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Terceira lista de exerc´ıcios de A´lgebra Linear II 1 Considerando um mesmo operador linear, mostre que cada autovetor esta´ associado a um u´nico autovalor. Conclua que se V (λ1) e V (λ2) sa˜o os autoespac¸os associados aos distintos autovalores λ1 e λ2, enta˜o V (λ1) ∩ V (λ2) = {0}. E´ verdade que um autovalor esta´ associado a um u´nico autovetor? Por queˆ? 2 Seja T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (y, 2y). Mostre que λ = 2 e´ um autovalor de T . Determine o subespac¸o V (λ) associado a λ, explicitando uma base do mesmo. 3 Ache os autovalores e autovetores correspondentes dos operadores lineares abaixo: (a) T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (2y, x). (b) T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (x+ y, 2x+ y). (c) T : R3 → R3 definida por T (x, y, z) = (x+ y, x− y + 2z, 2x+ y − z). (d) T : P2(R)→ P2(R) definida por T (ax 2 + bx+ c) = ax2 + cx+ b. (e) T :M2 →M2 definida por T (A) = A t. (f) T : R4 → R4 definida por T (x, y, z, w) = (x, x+ y, x+ y + z, x+ y + z + w). 4 Encontre a transformac¸a˜o linear T : R2 → R2 tal que T tenha autovalores −2 e 3 associados aos vetores (3, 1) e (−2, 1), respectivamente. 5 Sejam λ1 e λ2 autovalores distintos e na˜o-nulos de T : R 2 → R2. Mostre que se v1 e v2 esta˜o associados a λ1 e λ2 respectivamente, enta˜o T (v1) e T (v2) sa˜o linearmente independentes. 6 Suponha que v ∈ V seja autovetor de T : V → V e S : V → V simultaneamente, com autovalores λ1 e λ2, respectivamente. Determine que: (a) v e´ autovetor de αT + βS associado ao autovalor αλ1 + βλ2; (b) v e´ autovetor de S ◦ T associado ao autovalor λ1λ2. 7 Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se λ = 0 e´ autovalor de T , enta˜o T na˜o e´ injetora. Qual e´ a rec´ıproca? Ela e´ verdadeira? Prove ou deˆ um contra-exemplo. 8 Sejam A = 1 2 10 −1 1 0 0 −1 e B = 1 3 10 2 0 0 0 3 matrizes invers´ıveis. (a) Calcule AB e BA e observe que estas matrizes sa˜o distintas. (b) Encontre os autovalores de AB e de BA. O que voceˆ observa? (c) Encontre os autovetores de AB e de BA. O que voceˆ nota? 9 Motivado pelo exerc´ıcio anterior mostre que se A e B sa˜o matrizes de mesma ordem, os autovalores de AB e BA coincidem. 10 Considere o espac¸o vetorial real R3 munido do produto interno usual e o subespac¸o S = [(1,−1, 2)]. Seja P o operador linear sobre R3, onde para todo u ∈ R3, w = P (u) e´ a projec¸a˜o ortogonal do elemento u sobre o subespac¸o S. Determinar os autovalores e autovetores de P . 11 Sejam V um espac¸o vetorial real e T : V → V um operador linear tal que T 2 = T , isto e´, T (T (v)) = T (v) para todo v ∈ V (operador idempotente). Mostre que, se λ e´ um autovalor de T , enta˜o λ = 0 ou λ = 1. 12 Sejam V um espac¸o vetorial real e T : V → V um operador linear tal que T 2 = IV , isto e´, T (T (v)) = v para todo v ∈ V (operador autorreflexivo). Mostre que, se λ e´ um autovalor de T , enta˜o λ = 1 ou λ = −1. 13 Sejam V um espac¸o vetorial, T um isomorfismo de V e v um autovetor de T associado a um autovalor λ. Mostre que λ 6= 0 e v e´ um autovetor do isomorfismo inverso T−1 associado ao autovalor 1 λ . 14 Considere o espac¸o vetorial real R4 e o operador T sobre R4 definido da seguinte forma: T (x, y, z, t) = (−y, x,−t, z). Mostre que T satisfaz T 2(v) = −v para todo v = (x, y, z, t) ∈ R4. Determine a matriz T em relac¸a˜o a` base canoˆnica de R4. O operador linear T possui autovalores e autovetores? 15 Considere o operador linear T sobre P2(R) definido por T (p(x)) = p(x) + (x + 1)p ′(x). Determine os autovalores e os autovetores do operador T . 16 Considere o operador linear T sobre M2(R) definido por: T ([ a b c d ]) = [ 2a+ b 2b 2c 3d ] . Determine os autovalores e os autovetores do operador T . 17 Seja A ∈ Mn(R). Mostre que as matrizes A e A t possuem os mesmos autovalores. Su- gesta˜o: utilize o polinoˆmio caracter´ıstico. 18 Considere o operador linear T sobre o R4 cuja matriz em relac¸a˜o a` base canoˆnica de R4 e´ dada por: 3 1 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1 Determine os autovalores e os autovetores do operador linear T . O operador linear T e´ um isomorfismo de R4? O operador linear T e´ diagonaliza´vel? 19 Verifique se sa˜o diagonaliza´veis os operadores lineares do exerc´ıcio 3. Encontre tambe´m o polinoˆmio minimal de cada um deles. 20 Considere a matriz A = 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 . (a) Encontre o polinoˆmio minimal de A. (b) A e´ diagonaliza´vel? 21 Para quais valores de a as matrizes abaixo sa˜o diagonaliza´veis? (a) A = ( 1 1 0 a ) (b) B = ( 1 a 0 1 ) 22 Sejam a, b, c, d, e, f nu´meros reais distintos e na˜o nulos, e considere a matriz triangular abaixo: A = a b c0 d e 0 0 f . (a) Quais sa˜o os autovalores e autovetores de A? (b) Qual e´ o polinoˆmio minimal de A? (c) A e´ diagonaliza´vel? 23 Seja T : R3 → R3 definido por T (x, y, z) = (2x+ y, x+ y + z, y − 3z). (a) Mostre que T e´ diagonaliza´vel; (b) Exiba uma base β de autovetores de T ; (c) Calcule [T ]ββ. 24 Seja T : R3 → R3 um operador linear cuja matriz em relac¸a˜o a base canoˆnica e´ 1 4 24 −5 −4 2 −4 1 . (a) Mostre que T e´ diagonaliza´vel; (b) Exiba uma base β de autovetores de T ; (c) Calcule [T ]ββ.
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