1 2012 algebra modulo3

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Parte 3
Domı´nios principais
R e f e r eˆ n c i a s
Sobre a aritme´tica dos
inteiros: Nu´meros-Uma
Introduc¸a˜o a` Matema´tica de
Ce´sar Polcino Milies e Soˆnia
Pitta Coelho. Editado pela
Editora da Universidade de
Sa˜o Paulo (Edusp), 2000.
Para saber mais sobre ane´is
e o domı´nio principal dos
inteiros: Curso de A´lgebra,
Volume 1 de Abramo Hefez,
Colec¸a˜o Matema´tica
Universita´ria, Sociedade
Brasileira de Matema´tica
(SBM), 1998.
Sobre ane´is, extenso˜es
alge´bricas de corpos e
grupos: Introduc¸a˜o a`
A´lgebra de Adilson
Gonc¸alves, Projeto Euclides,
IMPA, 2000.
Nosso objetivo agora e´ introduzir os conceitos de ideal em ane´is co-
mutativos com unidade e domı´nio principal, mostrando que em um domı´nio
principal vale a fatorac¸a˜o u´nica.
Comec¸amos com a divisibilidade em ane´is comutativos com unidade e os
conceitos de ma´ximo divisor comum e mı´nimo mu´ltiplo comum. Mostraremos
a relac¸a˜o entre ideais e mdc, no contexto dos domı´nios principais.
Faremos um estudo detalhado das propriedades do domı´nio dos inteiros,
discutindo a fatorac¸a˜o u´nica sob o ponto de vista dos domı´nios principais.
Abordaremos propriedades aritme´ticas do domı´nio dos inteiros, estu-
daremos congrueˆncias de inteiros, crite´rios de divisibilidade, analisaremos
alguns tipos de equac¸o˜es diofantinas.
Construiremos os ane´is Zn dos inteiros mo´dulo n, como anel quociente
de uma relac¸a˜o de equivaleˆncia no domı´nio Z.
Finalizaremos com o estudo de homomorfismos e isomorfismos de ane´is
comutativos com unidade, mostrando que Z, a menos de isomorfismo, e´ o
u´nico domı´nio bem ordenado.
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Divisibilidade
PARTE 3 - SEC¸A˜O 1
Divisibilidade
Daqui por diante, consideramos apenas ane´is comutativos com unidade.
Definic¸a˜o 1 (Mu´ltiplo ou divisor)
Sejam a, b ∈ A. Dizemos que b e´ mu´ltiplo de a se, e somente se, existe
c ∈ A, tal que b = a · c.
Quando a 6= 0 e b = a · c dizemos que a divide b e escrevemos a | b.
Nesse caso, dizemos que a e´ um divisor de b.
Exemplo 1
No anel Z × Z temos que (−2, 6) e´ mu´ltiplo de (−1, 2), pois (−2, 6) =
(−1, 2)(2, 3).
Proposic¸a˜o 1 (Propriedades da divisibilidade)
Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Sejam a, b, c, d, b1, . . . , bn ∈ A.
Valem as seguintes propriedades:
(i) Se a 6= 0, enta˜o a | 0 e a | a.
(ii) Se a 6= 0, b 6= 0, a | b e b | c, enta˜o a | c.
(iii) Se a 6= 0, a | (b+ c) e a | b, enta˜o a | c.
(iv) se a 6= 0, a | b1, . . . , a | bn, enta˜o a | (b1c1+ · · ·+bncn), para quaisquer
c1, . . . , cn ∈ A.
(v) se u e´ invert´ıvel em A, enta˜o u | a, para todo a ∈ A.
Os elementos invert´ıveis
dividem todos os elementos
de um anel. Para cada
elemento de um anel o
interessante e´ determinar,
caso existam, os seus
divisores na˜o-invert´ıveis.
(vi) Seja A um domı´nio. Se a 6= 0, c 6= 0, a | b e c | d, enta˜o a · c | b · d.
Demonstrac¸a˜o:
(i) 0 = a · 0 e a 6= 0 =⇒ a | 0;
a = a · 1A e a 6= 0 =⇒ a | a.
(ii) Suponhamos que a | b e b | c. Enta˜o, existem c1, c2 ∈ A tais que
b = a · c1 e c = b · c2. Logo, c = (a · c1) · c2 = a · (c1 · c2), com c1 · c2 ∈ A.
Enta˜o, a | c.
(iii) Se a | (b+ c) e a | b, enta˜o existem c1, c2 ∈ A tais que b + c = a · c1 e
b = a · c2. Logo, c = a · c1 − b = a · c1 − a · c2 = a · (c1 − c2). Portanto,
a | c.
(iv) Se a | b1, . . . , a | bn, enta˜o existem d1, . . . , dn ∈ A tais que bj = a · dj
para j = 1, . . . , n e, para quaisquer c1, . . . , cn ∈ A, temos
As igualdades (1) e (2)
seguem, respectivamente,
das propriedades M1 e AM
em A.
n∑
j=1
bj · cj =
n∑
j=1
(a · dj) · cj (1)=
n∑
j=1
a · (dj · cj) (2)= a ·
(
n∑
j=1
dj · cj
)
,
mostrando que a | (b1 · c1 + · · ·+ bn · cn).
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Divisibilidade
(v) Seja u invert´ıvel em A. Enta˜o, para todo a ∈ A temos
a = 1A · a = (u · u−1) · a = u · (u−1 · a), com u−1 · a ∈ A.
Logo, u | a.
(vi) SejamA um domı´nio e a, c ∈ A na˜o-nulos. Enta˜o, a·c 6= 0. Suponhamos
Em (1) usamos as
propriedades M1 e M2 da
multiplicac¸a˜o do domı´nio A.
que a | b e c | d. Enta˜o, existem c1, c2 ∈ A tais que b = a · c1 e d = c · c2.
Logo, b · d = (a · c1) · (c · c2) (1)= (a · c) · (c1 · c2). Portanto, a · c | b · d. �
Proposic¸a˜o 2
Sejam A um domı´nio, a, b ∈ A na˜o-nulos. Enta˜o, a | b e b | a se, e somente
se, existe um invert´ıvel u ∈ A tal que b = u · a.
Demonstrac¸a˜o:
(⇐=:) Se b = u·a com u invert´ıvel em A, enta˜o e´ claro que a | b e escrevendo
a = u−1 · b, vemos que b | a.
(=⇒:) Suponhamos que a | b e b | a. Enta˜o, existem u, v ∈ A tais que
b = u · a e a = v · b. Logo,
Em (1) usamos M1, em (2),
a Lei do cancelamento num
domı´nio e em (3), a definic¸a˜o
de invert´ıvel.
1A · b = b = u · a = u · (v · b) (1)= (u · v) · b
(2)
=⇒ 1A = u · v
(3)
=⇒ u, v sa˜o invert´ıveis em A . �
E´ muito importante saber quem sa˜o os elementos invert´ıveis num anel
com unidade. Em exerc´ıcios anteriores, voceˆ ja´ determinou
A∗ = {a ∈ A ; a e´ invert´ıvel em A}.
Exemplo 2
(a) Se A = Z, enta˜o Z∗ = {1,−1}.
(b) Se K e´ um corpo, enta˜o K∗ = K\{0}.
Em particular, Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} e C∗ = C\{0}.
(c) Os invert´ıveis em Z[i] sa˜o 1,−1, i,−i.
(d) Em R[x], o anel dos polinoˆmios com coeficientes reais, temos R[x]∗ = R∗.
Em K[x], o anel de polinoˆmios com coeficientes no corpo K, temos que
K[x]
∗
= K∗ = K\{0}.
Prove, por induc¸a˜o sobre
n≥ 0, a afirmac¸a˜o.
(e) Para qualquer n ∈ Z, temos que
(
−1+
√
2
)n
e´ invert´ıvel em Z[
√
2].
A proposic¸a˜o anterior motiva a seguinte definic¸a˜o.
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Divisibilidade
PARTE 3 - SEC¸A˜O 1
Definic¸a˜o 2 (Associado)
Sejam A um anel comutativo com unidade e a, b ∈ A. Dizemos que a e´
associado a b se, e somente se, existe um invert´ıvel u em A, tal que b = u ·a.
Vamos ver algumas propriedades interessantes do anel dos inteiros.
Corola´rio 1
Se a, b ∈ Z sa˜o na˜o-nulos, a | b e b | a, enta˜o b = a ou b = −a.
Demonstrac¸a˜o: Os invert´ıveis de Z sa˜o 1 e −1, logo b = a ou b = −a. �
Proposic¸a˜o 3
Sejam a, b ∈ Z com b 6= 0. Se a | b, enta˜o 1 ≤ | a | ≤ | b |.
Demonstrac¸a˜o: Como | a | ≥ 0 e a 6= 0, temos que | a | ≥ 1. Ale´m disso,
a | b e b 6= 0, enta˜o existe c 6= 0, tal que b = a · c e tambe´m | c | ≥ 1. Pela
propriedade OM, temos | a | · | c | ≥ | a | ·1 =| a | ≥ 1. Assim,
| b |=| a · c |=| a | · | c | ≥ | a | ≥ 1. �
Definic¸a˜o 3 (Ma´ximo Divisor Comum)
Sejam a1, . . . , an elementos de um anel A, comutativo com unidade. Dizemos
que d ∈ A e´ um ma´ximo divisor comum (mdc) de a1, . . . , an se, e somente
se,
(i) d | a1, . . . , d | an, isto e´, d e´ um divisor comum de a1, . . . , an;
(ii) para todo c ∈ A, tal que c | a1, . . . , c | an, temos que c | d.
Proposic¸a˜o 4
Seja d ∈ A um mdc de a1, . . . , an ∈ A. Enta˜o, d′ e´ um mdc de a1, . . . , an
se, e somente se, d | d′ e d′ | d.
Demonstrac¸a˜o:
(=⇒:) Suponhamos que d′ e´ um mdc de a1, . . . , an. Pela propriedade (ii)
do mdc, todo divisor de a1, . . . , an divide d
′. Como d e´ um divisor comum
de a1, . . . , an, enta˜o d | d
′. De modo ana´logo, usando que d e´ um mdc de
a1, . . . , an e d
′ e´ um divisor comum de a1, . . . , an, obtemos que d′ | d.
(⇐=:) Suponhamos que d e´ um mdc de a1, . . . , an, d | d′ e d′ | d.
Vamos mostrar as propriedades (i) e (ii) da definic¸a˜o do mdc para d′.
Como d′ | d e d | a1, . . . , d | an, pelo item (ii) da Proposic¸a˜o 1, temos
d′ | a1, . . . , d′ | an, mostrando a propriedade (i).
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Divisibilidade
Seja c um divisor de a1, . . . , an. Como d e´ um mdc, pela propriedade
(ii) do mdc, c | d. Enta˜o c | d, d | d′ e, novamente, pelo item (ii) da
Proposic¸a˜o 1, conclu´ımos que c | d′, mostrando a propriedade (ii).�
Corola´rio 2
Se A e´ um domı´nio, enta˜o dois ma´ximos divisores comuns de a1, . . . , an sa˜o
associados.
Demonstrac¸a˜o: Sejam d e d′ ma´ximos divisores comuns de a1, . . . , an. Pela
Proposic¸a˜o anterior, d | d′ e d′ | d. Pela Proposic¸a˜o 2, existe um invert´ıvel
u ∈ A, tal que d′ = u · d, significando que d e d′ sa˜o associados. �
Observac¸a˜o: Em Z se d e´ um mdc, enta˜o −d tambe´m e´ um mdc e um deles e´
positivo. Denotaremos o ma´ximo divisor comum positivo por mdc(a1, . . . , an).
Para entendermos a origem do nome mdc, note que se c | a1, . . . , c | an,
enta˜o c | mdc(a1, . . . , an). Assim,
c ≤ | c | ≤ mdc(a1, . . . , an)
mostrando que no domı´nio dos inteiros mdc(a1, . . . , an) e´ o maior dos divi-
sores comuns de a1, . . . , an.
Exemplo 3
Algumas propriedades interessantes no domı´nio bem ordenado dos inteiros:
(a) Se a 6= 0, enta˜o mdc(0, a) =| a |.
(b) mdc(0, 0) na˜o existe.
(c) Se a divide b, enta˜o mdc(a, b) =| a |.
Definic¸a˜o 4 (Mı´nimo mu´ltiplo comum)
Um elemento m de um anel A, comutativo com unidade, e´ um mı´nimo
mu´ltiplo comum dos elementos a1, . . . , an em A se, e somente se, valem as
seguintes propriedades:
(i) m e´ mu´ltiplo comum de a1, . . . , an.
(ii) Para todo c ∈ A que e´ mu´ltiplo comum de a1, . . . , an, enta˜o c e´ mu´ltiplo
de m.
De modo ana´logo ao mdc, temos o seguinte resultado.
Corola´rio 3
Se A e´ um domı´nio, enta˜o dois mı´nimos mu´ltiplos comuns de a1, . . . , an sa˜o
associados.
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Divisibilidade
PARTE 3 - SEC¸A˜O 1
Observac¸a˜o: Em Z sem e´ um mmc, enta˜o −m tambe´m e´ um mmc e um deles
e´ na˜o-negativo. Denotaremos o mı´nimo mu´ltiplo comum na˜o-negativo por
mmc(a1, . . . , an). Observamos que se para algum j = 1, . . . , n temos aj = 0,
enta˜o mmc(a1, . . . , an) = 0. Reciprocamente, se mmc(a1, . . . , an) = 0, como
Z e´ um domı´nio, enta˜o temos aj = 0, para algum j = 1, . . . , n. Suponhamos
que aj 6= 0, para todo j = 1, . . . , n. Nesse caso, m = mmc(a1, . . . , an) > 0 e
se c 6= 0 e´ mu´ltiplo comum de a1, . . . , an, enta˜o existe a 6= 0 tal que c = a·m.
Como | a |≥ 1, pela propriedade OM, temos | c |=| a | · | m | ≥| m |= m,
mostrando que no domı´nio dos inteiros quando mmc(a1, . . . , an) 6= 0, enta˜o
o mmc e´ o menor inteiro positivo mu´ltiplo comum de a1, . . . , an.
c=a1 · ... · an e´ mu´ltiplo
comum de a1, . . . , an , logo
c e´ mu´ltiplo de m= mmc;
portanto, se m= 0, enta˜o
a1 · ... · an = 0.
Em qualquer anel A, temos
0= 0 · a, para todo a∈ A.
Temos interesse no mmc
quando mmc 6= 0.
Exemplo 4
Algumas propriedades interessantes no domı´nio bem ordenado dos inteiros:
(a) Se a ∈ Z, enta˜o mmc(0, a) = 0.
(b) Se a divide b, enta˜o mmc(a, b) =| b |.
Aprenderemos depois a determinar o ma´ximo divisor comum e o menor
mu´ltiplo comum de inteiros na˜o-nulos, a partir da sua fatorac¸a˜o u´nica.
Agora voceˆ deve praticar as propriedades elementares da divisibilidade.
Exerc´ıcios
1. Seja A um anel comutativo com unidade.
(a) Mostre que a seguinte relac¸a˜o bina´ria e´ uma relac¸a˜o de equi-
valeˆncia em A
a e´ associado a b⇐⇒ existe invert´ıvel u ∈ A, tal que b = u · a.
(b) Para cada anel A e elementos a, b ∈ A dados, determine a classe
de equivaleˆncia de a e de b.
i. A = Z, a = 0 e b 6= 0.
ii. A = Z[i], a = 0 e b 6= 0.
iii. A e´ um corpo, a = 0 e b 6= 0.
iv. A = R[x], a = x e b = 2x−1.
2. Sejam a, b, c elementos de um domı´nio com a 6= 0 e c 6= 0. Mostre que
a | b se, e somente se, a · c | b · c.
3. Seja n um natural ı´mpar. Mostre que a soma de n termos consecutivos
de uma progressa˜o aritme´tica de nu´meros inteiros e´ divis´ıvel por n.
4. Seja n um natural positivo. Mostre que dados n nu´meros naturais
consecutivos apenas um deles e´ divis´ıvel por n.
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Divisibilidade
5. Sejam m e n inteiros ı´mpares. Mostre que:
(a) 8 | (m2 − n2) (b) 8 | (m4 + n4 − 2)
6. Mostre que para todo nu´mero natural n, 9 divide 10n+ 3 · 4n+2+ 5.
7. Seja A um anel comutativo com unidade. Sejam a, b ∈ A e n um
natural. Mostre que:
(a) Para todo n ≥ 2, temos
an − bn = (a− b)(an−1+ an−2 · b+ · · ·+ a · bn−2 + bn−1).
(b) Para todo n = 2m+ 1, com m ≥ 1, temos
a2m+1+b2m+1 = (a+b)(a2m−a2m−1 ·b+ · · ·−a ·b2m−1+b2m).
(c) Para todo n = 2m, com m ≥ 1, temos
a2m−b2m = (a+b)(a2m−1−a2m−2 ·b+ · · ·+a ·b2m−2−b2m−1).
8. Mostre que, para todo nu´mero inteiro positivo n, temos:
(a) 9 | (10n− 1)
(b) 3 | (10n− 7n)
(c) 8 | (32n− 1)
(d) 6 | (52n+1 + 1)
(e) 6 | (52n − 1)
(f) 13 | (92n− 42n)
(g) 53 | (74n − 24n)
(h) 19 | (32n+1 + 44n+2)
(i) 17 | (102n+1+ 72n+1)
9. (a) Mostre que a+bi ∈ Z[i] e´ invert´ıvel se, e somente se, a2+b2 = 1.
(b) Mostre que 1+ i, 1− i, 2− i e 2+ i na˜o sa˜o invert´ıveis em Z[i].
(c) Mostre que 1+ i e 1− i sa˜o associados em Z[i].
(d) Mostre que 1+ i e 1− i dividem 2 em Z[i].
(e) Mostre que 2+ i e 2− i na˜o sa˜o associados em Z[i]
(f) Mostre que 2+ i e 2− i dividem 5 em Z[i].
10. Sejam A um domı´nio e a1, . . . , an ∈ A. Mostre que:
(a) Se m e m′ sa˜o mı´nimos mu´ltiplos comuns de a1, . . . , an, enta˜o m
e m′ sa˜o associados.
(b) Se m e´ um mı´nimo mu´ltiplo comum de a1, . . . , an e m
′ e´
associado de m, enta˜o m′ tambe´m e´ um mı´nimo mu´ltiplo comum
de a1, . . . , an.
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Ideais e ma´ximo divisor comum
PARTE 3 - SEC¸A˜O 2
Ideais e ma´ximo divisor comum
Veremos agora que o conceito de mdc esta´ relacionado com o conceito
de ideais de um anel comutativo com unidade. Depois obteremos a fatorac¸a˜o
u´nica em domı´nios de ideais principais.
Definic¸a˜o 5 (Ideal)
Seja A um anel comutativo com unidade. Um subconjunto na˜o-vazio I de A
e´ chamado de ideal se, e somente se,
(i) se a, b ∈ I, enta˜o a+ b ∈ I;
(ii) se a ∈ I e x ∈ A, enta˜o a · x ∈ I.
Observac¸a˜o: Sejam A um anel comutativo com unidade 1A e I um ideal de A.
(a) Como I 6= ∅, enta˜o existe b ∈ I e assim, pela propriedade (ii),
0A = 0A · b ∈ I. Logo, a condic¸a˜o de I 6= ∅ pode ser substitu´ıda por
0 ∈ I.
Portanto,
I ⊂ A e´ um ideal de A⇐⇒


(i) 0 ∈ I
(ii) a, b ∈ I =⇒ a+ b ∈ I
(iii) a ∈ A, b ∈ I =⇒ a · b ∈ I
(b) Se I e´ um ideal de A, da propriedade (iii) acima segue que para todo
b ∈ I temos que −b = (−1A) · b ∈ I.
(c) Da observac¸a˜o (b) e da propriedade (ii) acima temos que se a, b ∈ I,
enta˜o a− b = a+ (−b) ∈ I. �
Exemplo 5
Em qualquer anel comutativo com unidade, {0} e A sa˜o ideais de A.
Exemplo 6
Seja A um anel comutativo com unidade e fixe a ∈ A. Consideremos o
seguinte subconjunto de A
I(a) = {a · x ; x ∈ A}.
Enta˜o, I(a) e´ um ideal de A, chamado de ideal principal gerado por a.
De fato, vamos verificar as treˆs propriedades da definic¸a˜o de ideal.
(i) 0 = a · 0 ∈ I(a).
(ii) Se b, c ∈ I(a), enta˜o existem x, y ∈ A tais que b = a · x e c = a · y, logo
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Ideais e ma´ximo divisor comum
b+ c = a · x+ a · y = a · (x+ y). Como x+ y ∈ A, temos que b+ c ∈ I(a).
(iii) Seja b ∈ A e c ∈ I(a). Enta˜o, c = a · x para algum x ∈ A e b · c =
b · (a · x) = a · (b · x) ∈ I(a), pois b · x ∈ A.
Usamos, na u´ltima
igualdade, a associatividade
e a comutatividade da
multiplicac¸a˜o do anel A.
Agora podemos construir muitos exemplos.
Exemplo 7
No domı´nio dos inteiros temos:
I(2) = {2 · x ; x ∈ Z} = inteiros pares = 2Z;Verifique que I(2) = I(−2).
I(1) = {1 · x = x ; x ∈ Z} = Z;
I(−1) = {(−1) · x = −x ; x ∈ Z} = Z.
Exemplo 8
Sejam A um anel comutativo com unidade e a, b ∈ A fixados. O conjunto
I(a, b) = {a · x + b · y ; x, y ∈ A}
e´ um ideal de A chamado de ideal gerado por a e b.
De fato, valem as treˆs propriedades da definic¸a˜o de ideal:
(i) 0 = a · 0+ b · 0 ∈ I(a, b).
(ii) Se c, d ∈ I(a, b), enta˜o existem x1, y1, x2, y2 ∈ A tais que c = a·x1+b·y1
e d = a · x2 + b· y2. Logo,
c+ d = (a · x1 + b · y1) + (a · x2 + b · y2)
= (a · x1 + a · x2) + (b · y1 + b · y2)
= a · (x1 + x2) + b · (y1 + y2),
onde x1 + x2, y1+ y2 ∈ A. Logo, c + d ∈ I(a, b).
(iii) Se c ∈ I(a, b) e d ∈ A, enta˜o existem x, y ∈ A tais que c = a · x+ b · y
e c · d = (a · x+ b · y) · d = a · (x · d) + b · (y · d) ∈ I(a, b).
Exemplo 9
Sejam A um anel comutativo com unidade e a1, . . . , as ∈ A fixados. O
conjunto
I(a1, . . . , as) = {a1 · x1 + · · ·+ as · xs ; x1, . . . , xs ∈ A}
e´ um ideal de A chamado de ideal gerado por a1, . . . , as.
De fato, valem as treˆs propriedades da definic¸a˜o de ideal:
(i) 0 = a1 · 0+ · · ·+ as · 0 ∈ I(a1, . . . , as).
(ii) Se c, d ∈ I(a1, . . . , as), enta˜o existem x1, . . . , xs, y1, . . . , ys ∈ A tais que
c = a1 · x1 + · · ·+ as · xs e d = a · y1 + · · ·+ as · ys. Logo,
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Ideais e ma´ximo divisor comum
PARTE 3 - SEC¸A˜O 2
c + d = (a1 · x1 + · · ·+ as · xs) + (a1 · y1 + · · ·+ as · ys)
(1)
= (a1 · x1 + a1 · y1) + · · ·+ (as · xs + as · ys)
(2)
= a · (x1 + y1) + · · ·+ as · (xs + ys),
onde x1 + y1, . . . , xs + ys ∈ A. Logo, c+ d ∈ I(a1, . . . , as).
Em (1) usamos a
comutatividade e
associatividade da adic¸a˜o.
Em (2) usamos a
distributividade da adic¸a˜o e
multiplicac¸a˜o.
(iii) Se c ∈ I(a1, . . . , as) e d ∈ A, enta˜o existem x1, . . . , xs ∈ A tais que
c = a1 · x1 + · · ·+ as · xs e
c ·d = (a1 ·x1+ · · ·+as ·xs) ·d = a1 ·(x1 ·d)+ · · ·+as ·(xs ·d) ∈ I(a1, . . . , as),
pois xj · d ∈ A, para todo j = 1, . . . , s.
Definic¸a˜o 6 (Ideal principal)
Seja I ideal de um anel comutativo com unidade. Dizemos que I e´ principal
se, e somente se, existe a ∈ A tal que I = I(a).
Exemplo 10
Dados 2, 3 ∈ Z, consideremos o ideal de Z gerado por 2 e 3 definido no
Exemplo 8, a saber,
I(2, 3) = {2x+ 3y ; x, y ∈ Z}.
Com x = 1 e y = 0 vemos que 2 = 2 · 1+ 3 · 0 ∈ I(2, 3). Analogamente, com
x = 0 e y = 1, temos 3 ∈ I(2, 3).
Portanto, 1 = 3− 2 = 2 · (−1) + 3 · 1 ∈ I(2, 3). Pela propriedade (iii) de um
ideal, para todo a ∈ Z, temos a = a · 1 ∈ I(2, 3). Logo, Z ⊂ I(2, 3). Como
I(2, 3) ⊂ Z, obtemos que I(2, 3) = Z = I(1) e´ um ideal principal.
Na verdade, todo ideal de Z e´ principal, conforme veremos no pro´ximo
Teorema. No entanto, ha´ ane´is que teˆm ideais que na˜o sa˜o principais.
Exemplo 11
Seja A = Z[x] o domı´nio dos polinoˆmios com coeficientes inteiros.
Z[x] = {a0 + a1x+ · · ·+ anxn ; aj ∈ Z, j = 0, . . . , n, e n ∈ N}.
Seja I = I(2, x), o ideal gerado por 2 e x.
Afirmamos que I na˜o e´ principal.
2= 2 · 1+x · 0 e
x= 2 · 0+x · 1, com
0,1∈ Z ⊂ Z[x].
Com efeito, suponhamos, por absurdo, que I seja principal. Tomamos
f(x) ∈ Z[x] um gerador de I. Pela definic¸a˜o de I(2, x), temos que
2 ∈ I e x ∈ I. Como I(2, x) = I(f(x)), enta˜o existem g(x), h(x) ∈ Z[x]
tais que 2 = f(x) · g(x) e x = f(x) · h(x). Pela propriedade do grau, te-
mos: na primeira igualdade grau(f(x)) = grau(g(x)) = 0 e na segunda,
grau(h(x)) = 1. Portanto, f(x) = ±1, g(x) = ±2 e h(x) = ±x. Em qualquer
dos casos, I = I(f(x)) = Z[x], mas isto contradiz o fato de que 1 6∈ I = I(2, x).
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Ideais e ma´ximo divisor comum
Teorema 1
Todo ideal I de Z e´ principal. Mais ainda, se I e´ um ideal na˜o-nulo de Z,
enta˜o I = I(d), onde d = min{x ∈ I ; x > 0}.
Demonstrac¸a˜o: Se I = {0}, e´ claro que e´ principal.
Seja I 6= {0} um ideal de Z. Consideremos S = {x ∈ I ; x > 0}.
Afirmamos que S 6= ∅.
De fato, existe a ∈ I tal que a 6= 0. Como a e −a esta˜o em I, enta˜o
um deles e´ positivo e esta´ em S ⊂ N. Logo, S 6= ∅.
Pelo princ´ıpio da boa ordenac¸a˜o, S tem menor elemento, digamos minS =
d 6= 0.
Lembre que . . .
Se B,C sa˜o conjuntos, enta˜o
B=C⇐⇒ B⊂ C e C⊂ B.
Afirmamos que I = I(d).
Com efeito, d ∈ S ⊂ I, logo temos que I(d) = {d · x ; x ∈ Z} ⊂ I. Falta
mostrar que I ⊂ I(d). Seja a ∈ I. Pela divisa˜o euclidiana de a por d, existem
q, r ∈ Z, tais que a = q · d + r, com 0 ≤ r < d. Portanto, r = a− q · d ∈ I.
Pela escolha de d, temos que r = 0, assim a = q · d ∈ I(d). �
Definic¸a˜o 7 (Dom´ınio Principal)
Um domı´nio e´ chamado domı´nio principal se, e somente se, todo ideal e´
principal.
Corola´rio 4
Z e´ um domı´nio principal.
Exemplo 12
Outros exemplos de domı´nios principais sa˜o: K[x], o anel de polinoˆmios com
coeficientes no corpo K, e Z[i], o anel dos inteiros de Gauss.
Exemplo 13
Na˜o sa˜o domı´nios principais: Z[x], o anel de polinoˆmios com coeficientes
inteiros e K[x, y], o anel de polinoˆmios em duas varia´veis com coeficientes no
corpo K.
O nosso objetivo agora e´ mostrar a relac¸a˜o entre ideais e o ma´ximo
divisor comum em um domı´nio principal.
Vamos, primeiramente, aprender mais algumas propriedades de ideais.
Proposic¸a˜o 5
Sejam a, b elementos na˜o-nulos de um anel A comutativo com unidade.
Enta˜o,
I(a) = I(b) se, e somente se, a | b e b | a.
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Ideais e ma´ximo divisor comum
PARTE 3 - SEC¸A˜O 2
Demonstrac¸a˜o: Sejam a, b ∈ A na˜o-nulos.
(=⇒:) Suponhamos que I(a) = I(b).
Como a ∈ I(a) = I(b) e b ∈ I(b) = I(a), enta˜o existem u, v ∈ A, tais
que a = u · b e b = v · a, mostrando que b | a e a | b.
Lembre que . . .
I(a),I(b) sa˜o conjuntos.
Logo,
I(a) = I(b)⇐⇒ I(a)⊂ I(b)
e I(b)⊂ I(a).
(⇐=:) Suponhamos que a | b e b | a. Precisamos mostrar a igualdade dos
ideais I(a) e I(b). Seja x ∈ I(a). Enta˜o, x = y ·a, para algum y ∈ A. Como
b | a, existe u ∈ A tal que a = u · b, assim x = y · (u · b) = (y · u) · b,
mostrando que x ∈ I(b) e logo, I(a) ⊂ I(b). Tomando agora x ∈ I(b),
usando que a | b e procedendo de maneira ana´loga, mostramos que x ∈ I(a)
e conclu´ımos que I(b) ⊂ I(a). �
Corola´rio 5
Sejam a, b elementos na˜o-nulos de um domı´nio A. Enta˜o, I(a) = I(b) se, e
somente se, a e b sa˜o associados. Em particular, em Z temos I(a) = I(b) se,
e somente se, a = ±b. Segue da Proposic¸a˜o 2 da
Sec¸a˜o 1.
Proposic¸a˜o 6
Sejam A um domı´nio principal e a1, . . . , as ∈ A nem todos nulos. Enta˜o,
existe d ∈ A um ma´ximo divisor comum de a1, . . . , as ∈ A. Mais ainda,
d = x1 · a1 + · · ·+ xs · as, para elementos x1, . . . , xs ∈ A.
Demonstrac¸a˜o: Consideremos o ideal de A gerado por a1, . . . , as. Como A
e´ um domı´nio principal, existe d ∈ A tal que I(a1, . . . , as) = I(d). Primei-
ramente, observamos que d 6= 0, pois aj ∈ I(a1, . . . , as) = I(d), para todo
j = 1, . . . , s, e um deles e´ na˜o-nulo, logo I(d) 6= {0} e d 6= 0.
Vamos mostrar que d e´ um mdc de a1, . . . , as.
Obtivemos ao lado que
existem x1,...,xs ∈ A tais
que d=
s∑
j=1
xj · aj.
Como aj ∈ I(a1, . . . , as) = I(d), enta˜o existe λj ∈ A tal que aj = λj ·d.
Assim, d | aj, para j = 1, . . . , s. Seja agora c ∈ A tal que c | a1, . . . ,
c | as. Enta˜o, para cada j = 1, . . . , s existe yj ∈ A tal que aj = yj · c. Como
d ∈ I(a1, . . . , as), existem x1, . . . , xs ∈ A tais que d = x1 · a1 + · · ·+ xs · as.
Logo,
d =
s∑
j=1
xj · aj =
s∑
j=1
xj · (yj · c) =
s∑
j=1
(xj · yj) · c =
(
s∑
j=1
xj · yj
)
· c,
mostrando que c | d. Portanto, d e´ um mdc de a1, . . . , as. �
Corola´rio 6
Dados a1, . . . , as ∈ Z nem todos nulos existe mdc(a1, . . . , as).
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Ideais e ma´ximo divisor comum
Exerc´ıcios
1. Seja A um anel comutativo com unidade. Sejam I e J ideais de A.
(a) Mostre que I ∩ J e´ um ideal de A.
(b) Mostre que I+ J e´ um ideal de A, onde
I+ J = {x+ y ; x ∈ I e y ∈ J}.
(c) Mostre que I+ J = I se, e somente se, J ⊂ I.
(d) Mostre que I · J e´ um ideal de A, onde
Na expressa˜o ao lado, n
varia, podendo ter os valores
1, 2, 3, . . .
I · J = {x1 ·y1+ · · ·+xn ·yn ; xj ∈ I, yj ∈ J, j = 1, . . . , n, e n ≥ 1}.
2. Sejam 24, 30, 20 ∈ Z. Determine:
(a) I(24, 30)
(b) I(24) ∩ I(30)
(c) I(24) · I(30)
(d) I(20, 30)
(e) I(20) ∩ I(30)
(f) I(20) · I(30)
(g) I(20)+ I(24)
(h) I(20) ∩ I(24)
(i) I(20) · I(24)
3. Vamos generalizar o exerc´ıcio anterior. Sejam a, b ∈ Z na˜o-nulos.
Mostre que:
(a) I(a, b) = I(d), onde d = mdc(a, b).
(b) I(a, b) = I(a) + I(b).
(c) I(a) ∩ I(b) = I(m), onde m = mmc(a, b).
(d) I(a · b) = I(a) · I(b).
4. Sejam a1, . . . , as ∈ Z. Mostre que I(a1, . . . , as) = I(a1) + · · ·+ I(as).
5. Sejam A um anel comutativo com unidade e I um ideal de A.
Mostre que I = A se, e somente se, existe invert´ıvel u ∈ A tal que
u ∈ I.
6. Seja A um anel comutativo com unidade.
Mostre que A e´ um corpo se, e somente se, seus u´nicos ideais sa˜o {0} e
A.
7. Seja A um anel comutativo com unidade e sejam a1, . . . , as ∈ A nem
todos nulos, tais que I(a1, . . . , as) = I(d). Mostre que d e´ um mdc de
a1, . . . , as.
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Ideais e ma´ximo divisor comum
PARTE 3 - SEC¸A˜O 2
8. Sejam A um anel comutativo com unidade e a1, . . . , as ∈ A.
(a) Dado J ideal de A, mostre que:
I(a1, . . . , as) ⊂ J se, e somente se, a1, . . . , as ∈ J.
(b) Sejam u1, . . . , us invert´ıveis de A. Mostre que
I(a1, . . . , as) = I(u1 · a1, . . . , us · as).
(c) Seja t ∈ A. Mostre que
I(a1, . . . , as−1, as) = I(a1, . . . , as−1, bs), onde bs = as − t · as−1.
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Dom´ınios Principais e a fatorac¸a˜o u´nica
PARTE 3 - SEC¸A˜O 3
Domı´nios Principais e a fatorac¸a˜o u´nica
Nosso objetivo e´ demonstrar o Teorema Fundamental da Aritme´tica,
nosso velho conhecido, que diz que todo nu´mero inteiro a > 1 se escreve de
modo u´nico, a menos da ordem dos fatores, como
a = p1
n1 · p2n2 · . . . · psns ,
onde p1, . . . , ps sa˜o nu´meros naturais primos e n1 ≥ 1, . . . , ns ≥ 1.
Para atingir nosso objetivo, vamos aprofundar os nossos conhecimen-
tos dos domı´nios principais introduzindo, em ane´is comutativos com uni-
dade, os conceitos de: elementos irredut´ıveis, elementos primos e fatorac¸a˜o
u´nica. Mostraremos que os domı´nios principais teˆm a propriedade da fa-
torac¸a˜o u´nica, portanto valendo para Z.
Em um anel comutativo com unidade, os elementos invert´ıveis sa˜o
divisores de quaisquer elementos do anel. Dado um elemento na˜o-nulo e
na˜o-invert´ıvel, o interessante e´ determinar quais sa˜o os seus divisores na˜o-
invert´ıveis. Na˜o devemos esquecer que, encontrado um divisor a de b enta˜o,
para todo invert´ıvel u, u ·a tambe´m e´ um divisor de b, isto e´, todo associado
de um divisor tambe´m e´ divisor.
Para refletir sobre as
observac¸o˜es ao lado, fac¸a o
Exerc´ıcio 1.
Definic¸a˜o 8 (Elementos irredut´ıveis ou redut´ıveis)
Seja A um anel comutativo com unidade e seja a ∈ A, na˜o-nulo e na˜o-
invert´ıvel. O elemento a e´ dito irredut´ıvel se, e somente se, os seus divisores
sa˜o invert´ıveis ou seus associados. Caso contra´rio, a e´ dito redut´ıvel, nesse
caso, a tem algum divisor que na˜o e´ invert´ıvel e na˜o e´ associado de a.
Observac¸a˜o: Seja a 6= 0 e a ∈ A\A∗. A definic¸a˜o anterior e´ equivalente a:
Esse ou e´ excludente, apenas
um dos fatores e´ invert´ıvel.
a e´ irredut´ıvel ⇐⇒ se b | a, enta˜o b ∈ A∗ ou b = u · a, com u ∈ A∗⇐⇒ se a = b · c, enta˜o b ou c e´ invert´ıvel.
a e´ redut´ıvel ⇐⇒ existem b e c na˜o-invert´ıveis tais que a = b · c.
Exemplo 14
Consideremos o domı´nio Z. Temos Z∗ = {−1, 1}.
(a) 3 e´ irredut´ıvel.
De fato, os associados de 3 sa˜o −3 e 3. Os divisores de 3 sa˜o −1, 1,−3 e 3.
Portanto, os divisores de 3 sa˜o invert´ıveis ou associados de 3. Escrevendo
3 = b · c, temos b = 1 e c = 3 ou b = −1 e c = −3.
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Dom´ınios Principais e a fatorac¸a˜o u´nica
(b) −24 e´ redut´ıvel.
De fato, −24 = 4 · (−6), onde 4 e −6 sa˜o na˜o-invert´ıveis em Z.
A fatorac¸a˜o dos elementos
de K[x] em produto de
irredut´ıveis sera´ estudada
em A´lgebra II, nos corpos
Q, R ou C.
Exemplo 15
(a) Seja K um corpo e K[x] o anel de polinoˆmios com coeficientes em K.
Todo polinoˆmio de grau 1 e´ irredut´ıvel em K[x].
De fato, se f(x) = ax + b, onde a, b ∈ K e a 6= 0, e f(x) = g(x) · h(x)
enta˜o grau(g(x)) + grau(h(x)) = grau(f(x)) = 1 assim, grau(g(x)) = 1 e
grau(h(x)) = 0 ou grau(g(x)) = 0 e grau(h(x)) = 1. Portanto, grau(g(x))
ou grau(h(x)) e´ 0. Logo, g(x) = u ∈ K\{0} ou h(x) = u ∈ K\{0}. Assim,
g(x) ou h(x) e´ um invert´ıvel de K[x].
Lembre que . . .
K[x]∗ =K∗ =K\{0}.
(b) Seja Z[x] o anel de polinoˆmios com coeficientes em Z.
Ha´ polinoˆmios de grau 1 e´ redut´ıveis em Z[x], por exemplo, 2x+4 = 2·(x+2),
com 2 e x + 2 na˜o-invert´ıveis em Z[x].
Lembre que . . .
Z[x]∗ = Z∗ = {−1,1}.
Veremos que em um domı´nio principal todo elemento na˜o-nulo e na˜o-
invert´ıvel tem um divisor irredut´ıvel. Para isto, precisamos do seguinte re-
sultado.
Lema 1
Seja A um domı´nio principal. Toda cadeia crescente de ideais
I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In ⊂ · · ·
e´ estaciona´ria, isto e´, existe m tal que
Im = Im+1 = · · · .
Demonstrac¸a˜o: Seja I =
⋃
j≥1
Ij. Primeiramente, vamos mostrar que I e´ um
ideal de A.
Com efeito, como 0 ∈ Ij, para todo j ≥ 1, enta˜o 0 ∈ I. Sejam a, b ∈ I.
Enta˜o existem j1, j2 ∈ Z, tais que a ∈ Ij1 e b ∈ Ij2 . Temos 1 ≤ j1 ≤ j2 ou
1 ≤ j2 ≤ j1, digamos que j1 ≤ j2. Logo, Ij1 ⊂ Ij2 e a, b ∈ Ij2 . Sendo Ij2 um
ideal temos a + b ∈ Ij2 ⊂ I. Tomando a ∈ A e b ∈ I, existe j1 ∈ Z tal que
b ∈ Ij1 . Como Ij1 e´ um ideal, a · b ∈ Ij1 ⊂ I, mostrando que I e´ um ideal de
A.
Como A e´ um domı´nio principal, existe d ∈ A tal que I = I(d). Logo,
d ∈ I =
⋃
j≥1
Ij. Portanto, existe m ≥ 1 tal que d ∈ Im. Como Im ⊂ Ij, para
todo j ≥ m, temos que d ∈ Ij, para todo j ≥ m. Enta˜o,
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PARTE 3 - SEC¸A˜O 3
I(d) ⊂ Im ⊂ Im+1 ⊂ · · · ⊂ I =
⋃
j≥1
Ij = I(d).
Se d∈ J e J e´ ideal, enta˜o
I(d)⊂ J.
Portanto, I(d) = Im = Im+1 = · · · . �
Proposic¸a˜o 7
Todo elemento na˜o-nulo e na˜o-invert´ıvel de um domı´nio principal tem pelo
menos um divisor irredut´ıvel.
Como a1 | a, temos que
a ∈ I(a1), logo I(a)⊂ I(a1).
Ale´m disso, I(a) 6= I(a1),
pois a1 na˜o e´ associado de a.
Ja´ resolveu o Exerc´ıcio 5 da
Sec¸a˜o 2?
Usamos esse resultado na
segunda inclusa˜o, isto e´:
a1 na˜o e´ invert´ıvel⇐⇒ I(a1)(A.
Demonstrac¸a˜o: Sejam A um domı´nio principal, a ∈ A, a 6= 0 e a na˜o-
invert´ıvel. Se a e´ irredut´ıvel, nada temos a demonstrar, pois a | a. Supo-
nhamos que a e´ redut´ıvel. Pela definic¸a˜o 8, a tem um divisor a1, tal que a1
na˜o e´ invert´ıvel e na˜o e´ associado de a. Assim,
I(a) ( I(a1) ( A,
onde a primeira inclusa˜o e´ consequ¨eˆncia da Proposic¸a˜o 5.
Se a1 e´ irredut´ıvel, terminamos, pois a1 | a. Se a1 na˜o e´ irredut´ıvel,
enta˜o a1 tem divisor a2 em A, com a2 na˜o-invert´ıvel e na˜o-associado de a1.
Logo,
I(a) ( I(a1) ( I(a2) ( A.
Assim, sucessivamente, ate´ que para algum n temos an irredut´ıvel e portanto,
an e´ um divisor de a irredut´ıvel ou, caso contra´rio, ter´ıamos uma sequ¨eˆncia
an, com n ≥ 1, an+1 divisor de an, an+1 na˜o-invert´ıvel e na˜o-associado de
an e obter´ıamos uma cadeia infinita crescente de ideais
I(a) ( I(a1) ( I(a2) ( · · · ( I(an) ( · · · ( A,
que e´ imposs´ıvel pelo Lema anterior. �
Definic¸a˜o 9 (Dom´ınio de fatorac¸a˜o u´nica)
Um domı´nio A e´ dito de fatorac¸a˜o u´nica se, e somente se, todo elemento
na˜o-nulo e na˜o-invert´ıvel se fatora como um produto finito de elementos
irredut´ıveis. Mais ainda, se p1, . . . , pm e q1, . . . , qn sa˜o irredut´ıveis em A e
p1 · p2 · . . . · pm = q1 · q2 · . . . · qn,
enta˜o n = m e, apo´s uma reordenac¸a˜o, pj e qj sa˜o associados, para todo
j = 1, . . . , n. Dizemos que a fatorac¸a˜o e´ u´nica, a menos da ordem dos fatores
e de elementos associados.
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Dom´ınios Principais e a fatorac¸a˜ou´nica
Exemplo 16
(a) Todo corpo e´ um domı´nio de fatorac¸a˜o u´nica, pois todo elemento na˜o-nulo
e´ invert´ıvel.
(b) Z e´ um domı´nio de fatorac¸a˜o u´nica (vamos demonstrar, como consequ¨eˆncia
de todo domı´nio principal ser um domı´nio de fatorac¸a˜o u´nica).
(c) K[x], onde K e´ um corpo.
(d) Em geral, se A e´ um domı´nio de fatorac¸a˜o u´nica, enta˜o A[x] e´ um domı´nio
de fatorac¸a˜o u´nica. Portanto, Z[x],Q[x],R[x] e C[x] sa˜o exemplos de domı´nios
de fatorac¸a˜o u´nica, ale´m de Z[x, y],Q[x, y],R[x, y] e C[x, y].
Os domı´nios de fatorac¸a˜o
u´nica dos itens (c) e (d) sa˜o
estudados em A´lgebra II.
Definic¸a˜o 10 (Elemento primo)
Seja A um anel comutativo com unidade. Um elemento a ∈ A, na˜o-nulo e
na˜o-invert´ıvel e´ dito primo se, e somente se,
se a | b · c, enta˜o a | b ou a | c.
Exemplo 17
(a) 2 e´ primo em Z.
Lembre que . . .
P =⇒ Q ou R
e´ equivalente a
∼Q e ∼R =⇒∼P, onde
∼Q e´ a negac¸a˜o de Q e
∼ (Q ou R) =∼Q e ∼R.
De fato, suponhamos que b, c ∈ Z e 2 na˜o divide b nem c. Pela divisa˜o
euclidiana, temos b = 2m + 1 e c = 2n + 1, com m,n ∈ Z. Logo, b · c =
(2m+ 1) · (2n+ 1) = 4m · n+ 2m+ 2n+ 1 = 2 · (2m · n + m+ n) + 1 e 2
na˜o divide b · c.
(b) 3 e´ primo em Z.
Sejam b, c ∈ Z, tais que 3 | b · c.
Pela divisaa˜o euclidiana, escrevemos b = 3m+ r e c = 3n+ s, com m,n ∈ Z
e 0 ≤ r, s ≤ 2. Assim, b · c = 9m · n + 3m · s + 3n · r + rs. Como 3 | b · c
temos que 3 | r · s, com r · s ∈ {0, 1, 2, 4}. Portanto, r · s = 0. Como Z e´ um
domı´nio, r = 0 ou s = 0, significando que 3 | b ou 3 | c.
(c) 4 na˜o e´ primo em Z, pois 4 | 2 · 6 mas 4 ∤ 2 e 4 ∤ 6.
Ha´ uma relac¸a˜o entre primos e irredut´ıveis quando o anel e´ especial,
conforme veremos nas duas seguintes proposic¸o˜es.
Proposic¸a˜o 8
Seja A um domı´nio. Se p e´ primo, enta˜o p e´ irredut´ıvel.
Nesse caso, a= λ−1 · p e´
associado de p.
Demonstrac¸a˜o: Seja p ∈ A um elemento primo. Escreva p = λ ·a, com λ e a
em A. Como p | λ · a e p e´ primo, enta˜o p | λ ou p | a. Digamos que p | a.
Logo, a = λ′ ·p e p = λ ·a = λ · (λ′ ·p) = (λ ·λ′) ·p. Pela lei do cancelamento
no domı´nio A, temos que 1A = λ · λ′. Portanto, λ e´ um invert´ıvel de A,
mostrando que p e´ irredut´ıvel. �
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Dom´ınios Principais e a fatorac¸a˜o u´nica
PARTE 3 - SEC¸A˜O 3
Ha´ exemplos de domı´nios com elementos irredut´ıveis que na˜o sa˜o pri-
mos.
Exemplo 18
Seja A = {a+ b
√
5i ; a, b ∈ Z}. A e´ um subanel de C. Temos que
2 · 3 = (1+√5i)(1−√5i),
onde 2, 3, 1+
√
5i e 1−
√
5i sa˜o irredut´ıveis em A, 2 | (1+
√
5i) · (1−√5i),
mas 2 ∤ (1+
√
5i) e 2 ∤ (1−
√
5i).
Para verificar as afirmac¸o˜es
acima voceˆ precisa saber
quem sa˜o os elementos
invert´ıveis de A, isto e´, quem
e´ A∗.
E´ facil verificar que A∗ = {−1, 1}, pois o inverso de a+ b
√
5i 6= 0 em C e´
(a+ b
√
5i)−1 = 1
a+b
√
5i
= a−b
√
5i
(a+b
√
5i)·(a−b
√
5i)
= a−b
√
5i
a2+5b2
.
Logo, (a+ b
√
5i)−1 ∈ A se, e somente se, (a2 + 5b2) | a e (a2 + 5b2) | −b.
Se b 6= 0, enta˜o | b |≥ 1 e a2 + 5b2 ≥ 5b2 > b2 =| b |2≥| b |, contradizendo
a Proposic¸a˜o 3 da Sec¸a˜o 1. Portanto, b = 0, a 6= 0, a2 | a, seguindo que
a = ±1.
Proposic¸a˜o 9
Seja A um domı´nio principal. Seja p ∈ A um elemento irredut´ıvel. Enta˜o, p
e´ primo.
Demonstrac¸a˜o: Seja A um domı´nio principal e seja p ∈ A um elemento
irredut´ıvel. Suponhamos que b, c ∈ A, p | b · c e p ∤ b. Vamos mostrar que
p | c.
Seja I = I(b, p). Temos que p ∈ I, logo I 6= {0}. Como A e´ principal,
enta˜o existe d ∈ A, d 6= 0, tal que I = I(d). Temos que d | b e d | p, pois
b, p ∈ I. Como p e´ irredut´ıvel, os divisores de p sa˜o invert´ıveis ou associados
de p, logo d e´ invert´ıvel em A ou d = u ·p, para algum invert´ıvel u em A. Se
d = u ·p, enta˜o b ∈ I = I(d) = I(u ·p) e assim b = λ · (u ·p), contradizendo
a hipo´tese que p ∤ b. Portanto, d e´ um invert´ıvel de A, pelo Exerc´ıcio 5
da Sec¸a˜o anterior, temos A = I(d) = I(b, p), logo 1A ∈ I(b, p). Portanto,
existem x, y ∈ A, tais que 1A = x · b+ y · p. Multiplicando por c, temos
c = 1A · c = (x · b+ y · p) · c = x · b · c + y · p · c.
Como p | b ·c, enta˜o p divide a primeira parcela acima a` direita. E´ claro que
p divide a segunda parcela. Portanto, p divide a soma dessas parcelas, isto
e´, p | c. �
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103 UFF
Dom´ınios Principais e a fatorac¸a˜o u´nica
Corola´rio 7
No domı´nio Z um elemento e´ primo se, e somente se, e´ irredut´ıvel.
Agora estamos a um passo de obter a fatorac¸a˜o u´nica dos inteiros na˜o-
nulos e na˜o-invert´ıveis, isto e´, diferentes de 0, 1 e −1, em produto de nu´meros
inteiros primos, a partir da propriedade mais geral dos domı´nios principais.
Para isto, precisamos de algumas propriedades relevantes dos elementos pri-
mos em um domı´nio.
Proposic¸a˜o 10
Sejam p, p1, . . . , pn elementos primos do domı´nio A. Se p | p1 · . . . ·pn, enta˜o
p e´ associado de pj, para algum j.
Demonstrac¸a˜o: A demonstrac¸a˜o e´ por induc¸a˜o sobre n. Seja n = 1 e supo-
nhamos que p, p1 sa˜o primos e p | p1. Enta˜o, p1 = λ ·p, com p na˜o-invert´ıvel
e p1 irredut´ıvel, implica que λ e´ invert´ıvel. Logo p e´ associado de p1.
Sejam n ≥ 1, p, p1, . . . , pn, pn+1 elementos primos do domı´nio A e
suponhamos que se p | p1 · . . . · pn, enta˜o p e´ associado de pj, para algum
j = 1, . . . , n. Digamos que p | p1 · . . . · pn · pn+1 = (p1 · . . . · pn) · pn+1.
Da definic¸a˜o de elemento primo, temos que p | p1 · . . . · pn ou p | pn+1.
No primeiro caso, por hipo´tese de induc¸a˜o, p e´ associado de pj, para algum
j = 1, . . . , n. No segundo caso, p e´ associado de pn+1. Logo, p e´ associado
de pj, para algum j = 1, . . . , n+ 1. �
Teorema 2 (Fatorac¸a˜o u´nica em dom´ınios principais)
Todo domı´nio principal e´ um domı´nio de fatorac¸a˜o u´nica.
Demonstrac¸a˜o: Seja A um domı´nio principal e seja a ∈ A um elemento
na˜o-nulo e na˜o-invert´ıvel. Pela Proposic¸a˜o 7, a tem pelo menos um divisor
irredut´ıvel, digamos p1 ∈ A. Logo, existe a1 ∈ A, tal que
a = a1 · p1.
Como a1 6= 0, se a1 na˜o e´ invert´ıvel, novamente, pela Proposic¸a˜o 7, a1
tem um divisor irredut´ıvel p2, logo a1 = a2 · p2 e
a = a2 · p2 · p1.
Assim, sucessivamente, determinamos uma sequ¨eˆncia de pares (aj, pj)
com pj irredut´ıvel e tais que
aj = aj+1 · pj+1, para j ≥ 1. (⋆)
M.L.T.Villela
UFF 104
Dom´ınios Principais e a fatorac¸a˜o u´nica
PARTE 3 - SEC¸A˜O 3
Vamos mostrar que esse processo tem que parar apo´s um nu´mero finito
de passos, isto e´, existe n ≥ 1 tal que an e´ invert´ıvel.
De fato, se a1, . . . , an, . . . fossem na˜o-invert´ıveis, como aj+1 | aj, por
(⋆), aj e aj+1 na˜o seriam associados. Pela Proposic¸a˜o 5 da Sec¸a˜o anterior,
ter´ıamos que
Nesse caso, I(aj)( I(aj+1).
I(a) ( I(a1) ( I(a2) ( · · · ( I(an) ( · · · ( A,
seria uma cadeia crescente infinita de ideais, contradizendo o Lema 1.
Portanto, para algum n ≥ 1, an = u e´ invert´ıvel e
a = (upn) · pn−1 · . . . · p1,
com upn, pn−1, . . . , p1 irredut´ıveis, logo, pela Proposic¸a˜o 9, primos. Falta
Fac¸a o Exerc´ıcio 1 (e), que
mostra que se u e´ invert´ıvel
e p e´ irredut´ıvel, enta˜o u · p
e´ irredut´ıvel.
provar a unicidade, que faremos por induc¸a˜o sobre n.
Suponhamos que n = 1 e p1 = q1 · . . . · qm, com p1, q1, . . . , qm irredu-
dut´ıveis, logo primos.
Como p1 | q1 · . . . · qm, pela Proposic¸a˜o anterior, p1 e´ associado de qj
para algum j = 1, . . . ,m. Apo´s uma reordenac¸a˜o dos qj
′s, podemos supor
que j = 1, p1 | q1 e p1 = wq1, com w invert´ıvel. Se m > 1, enta˜o Veja o Exerc´ıcio 1 (b) que
mostra que os divisores de
um invert´ıvel sa˜o invert´ıveis.w · q1 = q1 · . . . · qm, cancelando q1, ter´ıamos w = q2 · . . . · qm, que e´
imposs´ıvel. Portanto, m = 1 e p1 = w · q1 e´ associado de q1.
Seja n ≥ 2 e suponhamos a unicidade da fatorac¸a˜ova´lida para n − 1
e p1 · . . . · pn = q1 · . . . · qm, com p1, . . . , pn, q1, . . . , qm irredut´ıveis (logo
primos). Segue que pn | q1 · . . . · qm e, novamente, para algum j temos pn
associado de qj. Apo´s uma reordenac¸a˜o dos qi
′s, podemos supor que j = m
e pn e´ associado de qm, isto e´, pn = w · qm, com w invert´ıvel. Enta˜o,
A equivaleˆncia segue da Lei
do Cancelamento.
p1·. . .·pn−1·(w·qm) = q1·. . .·qm−1·qm⇐⇒ (w·p1)·. . .·pn−1 = q1·. . .·qm−1.
Pela hipo´tese de induc¸a˜o, n−1 = m−1, logo n = m. Apo´s uma reordenac¸a˜o
dos qj
′s, podemos supor que pj e´ associado de qj, para cada j = 1, . . . , n−1.
Como ja´ mostramos que pn e´ associado de qn, obtemos o resultado. �
Corola´rio 8
Z e´ um domı´nio de fatorac¸a˜o u´nica.
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Dom´ınios Principais e a fatorac¸a˜o u´nica
Corola´rio 9 (Teorema Fundamental da Aritme´tica)
Todo nu´mero inteiro a diferente de 0, 1,−1 pode ser escrito comoNa relac¸a˜o de associac¸a˜o,
cada classe de equivaleˆncia
de p∈ Z, p irredut´ıvel
(primo), tem um elemento
positivo e um elemento
negativo. Escolhemos um
representante positivo em
cada classe. Trabalhamos
com os naturais primos na
fatorac¸a˜o, que e´ u´nica a
menos da ordem dos fatores.
a = ±pα11 · . . . · pαnn ,
onde p1, . . . , pn sa˜o nu´meros primos positivos distintos, p1 < · · · < pn e
α1 > 0, . . . , αn > 0.
Exerc´ıcios
1. Seja A um anel comutativo com unidade. Mostre que:
(a) Se a | 1, enta˜o a e´ invert´ıvel.
(b) Se a | u, com u invert´ıvel, enta˜o a e´ invert´ıvel.
(c) Se a e´ invert´ıvel, enta˜o a | b, para todo b ∈ A.
(d) Se a | b, enta˜o u · a | b, para todo invert´ıvel u ∈ A.
(e) Se p e´ irredut´ıvel, enta˜o u · p e´ irredut´ıvel, para todo invert´ıvel
u ∈ A.
2. Seja A = Z.
(a) Mostre que 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 sa˜o irredut´ıveis em Z.
(b) Mostre que 4, 6, 8, 9, 10, 12 sa˜o redut´ıveis.
3. Mostre que:
(a) x2 + 1 e´ irredut´ıvel em R[x].
(b) x2 + 3x+ 2 e´ redut´ıvel em R[x].
(c) 3x+ 1 e´ irredut´ıvel em Z[x].
(d) 3x+ 6 e´ redut´ıvel em Z[x].
4. Seja p um natural primo. Mostre que:
(a) Se j ∈ N e´ tal que 1 ≤ j < p, enta˜o p divide (p
j
)
;
(b) Se a, b ∈ Z, enta˜o p divide (a+ b)p− (ap+ bp);
(c) (Pequeno Teorema de Fermat)
p divide ap− a, para todo a ∈ Z.
Sugesta˜o: Fac¸a por induc¸a˜o sobre a.
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Propriedades do Dom´ınio Principal Z
PARTE 3 - SEC¸A˜O 4
Propriedades do Domı´nio Principal Z
A partir da fatorac¸a˜o u´nica de inteiros em produto de poteˆncias de
primos positivos, podemos determinar o ma´ximo divisor comum e o mı´nimo
mu´ltiplo comum de dois inteiros na˜o-nulos.
Observac¸a˜o: Sejam a, b inteiros na˜o-nulos. Sejam p1 < · · · < pn os primos
positivos distintos que ocorrem na fatorac¸a˜o de a ou de b. Enta˜o, podemos
escrever
a = ±pα11 · . . . · pαnn e b = ±pβ11 · . . . · pβnn ,
com αj ≥ 0, βj ≥ 0, para j = 1, . . . , n.
mdc(a, b) = pγ11 · . . . · pγnn , onde γj = min{αj, βj}, para cada j = 1, . . . , n;
mmc(a, b) = pδ11 · . . . · pδnn , onde δj = max{αj, βj}, para cada j = 1, . . . , n.
Exemplo 19
75 = 3 · 5 · 5 = 3 · 52 e 70 = 2 · 5 · 7.
Portanto, os naturais primos que ocorrem na fatorac¸a˜o de 75 ou 70 sa˜o
2, 3, 5, 7. Escrevendo
75 = 20 · 31 · 52 · 70 e
70 = 21 · 30 · 51 · 71,
obtemos
mdc(75, 70) = 20 · 30 · 51 · 70 = 5 e
mmc(75, 70) = 21 · 31 · 52 · 71 = 1050.
Definic¸a˜o 11 (Primos entre si)
Seja A um domı´nio principal. Os elementos a, b ∈ A, na˜o ambos iguais a
zero, sa˜o chamados primos entre si se, e somente se, teˆm um ma´ximo divisor
comum invert´ıvel. Em particular, os inteiros a, b, na˜o ambos iguais a zero,
sa˜o ditos primos entre si se, e somente se, mdc(a, b) = 1.
Exemplo 20
Os inteiros 75 = 3 · 52 e 539 = 72 · 11 sa˜o primos entre si. Observe que como
mdc(75, 539) = 1, enta˜o mmc(75, 539) = 3 · 52 · 72 · 11 = 75 · 539. Veja o Exerc´ıcio 1, dessa
Sec¸a˜o.
Teorema 3 (Euclides)
Ha´ uma infinidade de nu´meros naturais primos.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos, por absurdo, que haja um nu´mero finito de
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Propriedades do Dom´ınio Principal Z
nu´meros naturais primos. Sejam 2 = p1 < p2 < · · · < pn os nu´meros primos
positivos. Consideremos a = p1 · p2 · . . . · pn + 1 > 1. Enta˜o, a 6= 0, 1
tem um divisor primo positivo q e q ∈ {p1, . . . , pn}. Por propriedade da
divisibilidade, q divide a− p1 · p2 · . . . · pn = 1, contradizendo o fato de que
q na˜o e´ invert´ıvel. �
Para determinar nu´meros primos positivos, isto e´, nu´meros inteiros po-
sitivos irredut´ıveis, usamos o antigo me´todo chamado Crivo de Erato´stenes.
Precisamos do seguinte resultado.
Lema 2
Se n > 1 e´ um inteiro que na˜o e´ primo, enta˜o n tem um divisor natural
primo p tal que p2 ≤ n.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos que n > 1 na˜o seja primo (irredut´ıvel). Enta˜o,
n tem um divisor positivo irredut´ıvel (primo). Pelo Princ´ıpio da Boa Or-
denac¸a˜o, ha´ o menor divisor primo positivo, digamos q. Portanto, n = q ·m
com q ≤ m. Assim, q2 = q · q ≤ q ·m = n. �
Temos que m>1, pois n
na˜o e´ primo, e todo divisor
primo d de m, tambe´m
divide n, logo q≤ d≤m.
Para ilustrar com um exemplo, vamos determinar os nu´meros natu-
rais primos menores ou iguais a 150, isto e´, os nu´meros inteiros positivos
irredut´ıveis menores ou iguais a 150, seguimos o seguinte roteiro:
Seja n>1. Se p na˜o divide
n, para todo natural primo
p, tal que p2 ≤ n, enta˜o n e´
primo.
1. Fac¸a uma Tabela dos nu´meros inteiros de 2 ate´ 150.
2. 2 e´ primo. Risque na Tabela todos os mu´ltiplos de 2 maiores do que 2,
pois na˜o sa˜o primos.
3. Todos os nu´meros na˜o riscados menores do que 4 = 22, pelo Lema 2,
sa˜o primos, isto e´, 2 e 3.
4. 3 e´ primo. Risque na Tabela todos os mu´ltiplos de 3 maiores do que 3,
pois na˜o sa˜o primos.
5. Todos os nu´meros na˜o riscados menores do que 9 = 32 sa˜o primos, isto
e´, 2, 3, 5, 7.
6. 5 e 7 sa˜o primos. Risque na Tabela todos os mu´ltiplos de 5 maiores do
que 5, assim como todos os mu´ltiplos de 7 maiores do que 7.
7. Todos os nu´meros na˜o riscados menores do que 49 = 72 sa˜o primos,
isto e´, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
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UFF 108
Propriedades do Dom´ınio Principal Z
PARTE 3 - SEC¸A˜O 4
8. 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 sa˜o os novos primos obtidos. Su-
cessivamente, risque na tabela todos os mu´ltiplos de 11 maiores do que
11 , todos os mu´ltiplos de 13 maiores do que 13, . . . , todos os mu´ltiplos
de 47 maiores do que 47.
9. Como 150 < 2209 = 472, todos os nu´meros na˜o riscados na Tabela sa˜o
primos.
Os inteiros positivos primos menores que 150 sa˜o 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109,
113, 127, 131, 137, 139, 149.
2 3 6 4 5 6 6 7 6 8 6 9 6 10
11 6 12 13 6 14 6 15 6 16 17 6 18 19 6 20
6 21 6 22 23 6 24 6 25 6 26 6 27 6 28 29 6 30
31 6 32 6 33 6 34 6 35 6 36 37 6 38 6 39 6 40
41 6 42 43 6 44 6 45 6 46 47 6 48 6 49 6 50
6 51 6 52 53 6 54 6 55 6 56 6 57 6 58 59 6 60
61 6 62 6 63 6 64 6 65 6 66 67 6 68 6 69 6 70
71 6 72 73 6 74 6 75 6 76 6 77 6 78 79 6 80
6 81 6 82 83 6 84 6 85 6 86 6 87 6 88 89 6 90
6 91 6 92 6 93 6 94 6 95 6 96 97 6 98 6 99 6 100
101 6 102 103 6 104 6 105 6 106 107 6 108 109 6 110
6 111 6 112 113 6 114 6 115 6 116 6 117 6 118 6 119 6 120
6 121 6 122 6 123 6 124 6 125 6 126 127 6 128 129 6 130
131 6 132 6 133 6 134 6 135 6 136 137 6 138 139 6 140
6 141 6 142 6 143 6 144 6 145 6 146 6 147 6 148 149 6 150
Tabela dos primos positivos menores que 150
Vamos agora aprender o Algoritmo de Euclides, que permite determi-
nar o ma´ximo divisor comum de dois inteiros, sem conhecer os seus fatores
primos.
Lembramos alguns resultados ja´ vistos no seguinte Lema.
Lema 3
Sejam a, b,t inteiros. Enta˜o,
(i) mdc(a, 0) =| a |, se a 6= 0.
(ii) mdc(a, b) = mdc(b, a) = mdc(| a |, | b |) = mdc(a− tb, b), se a, b
na˜o sa˜o ambos iguais a zero e t e´ qualquer inteiro.
Demonstrac¸a˜o: (i) I(a, 0) = I(| a |). Se a 6= 0, enta˜o | a |= mdc(a, 0).
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Propriedades do Dom´ınio Principal Z
(ii) I(a, b) = I(b, a) = I(| a |, | b |) = I(d), com d > 0 se a 6= 0 ou b 6= 0.
Pela Proposic¸a˜o 6 na Sec¸a˜o 2, temos
d = mdc(a, b) = mdc(b, a) = mdc(| a |, | b |).
Veja Exerc´ıcio 8 item (c) na
Sec¸a˜o 2.
A u´ltima igualdade do enunciado segue do fato que, para qualquer
t ∈ Z, I(a, b) = I(a − tb, b). Com efeito, a − tb, b ∈ I(a, b) implica
que para quaisquer x, y ∈ Z temos (a − tb) · x + b · y ∈ I(a, b). Logo,
I(a − bt, b) ⊂ I(a, b). Por outro lado, a − bt, b ∈ I(a − bt, b) implica que
a = (a− bt) + bt ∈ I(a− bt, b) e a · x+ b ·y ∈ I(a− bt, b), para quaisquer
x, y ∈ Z, mostrando que I(a, b) ⊂ I(a− bt, b). �
Sejam a, b inteiros na˜o ambos iguais a zero. Pelo Lema anterior, para
determinar o mdc(a, b), podemos supor a ≥ 0, b ≥ 0 e a ≥ b
Caso (I) - (Um deles e´ zero) a > 0 e b = 0:
mdc(a, 0) = a.
Caso (II) - (Ambos na˜o-nulos)
(II.1) a = b > 0
mdc(a, b) = mdc(a, a) = a.
(II.2) a > b > 0
Pela divisa˜o euclidiana de a por b, temos
a = b · q1 + r2, com 0 ≤ r2 < b e
mdc(a, b) = mdc(a− b · q1, b) = mdc(r2, b) = mdc(b, r2).
(1) Se r2 = 0, enta˜o mdc(a, b) = mdc(b, 0) = b.
(2) Se r2 6= 0, enta˜o fazemos a divisa˜o euclidiana de b por r2, obtendo
b = r2 · q2 + r3, com 0 ≤ r3 < r2 e
mdc(a, b) = mdc(b, r2) = mdc(b− r2 · q2, r2) = mdc(r3, r2).
(1) Se r3 = 0, enta˜o mdc(a, b) = mdc(0, r2) = r2.
(2) Se r3 6= 0, enta˜o fazemos a divisa˜o euclidiana de r2 por r3, obtendo
r2 = r3 · q3 + r4, com 0 ≤ r4 < r3 e
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UFF 110
Propriedades do Dom´ınio Principal Z
PARTE 3 - SEC¸A˜O 4
mdc(a, b) = mdc(r3, r2) = mdc(r2, r3) = mdc(r2 − r3 · q3, r3) = mdc(r4, r3),
e assim sucessivamente.
Tomamos r1 = b. Segue que existe n ≥ 1, tal que rn+1 = 0 e rn 6= 0
pois, caso contra´rio, ter´ıamos uma sequ¨eˆncia infinita de nu´meros naturais
r1 > r2 > · · · > rn > · · · > 0,
contradizendo o Princ´ıpio da Boa Ordenac¸a˜o. Portanto,
mdc(a, b) = mdc(r1, r2) = · · · = mdc(rn, rn+1) = mdc(rn, 0) = rn.
O procedimento acima e´ chamado de Algoritmo de Euclides. Podemos
organizar o racioc´ınio acima no seguinte dispositivo pra´tico:
q1 q2 q3 · · · qn−2 qn−1 qn
a b r2 r3 · · · rn−2 rn−1 rn
r2 r3 r4 r5 · · · rn 0
Exemplo 21
(a) Vamos calcular mdc(350, 240)
1 2 5 2
350 240 110 20 10
110 20 10 0
Logo, mdc(350, 240) = 10.
(b) Vamos calcular mdc(143, 315)
2 4 1 13 2
315 143 29 27 2 1
29 27 2 1 0
Logo, mdc(315, 143) = 1.
Usando o Algoritmo de Euclides detra´s para frente, podemos determi-
nar inteiros m0 e n0, tais que mdc(a, b) = m0 · a+ n0 · b.
Vejamos, usando os exemplos anteriores.
Exemplo 22
(a) Determine m0, n0 ∈ Z, tais que 10 = mdc(350, 240) = m0 ·350+n0 ·240.
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111 UFF
Propriedades do Dom´ınio Principal Z
1 2 5 2
350 240 110 20 10
110 20 10 0
(1) (2) (3)
Escrevemos, na ordem em que foram feitos, os ca´lculos realizados na divisa˜o
euclidiana no dispositivo pra´tico:
(1) 350 = 1 · 240+ 110︸︷︷︸
(2) 240 = 2 · 110+ 20︸︷︷︸
(3) 110 = 5 · 20+ 10︸︷︷︸
mdc
Em cada passo faremos a substituic¸a˜o apenas de um dos restos assinalados
acima, usando a equac¸a˜o mencionada, comec¸ando com o mdc.
mdc(350, 240) = 10
(3)
= 110− 5 · 20
(2)
= 110− 5 · (240− 2 · 110)
= 11 · 110− 5 · 240
(1)
= 11 · (350− 1 · 240) − 5 · 240
= 11 · 350− 16 · 240
Logo, m0 = 11 e n0 = −16.
(b) Determine m0, n0 ∈ Z, tais que 1 = mdc(315, 143) = m0 · 315+n0 · 143.
2 4 1 13 2
315 143 29 27 2 1
29 27 2 1 0
(1) (2) (3) (4)
(1) 315 = 2 · 143+ 29︸︷︷︸
(2) 143 = 4 · 29+ 27︸︷︷︸
(3) 29 = 1 · 27+ 2︸︷︷︸
(4) 27 = 13 · 2+ 1︸︷︷︸
mdc
Em cada passo faremos a substituic¸a˜o apenas de um dos restos assinalados
acima, usando a equac¸a˜o mencionada, comec¸ando com o mdc.
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Propriedades do Dom´ınio Principal Z
PARTE 3 - SEC¸A˜O 4
mdc(315, 143) = 1
(4)
= 27− 13 · 2
(3)
= 27− 13 · (29− 1 · 27)
= 14 · 27− 13 · 29
(2)
= 14 · (143− 4 · 29) − 13 · 29
= 14 · 143− 69 · 29
(1)
= 14 · 143− 69 · (315− 2 · 143)
= 152 · 143− 69 · 315
Logo, m0 = −69 e n0 = 152.
Vamos resolver alguns tipos de equac¸o˜es diofantinas.
Consideraremos, primeiramente, a equac¸a˜o diofantina
a · x + b · y = n,
onde sa˜o dados a, b, n ∈ Z.
Quais as condic¸o˜es para a equac¸a˜o ter soluc¸o˜es inteiras?
Quando admite soluc¸o˜es inteiras, como determina´-las?
Proposic¸a˜o 11
A equac¸a˜o a·x+b·y = n admite soluc¸a˜o em Z se, e somente se, d = mdc(a, b)
divide n.
Demonstrac¸a˜o:
(=⇒:) Sejam x0, y0 ∈ Z tais que a · x0 + b · y0 = n e seja d = mdc(a, b).
Como d | a e d | b, enta˜o d | (a · x0 + b · y0) = n.
(⇐=:) Seja d = mdc(a, b) e suponhamos que d | n. Enta˜o, existe t ∈ Z tal
que n = d ·t. Como existem m0, n0 ∈ Z, tais que d = a ·m0+b ·n0, obtemos
n = d · t = (a ·m0 + b · n0) · t = a · (m0 · t) + b · (n0 · t).
Logo, x0 = m0 · t e y0 = n0 · t sa˜o soluc¸o˜es inteiras da equac¸a˜o. �
Teorema 4
Seja x0, y0 uma soluc¸a˜o particular da equac¸a˜o a · x + b · y = n e seja d =
mdc(a, b). Enta˜o, x, y e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o a · x + b · y = n se, e
somente se, x = x0 +
b
d
· t e y = y0 − ad · t, para algum t ∈ Z.
Demonstrac¸a˜o:
(⇐=:) Seja t ∈ Z. Substituindo x = x0 + bd · t e y = y0 − ad · t na equac¸a˜o
temos:
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Propriedades do Dom´ınio Principal Z
a · x+ b · y = a · (x0 + bd · t)+ b · (y0 − ad · t)
= a · x0 + b · y0 + a·bd · t− a·bd · t
= a · x0 + b · y0 = n,
mostrando que x, y sa˜o soluc¸o˜es.
(=⇒:) Se a ou b e´ zero, digamos a = 0 com b 6= 0, enta˜o a equac¸a˜o e´
0 · x + b · y = n. Nesse caso, x e´ qualquer inteiro e y esta´ determinado por
y = n
b
∈ Z, pois | b |= mdc(0, b) | n. O outro caso e´ ana´logo.
Suponhamos agora que a 6= 0, b 6= 0 e x, y seja uma soluc¸a˜o. Enta˜o,
Em (⋆) usamos que
mdc
“
a
d
, b
d
”
= 1 e que se
c | r · s, com mdc(c,r) = 1 ,
enta˜o c | s.
Veja os Exerc´ıcios: 1, item
(b), e 4, item (a).
n = a · x + b · y = a · x0 + b · y0 =⇒ a(x− x0) (1)= b(y0 − y)
=⇒ a
d
(x− x0) =
b
d
(y0 − y)
(⋆)
=⇒ a
d
| (y0 − y) e
b
d
| (x− x0).
Logo, x − x0 =
b
d
· s e y0 − y = ad · t, para algum s ∈ Z e para algum t ∈ Z.
Substituindo na igualdade (1), obtemos a · b
d
· s = b · a
d
· t. Logo, s = t,
x = x0 +
b
d
· t e y = y0 − ad · t, para algum t ∈ Z. �
Exemplo 23
A equac¸a˜o 5x+ 35y = 7 na˜o tem soluc¸a˜o em Z, pois mdc(5, 35) = 5 e 5 ∤ 7.
Exemplo 24
Consideremos a equac¸a˜o 350x− 240y = −20.
No Exemplo 21 item (a) vimos que 10 = mdc(350, 240) = mdc(350,−240).
Como 10 | −20, a equac¸a˜o 350x−240y = 350x+(−240)y = −20 tem soluc¸a˜o.
No Exemplo 22 item (a) obtivemos que 10 = 11 · 350 + (−16) · 240. Logo,
−20 = (−22) · 350+ 32 · 240 = (−22) · 350+ (−32) · (−240).
Portanto, x0 = −22 e y0 = −32 sa˜o soluc¸o˜es particulares da equac¸a˜o dada e
sua soluc¸a˜o geral e´ x = −22+−240
10
t = −22−24t e y = −32− 350
10
t = −32−35t,
para t ∈ Z.
Exerc´ıcios
1. Sejam a, b inteiros na˜o-nulos. Mostre que:
(a) a e b sa˜o primos entre si se, e somente se, existem x, y ∈ Z tais
que a · x + b · y = 1.
(b) mdc
(
a
mdc(a,b)
, b
mdc(a,b)
)
= 1.
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PARTE 3 - SEC¸A˜O 4
(c) mmc(a, b) ·mdc(a, b) =| a · b |.
(d) Se a > 0 e b > 0, enta˜o mmc(a, b) ·mdc(a, b) = a · b.
2. Mostre que todo nu´mero racional na˜o-nulo x se escreve de modo u´nico
como x = a
b
, onde a, b sa˜o inteiros primos entre si e b > 0.
Para o item (c), use as
notac¸o˜es da primeira
Observac¸a˜o dessaSec¸a˜o.
3. Seja p um primo positivo. Mostre que todo nu´mero racional na˜o-nulo
x se escreve de uma u´nica maneira na forma
x = pn · a
b
, onde a, b, n ∈ Z, b > 0, mdc(a, b) = 1, p ∤ a e p ∤ b.
4. Sejam a, b, c inteiros com mdc(a, b) = 1. Mostre que:
(a) Se a | b · c, enta˜o a | c.
(b) Se a | c e b | c, enta˜o a · b | c.
5. Sejam a, b, c,m, n com m ≥ 1 e n ≥ 1. Mostre que:
(a) Se mdc(a, c) = 1, enta˜o mdc(a · b, c) = mdc(b, c).
(b) Se mdc(a, b) = 1, enta˜o mdc(am, bn) = 1.
6. Para cada par de inteiros a, b dados determine mdc(a, b), mmc(a, b)
e inteiros m0, n0 tais que mdc(a, b) = m0 · a+ n0 · b:
(a) 637, 3887
(b) 648, −1218
(c) −551, −874
(d) 7325, 8485
(e) 330, 240
(f) 484, 1521
7. Mostre que:
(a) mdc(n, 2n+ 1) = 1, para todo n ∈ Z.
(b) mdc(2n+ 1, 3n+ 1) = 1, para todo n ∈ Z.
(c) mdc(n! + 1, (n+ 1)! + 1) = 1, para todo n > 1.
8. Resolva as equac¸o˜es em Z:
(a) 7x− 19y = 1
(b) 4x− 3y = 2
(c) 6x+ 4y = 6
(d) 6x+ 4y = 3
(e) 12x− 18y = 360
(f) 144x+ 125y = 329
(g) 36x− 21y = 31
(h) 350x− 91y = 731
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Propriedades do Dom´ınio Principal Z
9. Seja n ≥ 1. Mostre que:
(a) 17 divide 198n− 1, para todo n.
(b) 45 divide 133n+ 173n, para todo n ı´mpar.
10. Usando o Lema 2, mostre que:
(a) 151, 179 e 241 sa˜o primos;
(b) 623, 923, 899 e 1001 na˜o sa˜o primos
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Congrueˆncias mo´dulo n e os ane´is Zn
PARTE 3 - SEC¸A˜O 5
Congrueˆncias mo´dulo n e os ane´is Zn
O conceito de congrueˆncia de inteiros foi introduzido e estudado por
Gauss e e´ utilizado para enfatizar o resto da divisa˜o euclidiana.
Definic¸a˜o 12 (Congrueˆncia mo´dulo n)
Seja n ≥ 2 um inteiro. Sejam a, b ∈ Z. Dizemos que a e´ congruente a b
mo´dulo n se, e somente se, n | (a− b).
Quando a e´ congruente a b mo´dulo n escrevemos a ≡ b mod n. Caso
contra´rio, escrevemos a 6≡ b mod n.
A expressa˜o a≡ b mod n
leˆ-se como a e´ congruente a
b mo´dulo n.
Exemplo 25
25 ≡ 37 mod 6, pois 25− 37 = −12 e 6 | −12.
210 ≡ 70 mod 35, pois 210− 70 = 140 e 35 | 140
20 6≡ 33 mod 12, pois 20− 33 = −13 e 12 ∤ −13
13 6≡ 22 mod 5, pois 13− 22 = −9 e 5 ∤ −9.
A seguir veremos uma propriedade muito interessante da congrueˆncia
mo´dulo n.
Proposic¸a˜o 12
A congrueˆncia mo´dulo n e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em Z.
Demonstrac¸a˜o: Vamos mostrar que a congrueˆncia mo´dulo n e´ reflexiva, sime´-
trica e transitiva. Temos que n | 0 = a − a, logo a ≡ a mod n, para
todo a ∈ Z. Suponhamos que a ≡ b mod n. Enta˜o n | (a − b), seguindo
que n | (b − a) = −(a − b), que e´ equivalente a b ≡ a mod n. Agora,
suponhamos que a ≡ b mod n e b ≡ c mod n. Por definic¸a˜o, n | (a − b)
e n | (b− c), seguindo que n divide (a− b) + (b− c) = a− c, isto e´, a ≡ c
mod n. �
Veremos agora que o conceito de congrueˆncia de inteiros mo´dulo n pode
ser utilizado para enfatizar o resto da divisa˜o euclidiana por n.
Proposic¸a˜o 13
Seja n ≥ 2. Temos a ≡ b mod n se, e somente se, a e b teˆm o mesmo resto
na divisa˜o euclidiana por n.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos que a ≡ b mod n. Pela definic¸a˜o de con-
grueˆncia, temos que n | (a − b). Pela divisa˜o euclidiana, podemos escrever
a = q · n + r e b = q′ · n + r′, com 0 ≤ r < n e 0 ≤ r′ < n. Logo,
a−b = (q−q′) ·n+ r− r′. Assim, r− r′ = (a−b)− (q−q′) ·n. Como, por
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Congrueˆncias mo´dulo n e os ane´is Zn
hipo´tese, n | (a − b), e, claramente, n divide −(q − q′) · n, enta˜o n divide
r− r′. Ale´m disso, −n < −r′ ≤ r− r′ ≤ r < n. Logo, r− r′ = 0 e r = r′.
Reciprocamente, suponhamos que a e b teˆm mesmo resto r na divisa˜o
euclidiana por n. Enta˜o, a = q · n + r e b = q′ · n + r, com 0 ≤ r < n.
Enta˜o, a− b = (q− q′) · n. Portanto, n | (a− b) e a ≡ b mod n. �
Exemplo 26
25 e 37 deixam resto 1 na divisa˜o por 6, logo 25 ≡ 37 mod 6.
210 e 35 deixam resto 0 na divisa˜o por 35, logo 210 ≡ 35 mod 35.
Na divisa˜o por 12, 20 deixa resto 8 e 33 deixa resto 9, logo 20 6≡ 33 mod 12.
As seguintes propriedades adicionais das congrueˆncias sa˜o muito u´teis
nas aplicac¸o˜es do conceito de congrueˆncia.
Proposic¸a˜o 14 (Propriedades das congrueˆncias)
Sejam a, b, c, d ∈ Z e seja n ≥ 2.
(i) Se a ≡ b mod n e c ≡ d mod n, enta˜o a+ c ≡ b+ d mod n.
(ii) Se a ≡ b mod n e c ≡ d mod n, enta˜o a · c ≡ b · d mod n.
(iii) Se a ≡ b mod n, enta˜o am ≡ bm mod n, para todo m ≥ 1.
Demonstrac¸a˜o: Faremos, primeiramente, a prova de (i) e (ii). Sejam a ≡ b
mod n e c ≡ d mod n. Enta˜o, existem λ, λ′ em Z, tais que a− b = λ · n e
c − d = λ′ · n. Logo,
a+ c − (b+ d) = (a− b) + (c− d) = λ · n+ λ′ · n = (λ+ λ′) · n,
mostrando que a+ c ≡ b+ d mod n. Tambe´m,
a · c − b · d = a · c+ (a · d − a · d) − b · d = a · (c − d) + (a− b) · d
= a · (λ′ · n) + (λ · n) · d = (a · λ′ + λ · d) · n,
mostrando que a · c ≡ b · d mod n.
A demonstrac¸a˜o da propriedade (iii) sera´ feita por induc¸a˜o sobre m.
Sejam a, b ∈ Z tais que a ≡ b mod n. Enta˜o, a1 = a ≡ b = b1 mod n
e a afirmac¸a˜o e´ va´lida para m = 1. Seja m ≥ 1 tal que am ≡ bm mod n.
Enta˜o, am+1
(1)
= am · a (2)≡ bm · b (3)= bm+1 mod n. �
Em (1) e (3) usamos a
definic¸a˜o da poteˆncia m+1
e em (2), a hipo´tese de
induc¸a˜o e a propriedade (ii)
da Proposic¸a˜o anterior.
Exemplo 27
Qual o resto da divisa˜o de 325 por 15?Em (1) usamos a
transitividade da
congrueˆncia mo´dulo n. Temos 33 = 27 ≡ 12 ≡ −3 mod 15 =⇒ 33 (1)≡ −3 mod 15.
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Congrueˆncias mo´dulo n e os ane´is Zn
PARTE 3 - SEC¸A˜O 5
Portanto,
325 = 3 · 33·8 = 3 · (33)8 (2)≡ 3 · (−3)8 = 3 · (−3)3 · (−3)3 · (−3)2 (3)≡ 3 · 3 · 3 · 32 =
33 · 32 (4)≡ (−3) · 32 = −33 (5)≡ 3 mod 15.
Usamos de (2) a (5), a
congrueˆncia obtida em (1) e
a propriedade (ii) da
Proposic¸a˜o anterior.
O resto e´ 3.
Exemplo 28
Qual o resto da divisa˜o de 747 por 9?
Temos 72 = 49 ≡ 4 mod 9, enta˜o 73 = 72 · 7 ≡ 4 · 7 = 28 ≡ 1 mod 9.
Portanto, 747 = 73·15+2 = (73)15 · 72 ≡ 115 · 4 = 4 mod 9.
O resto e´ 4.
Crite´rios de Divisibilidade
Seja a um nu´mero inteiro positivo. Escrevendo a na base 10, temos
a = amam−1 . . . a1a0 = am10
m+ am−110
m−1+ · · ·+ a110+ a0, (⋆)
onde 0 ≤ am, . . . , a0 ≤ 9 e am 6= 0.
Veremos como as poteˆncias de 10 se comportam mo´dulo n, para
n = 2, 3, 4, 5, 9, 10 e 11 e obteremos, respectivamente, crite´rios de divisi-
bilidade por 2, 3, 4, 5, 9, 10 e 11.
Exemplo 29
Seja n = 2. Temos que 10 ≡ 0 mod 2. Da Proposic¸a˜o 14 item (iii), temos
que 10j ≡ 0j = 0 mod 2, para todo j ≥ 1. Pela mesma Proposic¸a˜o itens (i)
e (ii), obtemos:
a = amam−1 . . . a1a0 = am10
m+ am−110
m−1 + · · ·+ a110+ a0
≡ am · 0+ am−1 · 0+ · · ·+ a1 · 0+ a0 mod 2
= a0 mod 2.
Logo, a ≡ a0 mod 2 e o resto da divisa˜o de a por 2 e´ o mesmo resto da
divisa˜o de a0 por 2.
Exemplo 30
Seja n = 3. Temos que 10 ≡ 1 mod 3. Da Proposic¸a˜o 14 item (iii), temos
que 10j ≡ 1j = 1 mod 3, para todo j ≥ 1. Pela mesma Proposic¸a˜o itens (i)
e (ii), obtemos:
a = amam−1 . . . a1a0 = am10
m+ am−110
m−1 + · · ·+ a110+ a0
≡ am · 1+ am−1 · 1+ · · ·+ a1 · 1+ a0 mod 3
= am+ am−1 + · · ·+ a1 + a0 mod 3.
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Congrueˆncias mo´dulo n e os ane´is Zn
Logo, a ≡ am+ am−1+ · · ·+ a1+ a0 mod 3 e o resto da divisa˜o de a por 3
e´ o mesmo resto da divisa˜o de am+ am−1 + · · ·+ a1 + a0 por 3.
Exemplo 31
Seja n = 4. Temos que 10 ≡ 2 mod 4, logo 102 ≡ 22 = 4 ≡ 0 mod 4.
Assim, da Proposic¸a˜o 14 item (iii), para todo j ≥ 3, temos 10j = 102 ·10j−2 ≡
0 · 10j−2 = 0 mod 4. Pela mesma Proposic¸a˜o itens (i) e (ii), obtemos:
a = amam−1 . . . a1a0 = am10
m+ am−110
m−1 + · · ·+ a110+ a0
≡ am · 0+ am−1 · 0+ · · ·+ a1 · 10+ a0 mod 4
= a1a0 ≡ 2a1+ a0 mod 4.
Logo, a ≡ a1a0 ≡ 2a1+a0 mod 4 e o resto da divisa˜o de a por 4 e´ o mesmo
resto da divisa˜o de a1a0 por 4, equivalentemente, e´ o mesmo resto da divisa˜o
de 2a1 + a0 por 4.
Porexemplo, 2379 ≡ 79 ≡ 2 · 7+ 9 = 23 ≡ 3 mod 4.
Exemplo 32
Seja n = 5. Temos que 10 ≡ 0 mod 5. Da Proposic¸a˜o 14 item (iii), temos
que 10j ≡ 0j = 0 mod 5, para todo j ≥ 1. Pela mesma Proposic¸a˜o itens (i)
e (ii), obtemos:
a = amam−1 . . . a1a0 = am10
m+ am−110
m−1 + · · ·+ a110+ a0
≡ am · 0+ am−1 · 0+ · · ·+ a1 · 0+ a0 mod 5
= a0 mod 5.
Logo, a ≡ a0 mod 5 e o resto da divisa˜o de a por 5 e´ o mesmo resto da
divisa˜o de a0 por 5.
Exemplo 33
Seja n = 9. Temos que 10 ≡ 1 mod 9. Da Proposic¸a˜o 14 item (iii), temos
que 10j ≡ 1j = 1 mod 9, para todo j ≥ 1. Pela mesma Proposic¸a˜o itens (i)
e (ii), obtemos:
a = amam−1 . . . a1a0 = am10
m+ am−110
m−1 + · · ·+ a110+ a0
≡ am · 1+ am−1 · 1+ · · ·+ a1 · 1+ a0 mod 9
= am+ am−1 + · · ·+ a1 + a0 mod 9.
Logo, a ≡ am+ am−1+ · · ·+ a1+ a0 mod 9 e o resto da divisa˜o de a por 9
e´ o mesmo resto da divisa˜o de am+ am−1 + · · ·+ a1 + a0 por 9.
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Congrueˆncias mo´dulo n e os ane´is Zn
PARTE 3 - SEC¸A˜O 5
Exemplo 34
Seja n = 10. Temos que 10 ≡ 0 mod 10. Da Proposic¸a˜o 14 item (iii), temos
que 10j ≡ 0j = 0 mod 10, para todo j ≥ 1. Pela mesma Proposic¸a˜o itens (i)
e (ii), obtemos:
a = amam−1 . . . a1a0 = am10
m+ am−110
m−1 + · · ·+ a110+ a0
≡ am · 0+ am−1 · 0+ · · ·+ a1 · 0+ a0 mod 10
= a0 mod 10.
Logo, a ≡ a0 mod 10 e o resto da divisa˜o de a por 10 e´ o mesmo resto da
divisa˜o de a0 por 10 que e´ a0.
Exemplo 35
Seja n = 11. Temos que 10 ≡ −1 mod 11. Da Proposic¸a˜o 14 item (iii),
temos que, para todo j ≥ 1,
10j ≡ (−1)j =
{
1 mod 11, se j e´ par
−1 mod 11, se j e´ ı´mpar
Pela mesma Proposic¸a˜o itens (i) e (ii), obtemos:
a = amam−1 . . . a1a0 = · · · + a4104 + a3103 + a2102 + a110 + a0
≡ · · · + a4+ a3 · (−1) + a2 + a1 · (−1) + a0 mod 11
≡ · · · + a6− a5 + a4− a3 + a2− a1 + a0 mod 11.
Logo, a ≡ · · ·+a6−a5+a4−a3+a2−a1+a0 mod 11 e o resto da divisa˜o
de a por 11 e´ o mesmo resto da divisa˜o de · · ·+a6−a5+a4−a3+a2−a1+a0
por 11.
Por exemplo, 235794 ≡ (4+7+3)−(9+5+2) = 14−16 = −2 ≡ 9 mod 11.
Como consequ¨eˆncia dos Exemplos anteriores, obtemos crite´rios de di-
visibilidade por 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, respectivamente, correspondendo ao caso
em que o resto e´ 0.
Proposic¸a˜o 15 (Crite´rios de Divisibilidade)
Seja a = amam−1 . . . a1a0 um nu´mero inteiro positivo,
a = am10
m+ am−110
m−1+ · · ·+ a110+ a0,
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Congrueˆncias mo´dulo n e os ane´is Zn
onde 0 ≤ am, . . . , a0 ≤ 9 e am 6= 0. Enta˜o,
(i) 2 divide a se, e somente se, a0 ∈ {0, 2, 4, 6, 8}.
(ii) 3 divide a se, e somente se, 3 divide am+ am−1+ · · ·+ a1+ a0.
(iii) 4 divide a se, e somente se, 4 divide a1a0
se, e somente se, 4 divide 2a1+ a0.
(iv) 5 divide a se, e somente se, a0 ∈ {0, 5}.
(v) 9 divide a se, e somente se, 9 divide am+ am−1 + · · ·+ a1 + a0.
(vi) 10 divide a se, e somente se, a0 = 0.
(vii) 11 divide a se, e somente se, 11 divide (a0+a2+a4+ · · · )− (a1+a3+
a5 + · · · ).
Demonstrac¸a˜o: E´ imediata, pelos seis Exemplos anteriores, observando nos
itens (i), (iv) e (vi) a condic¸a˜o a0 ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}. �
Veremos agora duas propriedades muito u´teis das congrueˆncias.
Proposic¸a˜o 16 (Outras propriedades da congrueˆncia)
Sejam a, b, c,m, n ∈ Z, com n ≥ 2 e m ≥ 2. Enta˜o,
(i) a ≡ b mod m e a ≡ b mod n se, e somente se, a ≡ b mod mmc(m,n).
(ii) Se a · c ≡ b · c mod n e mdc(c, n) = 1, enta˜o a ≡ b mod n.
Demonstrac¸a˜o:
(i)
a ≡ b mod m, a ≡ b mod n⇐⇒ m | (a− b), n | (a− b)⇐⇒ a− b e´ mu´ltiplo de m e de n⇐⇒ a− b e´ mu´ltiplo do mmc(m,n)⇐⇒ mmc(m,n) | (a− b)⇐⇒ a ≡ b mod mmc(m,n).
(ii)
a · c ≡ b · c mod n =⇒ n | (a · c − b · c) = (a− b) · c
(1)
=⇒ n | (a− b)
=⇒ a ≡ b mod n. �
Em (1) usamos a hipo´tese
mdc(c,n) = 1. Veja o
Exerc´ıcio 4 (a) da Sec¸a˜o 4.
Vamos resolver o item (b) do Exerc´ıcio 9 da Sec¸a˜o anterior, usando
congrueˆncias e suas propriedades.
Exemplo 36
Vamos mostrar que 45 | (133n + 173n), para todo n ≥ 1 ı´mpar.
Primeiramente, escrevemos 45 = 32 · 5. Usaremos congrueˆncia mo´dulo 9,
congrueˆncia mo´dulo 5 e a Proposic¸a˜o anterior item (i), com 45 = mmc(9, 5).
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PARTE 3 - SEC¸A˜O 5
Temos
13 ≡ 4 mod 9 =⇒ 133 ≡ 43 = 64 ≡ 1 mod 9 e 17 ≡ 8 ≡ −1 mod 9. Logo,
133n + 173n = (133)n + 173n ≡ 1n + (−1)3n = 1 − 1 = 0 mod 9, pois 3n e´
ı´mpar, em virtude de 3n ≡ 1 · 1 = 1 mod 2.
Agora,
13 ≡ 3 mod 5 e 17 ≡ 2 mod 5 =⇒ 133 ≡ 33 = 27 ≡ 2 mod 5 e
173 ≡ 23 = 8 ≡ 3 ≡ −2 mod 5
=⇒ 133 ≡ 2 mod 5 e 173 ≡ −2 mod 5.
Enta˜o,
133n+ 173n = (133)n+ (173)
n ≡ 2n+ (−2)n = 2n− 2n = 0 mod 5, pois n e´
ı´mpar.
Como 133n + 173n ≡ 0 mod 9, 133n + 173n ≡ 0 mod 5 e 45 = mmc(9, 5),
enta˜o 133n+ 173n ≡ 0 mod 45.
Teorema 5 (Pequeno Teorema de Fermat)
Seja p um natural primo.
(i) Se a ∈ Z, enta˜o ap ≡ a mod p.
(ii) Se a ∈ Z e p na˜o divide a, enta˜o ap−1 ≡ 1 mod p.
Veja o Exerc´ıcio 4 da Sec¸a˜o
3.
Demonstrac¸a˜o:
(i) Seja a ∈ N. Faremos induc¸a˜o sobre a.
Se a = 0, enta˜o 0p = 0 ≡ 0 mod p.
Seja a ≥ 0 e suponhamos que ap ≡ a mod p. Enta˜o
(a+ 1)p = ap +
(
p
1
)
ap−1 +
(
p
2
)
ap−2 + · · ·+ ( p
p−1
)
a+ 1.
Como p |
(
p
j
)
, para 1 ≤ j ≤ p − 1, temos que (p
j
) ≡ 0 mod p, para
1 ≤ j ≤ p − 1, logo (a + 1)p ≡ ap + 1 mod p . Pela hipo´tese de induc¸a˜o,
obtemos que ap + 1 ≡ a + 1 mod p. Pela transitividade da congrueˆncia
mod p, temos
(a+ 1)p ≡ ap + 1 ≡ a+ 1 mod p, isto e´ (a+ 1)p ≡ a+ 1 mod p.
Logo, a propriedade vale para todo a ∈ N.
Seja agora a ∈ Z, a < 0. Enta˜o, −a > 0 e (−a)p ≡ −a mod p.
Se p e´ um primo ı´mpar, temos −ap = (−a)p ≡ −a mod p, que e´
equivalente a ap ≡ a mod p.
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Seja p = 2. Enta˜o, 1+1 = 2 ≡ 0 mod 2, isto e´, 1 ≡ −1 mod 2, donde
a = a · 1 ≡ a · (−1) = −a mod 2. Portanto, a2 = (−a)2 ≡ −a ≡ a mod 2,
completando a demonstrac¸a˜o de (i).
(ii) Suponhamos que p ∤ a. Enta˜o, mdc(a, p) = 1.
Como a · ap−1 = ap ≡ a = a · 1 mod p e mdc(a, p) = 1, pelo item (ii)
da Proposic¸a˜o anterior, temos ap−1 ≡ 1 mod p. �
Exemplo 37
Qual o resto da divisa˜o de 20012006− 1 por 17?
Como 2001 = 17 · 117+ 12 e 17 e´ primo, enta˜o 1 = mdc(2001, 17).
Ale´m disso, 2006 = 16 · 125+ 6. Logo,
20012006− 1 = 200116·125+6− 1
= (200116)125 · 20016− 1
≡ 1125 · 20016− 1 = 20016− 1 mod 17.
2001 ≡ 12 mod 17 =⇒ 20016− 1 ≡ 126− 1 mod 17.
126− 1 ≡ (−5)6− 1 = 253− 1 ≡ 83− 1 = 64 · 8− 1 ≡ (−4) · 8− 1 = −33 ≡ 1
mod 17.
Logo, 20012006− 1 ≡ 20016− 1 ≡ 126 − 1 ≡ 1 mod 17 e o resto e´ 1.
Seja n ≥ 2 um inteiro. Pela Proposic¸a˜o 12 a congrueˆncia mo´dulo n e´
uma relac¸a˜o de equivaleˆncia. A classe de equivaleˆncia a de um inteiro a na
congrueˆncia mo´dulo n e´ chamada de classe residual mo´dulo n.
Lembre que . . .
classes distintas sa˜o
disjuntas.
a = {x ∈ Z ; x ≡ a mod n}
= {x ∈ Z ; n | (x − a)}
= {x ∈ Z ; x e a deixam o mesmo resto na divisa˜o por n}.
Exemplo 38
Seja n = 2. Dado a ∈ Z, pela divisa˜o euclidiana, existem q e r, unicamente
determinados, tais que a = 2 · q+ r, com 0 ≤ r ≤ 1.
Logo,
a =
{
0 ⇐⇒ a e´ par
1 ⇐⇒ a e´ ı´mpar
So´ ha´ duas classes distintas mo´dulo 2, a saber 0 e 1.
Das propriedades de relac¸a˜o de equivaleˆncia,
Z = 0 ∪ 1, onde 0 = 2Z e 1 = 2Z+ 1.
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Sejam a, b inteiros. Enta˜o,
a ≡ b mod 2⇐⇒ a = b⇐⇒ { a e b sa˜o ambos pares ou
a e b sa˜o ambos ı´mpares.
Exemplo 39
Seja n = 3. Dado a ∈ Z, pela divisa˜o euclidiana, existem q e r, unicamente
determinados, tais que a = 3 · q+ r, com 0 ≤ r ≤ 2.
Logo,
a =


0 ⇐⇒ a = 3 · q, para algum q ∈ Z;
1 ⇐⇒ a = 3 · q+ 1, para algum q ∈ Z;
2 ⇐⇒ a = 3 · q+ 2, para algum q ∈ Z.
So´ ha´ treˆs classes distintas mo´dulo 3, a saber, 0, 1 e 2.
Das propriedades de relac¸a˜o de equivaleˆncia,Z = 0 ∪ 1 ∪ 2, onde 0 = 3Z, 1 = 3Z+ 1 e 2 = 3Z+ 2.
Proposic¸a˜o 17
Seja n ≥ 2. Para cada a ∈ Z existe um u´nico r ∈ Z, com 0 ≤ r ≤ n − 1,
tal que a = r. Logo, ha´ n classes residuais mo´dulo n distintas, a saber,
0, 1, . . . , n− 1, onde r = nZ+ r e Z = 0 ∪ 1 ∪ . . . ∪ n− 1.
Demonstrac¸a˜o: Dado a ∈ Z, pela divisa˜o euclidiana de a por n, existe um
u´nico r, com 0 ≤ r ≤ n − 1, tal que
a = q · n + r, para algum q ∈ Z.
Portanto, a ≡ r mod n e a = r, mostrando a existeˆncia.
Sejam r, s inteiros tais que 0 ≤ r, s ≤ n− 1 e r = s.
Enta˜o, −(n − 1) ≤ r − s ≤ n − 1 e n | r − s. Logo, r − s = 0, isto e´,
r = s, mostrando a unicidade. �
Definic¸a˜o 13 (Conjunto das classes residuais mo´dulo n)
O conjunto quociente de Z pela congrueˆncia mo´dulo n e´ representado por
Zn e e´ chamado de conjunto das classes residuais mo´dulo n.
Zn = {0, 1, . . . , n− 1}.
Exemplo 40
Z2 = {0, 1}
Z3 = {0, 1, 2}
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Congrueˆncias mo´dulo n e os ane´is Zn
Z4 = {0, 1, 2, 3}
Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}
Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Vamos dar a Zn uma estrutura de anel, definindo operac¸o˜es de adic¸a˜o
e multiplicac¸a˜o entre seus elementos.
Definic¸a˜o 14 (Adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de Zn)
Seja n ≥ 2. Sejam a, b ∈ Z. Definimos
a+ b = a+ b
a · b = a · b
Observamos que essas definic¸o˜es na˜o dependem dos representantes das
classes residuais. De fato, pela Proposic¸a˜o 14 itens (i) e (ii), temos que
a ≡ a′ mod n e
b ≡ b′ mod n =⇒
{
a+ b ≡ a′ + b′ mod n
a · b ≡ a′ · b′ mod n
⇐⇒ { a+ b = a′ + b′
a · b = a′ · b′
⇐⇒ { a+ b = a+ b = a′ + b′ = a′ + b′
a · b = a · b = a′ · b′ = a′ · b′
Logo, a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o das classes residuais independem do
inteiro que e´ representante da classe.
Vejamos as tabelas das operac¸o˜es em Z2,Z3 e Z4, nos seguintes exem-
plos.
Exemplo 41
Tabelas das operac¸o˜es em Z2
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
· 0 1
0 0 0
1 0 1
Exemplo 42
Tabelas das operac¸o˜es em Z3
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
· 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
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PARTE 3 - SEC¸A˜O 5
Exemplo 43
Tabelas das operac¸o˜es em Z4
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
· 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
Proposic¸a˜o 18 (Propriedades da adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de Zn)
Seja n ≥ 2. A adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o de Zn teˆm as seguintes propriedades,
para quaisquer a, b, c ∈ Zn:
A1 (Associativa) (a+ b) + c = a+ (b+ c)
A2 (Comutativa) a+ b = b+ a ;
A3 (Existeˆncia de elemento neutro) 0 e´ o elemento neutro aditivo
0+ a = a;
A4 (Existeˆncia de sime´trico) o sime´trico de a e´ −a
a+ −a = 0;
M1 (Associativa) (a · b) · c = a · (b · c)
M2 (Comutativa) a · b = b · a ;
M3 (Existeˆncia de unidade) 1 e´ a unidade de Zn
1 · a = a;
AM (Distributiva) (a+ b) · c = a · c+ b · c.
Demonstrac¸a˜o: As propriedades A3, A4 e M3 sa˜o facilmente verificadas.
Faremos a demonstrac¸a˜o apenas de A1 e AM. Voceˆ deve fazer a de-
monstrac¸a˜o das outras propriedades.
(a+ b) + c
(1)
= a+ b+ c
(2)
= (a+ b) + c
(3)
= a+ (b+ c)
(4)
= a+ b+ c
(5)
= a+ (b+ c),
mostrando A1. Fazendo as modificac¸o˜es convenientes, voceˆ obte´m M1.
Em (1) e (2) usamos a
definic¸a˜o da adic¸a˜o das
classes residuais. Em (3)
usamos que a adic¸a˜o em Z e´
associativa. Em (4) e (5),
novamente, usamos a
definic¸a˜o da adic¸a˜o das
classes residuais.
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Congrueˆncias mo´dulo n e os ane´is Zn
(a+ b) · c (1)= a+ b · c
(2)
= (a+ b) · c
(3)
= a · c + b · c
(4)
= a · c + b · c
(5)
= a · c + b · c,
mostrando AM. �
Em (1) usamos a definic¸a˜o
da adic¸a˜o das classes
residuais e em (2), a
definic¸a˜o da multiplicac¸a˜o.
Em (3) usamos a
distributividade em Z. Em
(4) usamos a definic¸a˜o da
adic¸a˜o das classes residuais e
em (5), a definic¸a˜o da
multiplicac¸a˜o.
Corola´rio 10
Seja n ≥ 2. Zn e´ um anel comutativo com unidade.
Exemplo 44
Z4 tem divisor de 0, pois 2 · 2 = 0, com 2 6= 0. Portanto, Z4 na˜o e´ um
domı´nio. Ale´m disso, Z∗4 = {1, 3}, pois 1 = 1 · 1 e 1 = 9 = 3 · 3, cada um deles
e´ seu pro´prio inverso.
Proposic¸a˜o 19
Seja n ≥ 2. Um elemento a ∈ Zn e´ invert´ıvel se, e somente se, mdc(a, n) = 1.
Demonstrac¸a˜o:
(=⇒:) Seja a ∈ Zn um elemento invert´ıvel. Enta˜o, existe b ∈ Zn tal que
1 = a·b = a · b. Portanto, a·b ≡ 1 mod n, que e´ equivalente a n | (a·b−1).
Logo, a · b− 1 = q ·n, para algum q ∈ Z, isto e´, 1 = a · b+ (−q) · n. Logo,
1 = mdc(a, n).Veja Exerc´ıcio 1, item (a),
da Sec¸a˜o 4.
(⇐=:) Suponhamos que mdc(a, n) = 1. Enta˜o, existem x, y ∈ Z tais que
1 = a · x + n · y. Logo,
1 = a · x + n · y = a · x+ n · y = a · x+ 0 · y = a · x,
mostrando que x e´ o inverso de a. �
Exemplo 45
Seja n = 143. No Exemplo 22 (b), mostramos que 1 = 143 ·152+315 ·(−69).
Portanto, 1 = mdc(143, 315) e em Z143 a classe residual 315 = 29 e´ invert´ıvel,
com inverso −69 = 74.
0= 143= 74+69= 74+69⇐⇒ −69= 74.
Exemplo 46
Para cada j ∈ {0, 1, . . . , 7}, temos que mdc(j, 8) = 1 se, e somente se,
j ∈ {1, 3, 5, 7}. Logo,
Z∗8 = {1, 3, 5, 7},
com 3
2
= 1, 5
2
= 1 e 7
2
= 1.
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PARTE 3 - SEC¸A˜O 5
Exemplo 47
Para cada j ∈ {0, 1, . . . , 9}, temos que mdc(j, 10) = 1 se, e somente se,
j ∈ {1, 3, 7, 9}. Logo,
Z∗10 = {1, 3, 7, 9},
com 3 · 7 = 1 e 9 · 9 = 1.
Definic¸a˜o 15 (Func¸a˜o de Euler)
Seja n ≥ 2 um inteiro. A func¸a˜o de Euler e´ definida por
φ(n) = ♯ { s ∈ Z ; 1 ≤ s < n e mdc(s, n) = 1}.
Exemplo 48
A func¸a˜o de Euler tem as seguintes propriedades:
(i) φ(p) = p− 1, se p e´ primo.
(ii) φ(pm) = pm− pm−1, se p e´ primo e m ≥ 1.
(iii) φ(m · n) = φ(m) · φ(n), se mdc(m,n) = 1.
Ale´m disso, φ(n) e´ o nu´mero de elementos invert´ıveis de Zn, isto e´,
φ(n) = ♯ Z∗n.
Observac¸a˜o: Seja n > 3. Suponhamos que n na˜o e´ primo. Enta˜o, existem
a, b ∈ Z, tais que n = a · b, com 1 < a, b < n. Logo,
0 = n = a · b = a · b, com a 6= 0 e b 6= 0.
Portanto, se n na˜o e´ primo, enta˜o Zn na˜o e´ um domı´nio. Logo, Zn na˜o
e´ um corpo.
Exemplo 49
Z2 e Z3 sa˜o corpos (Verifique). Z5 e´ um corpo, pois Z5 e´ um anel comutativo
e todo elemento na˜o-nulo tem inverso, a saber,
Lembre que . . .
Todo corpo e´ um domı´nio.
1 · 1 = 1, 2 · 3 = 6 = 1 e 4 · 4 = 16 = 1.
Corola´rio 11
Seja n ≥ 2. Zn e´ um corpo se, e somente se, n e´ primo.
Demonstrac¸a˜o:
(⇐=:) Suponhamos que n e´ primo. Enta˜o, mdc(j, n) = 1, para todo j = 1,
. . . , n − 1, e, pela Proposic¸a˜o anterior, j e´ invert´ıvel. Logo, todo elemento
na˜o-nulo de Zn e´ invert´ıvel, mostrando que Zn e´ um corpo. P =⇒ Q
se, e somente se,
∼Q=⇒∼ P.(=⇒:) Se n na˜o e´ primo, pela Observac¸a˜o anterior, Zn na˜o e´ um corpo. �
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Teorema 6 (Teorema de Wilson)
Se p e´ um natural primo, enta˜o (p− 1)! ≡ −1 mod p.
Demonstrac¸a˜o: Se p = 2, enta˜o p − 1 = 1 e (p − 1)! = 1 ≡ −1 mod 2.
Suponhamos que p e´ um primo ı´mpar. A congrueˆncia (p− 1)! ≡ −1 mod p
e´ equivalente a`s seguintes igualdades em Zp
(p− 1)! = −1⇐⇒ p− 1 · . . . · 2 · 1 = p− 1.
Se A e´ um anel e a ∈ A e´ tal
que 1A =a
2, enta˜o a e´
invert´ıvel em A e a−1 =a.
Vamos mostrar a u´ltima igualdade. Para isto, observamos que a ∈ Zp
e a2 = 1 se, e somente se, 0 = a2 − 1 = (a − 1)(a + 1). Como Zp e´ um
corpo, a− 1 = 0 ou a+ 1 = 0. Portanto, a = 1 ou a = −1 = p− 1. Assim,
as classe residuais que sa˜o inversas delas mesmas sa˜o 1 e p− 1 e as outras
ocorrem aos pares no produto p− 1 · . . . · 2 · 1, isto e´, para cada uma tem um
fator distinto no produto que e´ seu inverso. Logo,
p−1≡ −1 mod p⇐⇒ p−1= −1 em Zp . p− 1 · . . . · 2 · 1 = p− 1 · 1 = p− 1. �
Agora