Artigo Abiassafe, Cledenilson Transferencia de calor

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SOLUÇÃO DE DIFERENÇA FINITA: O MÉTODO EXPLÍCITO 
 
Abiassafe Rodenbergue Araujo Lima¹ 
Araltos-cris@hotmail.com¹ 
Cledenilson Ribeiro de Oliveira² 
cledenilsonribeiro@hotmail.com² 
 
RESUMO: A transferência de calor busca explicar situações vistas no cotidiano. O método das diferenças finitas explícito 
é utilizado na solução de um problema sujeito ás condições de contorno em regime transiente. Por se trata de um método 
numérico, deve ter a participação do estudante durante todas fases de análise da solução proposta. No estudo de caso 
proposto solicita a determinação da distribuição da temperatura do elemento combustível a uma taxa uniforme de geração 
de calor. Os resultados obtidos apresentam-se em conformidade com os resultados gerados pelo o software computacional 
bastante utilizado na análise de transferência de calor e na graduação de engenharia. 
 
Palavras-Chave: Método das diferenças finitas explícito, Equação do calor, Condução de calor transiente 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
A transferência de calor por condução transiente acontece em várias aplicações de engenharia, e podendo ser 
analisada, utilizando-se diferentes métodos. A ideia basicamente dos métodos é o processo de desratização, que reduz o 
problema continuo, com número infinito de variais, em um problema discreto com um número finito de variais, podendo 
ser resolvido computacionalmente. 
Problemas com transferência de calor por condução transiente, envolvendo geometrias e condições de contorno 
simples, é comum ter solução analítica conhecida acessível na forma de gráfico ou de equações, principalmente os casos 
unidimensionais. Algumas dessas analise ainda são possíveis para determinadas geometrias bidimensionais e 
tridimensionais simples. Exemplos tradicionais são encontrados na bibliografia especificada, por exemplos, no Incropera 
et al., (2008), e Çengel et al. (2012). 
No presente artigo utilizaremos o método das diferenças finitas explícito com o objetivo analisar a transferência de 
calor no decorrer do tempo e uma representação gráfica dos históricos das temperaturas no plano médio e na superfície, 
em um elemento combustível de reator nuclear que tem a forma de uma parede plana. 
 
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
A grande maioria dos problemas que envolve transferência de calor no cotidiano, envolvem geometria complexas 
com condições de contorno também complexas ou até mesmo propriedades com variais e não podem ser resolvidos de 
maneira analíticas. Nesses casos, soluções aproximadas podem ser obtidas por simulação computacional usando um 
método numérico. 
Os métodos numéricos usados para solucionar os problemas que envolva transferência de calor baseia-se em 
equações diferencias, na substituição das equações diferencias por equações algébricas. 
Os problemas que se apresentar em regime transiente possuir variação da temperatura com o tempo, bem como no 
espaço, e a solução de diferenças finitas desses problemas, requer a discretização no tempo e espaço. Isso é feito 
escolhendo um intervalo de tempo adequando ∆𝑡 e solucionando as temperaturas nodais desconhecidas sistematicamente 
para cada ∆𝑡, até que a solução desejada seja obtida. 
Nos casos onde são analisados transferência de calor em regime transiente o sobrescrito i é usado como índice, i = 
0 corresponde à condição inicial. 
Os nós e os volumes elementares na análise dos problemas em regime transiente, são selecionados como no caso do 
regime estacionário e novamente assume-se que toda a transferência de calor é executada para o elemento. Por 
concordância, o balanço de energia num volume elementar, durante um intervalo de tempo ∆𝑡, pode ser demonstrado: 
 
∆𝑡𝑥 ∑ 𝑄 + ∆𝑡 + 𝑞𝑉𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐸𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 (1) 
 
onde a taxa de transferência de calor Q, traduz-se geralmente na condução para os nós internos, mas pode envolver 
também fluxo de calor por convecção e radiação para os nós que estão nos estremo. O 𝐸𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 = 𝑚𝐶∆𝑇 =
𝜌𝑉𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝐶∆𝑇, onde 𝜌 é a massa especifica e C o calor especifico do elemento. 
Dividindo a eq.(1) por ∆𝑡 obtém-se: 
 
∑ 𝑄𝑖 + 𝐺𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 = 𝜌𝑉𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝐶
𝑇𝑖+1𝑚−𝑇
𝑖
𝑚
∆𝑡
 (2) 
 
 
no qual para qualquer nó m no meio e seu volume elementar. Onde 𝑇𝑖𝑚 e 𝑇
𝑖+1 são as temperaturas do nó, que representa 
a variação da temperatura do nó ao longo da o intervalo de tempo entre o passo de tempo i e i+1. Para o método explícito 
a eq. (2) ficará: 
 
 ∑ 𝑄𝑖 + 𝐺𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑖 = 𝜌𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑉𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝐶
𝑇𝑖+1𝑚−𝑇
𝑖
𝑚
∆𝑡
 (3) 
 
 
2.1 Equação do Calor 
 
A equação geral (2) em coordenadas cilíndricas possui a seguinte formulação matemática: 
 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
) +
𝜕
𝜕𝑦
(𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑦
) +
𝜕
𝜕𝑧
(𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑧
) + �̇� = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 (4) 
 
Aplicando as considerações que temos na eq. (4), que a transferência de calor é unidimensional, ou seja, apenas 
acontece na direção x, no temos: 
 
𝜕
𝜕𝑥
(𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
) + �̇� = 𝜌𝑐𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
 (5) 
 
Aplicando as condições de contorno onde sabemos que ∝=
𝑘
𝜌.𝑐𝑝
, a eq.(4) obtém-se 
1
∝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝜕2𝑇
𝜕𝑥²
 (6) 
 
 A condução de calor 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=∝2
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
, requer uma aproximações para a segunda derivada no espaço e para a primeira 
derivada no tempo (SHAPA; CANALE; 2008. p. 273). Utilizando a diferenças finitas centra, para representa a 
aproximação da segunda derivada no espaço, podemos organizar da seguinte maneira: 
 
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
= 
𝑢𝑙𝑖+1−2𝑢
𝑙
𝑖+𝑢
𝑙
𝑖−1
∆𝑥²
 (7) 
 
Para organizar a primeira derivada no tempo utiliza-se a diferença progressiva, que se apresenta da seguinte forma: 
 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=
𝑢𝑙+1𝑖−𝑢𝑖−1
𝑙
∆𝑡
 (8) 
 
Substituindo a eq.(7) e (8) na equação do calor 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
=∝ ²
𝜕²𝑢
𝜕𝑥²
, termos: 
 
∝2
𝑢𝑙𝑖+1−2𝑢
𝑙
𝑖+𝑢
𝑙
𝑖−1
∆𝑥²
=
𝑢𝑙+1𝑖−𝑢𝑖−1
𝑙
∆𝑡
 (9) 
 
Segundo SHAPA essa é a formulação matemática eq. (9) que fornece um meio explicito para calcular os valores de 
cada nó para um estante futuro, baseados nos valores atuais e em vizinhos. 
Para a solução proposta foi utilizado o software ANSYS, versão 18.0 e o OCTAVE, versão 3.8.1, conforme script 
observado abaixo. 
 
 
2.2 Estudo de Caso 
 
O elemento combustível de um reator opera a uma taxa uniforme de geração de �̇�1 = 10
7 W/m³, até que a taxa degeração seja subitamente mudada para �̇�2 = 2 𝑋 10
7W/m³. Utilizando um software de elementos finitos para a obter as 
seguintes soluções. 
a) Calcula a distribuição de temperatura 1,5 s após a mudança na potência de operação e compara seus resultados 
com adquirido no exemplo citado no laboratório. 
b) Utiliza o modelo de elemento finito para representar graficamente as histórias das temperaturas no plano médio 
e na superfície para 0 ≤ 𝑡 ≤ 400 𝑠. Quais as temperaturas em regime estacionário, e aproximadamente quanto tempo 
levará para alcançar a nova condição de equilíbrio após a etapa de mudança na potência de operação? 
 
 
 
 
Tabela 1: Dados do estudo de caso 
Espessura 2L= 20 mm 
Temperatura 𝑇∞ = 250º𝐶 
H 1100 W/m².K 
𝐷𝑖𝑓𝑢𝑠𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎−∝ 
 
5 𝑥 10−6 𝑚2/
𝑠 
Condutividade térmica k 30 W/m.K 
�̇�1 1𝑥10
7𝑊/𝑚³ 
�̇�2 2𝑥10
7𝑊/𝑚³ 
 
 
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
Utilizando o software Octave, foi calculado através de sua programação, a distribuição da temperatura em função 
do tempo até 1,5 s, distribuídos em incrementos de 0,3 s descritos na Tab. 2, a qual foi comparado os valores de 
temperaturas com o exemplo 5.8 (INCROPERA, 2009, sexta ed. pg. 195.) calculados utilizando o método do balanço de 
energia, Eq. 1, uma equação explicita de diferenças finitas pode ser deduzida para qualquer nó interno m. Aplicando a 
conservação de energia para um volume de controle ao redor do nó 5. 
Segundo o critério de estabilidade para um nó interno unidimensional, a seguinte condição deve ser cumprida: 
 
(1 - 2Fo) ≥ 0 ≈ Fo ≤ 
1
2
 
 
Calculando o número de Fourier, obtemos o valor do critério de estabilidade foi satisfeito. Para estar bem dentro do 
limite de estabilidade selecionamos ∆𝑡 = 0,3s o que corresponde 
 
Fo = 0,375 
 
Substituindo os valores numéricos, incluindo 𝑞2 = 𝑞2 = 2 x 10
7 W/m3, para equações nodais. A qual obtém-se a 
temperatura calculadas os pontos nodais de interesse são mostrados na primeira linha da Tab. 1 
 
Tabela 1: Temperatura Nodais Calculados no Método Analítico 
p t(s) T0 T1 T2 T3 T4 T5 
0 0 357,58 356,91 354,91 346,91 340,91 340,91 
1 0,3 358,08 357,41 355,41 347,41 341,41 341,41 
2 0,6 358,58 357,91 355,91 347,91 341,88 341,88 
3 0,9 359,08 358,41 356,41 348,41 342,35 342,35 
4 1,2 359,58 358,91 356,91 348,89 342,82 342,81 
5 1,5 360,08 359,41 357,41 349,37 343,27 343,26 
∞ 1,5 465,15 463,82 459,82 443,82 443,82 431,82 
 
O espaçamento de malha para a análise foi de 2 mm e o incremento de tempo foi de 0,3 s. Para o meto analítico 
descrito na Tab. 1. As análises calculados no Octave, os incrementos espaciais e temporais foram de 2 mm e 0,3 s descritos 
na Tab. 2. De acordo os resultados dos dois métodos numéricos estão dentro de 0,1 ° C. 
 
Tabela 2: Temperatura Nodais Calculados no Octave 
p t(s) T0 T1 T2 T3 T4 T5 
0 0,0 357,58 356,54 353,41 348,20 340,91 340,91 
1 0,3 358,08 357,04 353,91 348,70 341,41 341,41 
2 0,6 358,58 357,54 354,41 349,20 341,89 341,88 
 
3 0,9 359,08 358,04 354,91 349,70 342,36 342,35 
4 1,2 359,58 358,54 355,41 350,19 342,82 342,81 
5 1,5 360,08 359,04 355,91 350,67 343,27 343,26 
 
A simulação no ansys mostrando o comportamento e comprimento arbitrário na direção 
 
 
Figura 1: Simulação ANSYS 19.0 distribuição de temperatura de 1,5s com incremento 
de 0,3s simulado em 3000s. 
 
Tabela 3. Comparação entre as temperaturas obtidas do Octave e no ANSYS 19.0 
t(s) T0 T5 
3000,0 340,91 357,58 
3000,3 341,39 358,08 
3000,6 341,86 358,58 
3000,9 342,32 359,08 
3001,2 342,77 359,57 
3001,5 343,22 360,07 
 
 
Figura 1: Gráfico de Simulação ANSYS 19.0 distribuição de temperatura de 1,5s com 
incremento de 0,3s simulado em 3000s. 
 
4. CONCLUSÃO 
 
No presente trabalho podemos concluir que o método por diferença finita como o auxílio de softwares (ANSYS E 
OCTAVE) é de grande importância e baste aplicável para o bom entendimento dos fenômenos físicos, termodinâmico e 
estrutura do material que acontece ao longo do tempo, ao ser submetido ao uma temperatura onde ocorra transferência de 
calor. Haja vista, à análise no estudo de caso deixa claro a distribuição da temperatura após a alteração da taxa de calor e 
por meio da simulação é notório através das malhas onde temos condições de equilíbrio. 
O estudante de engenheira assim como o engenheiro, são os responsáveis por simular, interpreta e escolher o melhor 
método para se obter uma solução aceitável para apresenta junta aos seus superiores, as habilidades adquiridas nesse 
estudo de caso somara grandemente para a boa formação proposta para o curso e disciplina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
335
340
345
350
355
360
365
3000 3000 3000 3000 3001 3001 3001 3001 3001 3002
Título do Gráfico
Série1 Série2
 
 
 
 
 
 
 
5. REFERÊNCIAS 
 
INCROPERA, F. P. et al. Fundamento de transferência de calor e de massa. 6. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
163 p. 
ÇENGEL, Y. A. Et al. Transferência de calor e massa. 4. Ed. Porto Alegre – RS: AMGH EDITORA LTD, 2012. 
225 P. 
SHAPA, S. C.; CANALE, R. P. Métodos numéricos para engenharia. Tradução técnica Helena Castro. São Paulo: 
McGraw-Hill, 2008.