10_1 - Lab 5 - Sistemas de 1 e 2 Ordem (1)

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Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Laboratório 5 
Carlos Amaral
UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica 
Curitiba, Abril de 2012. 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Resumo
1 Objetivos
2 Sistema de Primeira Ordem
3 Sistema de Segunda Ordem
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Atividade 1 - Resposta de Sistema de Primeira Ordem 
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
C(s) 
sendo, K e τ o ganho e a constante de tempo da planta respectivamente. 
(1) 
RESPOSTA DO SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM PARA UMA ENTRADA DO TIPO 
DEGRAU UNITÁRIO. 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Atividade 1 - Resposta de Sistema de Primeira Ordem 
Exercício 1
C(s) 
Dado a resposta abaixo, determinar a função de transferência G(s):
(1) 
RESPOSTA DO SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM PARA UMA ENTRADA DO TIPO 
DEGRAU UNITÁRIO. 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
0 1 2 3 4 5 6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Response
Time (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
T=1/a
Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Atividade 1 - Resposta de Sistema de Primeira Ordem 
Exercício 1
C(s) 
No MatLab, escreva a função de transferência encontrada e plote o gráfico usando
a função step():
(1) 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
0 1 2 3 4 5 6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Response
Time (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
>> s = tf('s');
>> gs = …;
>> step(gs);
Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Atividade 1 - Resposta de Sistema de Primeira Ordem 
Exercício 1
C(s) 
Pressionando o botão direito do mouse sobre a figura, determine o tempo de 
subida e estabelecimento:
(1) 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Atividade 1 - Resposta de Sistema de Primeira Ordem 
Exercício 2
C(s) 
Repita o exercício 1 para a curva abaixo:
(1) 
RESPOSTA DO SISTEMA DE PRIMEIRA ORDEM PARA UMA ENTRADA DO TIPO 
DEGRAU UNITÁRIO. 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
0 20 40 60 80 100 120
0
100
200
300
400
500
600
Step Response
Time (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Atividade 2 - Resposta de Sistema de Segunda 
Ordem 
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA PARA UM SISTEMA DE SEGUNDA 
ORDEM 
sendo, 
1 ωn: frequência natural de oscilação 
2 ζ:coeficientedeamortecimento 
√
3 Pólos: s12 = −ζωn ± jωn 1−ζ2 
(2) 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
CURVAS DE RESPOSTA DE UM SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM 
A UM DEGRAU UNITÁRIO 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
K
Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Características da Resposta de Segunda Ordem 
Tempo de Pico (Tp): é o tempo onde a resposta atinge o 
máximo valor. O tempo de pico, Tp pode ser obtido por: 
Tp = 
ωn 
π
√ , (3) 
1−ζ2 
Porcentagem de Overshoot (P.O.): a ultrapassagem
percentual, P.0., é dada pela seguinte expressão, 
ou, 
P.O. = 100e−√ 1−ζ2 %, (4) 
( ) 
P.O. = 100 ×
sendo
Mp − Fv 
Fv %, (5) 
MP = valor máximo da resposta,
Fv = valor de regime permanente.
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
 )100/..(ln
)10 0/..ln (
22 OP
OP
+
−
=
pi
ζ
Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Tempo de Estabelecimento (Te): neste experimento, é o 
tempo que a resposta leva para atingir ±2% do valor de 
regime. 
Te = 4 
ζωn . 
(6) 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Tempo de Estabelecimento (Te): neste experimento, é o 
tempo que a resposta leva para atingir ±2% do valor de 
regime. 
4 (6) 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Exercício 3
Encontre a função de transferência G(s) e confirme a resposta com o MatLab:
0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
K
Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Tempo de Estabelecimento (Te): neste experimento, é o 
tempo que a resposta leva para atingir ±2% do valor de 
regime. 
4 (6) 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Exercício 3
Cálculo do Coeficiente de Amortecimento:
syms coef_amort %Define coef_amort como um símbolo
resp_coef_amort = solve('20=exp(-coef_amort*pi/sqrt(1-coef_amort^2))*100');
double(resp_coef_amort)
P.O.
 )100/..(ln
)10 0/..ln (
22 OP
OP
+
−
=
pi
ζ
ans =
-0.4559
0.4559
Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Tempo de Estabelecimento (Te): neste experimento, é o 
tempo que a resposta leva para atingir ±2% do valor de 
regime. 
4 (6) 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Exercício 3
Cálculo do da frequência natural de oscilação:
syms wn %Define wn como um símbolo
resp_wn = solve('3.2=pi/(wn*sqrt(1-0.46^2))')
double(resp_wn)
Tp
ans =
1.1057
Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Tempo de Estabelecimento (Te): neste experimento, é o 
tempo que a resposta leva para atingir ±2% do valor de 
regime. 
4 (6) 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Exercício 3
Cálculo de K:
0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Step Response
Time (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
1 = K
Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Tempo de Estabelecimento (Te): neste experimento, é o 
tempo que a resposta leva para atingir ±2% do valor de 
regime. 
4 (6) 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Exercício 3
Verificar a resposta através da função rlocus():
Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Tempo de Estabelecimento (Te): neste experimento, é o 
tempo que a resposta leva para atingir ±2% do valor de 
regime. 
4 (6) 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Exercício 4
Encontre a função de transferência G(s) e confirme a resposta com o MatLab:
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Step Response
Time (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
e
K
Objetivos
Sistema de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Tempo de Estabelecimento (Te): neste experimento, é o 
tempo que a resposta leva para atingir ±2% do valor de 
regime. 
4 (6) 
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Exercício 4
Cálculo de K:
3.2 = K
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Step Response
Time (sec)
A
m
p
l
i
t
u
d
e