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CEDERJ ME´TODOS DETERMINI´STICOS - AP2 - 2011.1 Questa˜o 1 (1 ponto). Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o |5x+ 2| ≥ 10 Soluc¸a˜o: |5x+ 2| ≥ 10 se e somente se valer uma das duas opc¸o˜es a seguir: 5x+ 2 ≥ 10 ou 5x+ 2 ≤ −10. No primeiro caso ter´ıamos: 5x ≥ 8, o que significa que x ≥ 1, 6. No segundo caso ter´ıamos: 5x ≤ −12, o que significa que x ≤ −2, 4. Logo o conjunto soluc¸a˜o e´ (−∞,−2.4] ∪ [1.6,∞). Questa˜o 2 (2 ponto). Certo produto tem sua curva de demanda dada por D(P ) = −P/2+5 onde P e´ o prec¸o do produto em reais e a demanda D e´ dada em lotes de mil unidades. A curva de oferta deste mesmo produto e´ dada pela func¸a˜o Q(P ) = 2P − 7 (tambe´m dada em lotes de mil unidades). Encontre o prec¸o de equil´ıbrio e a quantidade de equil´ıbrio para comercializac¸a˜o deste produto. Soluc¸a˜o: Para encontrar a quantidade e o prec¸o de equil´ıbrio devemos igualar as func¸o˜es de oferta e demanda: 2P −7 = −P/2+5. Desenvolvendo esta equac¸a˜o obtemos: 5P/2 = 12, o que significa que P = 4, 8. Logo o prec¸o de equil´ıbrio deve ser R$4, 80. Para encontrar a quantidade de equil´ıbrio basta substituir o prec¸o em qualquer uma das duas func¸o˜es dadas: Q(4, 8) = 2× 4, 8− 7 = 9, 6− 7 = 2, 6. Logo a quantidade de equil´ıbrio e´ de dois mil e seiscentos itens. Questa˜o 3 (3 ponto). Considere o sistema de equac¸o˜es a seguir: 1 3x− 2y = 2 2x+ 3y = 10 a) Reescreva a primeira equac¸a˜o representando y como func¸a˜o de x e esboce o gra´fico da func¸a˜o y(x) encontrada. b) Reescreva a segunda equac¸a˜o representando y como func¸a˜o de x e esboce o gra´fico da func¸a˜o y(x) encontrada (utilize o mesmo plano cartesiano em que voceˆ esboc¸ou o gra´fico do item anterior). c) Resolva o sistema de equac¸o˜es e marque o ponto que representa a soluc¸a˜o do sistema no plano cartesiano em que voceˆ esboc¸ou os gra´ficos dos itens anteriores. Soluc¸a˜o: a) Representando y como func¸a˜o de x na primeira equac¸a˜o ficamos com y(x) = 3x/2− 1. O gra´fico encontra-se no fim da soluc¸a˜o. b) Representando y como func¸a˜o de x na segunda equac¸a˜o ficamos com y(x) = −2x/3+10/3. O gra´fico encontra-se no fim da soluc¸a˜o. c) Vamos encontrar x igualando as equac¸o˜es obtidas nos itens anteriores: 3x/2− 1 = −2x/3 + 10/3⇔ 3x/2 + 2x/3 = 1 + 10/3⇔ 13x/6 = 13/3⇔ x = 2 Substituindo o valor encontrado para x na func¸a˜o obtida para y atrave´s da primeira equac¸a˜o temos: y(2) = 3× 2/2− 1 = 2. Logo a soluc¸a˜o do sistema e´ x = 2 e y = 2. Abaixo encontra-se o gra´fico: 2 Questa˜o 4 (4 pontos). Seja f(x) = −2x2 + 5x− 2. a) Encontre as ra´ızes de f ; b) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f ; c) Se a func¸a˜o f representa o lucro (em milhares de reais) que uma empresa pode obter produzindo x milhares de itens de um produto, qual deve ser a quantidade a ser produ- zida para que o lucro seja ma´ximo? Qual e´ o lucro ma´ximo que a empresa pode obter com este produto? Soluc¸a˜o: a) Vamos usar Bhaskara para encontra as ra´ızes: δ = (5)2 − 4× (−2)× (−2) = 25− 16 = 9 Logo x = (−5 ±√9)/(−4) = (−5 ± 3)/(−4), isto e´, x = 2 ou x = 1/2. b) Segue o gra´fico: 3 c) Como podemos observar no gra´fico, o ma´ximo lucro ocorre no ve´rtice da para´bola (x corresponde ao ponto me´dio entre as ra´ızes). Logo o lucro ma´ximo ocorre quando x = (2 + 1/2)/2 = 5/4 = 1, 25. Isso significa que a quantidade a ser produzida para obter o ma´ximo lucro e´ de mil duzentos e cinquenta itens. Para saber qual o lucro ma´ximo, basta substituir o x o´timo na func¸a˜o: f(5/4) = −2(5/4)2 + 5(5/4)− 2 = −25/8 + 25/4− 2 = (−25 + 50− 16)/8 = 9/8 = 1, 125 Logo o lucro ma´ximo e´ de mil cento e vinte e cinco reais. Bom trabalho e boa sorte! 4
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