Lista_II_-_Funcoes_vetoriais

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LISTA II – Funções vetoriais 
 
Nos exercícios de 1 a 6 a função vetorial 𝑟(𝑡) denota o vetor posição de uma partícula se movendo, em cada 
instante 𝑡. Em cada caso: 
a) Determine o vetor velocidade �⃗�(𝑡) 
b) Determine o vetor aceleração �⃗�(𝑡) 
c) Calcule a velocidade escalar em 𝑡 = 𝑡1 
d) Obtenha dois vetores tangentes unitários à trajetória da partícula em 𝑡 = 𝑡1 
e) Trace um esboço da trajetória da partícula e represente graficamente os vetores �⃗�(𝑡1) e �⃗�(𝑡1) 
 
1) 𝑟(𝑡) = [2 + cos(6𝑡)] 𝑖 + [2 + sen(6𝑡)] 𝑗 , 𝑡1 =
𝜋
9
 
2) 𝑟(𝑡) = [cos(2𝑡)] 𝑖 + [−3 sen(𝑡)] 𝑗 , 𝑡1 = 𝜋 
3) 𝑟(𝑡) = (𝑒2𝑡) 𝑖 + (𝑡²) 𝑗 , 𝑡1 = 0 
4) 𝑟(𝑡) = [𝑐𝑜𝑠(𝑡)] 𝑖 + [𝑠𝑒𝑛(𝑡)] 𝑗 + 2 �⃗⃗� , 𝑡1 =
𝜋
2
 
5) 𝑟(𝑡) = 𝑖 + (𝑡 − 1) 𝑗 + (𝑡2 + 1) �⃗⃗� , 𝑡1 = 2 
6) 𝑟(𝑡) = [3 𝑐𝑜𝑠(2𝑡)] 𝑖 + [3 𝑠𝑒𝑛(2𝑡)] 𝑗 + (8𝑡)�⃗⃗� , 𝑡1 =
𝜋
8
 
 
7) Dois carros 𝑅1 e 𝑅2 percorrem, respectivamente, as estradas BR-01 e BR-02, tendo seus movimentos descritos 
pelas funções vetoriais: 
𝑟1⃗⃗⃗ ⃗(𝑡) =< 10𝑡 , 50𝑡
2 > 𝑒 𝑟2⃗⃗⃗⃗ (𝑡) =< 7𝑡 , 70𝑡 − 50 > , 𝑡 ≥ 0 
a) No ponto P onde as estradas se cruzam está situado um radar. Encontre este ponto P. 
b) Os dois carros chegam juntos ao ponto P? Se não, qual deles chega primeiro? 
c) Sabendo que o limite de velocidade é de 80 km/h, qual dos dois carros será multado no ponto P? 
 
8) Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição: 
𝑟1⃗⃗⃗ ⃗(𝑡) =< 1 + 𝑡 , 2 + 3𝑡 > 𝑒 𝑟2⃗⃗⃗⃗ (𝑡) =< 1 − 𝑡 , 3 + 𝑡² > , 𝑡 ≥ 0 
a) Mostre que eles nunca se chocarão. 
b) Esboce as estradas sobre as quais eles se movem. 
c) Em que ponto(s) elas se cruzam? 
d) Em que ponto a velocidade escalar do segundo carro é mínima e qual é esta velocidade? 
 
9) O vetor posição de uma partícula em movimento é: 
𝑟(𝑡) =<
1 − 𝑡²
1 + 𝑡²
 ,
2𝑡
1 + 𝑡²
> 
a) Mostre que a partícula se move sobre uma circunferência com centro na origem. 
b) Em que sentido a partícula se move à medida que 𝑡 aumenta? 
c) Há pontos na circunferência que não são ocupados pela partícula quando 𝑡 percorre o intervalo (−∞, +∞)? 
 
 
10) Um objeto inicia seu movimento no ponto (0, −4) e se move ao longo da parábola 𝑦 = 𝑥² − 4, com 
velocidade horizontal 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 2𝑡 − 1. Encontre o vetor posição do objeto, os vetores velocidade e aceleração no 
instante 𝑡 = 2 e represente-os graficamente. 
 
11) Dois carros se movem sobre pistas circulares concêntricas de raios 1 km e 2 km, respectivamente. O primeiro 
com velocidade angular constante de 20 rad/h. O segundo parte do repouso e mantém aceleração angular 
constante de 40 rad/h². Suponha que no instante inicial os dois carros estão emparelhados. 
a) Encontre os vetores posição para os dois movimentos. 
b) Quanto tempo leva o segundo carro para se emparelhar novamente com o primeiro? 
c) Determine a velocidade do segundo carro neste instante. 
 
12) Considere uma partícula se movendo no plano ao longo da curva definida por: 
𝑟(𝑡) =< 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛(𝑡) , 1 − cos(𝑡) > , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
Determine a velocidade máxima da partícula e o instante em que isso acontece. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS (não estão inclusos os gráficos)