Resistencia dos materiais questão 5 apol 1

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Resistência dos Materiais Exercícios de Forças Axiais 
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Exemplo 1- A barra composta de aço A-36 (E=29000 ksi) mostrada na figura abaixo 
está composta por dois segmentos, AB e BD, com áreas da seção transversal AAB=1 
pol
2
 e ABD=2 pol
2
. Determinar o deslocamento vertical da extremidade A e o 
deslocamento de B em relação a C. 
 
 
Solução: 
Dados: 
Eaço = 29000 ksi = 2910
6
 psi = 29106 lbf/pol2 
 
Aab = 1 pol
2 
Abd = 2 pol
2 
 
LAB = 2,0 pés = 24 pol 
LBC = 1,5 pés = 18 pol 
LCD = 1,0 pés = 12 pol 
 
PAB = 15 kip = 15000 lbf 
PBC = 7 kip = 7000 lbf 
PCD = –9 kip = –9000 lbf 
 
 
pol002172,0
21029
187000
AE
LP
AE
LN
pol01272,0
21029
129000
21029
187000
11029
2415000
AE
LP
AE
LP
AE
LP
AE
LN
6B
aço
BCBC
B
n
1i ii
ii
666A
bdaço
CDCD
bdaço
BCBC
abaço
ABAB
A
n
1i ii
ii



















 
 
Resposta: O deslocamento da extremidade A é de 0,0127 pol e o deslocamento de B em relação a 
C é de 0,00217 pol. 
 
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4.4. O eixo de bronze C86100 está submetido às cargas axiais mostradas. Determinar 
o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de 
cada segmento são dAB = 0,75 pol, dBC = 2 pol e dCD = 0,5 pol. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
Utilizando módulo de elasticidade do bronze = 15×10
6
 psi e as unidades libra-força e polegada, temos: 
pol128,0
4
5,0
1015
368000
4
2
1015
1206000
4
75,0
1015
482000
AE
LN
AE
LN
AE
LN
AE
LN
2
6
2
6
2
6
A
bdCu
CDCD
bdCu
BCBC
abCu
ABAB
ADCDBCAB
n
1i ii
ii
AD













 

 
 
 
Resposta: O deslocamento da extremidade A em relação a D é de 0,128 pol. 
 
2 kip 
6 kip 
8 kip 
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4.6- O conjunto consiste de uma haste CB de aço A-36 e de uma haste BA de 
alumínio 6061-T6, cada uma com diâmetro de 1 pol. Se a haste está sujeita a uma 
carga axial P1 = 12 kip em A e P2 = 18 kip na conexão B, determinar o deslocamento 
da conexão e da extremidade A. O comprimento de cada segmento sem alongamento 
é mostrado na figura. Desprezar o tamanho das conexões em B e C e supor que sejam 
rígidas. 
 
Solução: 
Dados: 
Eaço = 29000 ksi = 2910
6
 psi = 29106 lbf/pol2 
Ealumínio = 10000 ksi = 1010
6
 psi = 10106 lbf/pol2 
 
 
d = 1 pol 
LAB = 4 pés = 48 pol 
LBC = 2 pés = 24 pol 
NAB = P1 = 12 kip = 12000 lbf 
NBC = P1-P2 = 12-18 = -6 kip = -6000 lbf 
 
 
pol00632,0
785398,01029
246000
AE
LN
AE
LN
pol0670,0
785398,01029
246000
785398,01010
4812000
AE
LN
AE
LN
AE
LN
pol785398,0
4
)pol1(
4
d
A
6B
aço
BCBC
B
n
1i ii
ii
66A
aço
BCBC
alumínio
ABAB
A
n
1i ii
ii
2
22




















 
 
 
Resposta: O deslocamento da extremidade A é de 0,0670 pol e o deslocamento da conexão é de 
-0,00632 pol. 
 
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4.8- A junta é feita de três chapas de aço A-36 ligadas pelas suas costuras. 
Determinar o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D quando a 
junta é submetida às cargas axiais mostradas. Cada chapa tem espessura de 6 mm. 
 
Solução: 
 
Dados: 
 
a) Esforços normais: 
NAB = NBC = NCD = 50 kN 
 
b) Comprimentos: 
LAB = 600 mm 
LBC = 200 mm 
LCD = 800 mm 
 
c) Módulos de Elasticidade: 
EAB = EBC = ECD = 200 GPa = 200 kN/mm
2
 
 
d) Áreas das seções transversais: 
AAB = 6 mm × 100 mm = 600 mm
2
 
ABC = 3 × (6 mm × 100 mm) = 1800 mm
2
 
ACD = 2 × (6 mm × 100 mm) = 1200 mm
2
 
 
 
Assim: 
mm44444,0
1200200
80050
1800200
20050
600200
60050
AE
LN
AE
LN
AE
LN
AE
LN
AD
CDCD
CDCD
BCBC
BCBC
ABAB
ABAB
CDBCABAD
n
1i ii
ii










 
 
 
 
 
Resposta: O deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D quando a junta é 
submetida às cargas axiais indicadas é 0,444 mm. 
 
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Exemplo2 – Um elemento é feito de um material com peso específico  e módulo de 
elasticidade E. Supondo que ele tenha formato de cone e as dimensões mostradas na 
figura abaixo, determinar a distância que sua extremidade é deslocada devido à 
gravidade quando suspenso na posição vertical. 
 
 
Solução: 
Força Interna. A força axial interna varia ao longo do elemento, visto que depende do peso W(y) de um 
segmento do elemento abaixo de qualquer seção. Então, para calcular o deslocamento devemos usar a 
equação integral. Na seção localizada a uma distância y da extremidade inferior, o raio x, em função de y, é 
determinado por proporção. Isto é: 
y
L
r
x
L
r
y
x 00 
 
O volume de um cone com raio da base x e altura y é: 
3
2
2
0
2
02 y
L3
r
Vy
L
r
y
3
xy
3
V










 
Como W = V, a força interna na seção torna-se: 
3
2
2
0 y
L3
r
)y(P


 
Deslocamento. A área da seção transversal também é função de y. Logo, 
2
2
2
02 y
L
r
x)y(A


 
Aplicando a equação integral para cálculo do alongamento entre os limites y=0 e y=L, temos: 
E6
L
dyy
E3
y
L
r
E
dyy
L3
r
)y(AE
dy)y(P 2
L
0
L
0 2
2
2
0
3
2
2
0
L
0






  
Resposta: A extremidade do cone se deslocará de L2/(6E) devido à gravidade quando suspenso na 
posição vertical 
 
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4.28. A haste é ligeiramente cônica e tem comprimento L. Está suspensa do teto e 
suporta uma carga P em sua extremidade. Mostrar que o deslocamento de sua 
extremidade devido a essa carga é  = PL/(Er1r2). Desprezar o peso do material. O 
módulo de elasticidade é E. 
 
Solução: 
Variação do raio r(x): da extremidade livre da haste (x=0) até o apoio (x=L) 
1
12 rx
L
rr
)x(r 


 
 
Área da seção transversal distante x da extremidade: 
 21122
2
1
122 Lrxrr
L
)x(Arx
L
rr
)x(r)x(A 










 
 
Deslocamento da extremidade livre ou alongamento da haste: 
       
     
21
21
12
12
2
21
21
12
2
1212
2
L
012112
2L
0
2
1122
L
0
rrE
LP
Lrr
rr
rrE
LP
Lrr
rr
rrE
LP
Lr
1
Lr
1
rrE
LP
rr
1
Lrxrr
1
E
LP
Lrxrr
L
E
dxP
)x(AE
dxP







 






 






















 
 
 
Resposta: O deslocamento da extremidade da haste devido a carga P é  = PL/(Er1r2), c.q.d.