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Lista_VII_-_Funcoes_vetoriais

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LISTA VII – Integrais de linha de campos vetoriais 
 
Calcule ∫ �⃗�𝐶 𝑑𝑟
⃗⃗⃗⃗⃗. 
1) �⃗�(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 − 2𝑥𝑦)𝑖 + (𝑦2 − 2𝑥𝑦)𝑗 e 𝐶 é a parábola 𝑦 = 𝑥² do ponto 𝐴(−2,4) ao ponto 𝐵(1,1). 
2) �⃗�(𝑥, 𝑦) = (
𝑥
√𝑥2+𝑦²
) 𝑖 + (
𝑦
√𝑥2+𝑦²
) 𝑗 e 𝐶 é a circunferência de centro na origem e raio 𝑎, percorrida no sentido 
anti-horário. 
3) �⃗�(𝑥, 𝑦) = (𝑦 + 3𝑥)𝑖 + (2𝑦 − 𝑥)𝑗 e 𝐶 é a elipse 4𝑥2 + 𝑦2 = 4, percorrida no sentido anti-horário. 
4) �⃗�(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑦²)𝑖 + (𝑥2 − 𝑦²)𝑗 e 𝐶 é a curva de equação 𝑦 = 1 − |1 − 𝑥|, do ponto 𝐴(0,0) ao 𝐵(2,0). 
5) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + (𝑥𝑧 − 𝑦) �⃗⃗� e 𝐶 é o segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,4). 
6) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧 𝑖 + 𝑥𝑧 𝑗 + 𝑥(𝑦 + 1) �⃗⃗� e 𝐶 é a fronteira do triângulo de vértices (0,0,0), (1,1,1) e (−1,1, −1), 
percorrida nesta ordem. 
7) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2 − 𝑦2)𝑖 + (𝑧2 − 𝑥2)𝑗 + (𝑦2 − 𝑧²)�⃗⃗� e 𝐶 é a curva de intersecção da esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 
com o plano 𝑦 = 1, percorrida no sentido anti-horário quando vista da origem. 
8) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 𝑖 + (𝑥2 + 𝑧)𝑗 + (𝑦2 − 𝑥)�⃗⃗� e 𝐶 é a curva obtida da intersecção do cone 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2, 𝑧 ≥ 0, 
com o cilindro parabólico 𝑥 = 𝑦², do ponto (0,0,0) ao ponto (1,1, √2). 
 
9) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças �⃗�(𝑥, 𝑦) =< 𝑥2 − 𝑦2 , 2𝑥𝑦 > ao mover uma partícula ao 
longo da fronteira do quadrado limitado pelos eixos coordenados e pelas retas 𝑥 = 𝑎 e 𝑦 = 𝑎, 𝑎 > 0, no sentido anti-
horário. 
 
10) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) =< 𝑦2 , 𝑧2, 𝑥² > ao longo da curva obtida como 
intersecção da esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎² com o cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎𝑥, onde 𝑧 ≥ 0 e 𝑎 > 0. A curva é percorrida no 
sentido anti-horário quando vista do plano 𝑥𝑦. 
 
11) Determine uma função potencial para cada campo gradiente dado. 
a) �⃗�(𝑥, 𝑦) = [𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦)] 𝑖 + [𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦)] 𝑗 
b) �⃗�(𝑥, 𝑦) = (2𝑥𝑦² − 𝑦3) 𝑖 + (2𝑥2𝑦 − 3𝑥𝑦2 + 2) 𝑗 
c) �⃗�(𝑥, 𝑦) = (3𝑥2 + 2𝑦 − 𝑦²𝑒𝑥) 𝑖 + (2𝑥 − 2𝑦𝑒𝑥) 𝑗 
d) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 + 𝑧) 𝑖 + (𝑥 + 𝑧) 𝑗 + (𝑥 + 𝑦) �⃗⃗� 
e) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑒𝑦+2𝑧) 𝑖 + (𝑥𝑒𝑦+2𝑧) 𝑗 + (2𝑥𝑒𝑦+2𝑧) �⃗⃗� 
f) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝑧)] 𝑖 + [𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑧)] 𝑗 + [𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝑧)] �⃗⃗� 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
1) −
369
10
 
2) 𝑧𝑒𝑟𝑜 
3) −4𝜋 
4) 
4
3
 
5) 
23
6
 
6) 𝑧𝑒𝑟𝑜 
7) 𝑧𝑒𝑟𝑜 
8) 
4+10√2
15
 
Questão 9 
2𝑎³ 
Questão 10 
𝜋𝑎³
4
 
Questão 11 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦2 − 𝑥𝑦3 + 2𝑦 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 2𝑥𝑦 − 𝑦2𝑒𝑥 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑒𝑦+2𝑧 
f) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑧)

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