Analise Diferencial do Movimento dos Fluidos 20180530 1441

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MECÂNICA DOS 
FLUIDOS I
Curso: Engenharia Mecânica
Tema: Análise Diferencial do Movimento dos Fluidos
Professor: Alex Luz Salgado, MSc (alex.salgado@uvv.br)
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 
CONSERVAÇÃO DE MASSA
 As equações na forma diferencial, diferente da forma
integral, aplicam-se quando:
• Estamos interessados no comportamento detalhado
de um campo de escoamento, ponto a ponto, e
• Desejamos determinar realmente as quantidades
integrais procuradas; através da determinação
detalhada das distribuições que entram nos
integrandos das leis fundamentais na forma integral
as equações básicas para um volume de controle
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 
CONSERVAÇÃO DE MASSA
 Para a dedução das equações diferencias das leis
básicas, são utilizadas as seguintes considerações
• Hipótese do Contínuo: segundo a qual o fluido pode
ser tratado como tendo distribuição contínua de
matéria, o que leva diretamente a uma
representação de campo das propriedades de um
fluido
• Conceito de Campo: quando uma variável
dependente depende de mais de uma variável
independente, isto é
𝑉 𝑥, 𝑦 é 𝑢𝑚 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 é 𝑢𝑚 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 
CONSERVAÇÃO DE MASSA
Volume de controle elementar,
cartesiano e fixo que mostra as vazões
em massa de entrada e de saída nas
faces, x.
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 
CONSERVAÇÃO DE MASSA
 Para o volume de controle, como o escoamento em
cada lado é aproximadamente unidimensional, a
relação de conservação de massa é:
 Como o elemento é muito pequeno:
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 
CONSERVAÇÃO DE MASSA
 O fluxo apresentado anteriormente, ocorre em todas
as seis faces (três entradas e três saídas)
 Usando o conceito de contínuo, visto anteriormente
(onde todas as propriedades do fluido são
consideradas como variando uniformemente em
funções de tempo e posição), temos: 𝜌 = 𝑥, 𝑦, 𝑥, 𝑡
 Se temos a temperatura T na face esquerda do
elemento, a face direita terá um pequena diferença
de temperatura descrita por: 𝑇 + 𝜕𝑇 𝜕𝑥 𝑑𝑥 .
 Para o caso de conservação da massa, se 𝜌𝑢 é
conhecido na face esquerda, o valor deste produto,
na face direita, será: ρ𝑢 + 𝜕𝜌𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑥
𝜌u → ρ𝑢 + 
𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑥 𝑑𝑥
Face Esquerda Face Direita
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 
CONSERVAÇÃO DE MASSA
 A tabela abaixo apresenta os fluxos de massa
entrando e saindo nas três faces:
Face
Fluxo de Massa na 
Entrada
Fluxo de Massa na 
Saída
X 𝜌𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝜌𝑢 +
𝜕
𝜕𝑥
𝜌𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
Y 𝜌𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝜌𝑣 +
𝜕
𝜕𝑦
𝜌𝑣 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧
z 𝜌𝑤 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝜌𝑤 +
𝜕
𝜕𝑧
𝜌𝑤 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 
CONSERVAÇÃO DE MASSA
 Substituindo na lei de conservação de massa:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +
𝜕
𝜕𝑥
𝜌𝑢 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +
𝜕
𝜕𝑦
𝜌𝑣 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +
𝜕
𝜕𝑧
𝜌𝑤 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0
EQUAÇÃO DA 
CONTINUIDADE
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
𝜕
𝜕𝑥
𝜌𝑢 +
𝜕
𝜕𝑦
𝜌𝑣 +
𝜕
𝜕𝑧
𝜌𝑤 = 0
 Esta é a equação da “conservação da massa para
um volume de controle infinitesimal”.
 Conhecida também como: EQUAÇÃO DA
CONTINUIDADE (pois requer assumir que a massa
específica e a velocidade atendem a Hipótese do
Contínuo).
 Para este caso o fluxo pode ser em regime
permanente ou não, com efeitos de viscosidade ou
não, compressível ou incompressível.
EQUAÇÃO DA 
CONTINUIDADE
 O vetor gradiente é dado por:
𝛻 = 𝑖
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑗
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝑘
𝜕
𝜕𝑧
 Ele nos permite escrever a equação da continuidade
de uma maneira mais compacta:
𝜕
𝜕𝑥
𝜌𝑢 +
𝜕
𝜕𝑦
𝜌𝑣 +
𝜕
𝜕𝑧
𝜌𝑤 ≡ 𝛻. 𝜌𝑉
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 𝛻. 𝜌𝑉 = 0
EQUAÇÃO DA 
CONTINUIDADE
 Casos particulares:
• Para um fluido incompressível, ρ = constante;
• Massa específica não é função nem das
coordenadas espaciais nem do tempo.
• Neste caso, a eq. da continuidade é simplificada
para:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= 𝛻. 𝑉 = 0
• O campo de velocidade 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 para escoamento
incompressível deve satisfazer:
𝛻. 𝑉 = 0
EQUAÇÃO DA 
CONTINUIDADE
 Casos particulares:
• Para escoamento permanente, todas as
propriedades dos fluidos são, por definição,
independentes do tempo:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0 𝜌 = 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝛻. 𝜌𝑉 = 0
EXERCÍCIOS
 Para um escoamento bidimensional no plano xy, a
componente x da velocidade é dada por u = Ax.
Determine uma possível componente y para
escoamento incompressível. Quantas componentes y
são possíveis para satisfazer a equação da
continuidade?
 Sob que condições o campo de velocidade
em que a1, b1,... = cte., representa um escoamento
incompressível que conserva a massa?
 Um campo de velocidade incompressível é dado por
u = a(x² – y²) , v desconhecida, w = b, em que a e b
são constantes. Qual deve ser a forma do
componente v da velocidade?
EXERCÍCIOS
 Um amortecedor a gás na suspensão de um automóvel comporta-se como um
dispositivo pistão-cilindro. No instante em que o pistão está L = 0,15 m afastado
da extremidade fechada do cilindro, a massa específica do gás é uniforme em ρ
= 18 kg/m3 e o pistão começa a se mover, afastando-se da extremidade
fechada do cilindro com V = 12 m/s. Considere como modelo simples que a
velocidade do gás é unidimensional e proporcional à distância em relação à
extremidade fechada; ela varia linearmente de zero, na extremidade, a u = V no
pistão. Encontre a taxa de variação da massa específica do gás nesse instante.
Obtenha uma expressão para a massa específica média como uma função do
tempo.
COORDENADAS 
CILÍNDRICAS POLARES
 Uma alternativa ao sistema cartesiano é o sistema de
coordenadas cilíndricas polares.
COORDENADAS 
CILÍNDRICAS POLARES
 Foi levado e consideração um ponto arbitrário P.
• Distante “z” ao longo do eixo
• Distante “r” na direção radial
• Ângulo de rotação θ ao redor do eixo
 Assim sendo, tenho três componentes independentes
de velocidade
𝑣𝑧 → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑣𝑟 → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑣𝜃 → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
(positivo no sentido anti
− horário. Ou seja, no sentido de aumento de θ)
COORDENADAS 
CILÍNDRICAS POLARES
 Em geral, todos os componentes, assim como a
pressão, a massa específica e outras propriedades,
são funções contínuas de 𝑟, 𝜃, 𝑧 𝑒 𝑡.
 O divergente de qualquer vetor função 𝐴 = 𝑟, 𝜃, 𝑧, 𝑡 é
apresentado da maneira a seguir, sem
demonstração:
𝛻. 𝐴 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝐴𝑟 +
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
𝐴𝜃 +
𝜕
𝜕𝑧
𝐴𝑧
COORDENADAS 
CILÍNDRICAS POLARES
 A equação da continuidade em coordenadas
polares cilíndricas é, portanto:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝜌𝑣𝑟 +
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
𝜌𝑣𝜃 +
𝜕
𝜕𝑧
𝜌𝑣𝑧 = 0
COORDENADAS 
CILÍNDRICAS POLARES
 Casos particulares:
• Para um fluido incompressível, ρ = constante;
• Massa específica não é função nem das coordenadas
espaciais nem do tempo.
• Neste caso, a eq. da continuidade é simplificada para:
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝑣𝑟 +
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
𝑣𝜃 +
𝜕
𝜕𝑧
𝑣𝑧 = 0
𝛻. 𝑉 = 0
COORDENADAS 
CILÍNDRICAS POLARES
 Casos particulares:
• Para escoamento permanente, todas as
propriedades dos fluidos são, por definição,
independentes do tempo:
𝜕𝜌
𝜕𝑡
= 0 𝜌 = 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝛻. 𝜌𝑉 = 0
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
𝑟𝜌𝑣𝑟 +
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
𝜌𝑣𝜃 +
𝜕
𝜕𝑧
𝜌𝑣𝑧 = 0
EXERCÍCIO
 Considere um escoamento radial e unidimensional,
no plano rθ, caracterizado por Vr = f(r) e Vθ= 0.
determine as condições sobre f(r) necessáriaspara
que o escoamento seja incompressível
Métodos para o estudo da 
cinemática dos fluidos
 Método de Lagrange
 Método de Euler
MÉTODO DE LAGRANGE
 Descreve o movimento de cada partícula
acompanhando-a em sua trajetória real;
 Apresenta grande dificuldade nas aplicações
práticas;
 Para a engenharia normalmente não interessa o
comportamento individual da partícula e sim o
comportamento do conjunto de partículas no
processo de escoamento.
MÉTODO DE EULER
 Consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher
uma seção ou volume de controle no espaço e
considerar todas as partículas que passem por este
local;
 Método preferencial para estudar o movimento dos
fluidos: praticidade.
 Euleriano: O movimento do fluido é descrito pela especificação
completa das propriedades necessárias (pressão, densidade,
velocidade) em função das coordenadas espaciais e temporais.
Obtemos informações do escoamento em função do que acontece
em pontos fixos do espaço.
 Lagrangiano: Envolve seguir as partículas fluidas e determinar como
as propriedades da partícula variam em função do tempo.
Medição da temperatura
Euleriano Lagrangiano
Se temos muitos dados, 
podemos obter informações 
Eulerianas a partir de 
informações Lagrangianas, ou 
vice-versa.
Métodos Eulerianos são muito 
usados em experimentos e 
análises — um probe colocado 
em um ponto do escoamento.
Métodos Lagrangianos podem 
ser usados se queremos 
“etiquetar” partículas de fluido 
no escoamento.
CAMPO DE VELOCIDADE –
EULERIANO x LAGRANGIANO
CAMPO DE ACELERAÇÃO 
DE UM FLUIDO
 Como já apresentado anteriormente, a forma de um
campo de velocidades é dado por:
𝑉 = 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
𝑉 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑖 + 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑗 + 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 𝑘
 Essa é a mais importante variável em mecânica dos
fluidos. Sabendo o vetor velocidade, é quase que o
equivalente à “resolver” um problema de
escoamento de fluido.
CAMPO DE ACELERAÇÃO 
DE UM FLUIDO
 Considerando um sistema referencial Euleriano, que
considera as coordenadas fixas no espaço (e a gente
observa o fluido passando por este ponto), temos que
o campo vetorial de aceleração “a” do escoamento:
 𝑎 =
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝑑𝑢
𝑑𝑡
 𝑖 +
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 𝑗 +
𝑑𝑤
𝑑𝑡
 𝑘
 Como cada componente escalar de velocidade (u,
v, w) é um função de 4 variáveis (x, y, z, t), podemos
usar a regra da cadeia para encontrar as derivadas
parciais.
CAMPO DE ACELERAÇÃO 
DE UM FLUIDO
 Por definição:
CAMPO DE ACELERAÇÃO 
DE UM FLUIDO
 Fazendo exatamente a mesma coisa para v e w
(para
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑒
𝑑𝑤
𝑑𝑡
), chegamos ao seguinte vetor:
 𝑎 =
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
=
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑉. 𝛻 𝑉
“Aceleração local” (se o escoamento 
for em regime permanente, sabemos 
que a mesma será zero)
“Aceleração convectiva”. Aparece 
quando a partícula se desloca por regiões 
com velocidade variável no espaço como 
em um bocal ou difusor
CAMPO DE ACELERAÇÃO 
DE UM FLUIDO
 Observe que:
𝑉. 𝛻 = 𝑢
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕
𝜕𝑧
𝛻. 𝑉 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
Exercício
 Dado o campo de velocidade euleriano
𝑉 = 3𝑡𝑖 + 𝑥𝑧𝑗 + 𝑡𝑦2𝑘
Encontre a aceleração da partícula.
CAMPO DE ACELERAÇÃO 
DE UM FLUIDO
 Em coordenadas cilíndricas
CAMPO DE ACELERAÇÃO 
DE UM FLUIDO
 Escoamento Bidimensional
 Escoamento Unidimensional
 Escoamento Permanente em três dimensões
EXERCÍCIO
 Considere o escoamento bidimensional, permanente
e incompressível através do canal plano convergente
mostrado. A velocidade sobre a linha de centro
horizontal (eixo x) é dada por
Determine uma expressão para a aceleração de uma
partícula movendo-se ao longo da linha de centro. Use
(a) o método euleriano e (b) o método lagrangiano
aceleração quando a partícula está no início e no final
do canal.
𝑉 = 𝑉1 1 +
𝑥
𝐿
 𝑖
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE 
DE MOVIMENTO
 Aplicando a segunda lei de Newton a uma partícula
fluida infinitesimal de massa dm.
 Para um sistema:
onde a quantidade de movimento, 𝑃, do sistema é dada
por
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE 
DE MOVIMENTO
 Para um sistema infinitesimal de massa dm, a segunda
lei de Newton pode ser escrita
 Introduzindo a expressão para a aceleração de um
elemento de fluido de massa dm em movimento num
campo de velocidade, a lei de Newton pode ser
escrita na seguinte forma vetorial
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE 
DE MOVIMENTO
 Consideremos a componente x da força atuando
sobre um elemento diferencial de massa dm e
volume dV=dxdydz. Somente aquelas tensões que
atuam na direção x darão origem a forças de
superfície na direção x.
 Se as tensões no centro do elemento diferencial
forem tomadas como σxx, τyx e τzx, então as tensões
atuando na direção x em cada face do elemento
(obtidas por uma expansão por série de Taylor em
torno do centro do elemento) serão conforme
mostrado na figura.
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE 
DE MOVIMENTO
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE 
DE MOVIMENTO
 Para obter a força de superfície resultante na direção
x, dFSx, devemos somar as forças nessa direção.
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE 
DE MOVIMENTO
 Quando a força da gravidade é a única força de
corpo atuante, a força de corpo por unidade de
massa é igual a 𝑔.
 A força resultante na direção x, dFx, é dada por
 Similarmente para as componentes da força nas
direções y e z:
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE 
DE MOVIMENTO
 Se substituirmos as expressões para as componentes
dFx, dFy e dFz, da força dF atuando sobre o elemento
de massa dm, nas componentes x, y e z da força na
equação da segunda lei de Newton:
 Obteremos as equações diferenciais do movimento
(satisfazendo a hipótese do contínuo):
EQUAÇÃO DE NAVIER 
STOKES
 As equações de Navier Stokes são equações
diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos
 Permitem determinar os campos de velocidade e de
pressão num escoamento
Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes
EQUAÇÃO DE NAVIER 
STOKES
 Estas equações estabelecem que mudanças no
momento e aceleração de uma partícula fluida são
simplesmente o produto (resultado) das mudanças na
pressão e forças viscosas dissipativas (similar a fricção)
atuando no fluido
 Úteis conjuntos de equações: descrevem a física de
um grande número de fenômenos de interesse
econômico e acadêmico, inclusive em diversos ramos
da engenharia.
EQUAÇÃO DE NAVIER 
STOKES
 São usadas para:
- Modelar o clima
- Modelar correntes oceânicas
- Modelar fluxos da água em oceanos, estuários, lagos 
e rios
- Modelar movimentos das estrelas dentro e fora da 
galáxia
- Modelar fluxo ao redor de aerofólios (asas) de 
automóveis e de aviões
- Modelar propagação de fumaça em incêndios e em 
chaminés industriais
EQUAÇÃO DE NAVIER 
STOKES
 São usadas para:
- Projetos de aeronaves e carros
- Estudos do fluxo sanguíneo (hemodinâmica)
- Projeto de usinas hidrelétricas
- Projetos de hidráulica marítima
- Análise dos efeitos da poluição hídrica em rios, 
mares, lagos, oceanos e da dispersão da poluição 
atmosférica. 
EQUAÇÃO DE NAVIER 
STOKES
 Diferentemente das equações algébricas, não
procuram estabelecer uma relação entre as variáveis
de interesse (por exemplo: velocidade e pressão).
 Em vez disto, elas estabelecem relações entre as
taxas de variação ou fluxos destas quantidades (suas
derivadas).
 Para o caso mais simples de um fluido ideal com
viscosidade zero, estabelecem que a aceleração (a
razão de variação da velocidade)é proporcional a
derivada da pressão interna.
EQUAÇÃO DE NAVIER 
STOKES
 Para situações mais complexas, tais como um sistema
de clima global como o El Niño ou a sustentação em
uma asa, as soluções para a equação de Navier-
Stokes frequentemente devem ser encontradas com
a ajuda de computadores.
 Este é um campo da ciência conhecido como CFD,
sigla do inglês Computational Fluid Dynamics ou
Dinâmica dos Fluidos Computacional.
EQUAÇÃO DE NAVIER 
STOKES
 Embora estas equações foram escritas no século 19,
ainda não foi comprovado que, em três dimensões
existem sempre soluções, ou que, se elas existem,
então não contêm qualquer singularidade (ou infinito
ou descontinuidade).
EQUAÇÃO DE NAVIER 
STOKES
 A equação de Navier Stokes estão entre os 7
problemas de matemática mais difíceis do mundo
 Hipótese de Poincaré - resolvido em 2010
 Hipótese de Riemann
 P = NP
 Equações de Navier-Stokes
 Conjectura de Hodge
 Teoria de Yang-Mills
 Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer
EQUAÇÃO DE NAVIER 
STOKES
 Entender o movimento dos fluidos nunca foi uma
tarefa fácil. Claude Navier e George Stokes, no século
19, bem que tentaram, mas as equações deixadas
por eles só confundem ainda mais os pesquisadores.
 O desafio que vale US$ 1 milhão, afirma o Instituto
Clay, é fazer progressos substanciais em direção a
uma teoria matemática que irá desvendar os
segredos escondidos nas equações de Navier-Stokes,
que tentam explicar as ondas de um lago e as
correntes de ar ao redor de um avião.
EQUAÇÃO DE NAVIER 
STOKES
 Suposições acerca dos fluidos:
• Fluido é um meio continuo
• Todas as variáveis de interesse tais como pressão, velocidade,
densidade, temperatura, etc., são diferenciáveis
 Equações obtidas a partir de princípios básicos de conservação
da massa, momento, e energia.
 Considerar um volume arbitrário finito, chamado volume de
controle.
 O volume de controle permanece fixo no espaço ou pode
mover-se como o fluido.
 Volume elementar, suficientemente pequeno para que no seu
seio as propriedades do fluido sejam relativamente
homogêneas, quase como se tratasse de uma partícula
homogênea.
EQUAÇÃO DE NAVIER 
STOKES
 Sabemos que para um escoamento newtoniano,
unidimensional e laminar, a tensão de cisalhamento é
proporcional à taxa de deformação angular:
𝜏𝑦𝑥 ∝
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 Para um escoamento tridimensional, a situação é
mais complicada. Necessitamos usar expressões mais
complexas para a taxa de deformação angular.
EQUAÇÃO DE NAVIER 
STOKES
 As tensões podem ser expressas em termos de
gradientes de velocidade e de propriedades dos
fluidos, em coordenadas retangulares, como segue
EQUAÇÃO DE NAVIER 
STOKES
 Onde p é a pressão termodinâmica local. A pressão
termodinâmica está relacionada com a massa
específica e com a temperatura por meio de
relações termodinâmicas usualmente chamadas de
equações de estado.
 Introduzindo essas expressões para as tensões nas
equações diferenciais do movimento, obtemos:
EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES
EQUAÇÃO DE NAVIER 
STOKES
𝑣
EQUAÇÃO DE NAVIER 
STOKES
 As equações anteriores, quando aplicadas ao
escoamento incompressível com viscosidade
constante, se reduzem a:
EQUAÇÃO DE NAVIER 
STOKES
 Em notação vetorial, as equações de Navier-Stokes
assumem a seguinte forma:
EQUAÇÃO DE NAVIER 
STOKES
 Estas equações, juntamente com a equação da
continuidade, a equação de estado, a equação da
energia e conhecendo-se a lei empírica da
viscosidade e as condições de contorno e condições
iniciais, determinam completamente a pressão,
densidade, temperatura, viscosidade e componentes
da velocidade em um escoamento de um fluido.
EXERCÍCIOS
 Um líquido escoa para baixo sobre uma superfície
plana inclinada em um filme laminar, permanente,
completamente desenvolvido e de espessura h.
Simplifique as equações da continuidade e de
Navier-Stokes para modelar esse campo de
escoamento. Obtenha expressões para o perfil de
velocidades do líquido, a distribuição de tensões de
cisalhamento, a vazão volumétrica e a velocidade
média. Relacione a espessura do filme de líquido com
a vazão volumétrica por unidade de profundidade
da superfície normal ao escoamento. Calcule a
vazão volumétrica em um filme de água com
espessura de h= 1 mm, escoando sobre uma
superfície de largura b = 1 m, inclinada de θ = 15° em
relação à horizontal.
EXERCÍCIOS
Questões:
a) Equações simplificadas da continuidade e de Navier-
Stokes para modelar esse campo de escoamento
b) O perfil de velocidades
c) A distribuição da tensão de cisalhamento
d) A vazão volumétrica por unidade de profundidade
da superfície normal ao diagrama
e) A velocidade média de escoamento
f) A espessura do filme em termos da vazão volumétrica
por unidade de profundidade da superfície normal
ao diagrama
g) A vazão volumétrica em um filme de água de 1mm
de espessura sobre uma superfície de 1m de largura,
inclinada de 15° em relação à horizontal.
EXERCÍCIOS
 Redução das equações de Navier-Stokes para
equações mais simples
 Uso das condições de contorno para completar a
solução
 Com o campo de velocidade, podemos calcular
outras quantidades úteis (tensão de cisalhamento,
vazão volumétrica)
 Mesmo para problemas relativamente simples, os
resultados podem ser complicados: a profundidade
do escoamento depende de forma não linear da
vazão (ℎ ∝ 𝑄 
1
3)
EXERCÍCIOS
 (z para cima). Considere um fluxo de um fluido
newtoniano em regime permanente, em duas
dimensões, incompressível com o seguinte campo de
velocidade:
u = –2xy, v = y2 – x2 e w = 0
(a)O escoamento satisfaz a conservação da massa?
(b)Encontre o campo de pressão p(x, y) se a pressão no
ponto (x=0, y=0) é igual a pa
EXERCÍCIOS
 Se z está para cima, quais são as condições para as
constante a e b serem exatamente a solução para a
continuidade e encontre o campo de pressão
através das equações de Navier-Stokes para fluxo
incompressível e em regime permanente?
Campo de velocidade: u = ay, v = bx, w = 0.
MECÂNICA DOS 
FLUIDOS I
Curso: Engenharia Mecânica
Tema: Análise Diferencial do Movimento dos Fluidos
Professor: Alex Luz Salgado, MSc (alex.salgado@uvv.br)