Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
CEDERJ ME´TODOS DETERMINI´STICOS I AP3 COMENTADA Questa˜o 1. (2.0) Ka´tia decide passear pelo plano coordenado. Ela sai do ponto (0,4) e anda em linha reta ate´ o ponto (3,10). Deste ponto, ela segue novamente em linha reta ate´ o ponto (8,5). Seja (x, f(x)) o ponto que representa a posic¸a˜o de Ka´tia no plano coordenado para um dado valor x, tal que 0 ≤ x ≤ 8. a) Determine a func¸a˜o f . b) Quando o valor da componente x da posic¸a˜o de Ka´tia e´ igual a √ 17, em que ponto do plano coordenado ela esta´? c) Determine a distaˆncia entre o ponto inicial e o ponto final do trajeto de Ka´tia. Questa˜o contextualizada sobre func¸o˜es. Lembramos que exerc´ıcios contextualizados, por sua natureza, sa˜o u´nicos. Como exemplos deste tipo de exerc´ıcios envolvendo func¸o˜es, citamos: Questa˜o 8, 9, 10 do EP11, Questa˜o 4 da AP2 2012/1, Questa˜o 4 da AP2 2013/2. Vamos sepa- rar os comenta´rios por itens. Item (a): Pede-se f(x), onde (x, f(x)) e´ o ponto que representa a posic¸a˜o de Ka´tia no plano coordenado. Foi visto, na Aula 14 (pg. 172), que (x, f(x)) e´ um ponto do gra´fico da func¸a˜o f . Conforme dito no enunciado, o gra´fico e´ a unia˜o de duas retas e, na mesma Aula 14 (pg.176), aprendemos que retas inclinadas sa˜o gra´ficos de func¸o˜es afins, i.e. func¸o˜es da forma y = f(x) = ax + b. No caso da questa˜o, como temos a unia˜o de duas retas, devemos deter- minar quatro coeficientes, a1, b1, a2, b2. No Exemplo 14.3 (pg. 178) temos um procedimento semelhante ao que precisamos fazer para a obtenc¸a˜o da equac¸a˜o da reta a partir de dois pontos dados. Cabe ressaltar que a Questa˜o 8 do EP11 trata de um caso onde a func¸a˜o possui regras diferentes em dois intervalos distintos, como e´ o caso aqui. Item (b): Substituic¸a˜o direta de um ponto no domı´nio para descobrir sua imagem. No caso, te- mos que identificar que 3 ≤ √17 ≤ 8 e calcular f(√17), respeitando a regra va´lida no intervalo. 1 Item (c): Pede- se a distaˆncia entre dois pontos no plano. O Exemplo 11.1, na Aula 11, pg. 136, e´ um exemplo que calcula a distaˆncia entre dois pontos no plano. Questa˜o 2. (3.0) Apo´s ingesta˜o de um composto qu´ımico, foi poss´ıvel modelar, em func¸a˜o do tempo, a concentrac¸a˜o de duas importantes substaˆncias ja´ existentes no corpo humano: a substaˆncia A e a substaˆncia B. Em um intervalo de tempo que varia de 0 a 11, as concentrac¸o˜es das substaˆncias A e B foram modeladas respectivamente pelas func¸o˜es fA(t) = 2t 2 − 17t + 38 e gB(t) = −t2 + 10t + 14, onde a varia´vel t e´ o tempo e 0 marca o momento da ingesta˜o do composto. Responda o que e´ pedido. a) Qual e´ a concentrac¸a˜o da substaˆncia A, 10 unidades de tempo apo´s da ingesta˜o do composto? b) Qual e´ o per´ıodo, depois da ingesta˜o do composto, que a concentrac¸a˜o da substaˆncia A e´ menor do que a concentrac¸a˜o da substaˆncia B? c) Quanto tempo depois da ingesta˜o do composto a concentrac¸a˜o da substaˆncia B e´ maior? d) Qual e´ a menor concentrac¸a˜o que a substaˆncia A atinge apo´s a ingesta˜o do composto? Questa˜o contextualizada envolvendo func¸o˜es quadra´ticas. Lembramos de novo que exerc´ıcios contextualizados, por sua natureza, sa˜o u´nicos. Como exemplos de exerc´ıcios contextualizados sobre func¸o˜es, citamos: Questa˜o 8, 9, 10 do EP11, Questa˜o 4 da AP2 2012/1, Questa˜o 4 da AP2 2013/2. Vamos separar os comenta´rios por itens. Item (a): Substituic¸a˜o direta de um ponto no domı´nio para descobrir sua imagem. No caso, determinar fA(10). Item (b): Inequac¸a˜o envolvendo func¸o˜es quadra´ticas. Na Aula 12, pg. 153, estuda-se este to´pico. Exerc´ıcios deste tipo: Questa˜o 4 do EP10, Questa˜o 6 do EP11. Itens (c) e (d): Envolvem os conceitos de concavidade e ma´ximos e mı´nimos utilizando ve´rtice de gra´ficos de func¸o˜es quadra´ticas. A teoria a respeito de concavidades e ve´rtices encontra-se na Aula 14, pg. 180. O Exemplo 14.4, pg. 181, inclusive apresenta duas func¸o˜es, onde o gra´fico da primeira e´ para cima e o da segunda e´ para baixo. A Questa˜o 1 da AP2 de 2013.2 e´ um 2 exerc´ıcio espec´ıfico envolvendo ma´ximos e mı´nimos. Questa˜o 3. (2.0) Seja C um subconjunto dos naturais, i.e. C ⊂ N. Considere as seguintes proposic¸o˜es como verdadeiras. ∀x ∈ C, x < 25 ⇒ x e´ divis´ıvel por 3. ∀x ∈ C, 10 < x < 30⇒ x e´ ı´mpar. Indique se cada uma das proposic¸o˜es a seguir e´ “Verdadeira”, “Falsa”ou “Na˜o e´ Poss´ıvel Deci- dir”, utilizando apenas estas duas proposic¸o˜es, marcando, respectivamente (V), (F) ou (NPD). Quando sua resposta for ”Verdadeira”ou ”Falsa”, justifique-a. ( ) 12 ∈ C ( ) 15 ∈ C ( ) ∀x ∈ C, 25 < x < 30⇒ x ∈ {29, 40} ou x e´ divis´ıvel por 3. ( ) ∀x ∈ C, x < 2 (100)−3/6 ⇒ x e´ divis´ıvel por 3. Exerc´ıcio cla´ssico envolvendo o entendimento de proposic¸o˜es simples e compostas. Exemplos do tipo: Questa˜o 2 da AP3 de 2013.2, Questa˜o 2 da nossa AP1, Questa˜o 7 do EP4. Questa˜o 4. (3.0) Uma escola realizou uma pesquisa com seus alunos e encontrou os seguintes resultados: - 30% deles praticam voˆlei e futebol; - 63% deles praticam futebol; - 28% deles so´ praticam futebol; - 12% deles so´ praticam voˆlei; - 62% deles praticam voˆlei ou natac¸a˜o; - 25% deles praticam natac¸a˜o e futebol; - todos os alunos que praticam natac¸a˜o e voˆlei tambe´m praticam futebol. a) Qual e´ a porcentagem de alunos que pratica futebol e natac¸a˜o, mas na˜o pratica voˆlei? 3 b) Qual e´ a porcentagem de alunos que pratica futebol ou voˆlei, mas na˜o pratica natac¸a˜o? c) Qual e´ a porcentagem de alunos que na˜o pratica esporte nenhum? Sugesta˜o: Utilize o diagrama de Venn abaixo, onde as letras de a a f representam as por- centagens de alunos em cada conjunto. Exerc´ıcio cla´ssico sobre intersec¸o˜es entre conjuntos envolvendo porcentagem (apenas utilizando que a soma das porcentagens deve ser 100). Exemplos do tipo: Questa˜o 1 da nossa AD1, Questa˜o 8 do EP1. Para finalizar, acreditamos que qualquer aluno que estudou o caderno dida´tico, as ADs, os EPs e todas as APs selecionadas, compareceu a`s tutorias tirando suas du´vidas estava plenamente capacitado a fazer uma boa prova. Atenciosamente; Denise e Pierre 4
Compartilhar