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Lista 03 - Álgebra Linear II

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Terceira lista de exerc´ıcios de A´lgebra Linear II
1 Considerando um mesmo operador linear, mostre que cada autovetor esta´ associado a um
u´nico autovalor. Conclua que se V (λ1) e V (λ2) sa˜o os autoespac¸os associados aos distintos
autovalores λ1 e λ2, enta˜o V (λ1) ∩ V (λ2) = {0}. E´ verdade que um autovalor esta´ associado a
um u´nico autovetor? Por queˆ?
2 Seja T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (y, 2y). Mostre que λ = 2 e´ um autovalor de T .
Determine o subespac¸o V (λ) associado a λ, explicitando uma base do mesmo.
3 Ache os autovalores e autovetores correspondentes dos operadores lineares abaixo:
(a) T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (2y, x).
(b) T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (x+ y, 2x+ y).
(c) T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (x+ y, x− y + 2z, 2x+ y − z).
(d) T : P2(R)→ P2(R) definida por T (ax
2 + bx+ c) = ax2 + cx+ b.
(e) T :M2 →M2 definida por T (A) = A
t.
(f) T : R4 → R4 definida por T (x, y, z, w) = (x, x+ y, x+ y + z, x+ y + z + w).
4 Encontre a transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 tal que T tenha autovalores −2 e 3 associados
aos vetores (3, 1) e (−2, 1), respectivamente.
5 Sejam λ1 e λ2 autovalores distintos e na˜o-nulos de T : R
2 → R2. Mostre que se v1 e v2 esta˜o
associados a λ1 e λ2 respectivamente, enta˜o T (v1) e T (v2) sa˜o linearmente independentes.
6 Suponha que v ∈ V seja autovetor de T : V → V e S : V → V simultaneamente, com
autovalores λ1 e λ2, respectivamente. Determine que:
(a) v e´ autovetor de αT + βS associado ao autovalor αλ1 + βλ2;
(b) v e´ autovetor de S ◦ T associado ao autovalor λ1λ2.
7 Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se λ = 0 e´ autovalor de T , enta˜o T na˜o e´
injetora. Qual e´ a rec´ıproca? Ela e´ verdadeira? Prove ou deˆ um contra-exemplo.
8 Sejam A =

 1 2 10 −1 1
0 0 −1

 e B =

 1 3 10 2 0
0 0 3

 matrizes invers´ıveis.
(a) Calcule AB e BA e observe que estas matrizes sa˜o distintas.
(b) Encontre os autovalores de AB e de BA. O que voceˆ observa?
(c) Encontre os autovetores de AB e de BA. O que voceˆ nota?
9 Motivado pelo exerc´ıcio anterior mostre que se A e B sa˜o matrizes de mesma ordem, os
autovalores de AB e BA coincidem.
10 Considere o espac¸o vetorial real R3 munido do produto interno usual e o subespac¸o S =
[(1,−1, 2)]. Seja P o operador linear sobre R3, onde para todo u ∈ R3, w = P (u) e´ a projec¸a˜o
ortogonal do elemento u sobre o subespac¸o S. Determinar os autovalores e autovetores de P .
11 Sejam V um espac¸o vetorial real e T : V → V um operador linear tal que T 2 = T , isto e´,
T (T (v)) = T (v) para todo v ∈ V (operador idempotente). Mostre que, se λ e´ um autovalor de
T , enta˜o λ = 0 ou λ = 1.
12 Sejam V um espac¸o vetorial real e T : V → V um operador linear tal que T 2 = IV , isto
e´, T (T (v)) = v para todo v ∈ V (operador autorreflexivo). Mostre que, se λ e´ um autovalor de
T , enta˜o λ = 1 ou λ = −1.
13 Sejam V um espac¸o vetorial, T um isomorfismo de V e v um autovetor de T associado a
um autovalor λ. Mostre que λ 6= 0 e v e´ um autovetor do isomorfismo inverso T−1 associado
ao autovalor
1
λ
.
14 Considere o espac¸o vetorial real R4 e o operador T sobre R4 definido da seguinte forma:
T (x, y, z, t) = (−y, x,−t, z). Mostre que T satisfaz T 2(v) = −v para todo v = (x, y, z, t) ∈ R4.
Determine a matriz T em relac¸a˜o a` base canoˆnica de R4. O operador linear T possui autovalores
e autovetores?
15 Considere o operador linear T sobre P2(R) definido por T (p(x)) = p(x) + (x + 1)p
′(x).
Determine os autovalores e os autovetores do operador T .
16 Considere o operador linear T sobre M2(R) definido por:
T
([
a b
c d
])
=
[
2a+ b 2b
2c 3d
]
.
Determine os autovalores e os autovetores do operador T .
17 Seja A ∈ Mn(R). Mostre que as matrizes A e A
t possuem os mesmos autovalores. Su-
gesta˜o: utilize o polinoˆmio caracter´ıstico.
18 Considere o operador linear T sobre o R4 cuja matriz em relac¸a˜o a` base canoˆnica de R4 e´
dada por: 

3 1 0 0
0 3 0 0
0 0 4 0
0 0 0 1


Determine os autovalores e os autovetores do operador linear T . O operador linear T e´ um
isomorfismo de R4? O operador linear T e´ diagonaliza´vel?
19 Verifique se sa˜o diagonaliza´veis os operadores lineares do exerc´ıcio 3. Encontre tambe´m o
polinoˆmio minimal de cada um deles.
20 Considere a matriz
A =


2 1 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3

 .
(a) Encontre o polinoˆmio minimal de A.
(b) A e´ diagonaliza´vel?
21 Para quais valores de a as matrizes abaixo sa˜o diagonaliza´veis?
(a) A =
(
1 1
0 a
)
(b) B =
(
1 a
0 1
)
22 Sejam a, b, c, d, e, f nu´meros reais distintos e na˜o nulos, e considere a matriz triangular
abaixo:
A =

 a b c0 d e
0 0 f

 .
(a) Quais sa˜o os autovalores e autovetores de A?
(b) Qual e´ o polinoˆmio minimal de A?
(c) A e´ diagonaliza´vel?
23 Seja T : R3 → R3 definido por T (x, y, z) = (2x+ y, x+ y + z, y − 3z).
(a) Mostre que T e´ diagonaliza´vel;
(b) Exiba uma base β de autovetores de T ;
(c) Calcule [T ]ββ.
24 Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja matriz em relac¸a˜o a base canoˆnica e´
 1 4 24 −5 −4
2 −4 1

 .
(a) Mostre que T e´ diagonaliza´vel;
(b) Exiba uma base β de autovetores de T ;
(c) Calcule [T ]ββ.

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