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CEDERJ ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP1 - 2011.1 NA˜O SERA˜O ACEITAS RESPOSTAS SEM DESENVOLVIMENTO QUE AS JUSTIFIQUEM. Questa˜o 1 (3 pontos). Considere as seguintes premissas sobre o conjunto A: 1) A ⊂ Z 2) (∃x ∈ A; x < 15)⇒ 10 ∈ A 3) 7 /∈ A ou 6 /∈ A 4) 10 ∈ A⇔ (∀x ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, x ∈ A) Analise as premissas acima e diga o que se pode concluir a partir delas sobre o conjunto A. E´ necessa´rio que voceˆ apresente o racioc´ınio que usou para deduzir sua conclusa˜o a partir das premissas dadas e que aponte sua conclusa˜o de forma destacada do resto de sua resposta. Soluc¸a˜o: Pela primeira premissa, sabemos que A e´ um subconjunto dos inteiros. A quarta premissa nos diz que 10 pertence a A se e somente se todos os naturais menores que 10 tambe´m pertencem. Mas a terceira premissa nos diz que 6 na˜o pertence a A ou 7 na˜o pertence a A, logo nem todos os naturais menores do que 10 pertencem a A. Isso nos permite concluir que 10 na˜o pertence a A. A segunda premissa nos diz que se existe um elemento em A menor que 15, enta˜o 10 pertence a A. Como ja´ sabemos que 10 na˜o pertence a A, conclu´ımos que na˜o existe nenhum elemento menor que 15 em A. Conclusa˜o: A ⊂ {15, 16, 17, 18, . . .} (veja que na˜o temos como saber se vale a igual- dade). 1 Questa˜o 2 (1 pontos). Uma loja vende uma torradeira a` vista por 90 reais. Se o consumidor na˜o quiser pagar a` vista a loja oferece tambe´m a seguinte opc¸a˜o de pagamento: entrada de 50 reais no ato da compra e parcela de 50 reais um meˆs depois. Qual e´ a taxa de juros mensal que a loja esta´ adotando neste financiamento? Justifique sua resposta. Soluc¸a˜o: O produto a` vista vale 90 reais. Se o consumidor opta pelo parcelamento, paga 50 reais no ato da compra e fica devendo 40 reais. Um meˆs depois, em vez de pagar os 40 reais que ficou devendo, pagara´ 50. Isso significa que esta´ pagando 10 reais a t´ıtulo de juros sobre os 40 reais que ficou devendo. Como 10 e´ 25% de 40, esta e´ a taxa de juros adotada pela loja neste financiamento: 25%. Questa˜o 3 (3 pontos). Resolva as expresso˜es abaixo (no item b, assumimos que a 6= b e a 6= −b): a) ( 2 5 ) −2 × ( 4 81 ) 12 24 + √ 3 ( 3 8 ) − 3 9 b) a2 − b2 a+ b (a− b)− a √ a4 − b4 a2 − b2 − 2ab Soluc¸a˜o: 2 a) ( 2 5 ) −2 × ( 4 81 ) 12 24 + √ 3 ( 3 8 ) − 3 9 = 25 4 × ( 4 81 ) 1 2 + √ 3 ( 8 3 ) 1 3 = 25 4 × 2 9 + √ 3× 2√ 3 = 25 18 + 2 = 25 18 + 36 18 = 61 18 b) a2 − b2 a + b (a− b)− a √ a4 − b4 a2 − b2 − 2ab = (a+ b)(a− b) a+ b (a− b)− a √ (a2 − b2)(a2 + b2) a2 − b2 − 2ab = (a− b)(a− b)− a √ (a2 + b2)− 2ab = a2 + b2 − 2ab− a √ (a− b)2 = a2 + b2 − 2ab− a(a− b) = a2 + b2 − 2ab− a2 + ab = b2 − ab Questa˜o 4 (2 pontos). Considere o enunciado abaixo: Se Anderson e´ advogado, enta˜o Bruno e´ balconista ou Celso e´ cozinheiro. Se Celso e´ cozi- nheiro, Davi e´ dentista. Se Anderson na˜o e´ advogado, enta˜o Fla´vio e´ fiscal de rendas. Mas Davi e´ dentista se e somente se Elder e´ escriva˜o. Ora, Elder na˜o e´ escriva˜o e Bruno na˜o e´ balconista. 3 a) Escreva todas as proposic¸o˜es elementares que aparecem neste enunciado, identificando cada uma delas com uma letra de nosso alfabeto. b) Usando as letras que voceˆ escolheu no item acima para identificar as proposic¸o˜es, reescreva as premissas do enunciado com os s´ımbolos da lo´gica. c) Analisando as premissas, decida se cada uma das proposic¸o˜es elementares e´ verdadeira ou falsa. Soluc¸a˜o: a) Proposic¸o˜es: a: Anderson e´ advogado; b: Bruno e´ balconista; c: Celso e´ cozinheiro; d: Davi e´ dentista; e: Elder e´ escriva˜o; f : Fla´vio e´ fiscal de rendas; b) Premissas: 1) a⇒ (b ∨ c) 2) c⇒ d 3) ∼ a⇒ f 4) d⇔ e 5) ∼ e∧ ∼ b c) Pela premissa 5, temos que e e´ falsa e b e´ falsa. Como e e´ falsa, a premissa 4 nos garante que d e´ falsa. Como d e´ falsa, a premissa 2 implica que c e´ falsa. Como b e´ falsa e c tambe´m, a premissa 1 nos da´ que a e´ falsa. Como a e´ falsa, ∼ a e´ verdadeira, 4 donde podemos concluir, usando a premissa 3, que f e´ verdadeira. Logo a proposic¸a˜o f e´ verdadeira (isto e´, Fla´vio e´ fiscal de rendas) e todas as outras sa˜o falsas. Questa˜o 5 (1 ponto). Considere os conjuntos B = {5, 7} e D = {5, 7} (que sa˜o iguais). Classifique cada proposic¸a˜o abaixo em verdadeira ou falsa e justifique suas respostas: a) Existe x pertencente a B e existe y pertencente a D tais que x = y (V). Tome, por exemplo, x=5 em B e y=5 em D. Temos que x=y. b) Existe x pertencente a B tal que para todo y pertencente a D, x = y(F). Os elementos de B sa˜o 5 e 7. Para x=5, tomando y=7 temos que x e´ diferente de y. Para x=7, tomando y=5 temos que x e´ diferente de y. Logo na˜o ha´ nenhum x em B tal que para qualquer y em D vale x=y. c) Para todo x pertencente a B existe y pertencente a D tal que x = y(V). Os elementos de B sa˜o 5 e 7. Para x=5, podemos tomar y = 5 em D e temos que x=y. Para x=7, podemos tomar y = 7 em D e temos que x=y. Logo para todo elemento x em B existe um elemento y em D que satisfaz x=y. d) Para todo x pertencente a B e para todo y pertencente a D, x = y(F). Tome x = 5 em B e y = 7 em D. Temos que x na˜o e´ igual a y. Logo na˜o e´ verdade que para qualquer x em B e qualquer y em D vale x=y. 5
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