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4.38. Considere a família de funções polinomiais do terceiro grau 𝒒: 𝑰𝑹 → 𝑰𝑹 definida por 𝒒(𝒙) = 𝒙(𝒙² − 𝒂), com 𝒂 ∈ 𝑰𝑹. Use o Geogebra para criar um gráfico dinâmico representando essa família. a) Varie a e observe as mudanças no gráfico de q. Gráfico de 𝒒 para valores de 𝒂 > 𝟎 Gráfico de 𝒒 para valores de 𝒂 ≤ 𝟎 b) Para que valores reais de 𝒂 a função admitem três raízes reais distintas? Quantas raízes reais têm 𝒒 para os demais valores de 𝒂? Justifique suas respostas. Para todo valor de a pertencente aos Reais, para 𝑎 > 0 vem que q têm três raízes reais distintas. Pois tomando as raízes de q , vem que: 𝒙(𝒙² − 𝒂) = 𝟎, que 𝒙² = 𝒂, logo 𝒙 = ±√𝒂. Portanto para 𝑎 > 0 obtemos duas raízes reais e o zero é a terceira raiz real. c) Você observará que, quando os valores positivos de 𝒂 aumentam, o gráfico parece adquirir o aspecto de uma reta. Por que isso ocorre? O fato acima descrito ocorre para valores de 𝒂 negativos, dai teremos que:: 𝒙[𝒙² − (−𝒂)] = 𝟎 𝒙 = ±√−𝒂.Não possuindo assim raiz real e sim raízes imaginárias. O gráfico terá tipo de uma reta porque elas têm raízes complexas. 4.41. O roteiro a seguir à construção de um sistema de coordenadas cartesianas em geometria dinâmica. 1-Construa uma reta livre de referência (Preferencialmente em posição visualmente horizontal). Construa uma reta paralela a uma reta perpendicular à reta de referencia. Chame essas duas retas de 𝑶𝒙 e 𝑶𝒚, respectivamente. Chame de 𝑶 o ponto de intersecção entre de 𝑶𝒙 e 𝑶𝒚. Esconda a reta de referência. 2- Marque um ponto 𝑼𝒙 na reta 𝑶𝒙, a direita do ponto 𝑶. Construa um círculo de centro 𝑶 e raios 𝑶𝑼𝒙̅̅ ̅̅ ̅̅ . Chame de 𝑼𝒚 o ponto de intersecção entre o círculo e a reta 𝑶𝒚, que está acima do ponto 𝑶. Escondo o círculo construído. 3- Marque um ponto livre X em 𝑶𝒙, e um ponto livre Y em 𝑶𝒚. Use a ferramenta razão por três pontos para definir as razões: 𝒙 = 𝑶𝑿̅̅ ̅̅ 𝑶𝑼𝒙̅̅ ̅̅ ̅̅ e 𝒚 = 𝑶𝒀̅̅ ̅̅ 𝑶𝑼𝒚̅̅ ̅̅ ̅̅ 4-Trace as retas perpendiculares a 𝑶𝒙 passado por X e a 𝑶𝒚 passando por Y, e chame de P o ponto de intersecção destas retas. Se quiser, você poderá esconder essas retas em seguida. a) No primeiro passo, foi construída uma reta de referência, que depois foi escondida. Qual é a vantagem de construir essa reta? Por que não construir diretamente os eixos horizontal e vertical? A principal vantagem que pode se trabalhar com um novo cartesiano,onde ele poderá ser orientado da maneira que desejar arbitrariamente. . Porém nesse novo sistema ele poderá ser oblíquo. b) No sistema cartesiano construído, qual é o papel dos pontos 𝑼𝒙 e 𝑼𝒚? Os pontos Ux e Uy é a intersecção da circunferência com os eixos cartesianos, assim temos que: OUx̅̅ ̅̅ ̅ = OUy̅̅ ̅̅ ̅ que é o raio da circunferência de centro O. c) Qual o significado das razões 𝒙 = 𝑶𝑿̅̅ ̅̅ 𝑶𝑼𝒙̅̅ ̅̅ ̅̅ e 𝒚 = 𝑶𝒀̅̅ ̅̅ 𝑶𝑼𝒚̅̅ ̅̅ ̅̅ calculadas? Arraste os pontos X e Y ao longo dos eixos e observe a variação desses valores. São as coordenadas que dependem de Ux e Uy, onde o raio da circunferência muda em relação ao centro,assim arrastar os pontos Ux e Uy,corresponde a observar mudança nos valores das coordenadas de um ponto fixo. d) Observe que, a partir de certo ponto da construção, passamos a usar a palavra eixo no lugar de reta. Por que esta palavra não foi usada desde o começo? Quando utiliza-se uma reta essa não possui centro, porém quando toma uma perpendicular a essa reta gera-se um ponto que passa a ser o centro de um plano cartesiano e como as duas retas tem esse ponto em comum, ele vai ser o centro do plano determinado pela intersecção das retas perpendiculares. Daí, utiliza a palavra eixos para designar a construção do plano ao invés de retas. e) Arraste o ponto 𝑼𝒙ao longo do eixo horizontal, mantendo os pontos X e Y parados. Observe o que acontece com os valores de 𝒙 e 𝒚 enquanto você arrasta 𝑼𝒙. Interprete esses resultados nos casos em que: i. 𝑼𝒙 está entre 𝑶 e X; Como o ponto 𝑼𝒙 está entre O e X. Quando o ponto 𝑼𝒙 se aproxima do ponto O temos que a razão 𝒙 se aproxima de um valor muito grande. Podemos escrever essa relação da seguinte forma: Toma o segmento 𝑶𝑿̅̅ ̅̅ como um segmento unitário e o seguimento 𝑶𝑼𝒙̅̅ ̅̅ ̅̅ como k. Sabemos que 𝒌 ∈ [𝟎, 𝟏], daí vêm que: 𝐥𝐢𝐦 𝒌→ 𝟎 𝒙 = ∞, com 𝒙 = 𝑶𝑿̅̅ ̅̅ 𝑶𝑼𝒙̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝟏 𝒌 . ii. X está entre 𝑶 e 𝑼𝒙; Como o ponto 𝑿 está entre O e 𝑼𝒙. Quando o ponto 𝑿 se aproxima do ponto O temos que a razão 𝒙 se aproxima de um valor muito pequeno. Podemos escrever essa relação da seguinte forma: Toma o segmento 𝑶𝑼𝒙̅̅ ̅̅ ̅̅ como um segmento unitário e o seguimento 𝑶𝑿̅̅ ̅̅ como 𝒎. Sabemos que 𝒎 ∈ [𝟎, 𝟏], daí vêm que: 𝐥𝐢𝐦 𝒎→ 𝟎 𝒙 = 𝟎, com 𝒙 = 𝑶𝑿̅̅ ̅̅ 𝑶𝑼𝒙̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝒎 𝟏 . iii. 𝑶 Está entre X e 𝑼𝒙. Como o ponto O está entre 𝑿 e 𝑼𝒙. E não estabelecendo que os seguimentos 𝑶𝑿̅̅ ̅̅ = 𝒎 e 𝑶𝑼𝒙̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝒌. Se o ponto 𝑼𝒙 está à esquerda do ponto O, o segmento 𝑶𝑼𝒙̅̅ ̅̅ ̅̅ terá orientação negativa no sistema cartesiano. Daí obterá os seguintes valores: 𝐥𝐢𝐦 𝒌→∞− 𝒙 = 𝟎, com 𝒙 = 𝒎 𝒌 . Se o ponto 𝑿 está à esquerda do ponto O, o segmento 𝑶𝑿̅̅ ̅̅ terá orientação negativa no sistema cartesiano. Daí obterá os seguintes valores: 𝐥𝐢𝐦 𝒎→∞− 𝒙 = −∞, com 𝒙 = 𝒎 𝒌 . f) Suponha que você faça a seguinte alteração na construção proposta: em lugar de marcar o ponto 𝑼𝒚 como intersecção do círculo com o eixo 𝑶𝒚, marque 𝑼𝒚 como um ponto livre nesse eixo. Assim você poderá mover os pontos 𝑼𝒙 e 𝑼𝒚 independentemente. Que diferença esta alteração representa no sistema de eixos cartesianos construído. Essa nova alteração faz 𝑂𝑈𝑥̅̅ ̅̅ ̅̅ ≠ 𝑂𝑈𝑦̅̅ ̅̅ ̅̅ essa diferença acarreta que não há uma circunferência relacionando os dois segmentos. Como a mudança de um deles não altera em nada a relação com o outro. As perpendiculares passando por esses pontos gera um novo sistema cartesiano, porem esse novo sistema é livre de qualquer função entre os pontos 𝑼𝒙 e 𝑼𝒚. 4.42. O roteiro a seguir visa à construção do gráfico de uma função real em geometria dinâmica, a partir de um sistema de coordenadas cartesianas previamente construído. Assim, comece com uma tela com um sistema de eixos cartesianos construído. 1- Como na atividade anterior marque um ponto livre X sobre o eixo 𝒐𝒙, e use a ferramenta 𝑹𝒂𝒛ã𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝟑 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐𝒔 para definir a razão 𝒙 = 𝑶𝑿̅̅ ̅̅ 𝑶𝑼𝒙̅̅ ̅̅ ̅̅ · 2- Use a ferramenta calculadora para inserir a expressão algébrica da função cujo gráfico deseja traçar. No exemplo, traçou o gráfico de 𝒚 = 𝒙² − 𝟒𝒙 + 𝟑. Para inserir a expressão na calculadora, você deverá selecionar 𝒙 na própria tela e digitar os números e sinais no teclado da calculadora que aparecerá na tela. Chame 𝒚 o valor gerado. 3-Para marcar o ponto Y no eixo vertical cuja ordena é 𝒚 = 𝒙² − 𝟒𝒙 + 𝟑, você deverá usar a ferramenta Homotetia. Construa a imagem do ponto𝑼𝒚 pela Homotetia de centro O e razão y. 4- Trace as retas perpendiculares a 𝒐𝒙 passando por 𝑿 e a 𝒐𝒚 passando por 𝒀, e chame de 𝑷 o ponto de intersecção destas retas. 5- Agora você poderá representar o gráfico de 𝒚 = 𝒙² − 𝟒𝒙 + 𝟑, usando as ferramentas Rastro de objetos ou Locus (lugar geométrico). Para usar a ferramenta Rastro de objetos, você deverá marcar o ponto P e, em seguida, selecionar a ferramenta. Para usar a ferramenta Locus você deverá marcar o ponto P e, em seguida, selecionar a ferramenta. Para usara ferramenta Locus, selecione a ferramenta e, em seguida marque os pontos P e X: com isso, o software apresentará o lugar geométrico de P quando X varia. a). Justifique o uso da transformação de homotetia, incluindo a escolha de 𝒚 e 𝑶 como razão e centro de homotetia, para determinar o ponto no eixo 𝒐𝒚 que corresponde à ordenada do ponto P. As distâncias mantem proporcionais ao centro y é alterado, com centro fixo, as raízes da parábola não mudam, e a parábola é ampliada. b). Discuta como o uso das ferramentas Rastro e Locus nesta atividade pode contribuir com a aprendizagem do conceito de função. Compare o uso dessas duas ferramentas, do ponto de vista pedagógico. A ferramenta Rastro mostra por onde o ponto P passou e o aluno enxergará uma curva que é uma parábola, e poderá ser reforçada utilizando a definição de foco e reta diretriz e calcular a razão entre elas pela ferramenta Razão por 3pontos. Porem a ferramenta Locus desenha uma parábola direto passando em P e quando movemos o ponto X vemos o ponto P ter sua trajetória sobre a parábola, análogo ao caso anterior as definições de parábola poderá ser usada para provar que o lugar geométrico é uma parábola. c). Arraste o ponto 𝑼𝒙 ao longo do eixo horizontal, mantendo os pontos 𝑿 e 𝒀 parados. Observe e explique as mudanças sofridas pelo gráfico. Quando o ponto 𝑼𝒙 é arrastado, o aspecto do gráfico da função também se altera.Isto ocorre porque a equação que define o lugar geométrico permanece fixa,enquanto a escala dos dois eixos é alterada. d). Explique por que a parábola sempre passa pelo ponto 𝑼𝒙, quando arrastamos os pontos 𝑿 e 𝑼𝒙. Qual deve ser a relação entre os pontos segmentos 𝑶𝑿 e 𝑶𝑼𝒙 para que o ponto P coincida com o outro ponto em que a parábola intercepta o eixo horizontal? Justifique sua resposta. Quando X e Ux são arrastados, o efeito é o mesmo em relação entre esses pontos,(isto , a razão entre os segmentos OX e OUx ) for mantida. e). Qual deve ser a relação entro os segmentos 𝑶𝑿 e 𝑶𝑼𝒙 para que o ponto P coincida com o vértice da parábola? Justifique sua resposta. Para que o ponto P esteja sobre o vértice da parábola teremos que a razão entre os segmentos 𝑶𝑿 e 𝑶𝑼𝒙 deverá ser igual a 2 e 𝑼𝒙 é uma raiz da equação 𝒚 = 𝒙² − 𝟒𝒙 + 𝟑, e ele é o ponto médio do segmento 𝑶𝑿 e esse também é o ponto médio das raízes da parábola. Logo a reta perpendicular ao eixo 𝒐𝒙 pelo ponto X é a reta de simetria da parábola. Portanto o ponto P coincide com o vértice da parábola se a razão entre os segmentos 𝑶𝑿 e 𝑶𝑼𝒙 for igual a 2.
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