Integral Definida-Classe

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Integral Definida 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= [𝑓(𝑥)]
𝑏
𝑎
= 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 
 
∫ 𝑥𝑑𝑥
2
1
 
[
𝑥2
2
]
2
1
 
 
22
2
−
12
2
 
4
2
−
1
2
 
4 − 1
2
 
3
2
 
 
1,5 u.a. 
 
 
 
 
 
Calculo de Área 
1) Calcular a área da função y=2x+1 no intervalo de 2 a 5 
 
∫ 2𝑥 + 1𝑑𝑥
5
2
 
[
2𝑥2
2
+ 𝑥]
5
2
 
(
2. 52
2
+ 5) − (
2. 22
2
+ 2) 
(
50
2
+ 5) − (
8
2
+ 2) 
(
50 + 10
2
) − (
8 + 4
2
) 
(
60
2
) − (
12
2
) 
30 − 6 = 24 u.a. 
Prova 
Area = ((b+a).c)/2 
Area((11+16).3)/2=24 
 
2) Encontre a área limitada pela curva y=-4+x2 e o eixo x 
∫ −4 + 𝑥2𝑑𝑥
2
−2
 
[−4𝑥 + 
𝑥3
3
+ 𝑥]
2
−2
 
(−4.2 +
23
3
) − (−4(−2) +
(−2)3
3
) 
 
(−8 +
8
3
) − (8 +
(−8)
3
) 
 
(
−24 + 8
3
) − (
24 − 8)
3
) 
 
(
−16
3
) − (
16)
3
) 
 
(
−32
3
) = 10,7 𝑢. 𝑎 
 
 
3) Encontre a área limitada pela curva y=senx e pelo eixo x de 0 a 2π 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥
180
0
 
[−cos (𝑥)]
180
0
 
(−cos (180) − (−cos (0)) 
(−(−1)) − (−(1)) 
1 + 1 = 2 
Como é dois lado multiplicar por 2 
2.2 = 4 u.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Encontre a área limitada por y=x2 e y=x+2 
 
Encontra as definições para a integral 
𝑥2 = 𝑥 + 2 
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 
Equação do 2º 
Solução 
x’=2 
x’’=-1 
 
∫ (𝑥 + 2 − 𝑥2)𝑑𝑥
2
−1
 
[
𝑥2
2
+ 2x − 
𝑥3
3
] 2−1 
(
22
2
+ 2.2 −
23
3
) − (
−12
2
+ 2. (−1) −
−13
3
) 
(
4
2
+ 4 −
8
3
) − (
1
2
+ (−2) −
−1
3
) 
(6 −
8
3
) − (
1 − 4
2
−
−1
3
) 
(6 −
8
3
) − (
−3
2
+
1
3
) 
(
18 − 8
3
) − (
−9 + 3
6
) 
(
10
3
) − (
−6
6
) 
(
10
3
) + (1) 
(
10 + 3
3
) 
(
13
3
) = 4,33 𝑢. 𝑎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Encontre a área limitada pelas curvas y=x3 e y=x 
Encontra a definição da integral 
𝑥3 = 𝑥 
𝑥3 − 𝑥 = 0 
𝑥(𝑥2 − 1) = 0 
𝑥2 − 1 = 0 
𝑥2 = 1 
𝑥 = √1 = 1 
∫ (𝑥 − 𝑥3)𝑑𝑥
1
0
 
[
𝑥2
2
− 
𝑥4
4
]
1
0
 
(
12
2
−
14
4
) − (
02
2
− 4) 
 
(
1
2
−
1
4
) − 0 
 
(
2 − 1
4
) 
(
1
4
) = 0,25 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 2 = 0,50 𝑢. 𝑎. 
 
6) Encontre a área da região limitada pelas curvas y=x2-1 e y=x+1 
𝑥2 − 1 = 𝑥 + 1 
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 
Equação do 2º 
Solução 
x’=2 
x’’=-1 
∫ (𝑥 + 1) − (𝑥2 − 1)𝑑𝑥
2
−1
 
[(
𝑥2
2
+ 1) − ( 
𝑥3
3
− 1)]
2
−1
 
(
22
2
+ 1) − (
−13
3
− 1) 
(
4
2
+ 1) − (
−1
3
− 1) 
3 − (
−4
3
) 
3 +
4
3
= 4,33 u.a. 
7) 
𝑦 − 𝑥 = 6 
 
𝑦 − 𝑥3 = 0 
 
2𝑦 + 𝑥 = 0 
 
 
 
 
∫ 𝑥 + 6𝑥. 𝑑𝑥 − (∫ 𝑥3. 𝑑𝑥 + ∫
−𝑥
2
. 𝑑𝑥
0
−4
2
0
)
2
−4
 
[(
𝑥2
2
+ 6. x) − (
𝑥2
2
+ 6. x)]
2
−4
− ([(
𝑥4
4
) − (
𝑥4
4
)]
2
0
+ [−
1
2
(
𝑥2
2
+ 6. x) − (−)
1
2
(
𝑥2
2
)]
0
−4
) 
 
 
(
22
2
+ 6.2) − (
−42
2
+ 6. (−4)) − [[(
24
4
) − (
04
4
)] + [(−)
1
2
(
02
2
) − (
−42
2
)]] 
 
(2 + 12) − (8 − 24) − [[4 − 0] + (−)
1
2
[0 −
16
2
]] 
(14 + 16) − [4 +
16
4
] 
 
30 − 8 = 22 u. a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-80
-60
-40
-20
0
20
-6 -4 -2 0 2 4
y-x=6
y-x^3=0
2y+x=0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prova AV2 
1 – Observando a regra estabelecida podemos afirmar que a derivada da função y=ln(x3 + x) em relação a variável no 
ponto x=1 é igual a 
F=ln (𝑥3 + 𝑥) 
𝑓′ =
3𝑥2 + 1
𝑥3 + 𝑥
 
3.12 + 1
13 + 1
=
4
2
= 2 
 
 
2 - Calcule a área da região do plano limitado pelos gráficos das funções 
Y=x 
Y=2 
Y=1/x 
 
X=2 
1/x=2 
1=2x 
½=x 
 
∫ 2 +
1
𝑥
+ 𝑥𝑑𝑥
2
0,5
 
∫ 2. 𝑑𝑥 − (∫
1
𝑥
1
0,5
𝑑𝑥 + ∫ 𝑥
2
1
𝑑𝑥)
2
0,5
 
2 ∫ 𝑑𝑥 − (∫
𝑑𝑥
𝑥
1
0,5
+ ∫ 𝑥
2
1
𝑑𝑥)
2
0,5
 
[2𝑥]
2
0,5
− ([ln(𝑥)]
1
0,5
+ [ 
𝑥2
2
]
2
1
 
[(2.2) − (2.0,5)] − {[ln(1) − ln (0,5)] + [
4
2
−
1
2
]} 
(3) − (+0,69) + (1,5) 
3 − 2,19 
 
0,81u.a. 
 
 -
 0,50
 1,00
 1,50
 2,00
 2,50
0 1 2 3
1/x
2
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Determine o raio da base de uma lata de refrigerante cilíndrica de volume 350ml de modo que o material gasto na 
confecção da lata seja mínimo. Dado 1ml = 1cm3. 
 
𝑉 = 350𝑚𝑙 = 𝜋𝑟2. ℎ Área da Base= 𝜋𝑟2 
 
ℎ = 
350
𝜋𝑟2
 
Atotal =2Abase + 2𝜋r. ℎ 
𝐴𝑡 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋r.
350
𝜋𝑟2
 
𝐴𝑡 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋r.
350
𝜋𝑟2
 
𝐴𝑡 = 2𝜋𝑟2 + 2.
350
𝑟
 
𝐴𝑡 = 2𝜋𝑟2 +
700
𝑟
 
𝐴𝑡 = 
2𝜋𝑟3 + 700
𝑟
 
 
𝐴𝑡′ = 
𝑟. (2.3𝜋𝑟2) − (2𝜋𝑟3 + 700). 1
𝑟2
 
 
𝐴𝑡′ = 
𝑟. (6𝜋𝑟2) − (2𝜋𝑟3 + 700)
𝑟2
 
𝐴𝑡′ = 
6𝜋𝑟3 − 2𝜋𝑟3 − 700
𝑟2
 
𝐴𝑡′ = 
4𝜋𝑟3 − 700
𝑟2
 
4𝜋𝑟3 − 700 = 𝑟2. 0 
4𝜋𝑟3 − 700 = 0 
4𝜋𝑟3 = 700 
𝜋𝑟3 =
700
4
 
𝜋𝑟3 = 175 
 
𝑟3 =
175
𝜋
 
𝑟 = √
175
𝜋
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Encontre a área da região compreendida pelas funções 𝑓(𝑥) = √𝑥
4 g(x) = 1 e o eixo y. 
√𝑥
4 = 1 
√1
4
= x 
Y = 0 
 
 
∫ 𝑑𝑥 − ∫ √𝑥
4
1
0
. 𝑑𝑥
1
0
 
[𝑥]
1
0
− [ 
𝑥
5
4
5
4
]
1
0
 
(1 − 0) − (
1
5
4
5
4
−
0
5
4
5
4
) 
(1 − 0) − (
1
5
4
− 0) 
(1) − (
4
5
. 1) 
(1) − (0,8) = 0,2 𝑢. 𝑎.