ |
(∫
dχC(χ) | χ〉
)
=
∫
dχC(χ)〈χ′ | χ〉 =
∫
dχC(χ)δ(χ− χ′) = C(χ′),
(2.34)
logo
C(χ′) = 〈χ′ | ψ〉, (2.35)
〈χ | ψ〉 ≡ ψ(χ) e´ a projec¸a˜o do vetor | ψ〉 na base | χ〉.
Densidade de probabilidade ρ e´ dada por;
ρ =| 〈χ′ | ψ〉 |2, (2.36)
Para δχ infinitesimal, a probabilidade, dP , de encontrar o valor χ′ no intervalo (χ ≤
χ′ ≤ χ+ δχ) e´ dada por:
dP = ρ dχ =| 〈χ′ | ψ〉 |2 dχ. (2.37)
Quando na˜o ha´ degeneresceˆncia no espectro de um observa´vel, i.e., existe um u´nico
autoestado para cada autovalor de A, qualquer | ψ〉 do sistema deve ser especificado uni-
vocamente por uma por uma func¸a˜o ψ(χi), a func¸a˜o ψ(χi) e´ a amplitude de probabilidade
Ricardo Sales
Sticky Note
Inicio da aula do dia 30/09/14null
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 18
de obter o autovalor χi, onde χi cobre todos os autovalores de A. Neste caso, o conjunto
dos autoestados de A, {| χ〉}, contem todas as inforc¸o˜es f´ısicas do sistema, sendo assim
levando em conte o Princ´ıpio de Superposic¸a˜o, qualquer estado | ψ〉 pode ser definido
como sendo uma combinac¸a˜o linear dos | χ〉′s, seja
| ψ〉 = ∑
i
Ci | χi〉 (2.38)
levando-se em conta a relac¸a˜o de ortogonalidade 〈χj | χi〉 = δij
ψ(χi) = 〈χi | ψ〉 = Ci (2.39)
δij =
{
1 ∀ i = j
0 ∀ i 6= j
As equac¸o˜es (2.38) e (2.39) implicam que
n∑
i=1
| χi〉〈χi |= 11 , (2.40)
Sendo assim, o conjunto dos autovetores {| χi〉} de um observa´vel, na˜o degenerado, forma
uma base de H. A func¸a˜o amplitude ψ(χi) e´ dita projec¸a˜o do estado | ψi〉 na base {| χi〉}.
Quando existe degeneresceˆncia no espectro de A, a amplitude de probabilidade como
func¸a˜o dos autovalores de A na˜o e´ suficiente para especificar um estado | ψ〉, pois existe
mais de um estado associado a um mesmo autovalor.Os vetores que esta˜o associados a
um mesmo autovalor formam um subespac¸o de H. A dimensa˜o deste subespac¸o e´ o grau
da degeneresceˆncia do estoestado.
Neste caso necessita-se de um segundo observa´vel por exemplo B, que levante a dege-
neresceˆncia do espectro de A –isto e´, fac¸a a distinc¸a˜o dos estados que tenham autovalores
de A iguais– em termos dos autovalores de B.
Por simplicidade, vamos considerar que os espectros de A e B sejam discretos. Enta˜o
seja | χi, bi〉 um autovetor comum de A e B cujos os autovalores sa˜o χi e bi respectivamente.
Sendo assim
A | χi, bj〉 = χi | χi, bj〉, j = 1, 2, . . .m (2.41)
Onde m e´ o grau de degeneresceˆncia de χi. Neste caso, o estado | ψ〉 sera´ representado
pela amplitude de probabilidade
ψ(χi, bj) = 〈χi, bj | ψ〉. (2.42)
Se persistir a alguma degeneresceˆncia, ou seja, ainda existe mais de um estado para
um mesmo par de autovalores (χi, bi) e´ necessa´rio um outro observa´vel para a especi-
ficac¸a˜o completa do estados. Para resolver completamente a questa˜o da degeneresceˆncia,
a mecaˆnica quaˆntica postula:
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 19
Postulado V: Existe um conjunto finito de observa´veis para os
quais a amplitude de probabilidade, como func¸a˜o
de seus autovalores, especifica completamente qualquer
estado | ψ〉 do sistema. Este conjunto e´ dito um conjunto
completo de observa´veis.
O postulado IV e´ equivalente a afirmar que, os autovetores comuns, dos observa´veis
completos, formam uma base no espac¸o H.
Para fechar o quadro sobre a questa˜o da degeneresceˆncia vamos enunciar o seguinte
teorema:
Teorema IV: Os operadores que correspondem as varia´veis dinaˆmicas de
um conjunto completo de observa´veis, comutam entre si.
Demonstrac¸a˜o:
Seja V = {A(1), A(2), . . . A(n)} um conjunto completo de operadores cujos autovetores
comuns, sa˜o dados pelo conjunto {|a(1)i1 , a(2)i2 , . . . , a(n)in 〉}. Por definic¸a˜o
A(m)
∣∣∣ a(1)i1 , a(2)i2 , . . . , a(m)im , . . . , a(n)in 〉 = a(m)im ∣∣∣ a(1)i1 , a(2)i2 , . . . , a(m)im , . . . , a(n)in 〉 .
para m = 1, 2 . . . , n
(2.43)
onde | a(1)i1 , a(2)i2 , . . . , a(m)im , . . . , a(n)in 〉1 forma uma base em H.
Podemos portanto, definir qualquer vetor |ψ〉 em termos de uma combinac¸a˜o linear
destes vetores da base
|ψ〉 =
n∑
i(m=1)
ai1,i2,...,im,...,in
∣∣∣ a(1)i1 , a(2)i2 , . . . , a(m)im , . . . , a(n)in 〉 . (2.44)
Aplicando agora os operadores A(α) e A(β) ∈ V no estado |ψ〉 definido na eq.(2.44)
teremos
A(α)A(β)|ψ〉 = A(α)a(β)iβ |ψ〉 = a(β)iβ A(α)|ψ〉 = a(β)iβ a(α)iα |ψ〉. (2.45)
Onde usamos a identidade A(α)a
(β)
iβ
= a
(β)
iβ
A(α) porque a
(β)
iβ
e´ um nu´mero e portanto,
comuta com A(α)
De modo ana´logo
A(β)A(α)|ψ〉 = A(α)a(A(β))iα |ψ〉 = a(α)iα A(β)|ψ〉 = a(β)iβ a(α)iα |ψ〉. (2.46)
Subtraindo as eq.(2.45) e eq.(2.46)(
A(α)A(β) − A(β)A(α)
)
|ψ〉 = 0 (2.47)
1O vetor | a(1)i1 , a
(2)
i2
, . . . , a
(m)
im
, . . . , a
(n)
in
〉 e´ dado pelo produto direto |a(1)i1 , a
(2)
i2
, . . . , a
(m)
im
, . . . , a
(n)
in
〉 =
|a(1)i1 〉 ⊗ |a
(2)
i2
〉 ⊗ . . .⊗ |a(m)im 〉 ⊗ . . .⊗ |a
(n)
in
〉 dos autoestados dados no conjunto {|a(m)im 〉}
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Porque os termos da subtração são numeros. null
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A comutação é igual a zeronull
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 20
como |ψ〉 e´ arbitra´rio ⇒ A(α)A(β) − A(β)A(α) = 0 logo
A(α)A(β) = A(β)A(α) ou
[
A(α), A(β)
]
= 0 (2.48)
2.1.3 Produto Direto
Espac¸o do produto direto de dois espac¸os vetoriais. Sejam {|ai〉} e {|bj〉} duas bases
de dois espac¸os vetoriais {V1} e {V2}, respectivamente. O conjunto de pares ordenados
{|ai〉, |bj〉} = {|ai〉 ⊗ |bj〉} que constitui uma base para o produto direto ou produto
cartesiano das bases. O novo espac¸o vetorial sera´ dado por E1+2 = E1 ⊗ E2
O produto direto e´ tal que satisfaz as propriedades |ai〉 ⊗ (|bi〉 + |b′i〉) = |ai〉 ⊗ |bi〉 +
|ai〉 ⊗ |b′i〉
e
(|ai〉+ |a′i〉)⊗ |bi〉 = |ai〉 ⊗ |bi〉+ |a′i〉 ⊗ |bi〉 onde {|ai〉, |a′i〉} ∈ V1 e {|bi〉, |b′i〉} ∈ V2
no espac¸o do produto direto, o produto interno ou produto escalar satisfaz propriedade
(|a〉 ⊗ |b〉, |a′〉 ⊗ |b′〉) = 〈 a|a′〉〈 b|b′〉
2.2 Comutador Q, P e Operador deslocamento espa-
cial
Neste cap´ıtulo, nota-se que ate´ este ponto na˜o se fez qualquer refereˆncia a h¯, constante ca-
racter´ıstica de Mecaˆnica Quaˆntica, isto e´ verdade por que ate´ aqui o que se fez foi, apenas,
estabelecer a estrutura matema´tica para a representac¸a˜o dos elementos ba´sicos da teoria
quaˆntica. A constante h¯ aparece na formulac¸a˜o quando estabelecemos a correspondeˆncia
entre as varia´veis dinaˆmicas cla´ssica e os objetos da mecaˆnica quaˆntica, que pertencem
ao espac¸o H, dando a esses objetos uma interpretac¸a˜o f´ısica. Isto e´ natural porque os
objetos do espac¸o de Hilbert sa˜o matema´ticos abstratos desprovidos de qualquer inter-
pretac¸a˜o f´ısica. Ja´ as varia´veis dinaˆmicas cla´ssicas tem significado f´ısico. A constante h¯
e´ uma quantidade dimensional (dimensa˜o de energia × tempo) dotada de interpretac¸a˜o
f´ısica, ela sera´ o elo de ligac¸a˜o entre os objetos quaˆnticos e as varia´veis dinaˆmicas cla´ssicas.
Sendo portanto, fundamental para o estabelecimento da correspondeˆncia entre assas quan-
tidades.
Na Mecaˆnica Cla´ssica -para a descric¸a˜o da dinaˆmica de um sistema- define-se um con-
junto de pares varia´veis dinaˆmicas, ditas varia´veis canoˆnicas {(qi, pi), com i = 1, 2, . . . , n},
onde qi e pi satisfazem a seguinte relac¸a˜o
{qi, pj} = δij (2.49)
onde a expressa˜o da eq.(2.49) e´ dita pareˆnteses de Poison das varia´veis qi e pi e n e´ o
nu´mero de graus de liberdade do sistema. qi e pi sa˜o respectivamente coordenadas e mo-
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CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 21
mentos linear generalizados do sistema f´ısico.
Em Mecaˆnica Quaˆntica para estabelecer a correspondeˆncia entre os objetos quaˆnticos
e as quantidades cla´ssicas, postula-se
Postulado VI: Os operadores Q e P representativos de um par de
vara´veis canoˆnicas, satisfazem a regra de comutac¸a˜o :
[Q,P ] ≡ ih¯ 11 (2.50)
onde Q e´ o operador coordenada generalizada e P e´ o operador momento linear. Para um
sistema com n graus de liberdade
[Qi, Pj] = ih¯δij. (2.51)
O comutador de operadores representativos de varia´veis canonicamente conjugadas, como
no caso do postulado VII, e´ um nu´mero complexo ih¯, multiplicado pelo operador identi-
dade 11 . Este por sua vez, comuta com qualquer outro operador.
Exercicios provar as identidades abixo:
1- [A,B] + [B,A] = 0
2- [A,A] = 0
3- [A,B + C] = [A,B] + [A,C]
4- [A+B,C] = [A,C] + [B,C]
5- [A,BC] = [A,B]C +B[A,C]
6- [AB,C] = [A,C]B + A[B,C]
7- [A, [B,C]] + [C, [A,B]] + [B, [C,A]] = 0
8- [x, px] = [y, py] = [z, pz] = ih¯
9- [Lx, Ly] = ih¯Lz use [xi, pj] = ih¯δij
se f(P ) =
∑n
i=1 P
n enta˜o
10- [Q, f(P )] = ih¯∂f(P )
∂P
11- seja L+ = Lx + iLy e L− = Lx − iLy prove que:
a) [L+, L−] = 2h¯Lz
b)[L+, Lz] = −h¯L+
c)[L+, Lz] = −h¯L+
d)[L2, L±] = 0
2.2.1 Aplicac¸o˜es
Aqui vamos utilizar esta formulac¸a˜o para calcular quantidades f´ısicas de interesse par-
tindo unicamente dos postulados estabelecidos. Operador deslocamento espacial ou de
translac¸a˜o este operador e´ muito u´til na demonstrac¸a˜o de diversas identidades.
Sejam Q e P dois observa´veis canonicamente conjugados podemos definir o operador
unita´rio U por:
U = eia
P
h¯
Fazer em casa !!!
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Este 1 metido a besta é uma matriz identidadenull
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Postulado VIInull
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uso direto do postulado 6null
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Resolvido no caderno. Aula 5null
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É Pie não Pnnull
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Porque o comutador [A,B] não é igual a zero?nullnullPorque no caso geral o comutador entre dois operadores é diferente de zero. Se eles são comutáveis, eles são igual a zero.null
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CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 22
Se | q〉 e´ autoestado de Q com autovalor q.
Prove que:
U | q〉 =| q − a〉
isto e´, U | q〉 e´ autoestado de Q com autovalor (q − a)
Demonstrac¸a˜o:
Do postulado VII, sabemos que [Q,P ] = ih¯ e por hipo´tese Q | q〉 = q | q〉. Usando a
identidade
QU = QU − UQ︸ ︷︷ ︸
comutador
+UQ = [Q,U ] + UQ, como [Q,U ] = ih¯∂U
∂P
= ih¯ ia
h¯
U = −aU enta˜o
QU = ih¯
∂U
∂P
+ UQ = −aU + UQ
QU = −aU + UQ (2.52)
aplicando QU em | q〉 teremos:
QU | q〉 = (−aU + UQ) | q〉 = −aU | q〉+ UQ | q〉 = (q − a)U | q〉
⇒ QU | q〉 = (q − a)U | q〉 (2.53)
Portanto, U | q〉 e´ autoestado de Q com autovalores q−a. Podemos finalmente escrever
U | q〉 = k | q − a〉
onde k e´ uma constante a ser determinada em termos da constante de normalizac¸a˜o. Por
hipo´tese 〈q | q〉 = 1 e 〈q − a | q − a〉 = 1, logo
〈q | U †U | q〉 = 〈q | q〉 = 1 = 〈q − a | k†k | q − a〉 = k2〈q − a | q − a〉 = k2
⇒ k2 = 1 k = ±eiϕ
logo a menos de uma diferenc¸a de fase k = 1
enta˜o fica provado que:
U | q〉 =| q − a〉 (2.54)
O operador U , e´ dito operador de deslocamento espacial ou operador de translac¸a˜o.
neste sentido, o operador P e´ chamado de gerador das translac¸o˜es espaciais.
Demonstrar em casa!!
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Demonstrado no cadernonull
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 23
2.2.2 Onda plana
A amplitude de probabilidade de se encontrar um autoestado de um operador digamos A
num auto estado de um outro operador B e´ dita func¸a˜o de transformac¸a˜o da base B para
a base A. Como exemplo vamos discutir a transformac¸a˜o da base | p〉 para a base | q〉,
esta transformac¸a˜o e´ dada por:
〈p | q〉 = 1√
2pih¯
ei
pq
h¯ . (2.55)
Exerc´ıcio use o operador U = ei
aP
h¯ para:
a) Provar que o operador momento linear P , na base de coordenadas |q〉, corresponde a
um operador derivada dado por P → −ih¯ ∂
∂q
;
b) prove que a func¸a˜o de onda plana e´ dada pela eq.(2.55).
Prova:
U | q〉 = eiaPh¯ | q〉 =| q − a〉
multiplicando por 〈p | teremos:〈
p
∣∣∣eiaPh¯ ∣∣∣ q〉 = e−iaph¯ 〈p | q〉 = 〈p | q − a〉
por simplicidade vamos fazer ψp(q) = 〈p | q〉, enta˜o
e−i
ap
h¯ ψp(q) = ψp(q − a) (2.56)
expandindo ψp(q − a) em se´rie de Taylor teremos
ψp(q − a) = ψp(q)− a
1!
∂ψp(q)
∂q
+
a2
2!
∂2ψp(q)
∂q2
+ . . .+
an
n!
∂nψp(q)
∂qn
(2.57)
e−i
aP
h¯ = 1− i
1!
aP
h¯
+
1
2!
(i
aP
h¯
)2 + . . .+
1
n!
(−iaP
h¯
)n (2.58)
substituindo as eq.(2.57 e 2.58) na eq.(2.56) teremos;
(
1− i
1!
ap
h¯
+
1
2!
(i
ap
h¯
)2 + . . .+
1
n!
(−iap
h¯
)n
)
ψp(q) = ψp(q)− a
1!
∂ψp(q)
∂q
+
a2
2!
∂2ψp(q)
∂q2
+
+....+
an
n!
∂nψp(q)
∂qn
(2.59)
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 24
Comparando-se termo a termo as poteˆncias de a e simplificando o que for poss´ıvel, conclui-
se que − i
h¯
pψp(q) = −∂ψp(q)∂q logo
pψp(q) =
h¯
i
∂ψp(q)
∂q
(2.60)
podemos concluir que o operador P → h¯
i
∂
∂q
. Isto e´, P corresponde a um operador
derivada no espac¸o q.
b) podemos reescrever a eq.(2.60) do seguinte
dψp(q)
ψp(q)
=
i
h¯
pdq
integrando equac¸a˜o acima
∫ ψp(q)
ψp(0)
dψp(q)
ψp(q)
=
i
h¯
∫ q
0
pdq ⇒ ln
(
ψp(q)
ψp(0)
)
= i
pq
h¯
(2.61)
usando a identidade logar´ıtmica ln(a) = b ⇒ a = eb enta˜o
ψp(q) = ψp(0)e
i pq
h¯ (2.62)
Onde ψp(0) e´ a constante de integrac¸a˜o que pode ser calculada usando a normalizac¸a˜o
〈q′ | q〉 = δ(q − q′)
usando a completeza
1 =
∫ ∞
−∞
dp | p〉〈p |
〈
q′
∣∣∣∣(∫ ∞−∞ dp | p〉〈p |
)∣∣∣∣ q〉 = ∫ ∞−∞ dp 〈q′ | p〉〈p | q〉 =
∫ ∞
−∞
dpψ∗p(q
′)ψp(q) = δ(q − q′)
∫ ∞
−∞
dp ψ∗p(0)ψp(0)e
i
h¯
p(q′−q) = |ψp(0)|2
∫ ∞
−∞
dp e
i
h¯
p(q′−q) = δ(q − q′) (2.63)
como
∫∞
−∞ dk e
ik(q′−q) = 2piδ(q − q′) e como k = p
h¯
e dk = dp
h¯
substituindo na integral
teremos∫∞
−∞
dp
h¯
ei
p
h¯
(q′−q) = 2piδ(q − q′)⇒ ∫∞−∞ dp2pih¯ ei ph¯ (q′−q) = δ(q − q′)
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 25
1
2pih¯
∫ ∞
−∞
dp ei
p
h¯
(q′−q) = δ(q − q′) (2.64)
Comparando as eq(2.63 e 2.64) pode-se concluir que |ψp(0)|2 = 12pih¯ ⇒ |ψp(0)| =
√
1
2pih¯
finalmente
ψp(q) =
1√
2pih¯
ei
pq
h¯ (2.65)
2.2.3 Func¸o˜es de operadores
Seja A um operador linear arbitra´rio pode se definir o operador B = An. Onde B
corresponde a n aplicac¸o˜es do operador A sobre um estado f´ısico arbitra´rio qualquer
B = A× A× . . .× A (2.66)
Se existir o operador A−1, tal que
A−1A = AA−1 = 11 (2.67)
enta˜o A−1 e´ o operador inverso de A.
Como sera´ poss´ıvel definir o operador mais geral, isto e´, um operador func¸a˜o de um
operador arbitra´rio A qualquer? Para conceituar func¸a˜o operador vamos considerar pri-
meiro uma func¸a˜o, F , de um observa´vel varia´vel x, cujo correspondente o operador e´ A.
Assumindo um certo domı´nio, F pode ser expandida em uma se´rie de poteˆncias em x
dada por:
F (x) =
∞∑
n=0
fnx
n (2.68)
O operador correspondente da func¸a˜o F (x), sera´ um operador F (A) definido por uma
se´rie que tem os mesmos coeficientes f ′ns
F (A) =
∞∑
n=0
fnA
n = f0 + f1A
1 + f2A
2 + . . .+ fnA
n (2.69)
Exemplos seja f(x) = ex = 1 + x + 1
2!
x2 + . . . + 1
n!
xn uma func¸a˜o da varia´vel x. O
operador correspondente a f(x) sera´:
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 26
F (A) = eA = 1 + A+
1
2!
A2 + . . .+
1
n!
An (2.70)
Se |χ〉 e´ autoestado de A com autovalor χ enta˜o
A|χ〉 = χ|χ〉 e
An|χ〉 = χn|χ〉 (2.71)
Sendo assim
F (A)|χ〉 =
∞∑
n=0
fnA
n|χ〉 =
∞∑
n=0
fnχ
n|χ〉 = F (χ)|χ〉 (2.72)
Quando |χ〉 e´ um autoestado de A com autovalor χ, |χ〉 e´ tambe´m autoestado de
F (A), com autovalor F (χ)
exemplo
Provar que eAeB 6= eA+B 6= eBeA
Exerc´ıcos:
a) Provar que
eABe−A = B + [A,B] + [A, [A,B]] + . . . usando a func¸a˜o auxiliar F (λ) = eλABe−λA
2.3 Princ´ıpio de incerteza e incerteza mı´nima
Neste sec¸a˜o veremos mais a frente que somente quando dois observa´veis comutam en-
tre si, pode-se medir e especificar com precisa˜o os valores esperados destes observa´veis
simultaneamente. Se A e B sa˜o dois operadores hermitianos que na˜o comutam entre
si, e´ imposs´ıvel obter com precisa˜o os valores esperados de A e B simultaneamente. Se
[A,B] = AB−BA de A e B e´ diferente de zero, e´ inevita´vel a conclusa˜o de que e´ imposs´ıvel
medir com precisa˜o os valores esperados desses observa´veis. Definido
AB −BA = iC (2.73)
onde a unidade imagina´ria “i”foi introduzida para assegurar que C e´ um operador
hermitiano
A regra de comutac¸a˜o entre dois observa´veis canonicamente conjugados necessaria-
mente contem o princ´ıpio de incerteza de Heisenberg.
Principio de incerteza: Sejam A e B dois observa´veis canonicamente conjugados, cujo
comutador deles e´ diferentes de zero. Para qualquer estado |ψ〉 as disperso˜es estat´ısticas
∆A e ∆B destes observa´veis, satisfazem a desigualdade:
〈∆A2〉〈∆B2〉 ≥
(
1
2
|〈C〉|
)2
(2.74)
ou
∆A∆B ≥ 1
2
|〈C〉| (2.75)
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 27
onde ∆A =
√
〈∆A2〉 =
√
〈(A− 〈A〉)2〉 =
√
〈A2〉 − 〈A〉2 e ∆B =
√
〈∆B2〉 =
√
〈B2〉 − 〈B〉2
Demonstrac¸a˜o:
Sejam ∆A e ∆B dois operadores hermitianos definidos por:
∆A = A− 〈A〉 e ∆B = B − 〈B〉, (2.76)
note que
[∆A,∆B] = iC (2.77)
Escolhendo os vetores |φ′〉 = ∆A|ψ〉 e |φ〉 = ∆B|ψ〉{ 〈φ′|φ′〉 = 〈ψ|∆A2|ψ〉 = 〈∆A2〉
〈φ|φ〉 = 〈ψ|∆B2|ψ〉 = 〈∆B2〉 (2.78)
Usando a desigualdade de Schwartz
〈φ′|φ′〉〈φ|φ〉 ≥ 〈φ′|φ〉2 (2.79)
〈ψ|∆A2|ψ〉〈ψ|∆B2|ψ〉 ≥ |〈ψ|∆A∆B|ψ〉|2
ou
〈∆A2〉〈∆B2〉 ≥ |〈ψ|∆A∆B|ψ〉|2 (2.80)
Por outro lado
∆A∆B = 1
2
(∆A∆B + ∆B∆A)+ 1
2
(∆A∆B −∆B∆A)
= 1
2
[∆A,∆B]
+
+ 1
2
[∆A,∆B]
= 1
2
[∆A,∆B]
+
+ 1
2
iC
(2.81)
onde “[ , ]+”denota anticomutador
e´ fa´cil concluir que o valor esperado de um anticomutador de operadores hermitianos e´
um nu´mero real. Assim sendo podemos escrever.
〈ψ|∆A∆B|ψ〉 =
〈
ψ
∣∣∣∣(12 [∆A,∆B]+ + 12iC
)∣∣∣∣ψ〉 = 12
〈
[∆A,∆B]+
〉
+
1
2
i〈C〉 ⇒ (2.82)
〈ψ|∆A∆B|ψ〉 = <+ 1
2
i〈C〉 (2.83)
onde < = 1
2
〈
[∆A,∆B]+
〉
.
Substituindo a eq(2.83) na eq(2.80) teremos
〈∆A2〉〈∆B2〉 ≥ |<+ 1
2
i〈C〉|2 = |<|2 + 1
2
|〈C〉|2 (2.84)
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 28
Na desidualdade da equac¸a˜o (2.84) o termos da esquerda ja´ e´ maior que soma |<|2 +
|1
2
〈C〉|2, do lado direito e, muito mais fortemente o sera´ que o termo |1
2
〈C〉|2, ou seja
suprimindo |<|2. Portanto fica provado que
〈∆A2〉〈∆B2〉 ≥ |<+ 1
2
i〈C〉|2 ≥ |1
2
〈C〉|2 (2.85)
ou ainda que
∆A∆B ≥ 1
2
|〈C〉| (2.86)
Que e´ a relac¸a˜o de incerteza de Heisenberg. Esta relac¸a˜o assegura que ao se medir com
precisa˜o ma´xima o valor esperado de A desconhece-se completamente o valor esperado
do operador B e vice-versa. Isto e´, e´ imposs´ıvel medir, com precisa˜o ma´xima, os valores
esperados de A e B simultaneamente. Isso quer dizer que se medirmos a posic¸a˜o, por
exemplo, de um ele´tron um milha˜o de vezes sob as mesmas condic¸o˜es, a cada medic¸a˜o
obteremos um resultado diverso dos anteriores. Para extrair uma informac¸a˜o u´til do sis-
tema, tiramos a me´dia das nossas medida e descrevemos os nossos resultados em termos
estat´ısicos.
Exemplo: Prove a desigualdade ∆Q∆P ≥ h¯
2
.
Demonstrac¸a˜o: para provar a desigualdade basta considerar A = Q e B = P , onde
Q e P sa˜o os operadores posic¸a˜o e momento linear da part´ıcula respectivamente. E como
da eq(2.50) o comutador [Q,P ] = ih¯, enta˜o C = h¯. Substituindo tudo isto na eq(2.86)
teremos
∆Q∆P ≥ h¯
2
(2.87)
Ou seja, se observador medir com precisa˜o ma´xima a posic¸a˜o q da part´ıcula, ele desconhece
complemente o valor do momento linear p da mesma nesta posic¸a˜o. E´ claro que a rec´ıproca
e´ verdadeira.
Mais a frente vamos poder voltar a este assunto quando estivermos discutindo as
projec¸o˜es do estado |ψ〉 nas bases |q〉 e |p〉.
2.3.1 Pacote de incerteza mı´nima
E´ interessante estudar em que estado ocorre a mı´nima incerteza para um par de varia´veis
canonicamente conjugadas.
A incerteza mı´nima ocorre quando temos a igualdade na eq(2.87) i. e.
∆Q∆P =
h¯
2
Condic¸a˜o de igualdade:
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 29
|φ′〉 = λ|φ〉
∆B|ψ0〉 = λ∆A|ψ0〉 (2.88)
e
< = 1
2
〈
ψ0|[∆A,∆B]+|ψ0
〉
= 0 (2.89)
onde λ e´ uma constante arbitra´ria a ser determinada substituindo a eq(2.88) na eq(2.89)
vamos ter
〈ψ0|∆A∆B|ψ0〉+ 〈ψ0|∆B∆A|ψ0〉 = 0 ⇒
〈
ψ0|λ∆A2|ψ0
〉
+
〈
ψ0|λ?∆A2|ψ0
〉
= 0 ⇒ (2.90)
(λ+ λ?)〈∆A2〉 = 0 ⇒
{
como 〈∆A2〉 6= 0
enta˜o (λ+ λ?) = 0
(2.91)
onde 〈∆A2〉 = 〈ψ0|∆A2|ψ0〉 Logo
λ? = −λ (2.92)
isto e´, λ e´ imagina´rio puro. Por outro lado da regra de comutac¸a˜o
(λ− λ?)〈∆A2〉 = i 〈C〉 (2.93)
substituindo a eq(2.92) na eq(2.93)
(λ+ λ)〈∆A2〉 = 2〈∆A2〉 = i 〈C〉 ⇒
λ =
i 〈C〉
2〈∆A2〉 (2.94)
Consideremos o caso particular onde A = Q e B = P . Da eq(2.50) QP − PQ = ih¯ 11
⇒ C = h¯ 11
Substituindo λ na eq(2.88) vamos ter
∆P |ψ0〉 = λ∆Q|ψ0〉 (2.95)
Na representac¸a˜o de coordenadas {|q〉} a eq(2.95) fica
〈q|∆P |ψ0〉 = λ〈q|∆Q|ψ0〉 = 〈q|(P − 〈P 〉)|ψ0〉 = λ〈q|(Q− 〈Q〉)|ψ0〉 (2.96)
ou
(
h¯
i
d
dq
− 〈P 〉)〈q|ψ0〉 = λ(q − 〈Q〉)〈q|ψ0〉 ⇒ (2.97)
CAPI´TULO 2. ESTADO QUAˆNTICO 30
esta equac¸a˜o pode ser reescrita do seguinte modo
(
h¯
i
d
dq
− 〈P 〉)ψ0(q) = i h¯
2〈∆q2〉(q − 〈Q〉)ψ0(q) (2.98)
onde λ = i h¯
2〈∆q2〉 e ψ0(q) = 〈q|ψ0〉
reescrevendo a eq(2.98)(
d
dq
− i
h¯
〈P 〉
)
ψ0(q) = −(q − 〈Q〉)
2〈∆q2〉 ψ0(q) (2.99)
ou ainda
dψ0(q)
dq
=
(
−(q − 〈Q〉)
2〈∆q2〉 +
i
h¯
〈P 〉
)
ψ0(q) (2.100)
integrando a eq(2.100) teremos:
ψ0(q) =
1
[2pi〈∆q2〉] 14 exp
[
−(q − 〈Q〉)
2
4〈∆q2〉 +
i
h¯
〈P 〉 (q − 〈Q〉)
]
(2.101)
Cap´ıtulo 3
Dinaˆmica Quaˆntica: Equac¸a˜o de
Schro¨dinger
A dinaˆmica de um sistema quaˆntico, na˜o relativ´ıstico, e´ descrita por treˆs formalismos
auto-consistentes, quais sejam “formalismo de Heisemberg”, “formalismo de Schro¨dinger”
e “formalismo de Feynmam”, Neste cap´ıtulo vamos apresentar a descric¸a˜o quaˆntica de
Schro¨dinger, que e´ o modelo mais conhecido.
A evoluc¸a˜o dinaˆmica de um sistema quaˆntico, na visa˜o de Schro¨dinger e´ governada
por uma equac¸a˜o que, hoje, leva seu nome a chama equac¸a˜o de Schro¨dinger.
3.1 Hipo´teses e argumentac¸a˜o necessa´ria para se che-
gar a equac¸a˜o de Schro¨dinger
Para se chegar a definic¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger sa˜o necessa´rias quatro hipo´teses
relacionadas com as propriedades desejadas para a equac¸a˜o de onda da mecaˆnica quaˆntica.
Sa˜o elas:
1. Ela deve ser consistente com as hipo´teses de de Broglie
2. Ela deve ser consistente com a expressa˜o da energia de uma part´ıcula E = p
2
2m
+ V
3. A equac¸a˜o deve ser linear em ψ. Isto e´, se ψ1 e ψ2 sa˜o duas soluc¸o˜es diferentes de
uma mesma equac¸a˜o, enta˜o uma combinac¸a˜o linear delas tambe´m e´ soluc¸a˜o desta
da Equac¸a˜o.
4. Ela deve ser consistente com o principio de superposic¸a˜o para garantida a analogia
com a o´tica.
Para de Broglie
Se a radiac¸a˜o apresenta um carater dual estando associado a um “quantum”de momento
31
CAPI´TULO 3. DINAˆMICA QUAˆNTICA: EQUAC¸A˜O DE SCHRO¨DINGER 32
e energia dados por
p = h¯k e E = h¯ω. (3.1)
Por que enta˜o uma part´ıcula, como por exemplo o ele´tron, na˜o estaria associada a uma
onda? Se for o caso, por simetria, esta onda deveria caracterizar-se por vetor de onda k
e frequeˆncia ω dados por
k =
p
h¯
e ω =
E
h¯
. (3.2)
Para de Broglie a onda de mate´ria ψ(x, t), e´ dada por uma superposic¸a˜o de ondas
planas que pode ser definida de maneira ana´loga ao caso da o´ptica:
ψ(x, t) = ψ(0)
∫ ∞
−∞
a(k) exp {i[k x− ω(k) t]} dk (3.3)
Onde ψ(0) = 1√
2pih¯
. Substituindo a eq(3.2) em (3.3) vamos ter
ψ(x, t) =
1√
2pih¯
∫ ∞
−∞
a(p) exp
{
i
h¯
[p x− E t]
}
dp (3.4)
Por hipo´tese, ψ(x, t) e´ uma soluc¸a˜o equac¸a˜o diferencial parcial
ih¯∂ ψ(x, t)
∂ t
=
1√
2pih¯
∫ ∞
−∞
a(p)E exp
{
i
h¯
[p x− E t]
}
dp
Mas E = p
2
2m
ih¯∂ ψ(x, t)
∂ t
=
1√
2pih¯
∫ ∞
−∞
a(p)
p2
2m
exp
{
i
h¯
(p x− E t)
}
d p (3.5)
mas p
2
2m
exp
{
i
h¯
(p x− E t)
}
= − h¯2
2m
∂2
∂ x2
(
exp
{
i
h¯
(p x− E t)
})
substituindo em (3.5) te-
remos ih¯∂ ψ(x,t)
∂ t
= 1√
2pih¯
∫∞
−∞ a(p)
(
− h¯2
2m
)
∂2
∂ x2
(
exp
{
i
h¯
(p x− E t)
})
d p como ∂
2
∂ x2
atua ape-
nas nas func¸o˜es de x enta˜o
ih¯∂ ψ(x, t)
∂ t
= − h¯
2
2m
∂2
∂ x2
[
1√
2pih¯
∫ ∞
−∞
a(p)
(
exp
{
i
h¯
(p x− E t)
})
dp
]
Mas o termo entre chaves e´ o pro´prio ψ(x, t) enta˜o
ih¯∂ ψ(x, t)
∂ t
= − h¯
2
2m
∂2ψ(x, t)
∂ x2
(3.6)
A expressa˜o acima, e´ a equac¸a˜o de Schro¨dinger para uma part´ıcula livre quando E =
p2
2m
. Mas poder´ıamos ter usado E ′ = p
2
2m
+ V0 onde a energia potencial part´ıcula V0 e´
constante. Esta, tambe´m e´ energia de uma part´ıcula livre, pois a resultante das forc¸as
que atuam na part´ıcula e´ nula. Procedendo de modo ana´logo ao caso anterior, a nova
equac¸a˜o de onda sera´.
ih¯∂ ψ(x, t)
∂ t
=
[
− h¯
2
2m
∂2
∂ x2
+ V0
]
ψ(x, t) (3.7)
CAPI´TULO 3. DINAˆMICA QUAˆNTICA: EQUAC¸A˜O DE SCHRO¨DINGER 33
ou
ih¯∂ ψ(x, t)
∂ t
=
[
P 2
2m
+ V0
]
ψ(x, t) (3.8)
Generalizac¸a˜o Desde que a energia E do sistema seja uma constante no tempo, a equac¸a˜o
(3.8) podera´ ser generalizada para o caso em que a energia potencialV e´ func¸a˜o de x.
Enta˜o pode-se definir a equac¸a˜o Schro¨dinger do seguinte modo:
ih¯∂ ψ(x, t)
∂ t
= Hψ(x, t) (3.9)
onde H = P
2
2m
+ V (x) e´ chamado de operador hamiltoniano.
E´ claro que esta equac¸a˜o tambe´m pode ser escrita em termos dos estados |ψ(t)〉
H|ψ(t)〉 = ih¯ ∂
∂t
|ψ(t)〉 (3.10)
onde H = p
2
2m
+ V (q) e´ chamado de operador hamiltoniano. Esta equac¸a˜o pode ser facil-
mente reescrita em termos das func¸o˜es de onda ψ(q, t) = 〈q|ψ(t)〉 na ba´se das coordenadas
{ |q〉 }
A func¸a˜o de onda ψ, e´ uma func¸a˜o complexa matema´tica abstrata desprovida de
qualquer interpretac¸a˜o f´ısica. O desafio agora e´ buscar uma maior compreensa˜o da func¸a˜o
ψ. Max Born estudou o assunto e destacou importaˆncia da func¸a˜o ψ, para ele o importante
na˜o e´ ψ e sim ψ∗ψ = ρ, onde ρ e´ chamada de densidade de probabilidade.
3.2 Equac¸a˜o de continuidade e corrente de probabi-
lidade
Para melhor compreensa˜o de ρ vamos tomar o complexo conjugado da equac¸a˜o (2.23){−h¯2
2m
∇2 + V (q)
}
ψ∗(q, t) = −ih¯ ∂
∂t
ψ∗(q, t), (3.11)
multiplicando a eq.(??) por ψ∗ e por ψ a eq.(3.11) teremos as seguintes expresso˜es:
ψ∗
{−h¯2
2m
∇2 + V (q)
}
ψ(q, t) = ih¯ ψ∗
∂
∂t
ψ(q, t) (3.12)
ψ
{−h¯2
2m
∇2 + V (q)
}
ψ∗(q, t) = −ih¯ ψ ∂
∂t
ψ∗(q, t) (3.13)
subtraindo a eq.(3.13) da eq.(3.12) teremos:
ψ∗
{−h¯2
2m
∇2
}
ψ − ψ
{−h¯2
2m
∇2
}
ψ∗ = ih¯ ψ∗
∂
∂t
ψ + ih¯ ψ
∂
∂t
ψ∗
CAPI´TULO 3. DINAˆMICA QUAˆNTICA: EQUAC¸A˜O DE SCHRO¨DINGER 34
simplificando teremos
−h¯2
2m
(
ψ∗∇2ψ − ψ∇2ψ∗
)
= i
(
ψ∗
∂
∂t
ψ + ψ
∂
∂t
ψ∗
)
(3.14)
ψ∗∇2ψ = ~∇ · (ψ∗~∇ψ)− ~∇ψ∗ · ~∇ψ
ψ∇2ψ∗ = ~∇ · (ψ~∇ψ∗)− ~∇ψ · ~∇ψ∗ (3.15)
substituindo a eq.(3.15) na eq.(3.14) e simplificando teremos:
−~∇ ·
{
ih¯
2m
(
ψ~∇ψ∗ − ψ∗~∇ψ
)}
=
(
ψ∗
∂
∂t
ψ + ψ
∂
∂t
ψ∗
)
=
∂
∂t
(ψ∗ψ) (3.16)
ou
∂ρ
∂t
+ ~∇ · ~J = 0 (3.17)
onde ρ = ψ∗ψ = |ψ|2 e´ a densidade de probabilidade e ~J e´ o vetor densidade de
corrente de probabilidade e, e´ definido por:
~J =
{
ih¯
2m
(
ψ~∇ψ∗ − ψ∗~∇ψ
)}
. (3.18)
Em analogia com a equac¸a˜o de continuidade de massa ou carga ele´trica, a eq(3.17)
e´ chamada de equac¸a˜o de continuidade de probabilidade do estado do sistema. Assim
Max Born interpretou a quantidade ρ = |ψ|2, como uma densidade de probabilidade
de presenc¸a, representando a distribuic¸a˜o de probabilidade das posic¸o˜es ocupadas por
uma part´ıcula em seu deslocamento em uma dada regia˜o, e ~J e´ interpretada como uma
densidade de corrente de probabilidade.
∫
V
(
~∇ · ~J − ∂ρ
∂t
)
dV = 0 (3.19)
ou ∫
V
(~∇ · ~J)dV =
∫
V
∂ρ
∂t
dV (3.20)
3.3 Equac¸a˜o de Schro¨dinger independente do tempo
A eq(??) e´ uma equac¸a˜o diferencial duas varia´veis x e t. O primeiro passo para se buscar
uma soluc¸a˜o desta equac¸a˜o e´ reescrever a func¸a˜o ψ(x, t) = φ(x)T (t), isto e´, ψ(x, t) e´ um
produto de duas func¸o˜es espl´ıcitas de x ou de t separadamente. Substituindo φ(x)T (t)
em (9) vamos ter
ih¯∂ ψ(x, t)
∂ t
=
(
P 2
2m
+ V (x)
)
ψ(x, t)
CAPI´TULO 3. DINAˆMICA QUAˆNTICA: EQUAC¸A˜O DE SCHRO¨DINGER 35
ih¯∂ [φ(x)T (t)]
∂ t
=
(
P 2
2m
+ V (x)
)
φ(x)T (t) (3.21)
E´ fa´cil mostrar que a eq(3.21) pode ser reescrita assim
1
T (t)
ih¯
∂ T (t)
∂ t
=
1
φ(x)
(
P 2
2m
+ V (x)
)
φ(x) (3.22)
nota-se que o termo a` esquerda e´ uma explicita de t e o da direita e´ uma func¸a˜o explicita
de x, esta igualdade so´ verdadeira se for uma constante escolhendo a constante igual a E
teremos:
1
T (t)
ih¯
∂ T (t)
∂ t
= E =
1
φ(x)
(
P 2
2m
+ V (x)
)
φ(x) (3.23)
enta˜o vamos duas equac¸o˜es diferenciais
ih¯
∂ T (t)
∂ t
= ET (t) (3.24)
(
P 2
2m
+ V (x)
)
φ(x) = E φ(x) (3.25)
A eq(3.24) tem soluc¸a˜o imediata e e´ dada por T (t) = e−
i
h¯
E t, A eq(3.25) e´ chamada
de equac¸a˜o Schro¨dinger independente do tempo. A soluc¸a˜o desta equac¸a˜o depende do
potencial V (x) e sera´ discutida caso a caso.
A equac¸a˜o (3.25) pode ser reescrita como segue
P 2
2m
φ(x) = (E − V (x))φ(x) (3.26)
como P 2 = −h¯2 ∂2
∂ x2
substituindo em (3.26)
∂2 φ(x)
∂ x2
+
2m
h¯2
(E − V (x))φ(x) = 0 (3.27)
Nota-se que qualquer tentativa de soluc¸a˜o da eq(3.27) depende da forma espl´ıcita de
V (x)
3.4 Analogia com os fenoˆmenos ondulato´rios
Do eletromagnetismo sabemos que a equac¸a˜o da onda eletromagne´tica independente do
tempo para por exemplo o campo ele´trico E e´ dada por:
d2E
dx2
+ k2E = 0 (3.28)
CAPI´TULO 3. DINAˆMICA QUAˆNTICA: EQUAC¸A˜O DE SCHRO¨DINGER 36
Portanto a equac¸a˜o (5.14) e´ ana´loga a equac¸a˜o de uma onda eletromagne´tica desde que√
2m
h¯2
(E − V (x)) = k(x). Sendo assim a eq(5.14) e´ ana´loga a equac¸a˜o de uma onda
eletromagne´tica que se propaga em um meio em que o ı´ndice de refrac¸a˜o n(x), depende
do meio ponto a ponto.
∂2 φ(x)
∂ x2
+ k(x)2 φ(x) = 0 (3.29)
Cap´ıtulo 4
Equac¸a˜o de Schro¨dinger: aplicac¸o˜es
4.1 Soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger para um po-
tencial V (x) = V0
4.1.1 Potencial degrau
Seja V (x) a func¸a˜o potencial degrau definida por:
V (x) =
{
0 x < 0
V0 x > 0
(4.1)
conforme mostra figura 1
Figura 4.1: Potencial degrau
Neste caso a equac¸a˜o de Schro¨dinger duas soluc¸o˜es
37
CAPI´TULO 4. EQUAC¸A˜O DE SCHRO¨DINGER: APLICAC¸O˜ES 38
Seja V (x) a func¸a˜o potencial degrau definida por:
V (x) =
{
0 x < 0 regia˜o I
V0 x > 0 regia˜o II
(4.2)
conforme mostra figura 1
Figura 4.2: Potencial degrau
Deve-se notar que ha´ dois casos para a soluc¸o˜es da equac¸a˜o de Schro¨dinger, quais
sejam: Casos
{
(a) E < V0.
(b) E > V0.
Caso (a) soluc¸a˜o para E < V0
∂2 φ(x)
∂ x2
+ k2 φ(x) = 0 (4.3)
a eq(4.3) tem duas soluc¸o˜es:
φI(x) = Ae
ikI x +B e−ikI x onde kI =
√
2mE
h¯
∀ x < 0 (4.4)
φI(x) tem dois termos, φin(x) = Ae
ikI x, que corresponde a uma onda que se propaga da
esquerda para a direita na regia˜o x < 0, que e´ chamada a onda incidente e, φref (x) =
B e−ikI x corresponde a uma onda que se propaga da direita para a esquerda na regia˜o
x < 0, que e´ chamada de onda refletida.
φ
II
(x) = C e−ik
′
II
x +D eik
′
II
x onde k′
II
= i
√
2m(V0 − E)
h¯
∀ x > 0 (4.5)
fazendo k′
II
= ik
II
, isto e´, k
II
=
√
2m(V0−E)
h¯
substituindo em (4.5) vamos ter
φ
II
(x) = C ekII x +D e−kII x (4.6)
CAPI´TULO 4. EQUAC¸A˜O DE SCHRO¨DINGER: APLICAC¸O˜ES 39
na eq(4.5) o termo ekII x cresce sem limite quando x → +∞. Para evitar isso devemos
escolher C = 0. Enta˜o
φ
II
(x) = D e−kII x (4.7)
Para determinar o valor das constantes A, B e D em func¸a˜o de uma delas e´ so´ usar
as condic¸o˜es de contorno para φ que sa˜o:
Condic¸o˜es de contorno em x = 0
φI(0) = φII(0)
d φI(0)
dx
= d φII(0)
dx
(4.8)
enta˜o,
φI(0) = φII(0)
A+B = D (4.9)
d φI(0)
dx
=
d φII(0)
dx
ikI(A−B) = −kIID
A−B = ikII
kI
D (4.10)
Somando as eq(4.9 e 4.10) teremos:
A =
D
2
(
1 +
ikII
kI
)
(4.11)
Subtraindo-as:
B =
D
2
(
1− ikII
kI
)
(4.12)
Ja´ determinamos as constantes A, B e C em func¸a˜o de D. A func¸a˜o de onde para o
potencial degrau, com energia E < V0, sera´
φ =
{
D
2
(
1 + ikII
kI
)
eikI x + D
2
(
1− ikII
kI
)
eikI x ∀ x < 0
D e−kII x ∀ x > 0 (4.13)
A soluc¸a˜o geral sera´
ψ = φ e
i E t
h¯ (4.14)
4.1.2 Coeficientes de reflexa˜o e transmissa˜o
Do movimento ondulato´rio o coeficiente de reflexa˜o R e´ dado pela raza˜o entre os luxos de
onda refletida e de onda incidente
R =
| ~Jrefl|
| ~Jin|
(4.15)
CAPI´TULO 4. EQUAC¸A˜O DE SCHRO¨DINGER: APLICAC¸O˜ES 40
Da definic¸a˜o da densidade de corrente de probabilidade ~J = h¯
2 im
(
ψ∗
−→∇ψ −ψ−→∇ψ∗
)
. Como
a onda se propaga ao longo do eixo X,
~J =
h¯
2 im
(
ψ∗
eˆxdψ
dx
− ψ eˆxdψ
∗
dx
)
como ψin = Ae
ikIx e−
E t
h¯
~Jin =
eˆx h¯
2 im
(
A? e−ikIx
d (AeikIx)
d x
− AeikIxd (A
? e−ikIx)
d x
)
=
h¯
2 im
(
2i~kI |A|2
)
logo simplificando teremos
~Jin =
~kIh¯
m
|A|2 (4.16)
Procedendo de modo absolutamente ana´logo para Jrefl teremos
~Jref =
−~kIh¯
m
|B|2 (4.17)
calculando a raza˜o
| ~Jref |
| ~Jin| e simplificando
R =
| ~Jref |
| ~Jin|
=
kI h¯
m
|B|2
kI h¯
m
|A|2 =
|B|2
|A|2 (4.18)
Enta˜o o coeficiente de reflexa˜o R sera´:
R =
~Jref
~Jin
=
|B|2
|A|2 (4.19)
em termos dos kI e kII
R =
|B|2
|A|2 =
D
2
(
1− ikII
kI
)?
D
2
(
1− ikII
kI
)
(
1 + ikII
kI
)?
D
2
(
1 + ikII
kI
) =
(
1 + ikII
kI
) (
1− ikII
kI
)
(
1− ikII
kI
) (
1 + ikII
kI
) (4.20)
Simlificando e´ facil concluir que R = 1
Caso (b) E > V0
∂2 φ(x)
∂ x2
+ k2 φ(x) = 0 (4.21)
a eq(4.21) tem duas soluc¸o˜es:
φI(x) = Ae
ikI x +B e−ikI x onde kI =
√
2mE
h¯
∀ x < 0 (4.22)
CAPI´TULO 4. EQUAC¸A˜O DE SCHRO¨DINGER: APLICAC¸O˜ES 41
φ
II
(x) = C eikII x +D e−ikII x onde k
II
=
√
2m(E − V0)
h¯
∀ x > 0 (4.23)
O termo D e−ikII x corresponde a uma onda refletida no infinito se propagando da direita
para a esquerda. Como por hipo´tese na˜o ha´ nada que cause reflexa˜o no infinito. Enta˜o,
para evitar isso, faz-se a constante arbitra´ria
D = 0 logo φ
II
(x) = C eikII x (4.24)
o termo C eikII x corresponde a onda transmitida se propagando da esquerda para a direita
em x > 0.
Para determinar o valor das constantes A, B e C em func¸a˜o de uma delas e´ so´ usar
as condic¸o˜es de contorno para φ do mesmo modo que no caso anterior
φI(0) = φII(0)
d φI(0)
dx
= d φII(0)
dx
(4.25)
enta˜o,
φI(0) = φII(0)
A+B = C (4.26)
d φI(0)
dx
=
d φII(0)
dx
kI(A−B) = kIIC (4.27)
Das eq(4.26 e 4.27) obtemos:
B =
kI − kII
kI + kII
A e C =
2kI
kI + kII
A (4.28)
Portanto, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Schro¨dinger para o potencial degrau, com energia
E > V0, sera´
φ =
{
AeikI x + kI−kII
kI+kII
A e−ikI x ∀ x < 0
2kI
kI+kII
AeikII x ∀ x > 0 (4.29)
A soluc¸a˜o geral sera´
ψ = φ e
i E t
h¯ (4.30)
Exerc´ıcios calcular:
(a) R =
| ~Jrefl|
| ~Jinc|
(b) T = |
~JT |
| ~Jinc|
Cap´ıtulo 5
Oscilador harmoˆnico Linear
O oscilador harmoˆnico linear e´ um problema cla´ssico e, ao lado de part´ıcula livre e
do a´tomo de hidrogeˆnio e´ um dos treˆs problemas que a f´ısica resolve completamente,
isto e´, resolve de maneira exata sem aproximac¸a˜o. Qualquer outro problema f´ısico sera´
resolvido por me´todos perturbativos. A discussa˜o e soluc¸a˜o do oscilador e´ extremamente
instrutivo como aplicac¸a˜o dos conceitos ate´ aqui discutidos. O hamiltoniano do oscilador
harmoˆnico linear e´ definido por
H =
P 2
2m
+
1
2
mω2Q2
onde ω e´ a frequeˆncia angular natural do oscilador. Na mecaˆnica quaˆntica, H e´ um
operador ja´ que Q e P sa˜o operadores, que satisfazem as regras de comutac¸a˜o:
[Q,P ] = ih¯,
definida no postulado VI. Tradicionalmente a soluc¸a˜o do oscilador e´ discutida em termos
das func¸o˜es de onda. Neste cap´ıtulo discutiremos a soluc¸a˜o do oscilador em termos dos
operadores de criac¸a˜o e aniquilac¸a˜o, que apresentaremos na pro´xima sec¸a˜o.
5.1 operadores de levantamento e abaixamento A e
A†
Com frequeˆncia trabalhamos com sistemas f´ısicos em o nu´mero de part´ıculas do sistema
varia com a evoluc¸a˜o dinaˆmica do sistema. Neste sentido, e´ conveniente considerar o
pro´prio nu´mero n de part´ıculas como um observa´vel. O operador N e´ um bom exemplo
de operador nu´mero. Para definir o operador N temos que conceituar primeiro os opera-
dores de levantamento e abaixamento.
Sejam A e seu conjugado hermitiano A† dois operadores definidos a partir do operado-
res posic¸a˜o Q e momento P por: A =
√
mω
2h¯
Q+ i
√
1
2h¯mω
P e A† =
√
mω
2h¯
Q− i
√
1
2h¯mω
P , que
42
CAPI´TULO 5. OSCILADOR HARMOˆNICO LINEAR 43
por simplicidade podemos reescreve-los do seguinte modo: A = aQ+ ibP e A† = aQ− ibP
onde a =
√
mω
2h¯
e b =
√
1
2h¯mω
A e A† satisfazem as seguintes relac¸o˜es de comutac¸a˜o:
[A,A†] = 1, [A†, A†] = 0, [A,A] = 0 (5.1)
Exerc´ıcio: 3.1 Use as relac¸o˜es de comutac¸a˜o [Q,P ] = ih¯, [Q,Q] = 0 e [P, P ] = 0 para
provar as igualdades da eq(5.1)
Em virtude das identidades definidas na eq(5.1), um importante operador pode ser
definido agora, o operador nu´mero definido por N = A†A.
Problema 1- Provar que os autovalores n, do operador N sa˜o na˜o negativos;
Problema 2 - mostre que
[A†, N ] = −A† e [A,N ] = A (5.2)
Soluc¸a˜o: Problema 1
para provar o problema 1 temos que calcular o valor esperado 〈N〉 de N
seja |φ〉 o resultado da aplicac¸a˜o do operador A sobre |ψ〉, enta˜o |φ〉 = A|ψ〉. Pelo
primeiro postulado 〈φ|φ〉 ≥ 0 =⇒
〈φ|φ〉 = 〈ψ|A†A|ψ〉 = 〈ψ|N |ψ〉 ≥ 0
enta˜o
〈N〉 = 〈ψ|N |ψ〉 ≥ 0 (5.3)
Seja {|i〉} a base em que N e´ diagonal, e introduzindo a completeza 11 = ∑ |i〉〈i|,
desta base, na eq(5.3) teremos
〈N〉 =
〈
ψ
∣∣∣∣∣∣
∑
j
|j〉〈j|N∑
i
|i〉〈i
∣∣∣∣∣∣ψ
〉
=
∑
i,j
〈ψ |j〉〈j|N |i〉〈i|ψ〉 (5.4)
por hipo´tese o elemento a de matriz 〈j|N |i〉 = niδij, sendo ni o autovalor de N .
Denotando 〈i|ψ〉 = ci,
〈N〉 = ∑
i,j
c∗jniδijci =
∑
i
|ci|2 ni (5.5)
da equac¸a˜o (5.3)
〈N〉 = ∑
i
|ci|2 ni ≥ 0 (5.6)
como ci e´ arbtra´rio |ci|2 ≥ 0 enta˜o
ni ≥ 0 (5.7)
O resultado da eq(5.7) impoe˜ que os autovalores de N sa˜o positivos definidos. Isto implica
que existe um valor mı´nimo nmin ≥ 0 para os autovalores de N .
CAPI´TULO 5. OSCILADOR HARMOˆNICO LINEAR 44
Soluc¸a˜o: Problema 2
[A†, N ] = [A†, A†A] = A† [A†, A]︸ ︷︷ ︸
(=−1)
+ [A†, A†]︸ ︷︷ ︸
(=0)
A = −A† ⇒
[A†, N ] = −A†
ou
NA† = A†(N + 1) (5.8)
De modo ana´logo para operador A
[A,N ] = [A,A†A] = A† [A,A]︸ ︷︷ ︸
(=0)
+ [A,A†]︸ ︷︷ ︸
(=1)
A = A⇒ [A,N ] = A ou
NA = A(N − 1) (5.9)
O pro´ximo passo sera´ construir o conjunto dos autovetores de N . A eq(5.8) permite
mostrar que o estado A†|n〉 e´ autoestado do operador N com auto valor n+ 1
NA†|n〉 = A†(N + 1)|n〉 = A†N |n〉+ A†|n〉 (5.10)
NA† |n〉 = (n+ 1)A† |n〉 (5.11)
Portanto a menos que o vetor A†|n〉 seja um vetor nulo, A†|n〉 sera´ autovetor de N com
autovalor n+ 1.
De modo ana´logo aplicando NA sobre o vetor |n〉 e usando a eq(5.9) NA|n〉 = A(N −
1)|n〉 = A(n− 1)|n〉 ⇒
NA|n〉 = (n− 1)A|n〉 (5.12)
portanto a menos que A|n〉 seja um vetor nulo, A|n〉 e´ autovetor de N com autovalor n−1.
Com base nos resultados obtidos nas eq(5.11 e 5.12) pode-se concluir que a aplicac¸a˜o
do operador A† sobre o estado |n〉, este sofre uma transic¸a˜o para o estado |n+ 1〉, isto e´ o
estado |n〉 salta para um n´ıvel de energia acima n A†|n〉 → |n+ 1〉 e de modo ana´logo, a
aplicac¸a˜o do operador A sobre o estado |n〉, este sofre uma transic¸a˜o para o estado |n−1〉,
isto e´ o estado |n〉 decai para um n´ıvel de energia abaixo de n
A|n〉 → |n− 1〉
Aqui podemos propor o seguinte relac¸o˜es entre os vetores: |n + 1〉 = λnA†|n〉 e
|n − 1〉 = γnA|n〉 onde γn e λn sa˜o constantes a serem determinadas pelas condic¸o˜es
de normalizac¸a˜o.
aplicando o operador A em |n− 1〉 teremos
|n− 2〉 = γn−1A|n− 1〉
|n− 3〉 = γn−2A|n− 2〉
CAPI´TULO 5. OSCILADOR HARMOˆNICO LINEAR 45
...
. . .
|n− k − 1〉 = γn−kA|n− k〉 (5.13)
este procedimento pode ser repetido k vezes de modo tal que, o k-e´simo tenha autovalor
de N nulo ou seja n− k = 0, isto e´ n− k e´ mı´nimo, do contra´rio o autovalor de N seria
negativo.
Enta˜o
A|0〉 = 0 (5.14)
Isto vai permitir calcular o estado de menor energia, isto e´ estado fundamental.
Por outro lado aplicando uma vez conhecido este estado fica fa´cil construir os demais
estados a partir