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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas 
 
 As observações geradas por diferentes experimentos podem, por vezes, apresentar o 
mesmo tipo geral de comportamento. As variáveis aleatórias associadas a esses experimentos 
podem então ser descritas pela mesma distribuição de probabilidade, ou representadas por uma 
única fórmula. Para descrever o comportamento de muitas das variáveis aleatórias, existem 
importantes distribuições de probabilidade, também chamadas de modelos probabilísticos. 
 Alguns dos principais modelos probabilísticos discretos são: Distribuição de Bernoulli; - 
Distribuição Binomial; Distribuição Poisson; 
 
 
1. Distribuição de Bernoulli 
 
 Considere uma única realização de um experimento aleatório, no qual se pode obter 
sucesso, com probabilidade p ou fracasso com probabilidade q, sendo p + q = 1. Seja a v.a. X igual 
ao número de sucessos em uma única tentativa. Então: 
 
O, fracasso com P(X 0) q
X
1, sucesso com P(X 1) p
 
 
 
 
Nessas condições a v. a. X tem distribuição de Bernoulli e sua função de probabilidade é dada por: 
 
x 1 xP(X x) p q   ; sendo q = 1- p. 
Os parâmetros da distribuição de Bernoulli são: 
1
0
( ) ( ) 0 1 ( )

     
x
E X xP X x q p E X p e ( ) (1 )  Var X p p pq 
 
Exemplos de variáveis de Bernoulli: 
Em uma linha de montagem, uma peça selecionada pode ser defeituosa (sucesso) ou não 
defeituosa (fracasso). 
No lançamento de uma moeda, cara (sucesso) ou coroa (fracasso). 
Uma semente avaliada pode germinar (sucesso) ou não germinar (fracasso). 
 
Exemplo: 1) Considere um experimento que consiste no lançamento de um dado e verifique a 
ocorrência da face 5 (sucesso) ou não. Determine a função de probabilidade e a distribuição 
acumulada. 
 
 
 
2. Distribuição Binomial 
 
É uma generalização da distribuição de Bernoulli. É a mais importante das distribuições teóricas 
de probabilidade para variáveis discretas. São realizados n ensaios independentes de Bernoulli. A 
probabilidade de sucesso em cada ensaio é constante. Como as probabilidades p de sucesso se 
mantêm constantes em cada ensaio, a distribuição binomial é indicada para os casos em que a 
amostragem é feita com reposição. 
 
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Definição: Seja a variável aleatória X que conta o número total de sucessos obtidos numa 
seqüência de n ensaios independentes de Bernoulli. A variável X segue uma distribuição binomial 
com parâmetros n e p, denotada por X ~ b(x; n, p), e tem função de probabilidade: 
 
n x n x x x n x
x nb(x;n, p) P(X x) ( )p q C p q , x = 0, 1, 2, ..., n
     
 
n é o nº de repetições do experimento; 
x é o nº desejado de sucessos; 
n - x é o nº esperado de fracassos; 
p é a probabilidade de sucesso num ensaio individual; 
1 – p é a probabilidade de fracasso num ensaio individual; 
 
Os parâmetros da distribuição Binomial são: 
( ) E X np e 2 ( ) Var X npq 
 
 
Exemplos: 
1. Sabe-se que, em certa região, 60% dos domicílios possuem computadores. Cinco domicílios são 
selecionados ao acaso nesta região. 
a) Verifique se este experimento se caracteriza como binomial 
b) Calcule a probabilidade de que exatamente 3 domicílios tenham computador ; 
c) Calcule a probabilidade de que no máximo um domicílio tenha computador 
d) Determinar o número esperado de domicílios com computador e o desvio padrão. 
 
b) 
 
c) 
 
 
d) µ = n p = 5 x 0,60 = 3 domicílios; 
 
 
2. Sabe-se que 20% das pessoas expostas a um particular agente infeccioso adquirem certa doença. 
Considere um grupo de 4 pessoas com igual exposição ao agente infeccioso. Qual a probabilidade 
de que, entre essas 4 pessoas: 
a) Nenhuma pessoa adoeça; 
b) Todas adoeçam; 
c) Ao menos uma adoeça; 
 
 
 
 
 
 
3) Uma certa doença pode ser curada através de procedimentos cirúrgicos em 80% dos casos. 
Dentre os que têm essa doença, sorteamos 15 pacientes que serão submetidos à cirurgia. Fazendo 
alguma suposição adicional que julgar necessária, responda: 
a. Qual a probabilidade de todos serem curados? 
b) Qual a probabilidade de dois serem curados 
   3 5 353( 3) 0,6 0, 4 0,3456P X C

  
5 0 5 5 1 4
0 1( 1) ( 0) ( 1) 0,6 0,4 0,6 0,4 0,01024 0,0768 0,08704P X P X P X C C         
5 0,60 0,40 = 1,09    
17 
 
c) Qual a probabilidade de ao menos dois serem curados? 
d) Qual o número esperado de pacientes curados? Qual o desvio padrão? 
 
 
 
 
 
3. Distribuição Poisson 
 
A distribuição Poisson ocorre quando se deseja contar o número de eventos de um certo 
tipo, verificados em um intervalo de tempo, de superfície (área) ou volume. Uma variável aleatória 
X com distribuição Poisson pode assumir infinitos valores no conjunto dos inteiros positivos (v.a. 
discreta). 
Exemplos de variáveis de Poisson: 
- Número de telefonemas recebidos por hora em um escritório. 
- Número de bactérias por unidade de área em uma lâmina. 
- Número de erros de digitação por página. 
- Numero de falhas de um computador em um dia de operação. 
- Número de pacientes atendidos no pronto socorro em um dia. 
 
 Uma variável aleatória X com distribuição Poisson tem: 
 
 função de probabilidade: 
xef (x; ) P(X x)
x!
 
    
 
parâmetros: x E(X) Var(X)      
 
 A distribuição Poisson tem aplicação também nos casos em que os parâmetros n e p da 
distribuição binomial dificultam o cálculo por esta distribuição (eventos raros). Nesses casos, a 
Poisson é usada como aproximação da binomial, sendo a aproximação considerada adequada 
quando n é “grande” e p é “pequeno” n 50 e p 0,10  . Neste caso a media da Poisson será:  = 
 = n.p. 
 
Exemplos. 
1) O número de crianças que dão entrada no setor de emergências de um hospital segue o modelo 
de Poisson, com taxa de chegada 3 pacientes por hora. 
a. Qual a probabilidade de, numa hora qualquer, uma criança dar entrada no setor de emergência? 
b. Qual a probabilidade de no máximo uma criança dar entrada no setor de emergências? 
 
 
 
 
 
 
2) Um corpo de bombeiro atende em média 5 chamadas por dia. Qual a probabilidade de, num 
determinado dia atender 0, 1, 3, 6 e 10 chamadas? 
 
 
 
 
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Modelos probabilísticos para variáveis aleatórias contínuas 
 
 
 Distribuição normal 
 
A distribuição normal ou de Gauss ou Gaussiana é uma das mais importantes 
distribuições da estatística. Além de descrever uma série de fenômenos físicos, naturais, 
financeiros, nas indústrias e nas pesquisas em geral, possui grande uso na estatística inferencial. É 
inteiramente descrita por seus parâmetros média m e desvio padrão s, ou seja, conhecendo-se estes 
é possível determinar qualquer probabilidade em uma distribuição Normal. 
 
- Seu gráfico tem a forma campanular (sino) 
 
 - É uma distribuição simétrica em relação à média 
 
- É duplamente assintótica em relação ao eixo das abscissas 
 
- Tem dois pontos de inflexão que correspondem à media ± desvio padrão. 
 
Uma variável aleatória contínua X tem uma distribuição normal ou gaussiana se a função 
densidade de probabilidade for dada por: 
2
2
(x )
21f (x) e
2




 para - < x <  , - <  <  e 2 > 0 
 
Notação: X~N( , 2): X tem distribuição normal com média  =E(X) e variância Var(X) = 2. 
 
 
Probabilidades (áreas) especiais: 
 ( ) 0,68    P x x   ; ( 2 2 ) 0,95    P x x   ; ( 3 3 ) 0,99    P x x   
 
 
 
Função de distribuição acumulada: 
x
F(x) P(X x) f (x)dx

    
 
Cálculo de probabilidades: Suponha a v.a. X~N( , 2) 
 
2
2
(x )b b
2
a a
1P(a x b) f (x)dx e dx
2


   
  
A integral não pode ser resolvida analiticamente. 
 
 
Distribuição normal padrão (normal padronizada ou reduzida) 
 
Seja 2~ ( ,)X N   . Subtraímos de x a média, dividimos pelo desvio padrão e obtemos a variável 
Z, que tem média zero e variância 1, sendo chamada de distribuição normal padronizada; 
~ (0,1)Z N cuja fdp é 
( ) 1f x dx



19 
 
2(Z)
21f (Z) e
2



 ; sendo 


XZ 
 . 
 
Com esta densidade, é possível resolver a integral e calcular probabilidades de intervalos, que 
podem ser tabelados para a variável Z. A variável X é transformada na variável Z, já que a 
transformação preserva a área abaixo da curva, ou seja, 1 2 1 2P(x x x ) P(z Z z )     , 
sendo 11
XZ 


 e 22
XZ 


 . 
 
 
A tabela de probabilidade Z, e o gráfico. 
 
 
 (0 ) P Z z 
 
 
Exemplo de uso da tabela: P(0 < Z < 1,64)= 0,4495 
 
Calcular as seguintes probabilidades: 
a) P(0 < Z < 1,28) b) P(Z>1,96) 
c) P(Z< 2,57) d) P(Z< - 1,33) 
e) P(Z> -1,00) f) P( -1,00 < Z < 1,45) 
g) P( 1,00< Z < 1,96) 
 
Determinar os valores de k para: 
a) P(Z> k) = 0,0505 b) P( Z < k) = 0,9949 
c) P( Z < k) = 0,0505 d) P(Z> K) = 0,8997 
e) P(-1,00 < Z < k) = 0,6826 
 
 
 
Exemplo1. Os registros indicam que o tempo médio para se fazer um teste é aproximadamente 
normal, com média de 50 min e variância 20 min2. Nestas condições, determinar: 
a) a porcentagem de candidatos que levam menos de 45 min. 
b) se o tempo concedido é de 1h, que porcentagem não conseguirá terminar o teste. 
c) qual a probabilidade de um candidato demorar entre 45 e 55 minutos? 
d) qual a probabilidade de um candidato demorar menos que 50 minutos? 
Resolução: 
a)  
45 50[ 45] 1.12 0,1314
20
XP X P P Z

  
       
 
 
13,14% levam menos que 45 min para terminar o teste 
 
20 
 
b)  
60 50[ 60] 2,24 0,0125
20
XP X P P Z

  
      
 
 
1,25% dos candidatos não terminará o teste a tempo. 
 
c) 
 45 50 55 50[45 55] 1,12 1,12 1 2 (0,1314) 0,7372
20 20
XP X P P Z

   
             
 
 
 
 
 
Exemplo 2. É sabido que para adultos do sexo masculino, com boa saúde, em uma certa 
população, a temperatura corporal segue a distribuição normal com média de 36,8 graus e desvio 
padrão de 0,15 graus. 
a) Qual a probabilidade de um adulto selecionado ao acaso dessa população apresentar 
temperatura entre 36,8 e 37,2 graus? 
 
 
 
 
 
b) Qual a probabilidade de um adulto selecionado ao acaso dessa população apresentar 
temperatura abaixo de 36 graus? E acima de 36 graus? 
 
 
 
 
 
c) Qual a probabilidade de um adulto selecionado ao acaso dessa população apresentar 
temperatura entre 36,0 e 37,2 graus? 
 
 
 
 
 
d) Em qual intervalo de temperaturas estão 98% dos adultos masculinos sadios dessa população? 
 
 
 
 
 
e) Se considerarmos 1000 dessas pessoas, quantas se esperariam com temperatura entre 36,8 e 
37,2 graus? 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
Amostragem e distribuições amostrais 
 
Técnicas de Amostragem 
 
População ou Universo: é o conjunto de indivíduos ou elementos que apresentam uma ou mais 
características em comum (universo sob investigação). 
Amostra: é um subconjunto finito de uma população, que preserva as características dessa 
população (representatividade). 
Amostragem: é o ato de tomar amostras da população. Pode ser com ou sem reposição. 
Censo: Estudo de todos os elementos da população. 
Parâmetro: Medida usada para descrever uma característica populacional. Seu valor é geralmente 
desconhecido. 
Estimador: é uma variável que é função dos dados amostrais. Permite estimar o valor de um 
parâmetro. 
Estimativa: é o valor numérico obtido a partir do estimador. 
 
Exemplos: 
1) Estudar a proporção de indivíduos, em uma cidade, que são favoráveis a certo projeto 
governamental. Uma amostra de 200 pessoas é sorteada, e a opinião de cada uma é registrada 
como sendo a favor ou contra o projeto; 
2) Investigar a duração de vida de um novo tipo de lâmpada: 100 lâmpadas do novo tipo são 
deixadas acesas até queimarem. A duração em horas de cada lâmpada é registrada. 
3) a escolha de jogadores de futebol para fazer o exame de antidoping. 
 
 Amostragem probabilística: Quando todos os elementos da população tiveram uma 
probabilidade conhecida e diferente de zero, de pertencer à amostra. 
 Amostragem não probabilística: Quando não se conhece a probabilidade de um elemento da 
população pertencer à amostra. A amostragem é restrita aos elementos que se tem acesso 
(exemplos, usuários de drogas, voluntários em testes de remédios ou vacinas). 
 
 O objetivo da amostragem é determinar métodos para estudar as populações por meio de 
amostras. A amostragem nos possibilita concluir (inferir) sobre um todo a partir de apenas uma 
parte. 
 
Razões para se amostrar: redução de custo e material, rapidez nos resultados, redução do 
trabalho, facilidade no treinamento de pessoal, o ato de observar pode ser destrutivo. 
Quando o uso de amostragem não é interessante? População pequena; necessidade de alta 
precisão. 
 
Principais técnicas de Amostragem: 
 
1. Amostragem Simples ao Acaso ou Amostragem Aleatória Simples (AAS). É a técnica de 
amostragem mais simples e é utilizada quando a população é homogênea e finita. Pode ser feita 
com ou sem reposição. São sorteados n elementos de uma população de tamanho N. A 
probabilidade de selecionar um indivíduo específico da população para uma amostra é 1/N. O 
sorteio pode ser feito por qualquer método aleatório, como papéis ou bolas numeradas, calculadora 
computador, tabela de números aleatórios ou outros. 
Exemplo: a) escolher 10 funcionários no setor de produção de uma empresa para estudar o 
aumento de produtividade. AAS. 
b) escolher 10 funcionários de toda a empresa para estudar o aumento de produtividade. Deve-se 
usar outro tipo de amostragem (estratificada). 
22 
 
 
 
2. Amostragem Estratificada: 
 
A população heterogênea é dividida em sub-populações homogêneas (estratos), e em seguida é 
feita a AAS em cada estrato. 
Suponha que uma população heterogênea de tamanho N seja dividida em L estratos de tamanhos 
1 2 1 2
1
, , , e 
L
L L h
h
N N N N N N N N

     
. 
L amostras (AAS) são retiradas (uma amostra de cada estrato) de tamanhos : 1 2, , , Ln n n e 
1 2
1
L
L h
h
n n n n n

     (em que n é o tamanho da amostra). 
 
A amostragem estratificada pode ser classificada quanto ao tipo de estratificação, em : 
estratificação uniforme: cada estrato possui o mesmo número de elementos. O tamanho de 
amostra de cada estrato é n/L . 
estratificação proporcional : No critério proporcional extrai-se de cada estrato uma quantidade 
de elementos hn proporcional ao tamanho hN do respectivo estrato. Este critério é recomendado 
quando o tamanho dos estratos são distintos e a variabilidade dos estratos é homogênea. O 
tamanho da amostra do estrato hL é hn : h h
n N
n N 
 
estratificação ótima ( Partilha Ótima): O número de elementos hn é proporcional ao tamanho 
hN e ao desvio padrão h do respectivo estrato. 
1
 



h h
L
h
h h
h
n N
n
N


 
 
 
Exemplo: Suponha que um hospital deseja realizar uma pesquisa com os seus 84 enfermeiros, dos 
quais, 59 são do sexo feminino (F) e os 25 restantes do sexo masculino (M). Estabelecendo 9n 
(10% no mínimo), encontre o número de mulheres e de homens que devem ser entrevistados. 
 
 
 
 
3. Amostragem Sistemática 
 
Enumeram-se todos os elementos da população  1,2, , N e sorteia-se um primeiro 
elemento “ i ” para formar parte da amostra. Os demais são retirados em uma progressão 
aritmética, saltando “ r ” elementos, até completar o total da amostra (n). O valor “ r ” é chamado 
passos de amostragem e é determinado por: r = N/n. O primeiro elemento deve ser sorteado entre 
os r primeiros. 
Exemplo: Suponha que de um total de 1000 exames de pacientes numerados de 001 a 1000, 
desejamos obter uma amostra formada por 50 deles. 
 
 
 
23 
 
Distribuições amostrais 
 
Distribuição amostral da média – Teorema do limite central (TLC) 
 
Se a v.a. X tem uma distribuição qualquer, com média X e variância 
2
X , então a média 
amostral x , baseada em uma amostra de tamanho n, terá distribuição normal aproximada, com 
média   XXE X    e variância 
2
2 X
X n

  . 
 
Assim, a variável Z definida a seguir tem distribuição aproximadamente normal padrão, ou seja, 
 
 0,1X X a
X
X XZ N
n
 

 
  
. 
 
A aproximação é adequada para amostras maiores ou iguais a 30  n 30 . Quanto maior o 
tamanho da amostra, melhor será a aproximação. 
 
Para amostragem sem reposição, em população finita, fazer a correção a seguir, 
 
  XE X    e 1X
N n
Nn





. 
 
Se a v.a. X tem distribuição normal tem-se, 
 2, XXX N    
2
2, XXXX N n

  
 
   
 
 
 0,1XXZ N
n



 
 
 
 
Exemplo. Com o objetivo de acelerar o tempo que um analgésico leva para penetrar na corrente 
sangüínea, um químico analista acrescentou certo componente à fórmula original, que acusava um 
tempo médio de 43 minutos. Em 36 observações com a nova fórmula, obteve-se um desvio padrão 
de 8 minutos. Nestas condições, calcule as probabilidades: 
a) da média amostral ser menor que 42 minutos 
b) do tempo médio permanecer entre 40 e 45 minutos 
c) do tempo médio para penetrar a corrente sanguínea superar os 47 minutos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
Distribuição t de Student – Distribuição amostral da média em pequenas amostras (n < 30) 
 
Se a v.a. X tem uma distribuição qualquer, com média X e variância 
2
X , então a média 
amostral x , baseada em uma amostra de tamanho n < 30, terá distribuição aproximada t de 
Student, ou seja, 
2
2, XXX
SX t S
n
 
 
  
 
 ; 
X X
X
X Xt SS
n
  
 
, em que S é o desvio padrão amostral. 
 O valor de t associado às probabilidades pode ser obtido na tabela t de Student, em função 
do número de graus de liberdade v, sendo v = n – 1gl. 
 
 
Exemplo de uso da tabela. 
a) se v = 10,  P t 1,093  
b) se n = 16,  P 1,34 t 2,131   
c) se v = 20,  P t 2,086   
d) se n = 17,  P 1,071 t 1,071    
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. Encontre os valores de to: 
a) P(t > t0) = 0,10; com v = 13 
b) P( t < t0) = 0,95 ; com v = 15 
c) P( t0 < t < - 1,761) = 0,045; com n = 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. Um fabricante de certa marca de barras de cereais de baixa caloria afirma que a média 
de gordura saturada presente nas barras é de 0,5 grama. Em uma amostra aleatória de 8 barras de 
cereais dessa marca o desvio padrão do conteúdo de gordura saturada foi 0,18 grama. Assuma uma 
distribuição normal e calcule as probabilidades. 
a) da média amostral ser maior que 0,6 gramas. 
b) da média amostral ser menor que 0,65 gramas. 
c) da média de gordura saturada nas barras ser menor que 0,3. 
d) da média amostral estar entre 0,3 e 0,6 gramas. 
e) suponha que uma única barra seja analisada. Qual a probabilidade da concentração de gordura 
saturada ser menor que 0,4 gramas? 
 
25 
 
Distribuição amostral da variância – Distribuição qui-quadrado  2 
 
Se 2S é a variância de uma amostra aleatória (aa) de tamanho n, retirada de uma população 
normal, com variância 2 então a estatística 2 tem distribuição qui-quadrado com v = n-1 graus 
de liberdade (gl), sendo, 
 
2
2
2
(n 1)S


 

 e  2 2P      . 
A distribuição 2 não é simétrica e parte sempre da origem. 
 
Exemplo de uso da tabela. 
a) se n = 12,  2P 17, 275   
b) se v = 3,  2P 11,345   
 
Exemplo: Uma máquina está regulada para empacotar um produto com média de 500g e desvio 
padrão de 10g. Em uma amostra de 16 pacotes, qual a probabilidade da variância ser, 
 
a) maior que 48,407? 
 
 
 
 
b) menor que 121,63? 
 
 
 
 
 
Distribuição amostral de duas variâncias – Distribuição F – Snedecor. 
 
Se 21S e 
2
1S são variâncias de amostras aleatórias independentes, de tamanhos 1n e 2n , 
retiradas de populações normais, com variâncias 21 e 
2
2 , então a estatística F tem distribuição F 
– Snedecor, com 1 1 1v n  e 2 2 1v n  graus de liberdade, sendo, 
 
2
1
2 2 2
1 1 2
2 2 2
2 1 2
2
2
S
SF
S S
 
 


 e  1 2P F F (v , v )   (área acima) 
 
Se 1 2F (v , v ) é o valor de F com 1v e 2v gl, (valor que deixa uma área acima dele), então, 
 
1 1 2
2 1
1F (v , v )
F (v , v ) 
 ( valor que deixa uma área (1  ) acima dele). 
 
 
26 
 
A distribuição F não é simétrica e parte sempre da origem. Para cada probabilidade  
existe uma tabela. 
Exemplo de uso da tabela. 
a) sendo 1 9v  e 2 15v   P F 3,12 0,025  
b) sendo 1 13n  e 2 7n     P F 4,0 1 P F 4,0 1 0,05 0,95       
 
 
Exemplo. Se 21S e 
2
1S representam variâncias de amostras aleatórias de tamanhos 1 21n  e 2 31n  , 
cujas populações têm variâncias 21 35  e 
2
2 25  , encontre. 
a) 
2
1
2
2
SP 2,702
S
 
  
 
 
 
 
 
b) 
2
1
2
2
SP 3,094
S
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES E CORRELAÇÃO 
 
 
 Em problemas de engenharia e ciências, frequentemente existe interesse em encontrar modelos que 
permitam explorar a relação entre duas ou mais variáveis. A análise de regressão e correlação é uma técnica 
utilizada para esse fim. 
Na análise de regressão e correlação tem-se a classificação: 
- Análise de correlação; 
- Análise de regressão: Regressão Linear Simples; 
 Regressão Linear Múltipla; 
 Regressão não Linear; 
 
Com o objetivo de investigar a presença ou ausência de relação linear entre as variáveis, tem-se os passos: 
a) Inspeção visual: diagrama de dispersão 
b) Quantificando a força dessa relação: coeficiente de correlação. 
c) Explicitando a forma dessa relação: ajuste de uma reta de regressão. 
 
Análise de correlação: Verificar evidências de correlação entre as variáveis, e tentar medir sua intensidade 
(“força”). O diagrama de dispersão nos possibilita observar os dados graficamente e tirar conclusões 
prévias sobre a possível relação entre as variáveis.