Equações Diferenciais, 3  edição   BRONSON, Richar; COSTA, Gabriel txt

Equações Diferenciais, 3 edição BRONSON, Richar; COSTA, Gabriel txt


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-EQUAÇOES 
DIFERENCIAIS 
Conceitos Básicos 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas. 
Exemplo 1.1 Algumas equações diferenciais envolvendo a função incógnita y são apresentadas a seguir. 
dy 
- =5x+3 
dx 
e' d 2 y + 2 ( dy )1 = l 
dx 2 dx 
d 3 dl ' 4-? +(scnx)--4- + 5xy =O 
dx dx-
2 +3y 2. +y3 2. =5x (d' 1
3 (d )' (d )2 
clr' dx dx 
a'y a'y 
--4- = 0 
d/2 ax' 
(1.1) 
(1.2) 
(1.3) 
(1.4) 
(15) 
Uma equação diferencial ordinária é aquela em que a função incógnita depende de apenas uma variável 
independente. Se a função incógnita depender de duas ou mais variáveis independentes, temos uma equação dife-
rencial parcial. Com exceção dos Capítulos 31 e 34, o foco principal deste livro se refere às equações diferenciais 
ordinárias. 
Exemplo 1.2 As equações (1.1) a ( 1.4) são exemplos de equações diferenciais ordinárias, pois a função incógnita y 
depende somente da variável x. A equação ( 1.5) é uma equação diferencial parcial, pois y depende de ambas as variáveis 
independentes / ex. 
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada desta equação. 
RICHARD BRONSON, Ph.D. 
Professor de Matemática e Ciência da Computação 
Universidade Fairleigh Dickinson 
GABRIEL B. COSTA, Ph.D. 
Professor Associado de Matemática, Academia Militar dos Estados Unidos 
Professor Associado de Matemática e Ciência da Computação 
Universidade Seton Hall 
Tradução: 
Fernando Henrique Silveira 
Doutor cm Engenharia Elétrica pela UFMG 
3ª Edição 
Consultoria, supervisão e revisão técnica desta edição: 
Antonio Pertence Júnior 
Professor titular de Matemática da Faculdade de Sabará/MO 
Membro efetivo da SBM 
Versão impressa 
desta obra: 2008 
2008 
Obra originalmente publicada sob o título 
Schaum 's Outline: Differential Equations, Jrd Edition 
ISBN 0-07-145687-2 
Copyright© 2006, The McGraw-Hill Companies,Inc. 
Ali rights reserved. 
Portuguese-language translation copyright© 2008, Bookman Companhia Editora LUia., a division of Artmed Editora S.A. 
Ali rights reserved. 
Capa: Rogério Grilho 
Leitura final: VerOnica de Abreu Amaral 
Supervisão editorial: Denise Weber Nowaczyk 
Editoração eletrônica: Techbooks 
Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, à 
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(BOOJ<MAN&quot; COMPANHIA EDITORA é uma divisão da ARTMED°' EDITORAS.A.) 
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É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou cm parte, sob quaisquer 
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SÃO PAULO 
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IMPRESSO NO BRASIL 
PRINTED IN BRAZIL 
Para lgnace e Gwendolyn Bronson, Samuel e Rose Feláschuh - RB 
Aos grandes matemáticos e educadores, os quais fui abençoado por conhecer: Professor Bloom, Brady, Bronson, 
Dostal, Goldfarb, Levine, Manogue, Po/lara e Sujfel ... e, é claro, senhor Rod! - GBC 
As equações diferenciais constituem um dos intrumentos-chave da matemática modema que, juntamente com as 
matrizes, são essenciais para análise e solução de problemas complexos de engenharia, ciências naturais, economia 
e, até mesmo, negócios. O surgimento de computadores de baixo custo e com alta velocidade tem impulsionado o 
desenvolvimento de novas técnicas para a solução de equações diferenciais, permitindo modelar e resolver proble-
mas complexos baseados em sistemas de equações diferenciais. 
Tal como nas duas edições anteriores, este livro descreve não apenas a teoria clássica das equações diferen-
ciais, como também várias técnicas de solução, incluindo matrizes, métodos de série, transformadas de Laplace e 
diversos métodos numéricos. Adicionamos um capítulo sobre modelagem e apresentamos alguns métodos qualita-
tivos que podem ser aplicados quando soluções analíticas forem de difícil obtenção. Um capítulo sobre equações 
diferenciais clássicas (como as equações de Hermite, Legendre, etc.) foi adicionado para expor ao leitor esta rica e 
histórica área da matemática. 
Esta edição também contempla um capítulo sobre equações de diferença, traçando um paralelo destas com 
as equações diferenciais. Além disso, apresentamos ao leitor uma introdução às equações diferenciais parciais e 
às técnicas de solução para integração e separação de variáveis. Finalmente, incluímos um apêndice tratando de 
tecnologias, como a calculadora portátil TI-89 e o software MATHEMATICA. 
Alguns tópicos, como as equações integrais de convolução, os números de Fibonacci, as funções harmônicas, 
a equação do calor e a equação de onda, foram apresentados nos problemas resolvidos e suplementares. Fizemos 
alusão, também, à ortogonalidade e às funções de peso para equações diferenciais clássicas e suas soluções polino-
miais. Mantivemos a ênfase nos problemas de valor inicial e nas equações diferenciais sem condições auxiliares. 
É nosso objetivo apresentar de fato todos os tipos de problema que o estudante pode enc.ontrar em um curso de 
equações diferenciais com duração de um semestre. 
Cada capítulo deste livro é dividido em três partes. A primeira parte destaca aspectos relevantes da teoria e 
resume os procedimentos de resolução, chamando a atenção para dificuldades e sutilezas potenciais que facilmente 
poderiam passar despercebidas. A segunda parte consiste em problemas resolvidos destinados a esclarecer e, even-
tualmente, aumentar o conteúdo apresentado na primeira parte. Finalmente, existe uma seção de problemas com 
respostas, que permite ao leitor testar sua compreensão dos conceitos apresentados. 
Os autores gostariam de agradecer as seguintes pessoas pelo apoio e pelo auxílio inestimável com respeito à 
realização deste livro. Não poderíamos tê-lo feito tão rapidamente sem o apoio e encorajamento dessas pessoas. 
Somos particularmente agradecidos ao Reitor John Snyder e ao Dr. Alfredo Tan da Universidade Fairleigh Dickin-
son. O apoio contínuo do Reverendo John J. Myers, J.C.D., D.D., Arcebispo de Newark, N.J., é também reconheci-
do. Da Universidade Seton Hall, somos agradecidos ao Reverendo Monsenhor James M. Cafone e aos membros da 
Comunidade de Sacerdotes; ao Dr. Fredrick Travis, Dr. James Van Oosting, Dr. Molly Smith e Dr. Bert Wachsmulh 
e aos membros do departamento de Matemática e Ciência da Computação. Agradecemos também ao Coronel Gary 
W. Krahn da Academia Militar dos Estados Unidos. 
yj jj PREFÁCIO 
Agradecemos a Barbara Gilson e Adrinda Kelly da McGraw-Hill que sempre estiveram prontas a nos conceder 
qualquer auxílio, e a Ora. Carol Cooper, nosso contato no Reino Unido, que foi igualmente útil. 
Obrigado a todos vocês. 
CAPÍTULO 1 
CAPÍTULO 2 
CAPÍTULO 3 
CAPÍTULO 4 
CAPÍTULO 5 
Conceitos Básicos 
Equações diferenciais 
Notação 
Soluções 
Problemas de valores iniciais e de valores de contorno 
Uma Introdução à Modelagem e aos Métodos Qualitativos 
Modelos matemáticos 
O &quot;ciclo de modelagem&quot; 
Métodos qualitativos 
Classificações de Equações Diferenciais de Primeira Ordem 
Forma padrão e forma diferencial 
Equações lineares 
Equações de Bernoulli 
Equações homogêneas 
Equações separáveis 
Equações exatas 
Equações Diferenciais de Primeira Ordem Separáveis 
Solução geral 
Soluções do problema de valor inicial 
Redução de equações homogêneas 
Equações Diferenciais de Primeira Ordem Exatas 
Propriedades definidoras 
Método de resolução 
Fatores integrantes 
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16 
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29 
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10 SUMÁRIO 
CAPÍTULO