Prova de Funções e Limites

Prévia do material em texto

CDI0001 PROVA I 16/09/2015 NEX152-D
Prof. Helder Geovane Gomes de Lima
Nome do(a) aluno(a):
ˆ Identifique-se em todas as folhas.
ˆ Mantenha o celular e os demais equipamentos eletrônicos desligados durante a prova.
ˆ Justifique cada resposta com cálculos ou argumentos baseados na teoria estudada.
ˆ Escolha uma das 6 questões para não fazer (ela não será corrigida):
1. Seja 𝑔 : 𝐷 → R a função dada por 𝑔(𝑥) = 𝑥√
𝑥2
+
√
8− 𝑥−√8 + 𝑥. Explique:
(a) (0,5) Qual é o domínio 𝐷 em que 𝑔 está definida?
(b) (0,5) A função 𝑔 é par, ímpar ou nenhuma das duas coisas?
(c) (0,5) A função 𝑔 é contínua nos pontos em que está definida? Por quê?
(d) (0,5) Quanto é lim
𝑥→8−
𝑔(𝑥)?
2. Seja 𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 6𝑥− 7
2𝑥− 14 e considere 𝜀 > 0.
(a) (1,5) Obtenha 𝛿 > 0 (em função de 𝜀) tal que “se 0 < |𝑥−7| < 𝛿 então |𝑓(𝑥)−4| < 𝜀”.
(b) (0,5) Interprete o significado disso em termos de limites.
3. (2,0) Determine um intervalo [𝑛, 𝑛 + 1] contendo (pelo menos) uma solução positiva da
equação 𝑥4 − 50𝑥 = 30. O que garante que há realmente uma solução no intervalo
encontrado?
4. (2,0) Determine se para algum valor de 𝑘 a função a seguir é contínua em 𝑥 = 3:
𝑓(𝑥) =
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
3− 𝑥
𝑥2 − 𝑥− 6 , se 𝑥 < 3
−2𝑘, se 𝑥 = 3
sen (2𝑥− 6)
sen (30− 10𝑥) , se 𝑥 > 3.
5. Determine, se existirem:
(a) (1,0) lim
𝑥→𝑎
cos(𝑥)− cos(𝑎)
𝑥− 𝑎
(b) (1,0) lim
𝑥→+∞
cos2(2𝑥)
4− 2𝑥
6. Calcule, se existirem:
(a) (1,0) lim
𝑥→0
𝑒9𝑥 − 1
1− 𝑒3𝑥
(b) (1,0) lim
𝑥→+∞
√
16𝑥2 − 5
4𝑥+ 4
Respostas e observações
1. Seja 𝑔 : 𝐷 → R a função dada por 𝑔(𝑥) = 𝑥√
𝑥2
+
√
8− 𝑥−√8 + 𝑥. Explique:
(a) Qual é o domínio 𝐷 em que 𝑔 está definida?
𝐷 = Dom(𝑔)
=
{︀
𝑥 ∈ R|𝑥2 ̸= 0 e 8− 𝑥 ≥ 0 e 8 + 𝑥 ≥ 0}︀
= {𝑥 ∈ R|𝑥 ̸= 0 e 8 ≥ 𝑥 e 𝑥 ≥ −8}
= [−8, 8] ∖ {0}
= [−8, 0) ∪ (0, 8]
(b) A função 𝑔 é par, ímpar ou nenhuma das duas coisas?
Tem-se
𝑔(−𝑥) = −𝑥√︀
(−𝑥)2 +
√︀
8− (−𝑥)−
√︀
8 + (−𝑥)
=
−𝑥√
𝑥2
+
√
8 + 𝑥−√8− 𝑥
= −
(︂
𝑥√
𝑥2
−√8 + 𝑥+√8− 𝑥
)︂
= −𝑔(𝑥).
Isso significa que 𝑔 é uma função ímpar.
(c) A função 𝑔 é contínua nos pontos em que está definida? Por quê?
Uma vez que raízes quadradas e polinômios são funções contínuas, e que a soma,
subtração, divisão e composição de funções contínuas resulta em funções contínuas
em seus domínios, pode-se concluir que a função 𝑔 também é contínua (pois é uma
soma/composição de funções contínuas).
(d) Quanto é lim
𝑥→8−
𝑔(𝑥)?
Levando em conta que 8 ∈ Dom(𝑔) e que 𝑔 é contínua, tem-se
lim
𝑥→8−
𝑔(𝑥) = 𝑔(8) =
8√
82
+
√
8− 8−√8 + 8 = 1 + 0− 4 = −3.
2. Seja 𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 6𝑥− 7
2𝑥− 14 e considere 𝜀 > 0.
(a) Obtenha 𝛿 > 0 (em função de 𝜀) tal que “se 0 < |𝑥− 7| < 𝛿 então |𝑓(𝑥)− 4| < 𝜀”.
Observe que
|𝑓(𝑥)− 4| < 𝜀⇔
⃒⃒⃒⃒
𝑥2 − 6𝑥− 7
2𝑥− 14 − 4
⃒⃒⃒⃒
< 𝜀⇔
⃒⃒⃒⃒
𝑥2 − 6𝑥− 7− 8𝑥+ 56
2𝑥− 14
⃒⃒⃒⃒
< 𝜀
⇔
⃒⃒⃒⃒
𝑥2 − 14𝑥+ 49
2(𝑥− 7)
⃒⃒⃒⃒
< 𝜀⇔
⃒⃒⃒⃒
(𝑥− 7)2
𝑥− 7
⃒⃒⃒⃒
< 2𝜀⇔ |𝑥− 7| < 2𝜀.
Portanto, para um 𝜀 > 0 dado, basta escolher qualquer 𝛿 ≤ 2𝜀 e será verdade que
“se 0 < |𝑥− 7| < 𝛿 então |𝑓(𝑥)− 4| < 𝜀”.
(b) Interprete o significado disso em termos de limites.
O significado da propriedade anterior é que a função 𝑓(𝑥) se aproxima de 4 quando
𝑥 tende a 7, isto é, lim
𝑥→7
𝑓(𝑥) = 4.
2
3. Determine um intervalo [𝑛, 𝑛+1] contendo (pelo menos) uma solução positiva da equação
𝑥4 − 50𝑥 = 30. O que garante que há realmente uma solução no intervalo encontrado?
Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥4−50𝑥. Atribuindo alguns valores à variável 𝑥 (positivos, já que o enunciado
não pede soluções negativas), observa-se que
𝑓(1) = 14 − 50 · 1 = 1− 50 = −49 < 30
𝑓(2) = 24 − 50 · 2 = 16− 100 = −84 < 30
f(3) = 34 − 50 · 3 = 81− 150 = −69< 30
f(4) = 44 − 50 · 4 = 256− 200 = 56> 30
Como 𝑓 é uma função contínua (é um polinômio) e 𝑓(3) < 30 < 𝑓(4), o teorema do valor
intermediário garante que existe algum 𝑐 ∈ (3, 4) tal que 𝑓(𝑐) = 𝑐4 − 50 · 𝑐 = 30, isto é, 𝑐
é uma solução da equação indicada.
4. Determine se para algum valor de 𝑘 a função a seguir é contínua em 𝑥 = 3:
𝑓(𝑥) =
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
3− 𝑥
𝑥2 − 𝑥− 6 , se 𝑥 < 3
−2𝑘, se 𝑥 = 3
sen (2𝑥− 6)
sen (30− 10𝑥) , se 𝑥 > 3.
Para 𝑥 < 3 temos o seguinte limite:
lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3−
3− 𝑥
𝑥2 − 𝑥− 6 = lim𝑥→3−
3− 𝑥
(𝑥− 3)(𝑥+ 2) = lim𝑥→3−
−1
𝑥+ 2
=
−1
3 + 2
=
−1
5
.
Para 𝑥 > 3, temos
lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3+
sen (2𝑥− 6)
sen (30− 10𝑥) = lim𝑥→3+
sen (2(𝑥− 3)
sen (− 10(𝑥− 3))
= lim
𝑢→0+
sen (2𝑢)
sen (− 10𝑢) = lim𝑢→0+
2𝑢 sen (2𝑢)
2𝑢
−10𝑢 sen (−10𝑢)−10𝑢
=
−1
5
lim
𝑢→0+
sen (2𝑢)
2𝑢
lim
𝑢→0+
sen (−10𝑢)
−10𝑢
= −1
5
lim
𝑣→0+
sen (𝑣)
𝑣
lim
𝑤→0−
sen (𝑤)
𝑤
= −1
5
.
Consequentemente, 𝑓 é contínua em 𝑥 = 3 se, e somente se, −2𝑘 = −1/5, já que neste
caso lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) = −1/5 = 𝑘 = 𝑓(3). Portanto, 𝑘 = −1−2·5 = 110 .
5. Determine, se existirem:
(a) lim
𝑥→𝑎
cos(𝑥)− cos(𝑎)
𝑥− 𝑎
lim
𝑥→𝑎
cos𝑥− cos 𝑎
𝑥− 𝑎 = lim𝑢→0
cos(𝑎+ 𝑢)− cos 𝑎
𝑢
= lim
𝑢→0
cos 𝑎 cos𝑢− sen 𝑎 sen𝑢− cos 𝑎
𝑢
= lim
𝑢→0
cos 𝑎
(cos𝑢− 1)
𝑢
+ sen 𝑎
sen𝑢
𝑢
= (cos 𝑎) · 0 + (sen 𝑎) · 1 = sen 𝑎.
3
(b) lim
𝑥→+∞
cos2(2𝑥)
4− 2𝑥 = lim𝑥→+∞
1
4− 2𝑥 · cos
2(2𝑥) = 0, pois lim
𝑥→+∞
1
4− 2𝑥 = 0 e além disso
0 ≤ cos2(2𝑥) ≤ 1, isto é, a função limitada cos2(2𝑥) está sendo multiplicada por uma
que tende a zero, o que implica que o produto também tende a zero.
6. Calcule, se existirem:
(a)
lim
𝑥→0
𝑒9𝑥 − 1
1− 𝑒3𝑥 = lim𝑥→0
9𝑥 · 𝑒9𝑥−1
9𝑥
3𝑥 · 1−𝑒3𝑥
3𝑥
= 3 lim
𝑥→0
𝑒9𝑥−1
9𝑥
(−1) 𝑒3𝑥−1
3𝑥
= (−3)
lim
𝑥→0
𝑒9𝑥−1
9𝑥
lim
𝑥→0
𝑒3𝑥−1
3𝑥
= (−3)
lim
𝑢→0
𝑒𝑢−1
𝑢
lim
𝑣→0
𝑒𝑣−1
𝑣
= (−3) · 1
1
= −3.
(b)
lim
𝑥→+∞
√
16𝑥2 − 5
4𝑥+ 4
= lim
𝑥→+∞
√︀
𝑥2(16− 5/𝑥2)
𝑥(4 + 4/𝑥)
= lim
𝑥→+∞
|𝑥|√︀16− 5/𝑥2
𝑥(4 + 4/𝑥)
= lim
𝑥→+∞
√︀
16− 5/𝑥2
4 + 4/𝑥
=
√
16
4
=
4
4
= 1.
4