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Equações diofantinas lineares a duas e três variáveis 
 
Eudes Antonio Costa1 
Fabiano F. T. dos Santos2 
 
 Introdução 
 
O objetivo deste artigo é apresentar a teoria básica envolvida nas equações 
diofantinas lineares a duas e três incógnitas e mostrar algumas aplicações. Destacamos que 
o estudo em três incógnitas é pouco explorado. 
 
 Nota histórica 
 
Diofanto de Alexandria viveu provavelmente no século III d.C. Dele se conhecem 
duas obras: Sobre números poligonais e Aritmética. Esta última, da qual restam seis livros 
(segundo o prefácio o número total de livros seria treze), é a mais importante e original; 
trata-se de uma coletânea de problemas, na maioria indeterminados, para cuja resolução 
Diofanto usa sempre métodos algébricos, com o que se distingue substancialmente da 
matemática grega clássica. Devido a essa sua utilização de métodos algébricos, hoje 
recebem o nome de equações diofantinas todas as equações polinomiais com qualquer 
número de incógnitas, com coeficientes inteiros e cujas soluções de interesse também são 
inteiras. 
 
 Equações diofantinas a duas variáveis 
 
Iniciaremos esta seção apresentando um problema que motiva o estudo das 
equações diofantinas lineares a duas variáveis e em seguida apresentaremos resultados 
básicos envolvendo a existência e a forma geral das soluções. 
 
Problema 1: Escrever o número 100 como soma de dois números inteiros positivos, sendo 
um deles divisível por sete e o outro divisível por onze. 
 
Consideremos os números inteiros m e n, sendo m um múltiplo de 7, isto é, xm 7= 
e n um múltiplo de 11, isto é, yn 11= , com x e y inteiros quaisquer. Sabemos que 
100=+ nm , dessa forma, temos que 100117 =+ yx . Para resolver o problema devemos 
encontrar pares de coordenadas inteiras ( )yx, que sejam soluções da equação 
100117 =+ yx . 
 
1 UFT/Arraias. E-mail: eudes@uft.edu.br 
2 UFG/IME. E-mail: fabianoftds@yahoo.com.br 
 2
O Problema 1 é clássico e encontra-se resolvido em [6]. Vejamos agora um 
problema recente, que apareceu no último Exame Nacional de Desempenho Acadêmico 
[ENADE 2014]. 
 
Problema 2 [ENADE 2014]: Considere que os ingressos de um cinema custam R$ 
9,00 para estudantes e R$ 15,00 para o público geral, e que, em certo dia, durante 
determinado período, a arrecadação nas bilheterias desse cinema foi de R$ 246,00. Quantas 
e quais são as possíveis soluções. 
Consideremos os números inteiros m e n, sendo m a quantidade arrecada com 
estudantes, isto é, xm 9= e n a quantidade arrecadada com o público em geral, isto é, 
yn 15= , para x e y inteiros quaisquer, quantidade de estudantes e público geral 
respectivamente. Sabemos que 246=+ nm , dessa forma, temos que 246159 =+ yx . Para 
resolver o problema devemos encontrar pares de coordenadas inteiras ( )yx, que sejam 
soluções da equação 246159 =+ yx . 
 
Equações da forma cxaxa =+ 2211 , com 1a , 2a , 1x e 2x inteiros são chamadas 
equações diofantinas lineares a duas variáveis. De forma mais geral temos a seguinte 
definição 
 
Definição 1: As equações lineares com n incógnitas ix dadas por cxaxa nn =+×××+11 , 
sendo naa ,...,1 e c números inteiros, são chamadas de equações diofantinas lineares a n 
variáveis. 
 
Uma solução de uma equação diofantina como a da Definição 1 é uma n-upla 
( )001 ,..., nxx de inteiros, tal que cxaxa nn =+×××+ 0011 . Veremos que, sob determinadas 
condições, existem infinitas n-uplas. Denotaremos por ( )001 ,..., np xxS = uma solução 
particular da equação diofantina. 
 
Exemplo 1: Considere a equação 842 =+ yx . Veja que o par ( )1,2 é uma solução da 
equação; além desse, ( )0,4 , ( )2,0 e ( )2,8 - também são soluções; na verdade esse é um 
exemplo de equação que possui infinitas soluções. Já a equação 742 =+ yx não possui 
solução, pois o lado esquerdo da equação é necessariamente par e o lado direito é ímpar. 
 
Voltemos nossa atenção para o caso 2=n . Sejam a e b inteiros, ambos não nulos e 
( )bamdcd ,= . Usaremos a notação yx | para designar: “x divide y”. Os dois resultados 
seguintes encontram-se demonstrados em vários livros de teoria dos números e serão 
omitidos. 
 
Proposição 1: Sejam a e b inteiros não ambos nulos e ( )bamdcd ,= . Então existem 
inteiros r e s tais que dbsar =+ . 
 
Lembremo-nos que os inteiros r e s que satisfazem a identidade dbsar =+ da 
Proposição 1, não são univocamente determinados. 
 3
 
Teorema (Algoritmo de Euclides): Para quaisquer Zba Î, , 0>b , existe um único par de 
inteiros q e r, de maneira que rbqa += , onde br <£0 . 
 
A próxima proposição nos diz sob quais condições uma equação diofantina linear a 
duas variáveis admite solução. 
 
Proposição 2: A equação diofantina linear a duas variáveis cbyax =+ em que 0¹a e 
0¹b admite solução, se e somente se, cd | . 
Demonstração: 
Se o par de inteiros ( )00 , yx é solução da equação cbyax =+ , vale a igualdade 
cbyax =+ 00 ; como ad | e bd | , então 00| byaxcd += . Reciprocamente, sabemos que 
00 byaxd += , para um par conveniente de inteiros ( )00 , yx . Por hipótese, cd | ; logo 
dtc = , para algum inteiro t. Assim, ( ) ( ) ( )tybtxatbyaxdtc 0000 +=+== , o que mostra 
que o par ( )tytx 00 , é solução da equação considerada. 
 
 
Exemplo 2: Considere a equação 153 =+ yx . Temos que ( ) 15,3 =mdc e como 1|1 , a 
equação dada admite solução. Veja que pelo algoritmo de Euclides temos 
 
23.1523.15 =-Þ+= (1) 
12.1312.13 =-Þ+= (2) 
 
De (1) e (2), temos 
 
( ) 15.13.213.15.1313.15.1312.13 =-Þ=+-Þ=--Þ=- 
 
Portanto, ( )1,2 - é uma solução particular da equação dada. 
 
Exemplo 3: Considere a equação 742 =+ yx . Como ( ) 24,2 =mdc e 2 não é um divisor de 
7, concluímos que a equação dada não admite solução. 
 
O próximo resultado nos mostra a forma geral da solução de uma equação 
diofantina linear a duas variáveis. 
 
Proposição 3: Seja ( )00 , yx uma solução particular da equação diofantina cbyax =+ , 
sendo 0¹a e 0¹b . Então essa equação admite infinitas soluções e o conjunto dessas 
soluções é 
þ
ý
ü
î
í
ì
Î÷
ø
ö
ç
è
æ -+= Ztt
d
ayt
d
bxS ,, 00 . 
Demonstração: 
 4
Se indicarmos genericamente por ( )'' , yx as soluções de cbyax =+ , então 
00
'' byaxcbyax +==+ o que equivale a ( ) ( )'00' yybxxa -=- . Daí, admitindo-se que 
dra = e b = ds, para algum par de inteiros r e s, vem ( ) ( )'00' yysxxr -=- , sendo 
( ) 1, =srmdc . Como r divide ( )'0 yys - , então ( )'0| yyr - , e portanto '0 yyrt -= para 
algum Zt Î Donde td
ayrtyy -=-= 00
' . Observemos agora que 
( ) ( ) srtyysxxr =-=- '00' , logo td
bxstxx +=+= 00
' . 
Por outro lado, não existe dificuldade nenhuma em se verificar que, para todo Zt Î , o par 
÷
ø
ö
ç
è
æ -+ t
d
ayt
d
bx 00 , é solução da equação dada. Isto conclui a demonstração. 
 
Exemplo 4: A equação 152 =+ yx tem como solução particular ( ) ( )00 ,1,2 yx=- . Portanto 
o conjunto solução é dado por ( ){ } ( ) ( ) ( ){ },...3,8,1,3,1,2...,,21,52 ---=Î-+-= ZtttS . 
 
Solução do Problema 2. Na equação diofantina 246159 =+ yx temos ( ) 315,9 =mdc , 
como 3 é um divisor de 246, assim existe solução para a equação. Temos que 
3)1(1529 =-+× , assim obtemos que 246)82(151649 =-+× . Portanto uma solução 
particular da equação é ( ) ( )00 ,82,164 yx=- . Portanto o conjunto solução da equação é dado 
por ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }...,85,169,82,164,79,159...,,382,5164 ---=Î--+= ZtttS . Agora 
devemos observar que o problema admite apenas solução positiva, ou seja, devemos ter 
05164 >+ t e 0382 >-- t . O qual tem solução positiva para 2832 -££- t . Logo existe 
5 pares de solução para o problema, o qual listamos à seguir: 
 
t Estudantes Público geral Total 
32- 4 14 18 
31- 9 11 20 
30- 14 8 22 
29- 19 5 24 
28- 24 2 26 
 
 
 
Na próximaseção, estenderemos o nosso estudo para o caso 3=n . 
 
 Equações diofantinas a três variáveis 
 
Iniciaremos esta seção apresentando um problema que justifica o estudo das 
equações diofantinas a três variáveis e depois exporemos resultados análogos aos da seção 
anterior. 
 5
 
Problema 3: O senhor José deseja pagar uma conta no supermercado no valor de 
R$237,00, usando tickets no valor de RS3,00, R$5,00 e R$7,00. Quantos tickets de cada 
valor João deverá usar? 
Sejam k, m e n números inteiros que representam as quantidades de tickets de três, 
cinco e sete reais, respectivamente, utilizadas para pagar a dívida; assim xk 3= , ym 5= e 
zn 7= , com x, y e z inteiros. 
Sabemos que 237=++ nmk , daí temos que 237375 =++ zyx . Para resolver o 
problema, devemos encontrar ternas de inteiros ( )zyx ,, que sejam soluções da equação 
237375 =++ zyx . 
 
Antes de começarmos a analisar as equações diofantinas a três variáveis, precisamos 
do conceito a seguir. 
 
Definição 2: Sejam a, b e c inteiros e ( )cbamdcd ,,= . O número d é dado por 
( )cdmdcd ,1= , onde ( )bamdcd ,1 = . 
 
Buscaremos agora resultados análogos às proposições 1, 2 e 3. 
 
Proposição 4: Sejam a, b e c inteiros e ( )cbamdcd ,,= , então existem inteiros r, s e t tais 
que dctbsar =++ . 
Demonstração: 
Seja ( )bamdcd ,1 = . Pela proposição 1, existem inteiros r1 e s1 tais que 
 
111 dbsar =+ (3) 
 
Como ( ) ( ) dcdmdccbamdc == ,,, 1 , novamente pela proposição 1, existem inteiros r2 e t 
tais que 
 
dctrd =+21 (4) 
 
Substituindo (3) em (4), obtemos 
 
( ) dctrbsar =++ 211 
 
Assim, 
 
dctrbsrar =++ 2121 . 
 
Fazendo rrr =21 e srs =21 , obtemos dctbsar =++ . Isto completa a demonstração. 
 
Os elementos r, s e t cuja existência é garantida pela proposição anterior não estão 
univocamente determinados. Algumas vezes adotaremos a notação ( ) ( )bamdcba ,, = . 
 6
 
Proposição 5: A equação fczbyax =++ em que 0¹a , 0¹b e 0¹c admite solução, se 
e somente se, ( ) dcbamdc =,, divide f. 
Demonstração: 
Se a terna de inteiros ( )000 ,, zyx é solução da equação fczbyax =++ , então 
fczbyax =++ 000 . Como ad | , bd | e cd | , então 000| czbyaxfd ++= . 
Reciprocamente, como ( ) dcbamdc =,, , sabemos que 000 czbyaxf ++= , para uma terna 
de inteiros conveniente ( )000 ,, zyx . Por hipótese fd | , segue que dtf = , para 
algum Zt Î . Assim 
 
( ) ( ) ( ) ( )tzctybtxatczbyaxdtf 000000 ++=++== , 
 
o que mostra que a terna ( )tztytx 000 ,, é solução da equação considerada. 
 
Exemplo 5: Considere a equação 26128 =++ zyx . Temos ( ) 412,81 == mdcd , 
( ) ( ) 26,46,1 === mdcdmdcd e 2| =fd . Portanto, a equação dada admite solução. Pelo 
algoritmo de Euclides, temos 
 
( ) 41.121848.11248.112 =+-Þ=-Þ+= (5) 
( ) 21.61.424.1624.16 =+-Þ=-Þ+= (6) 
 
Substituindo (5) em (6) obtemos 
 
( ) ( )[ ]( ) ( ) 21.61.121.821.61.1.121.821.614 =+-+Þ=+-+-Þ=+- 
 
Portanto a terna ( )1,1,1 - é uma solução particular do problema. 
 
Nosso objetivo, a partir de agora, é encontrar uma solução geral da equação 
 
cxaxaxa =++ 332211 (7) 
 
Denotaremos por d o máximo divisor comum entre a1, a2 e a3, ou seja, 
( )321 ,, aaamdcd = . Vamos reduzir a equação anterior a uma equação com duas variáveis. 
Suponhamos que todos os ai são não nulos e que d|c. 
 
 
 
Façamos 
 
vux ba +=2 e vux dg +=3 , (8) 
 
onde dgba ,,, são inteiros de tal forma que 
 7
 
1=- bgad . (9) 
 
Resolvendo o sistema em (8) para u e v, teremos 
 
32 xxu bd -= e 23 xxv ga -= . 
 
Se escolhermos 
 
( )32
3
,aa
a
=b e ( )32
2
,aa
a
-=d , 
 
então ( ) 1, =db e assim, podemos resolver a equação (9) para a e g . 
Voltando à equação (7) e utilizando a mudança de variáveis (8), encontramos a equação 
 
( ) cuaaxa =++ ga 3211 
 
Que é uma equação diofantina a duas variáveis e cujas soluções já sabemos determinar. 
 
Resolução do problema 3: Para resolver este problema, devemos encontrar ternas de 
inteiros (x, y, z) que sejam soluções da equação 
 
5x+7y+3z = 237 (10) 
 
Como 1=d e 237|1 , a equação (10) tem solução. 
Temos 7,5 21 == aa e 33 =a . Assim, 
 
( ) 31
3
, 32
3 ===
aa
a
b e ( ) 71
7
, 32
2 -=-=-=
aa
a
d . 
 
Logo, a equação (9) é dada por 137 =-- ga ; uma solução particular desta equação é 
( ) ( )2,1, 00 -=ga . Portanto, 
 
vuy 3+-= e vuz 72 -= (11) 
 
Assim a equação (10) reduz-se à equação de duas variáveis 
 
2375 =- ux (12) 
 
Como ( ) 11,5 = e 237|1 , a equação (12) tem solução. Uma solução particular de (12) é 
( ) ( )37,40, 00 -=yx , logo a sua solução geral é ( ) ( )ttux 537,40, ---= , para todo inteiro t. 
 8
Agora, tu 537 --= e então 5
37--
=
ut ; assim 
 
5
237 ux += (13) 
 
Portanto, de (11) e (13), concluímos que a solução geral da equação (10) é dada por 
 
( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ -+-
+
= vuvuuzyx 72,3,
5
237,, 
 
com { } Zvku Î+-Î ,,...53,...8,3,2..., e Zk Î . 
 
 Referências 
 
[1] DOMINGUES, H. H. Fundamentos de aritmética, São Paulo: Atual, 1991. 
 
[2] HUNTER, J. Number theory, New York: Interscience Publishers INC, 1964. 
 
[3] NIVEN, I., ZUCKERMAN, H. S. Introduccion a la teoria de los numeros, Editorial 
Limusa-Wiley, S. A., 1969. 
 
[4] PITOMBEIRA, J. B., ROCQUE, G. Uma equação diofantina e suas resoluções. In: 
Revista do Professor de Matemática, no 19, 1991. 
 
 [5] SILVA, E. F. Equações diofantinas lineares. In: Revista da Olimpíada de Matemática 
do Estado de Goiás, no 3, IME – UFG, 2002. 
 
[6] SILVA, V. V. da. Números: construção e propriedades, Goiânia: Editora UFG, 2003.