Exercícios de Cálculo IV

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P o n t i f í c i a U n i v e r s i d a d e C a t ó l i c a d e M i n a s Gerais
Curso de Engenharia Mecânica
Cálculo IV
2º Semestre de 2017
Prof. Newton Rodrigues Filho
Data: 10 de Novembro de 2017
SEGUNDO TRABALHO DE CÁLCULO IV - VALOR 10 PONTOS - 
GABARITO
1. Seja o campo vetorial de força F(x,y,z) = (ysenz)i + (xsenz)j + (xycosz)k definido em R³.
a) Calcule rotF e mostre que F é um campo conservativo.
Basta calcular o rotacional de F e verificar se o resultado é igual a zero.
Neste caso o rot F =0, logo o campo é conservativo.
 
b) Determine uma função f(x,y,z) tal que F = .
Para calcularmos a função f, devemos integrar P em relação a x, integrar Q em relação a y e integrar R em relação a z, fazendo isso temos:
Assim sendo a função f = xy senz .
c) Determine o trabalho realizado pelo campo de força F ao mover uma partícula do ponto ,até o ponto (0,0,1)
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo podemos calcular o trabalho como :
W = 
Logo temos que :
W = f(0,0,1) - f(2,1,) = 0.0 .sen 1- 2.1. sen = 0 – 2 = - 2J
W = -2,0 Joules.
2) Calcule o rotacional e o divergente de .
Rot F = 
Rot F = (4 + 3y²) k
Div F = 
Div F = 2z
3) Calcule , onde e C é a curva da interseção do plano com o cilindro . (sugestão: utilize o teorema de Stokes)
A integral de fluxo deve ser calculada utilizando o teorema de Stockes
Z está compreendido entre z= 0 e z= 4-y
Considerando o plano z = 4-y , no sentido anti horário e a superfície do lado esquerdo, então podemos utilizar o teorema de stockes, desde que parametrizamos a superfície com coordenadas polares:
X = r.cos 
y = r.sen 
W = 
= 
4) Calcule , onde e S é a fronteira da região sólida E contida pelo parabolóide e pelo plano .
Devemos fazer o gráfico:
Um paraboloide para baixo com área no plano xy igual um círculo de raio 1. Limitado por z = 1.
Devemos parametrizar a função:
W = 
 
 = =
0 + = 
5) Calcule a integral 
Onde E é a porção da bola que fica no primeiro octante.
Devemos parametrizar segundo a esfera ou seja,
x = 
y = 
z = 
Porém, não queremos a esfera toda, queremos apenas o primeiro octante então nosso domínio será:
 (raio da esfera)
(giro no plano xy)
(giro no plano yz ou xz, vertical )
DV = 
Assim sendo a integral
= = =
Questão extra:
Calcule a integral de superfície , onde S a parte do cone z² = x² + y² que está entre os planos z= 1 e z= 4 
Devemos parametrizar com coordenadas cilindricas:
DS = r dr. D
x = r cos 
y = r sen 
z = r²
o domínio é dado por
Assm temos a seginte integral de superfície:
 = =