Fator de Acumulação de Capital

Prévia do material em texto

Fator de acumulação de capital
Cleia Denise Santos Ciscato
Introdução
Você sabia que é possível realizar o cálculo de um valor capitalizado a juros compostos, 
simplesmente utilizando uma tabela? Nesta aula, estudaremos como é possível obter um valor 
futuro de séries uniformes postecipadas, multiplicando o capital inicial por um fator que considera 
o tempo do investimento e a taxa de juro, sem aplicação de fórmula matemática e, também, trans-
formar um valor futuro em valor presente com a mesma tabela.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • compreender o que é fator de acumulação de capital;
 • entender os cálculos e tabela de fator de acumulação de capital.
1 Fator de acumulação de capital
Acumulação de capital pode significar o incremento de bens representados por objetos de 
valor, de forma a gerar aumento da riqueza, via a concentração com aumento desse bem, ou o 
incremento de dinheiro pela aplicação do próprio dinheiro com o objetivo de rentabilizá-lo. O inves-
timento em capitais constitui o alicerce do sistema capitalista, em que a atividade econômica é 
estruturada ao redor da acumulação de capital, ou de investimentos para gerar ganho financeiro. 
O dinheiro investido tem o propósito de gerar mais dinheiro para o investidor, o que chamamos 
de retorno do investimento. Isto pode acontecer, por exemplo, na forma de lucro, renda ou juros. 
Nesta aula, estudaremos o cálculo da acumulação de valores financeiros, mais especificamente 
do capital representado por dinheiro, utilizando uma tabela.
Figura 1 – Facilitando cálculos
Fonte: Antonio Guillem/ Shutterstock.com
O fator de acumulação de capital é utilizado quando não há ocorrência de prestações, tam-
bém chamadas de parcelas ou de termos. Os cálculos com o fator de acumulação são feitos a par-
tir do valor presente (VP) ou valor futuro (VF), que são capitalizados ou descapitalizados durante 
os períodos, sem retiradas de capital, sem incrementos de capital e sem liquidações parciais de 
capital. Portanto, os cálculos utilizando a tabela de fatores de acumulação de capital são feitos 
para conhecer o VF (valor capitalizado), quando já conhecemos o VP, i e n; ou para conhecer o VP 
(valor descapitalizado), quando já existe a informação do VF, i e n.
FIQUE ATENTO!
Ao utilizar o fator de acumulação de capital, deve-se observar se a taxa e o tempo 
estão na mesma base. A tabela com os fatores pode ser aplicada para qualquer 
período (dia, mês, trimestre, semestre, ano etc.), desde que a taxa se refira a este 
período. Por exemplo, se o período for bimestre e a taxa for para bimestre, é só ob-
ter o fator na tabela. Por outro lado, se a taxa é para bimestre e o período estiver em 
meses, é preciso primeiramente transformar o período em bimestre. 
O valor capitalizado que se deseja obter utilizando o fator de acumulação de capital, pode se 
referir a uma aplicação financeira ou a um empréstimo.
2 Utilidade do fator de acumulação de capital
O fator de acumulação de capital é facilmente calculado com a utilização de uma tabela 
previamente estruturada com juros compostos para facilitar cálculos de capitalização. No caso 
de um investimento, como uma aplicação financeira, a partir do momento em que a taxa seja fixa 
e conhecida, assim como o prazo final do resgate da aplicação, a multiplicação do valor investido 
pelo fator resultará no valor futuro capitalizado.
Figura 2 – Investimento que rentabiliza
Fonte: tankist276/ Shutterstock.com
EXEMPLO
Uma dívida no valor de R$ 100,00 tem seu prazo final de pagamento ao final de 4 
meses, com juros compostos de 3% a.m. Qual o valor que será pago no vencimen-
to? Aplicando o fator não é preciso utilizar a fórmula, pode-se usar o fator multipli-
cador: R$ 100,00 x 1,124864 = R$ 112,49.
No caso de uma dívida, uma vez conhecido o capital emprestado, a taxa de juros compostos 
de capitalização da dívida e o prazo final da quitação do empréstimo, também é possível conhecer 
o valor final a pagar com a multiplicação do capital pelo fator.
3 Tabela de fator de acumulação de capital
O fator de acumulação de capital é utilizado para transformar um valor presente em valor 
futuro e vice-versa, pela multiplicação ou divisão do capital pelo fator. A taxa de juros do fator é 
uma taxa de juros compostos.
Figura 3 – Tabela de fatores de acumulação de capital com juros e 1% a 10%
i = %
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1,010000 1,020000 1,030000 1,04OOOO 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000
2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000
3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000
4 1,040604 1,082432 1,125509 1,169859 1,215506 1,262477 1,310796 1,360489 1,411582 1,464100
5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216653 1,276282 1,338226 1,402552 1,469328 1,538624 1,610510
6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340096 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561
7 1,072135 1,148686 1,229874 1,315932 1,407100 1,503630 1,605781 1,713824 1,828039 1,948717
8 1,082857 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,593848 1,718186 1,850930 1,992563 2,143589
9 1,093685 1,195093 1,304773 1,423312 1,551328 1,689479 1,838459 1,999005 2,171893 2,357948
10 1,104622 1,218994 1,343916 1,480244 1,628895 1,790848 1,967151 2,158925 2,367364 2,593742
11 1,115668 1,243374 1,384234 1,539454 1,710339 1,898299 2,104852 2,331639 2,580426 2,853117
12 1,126825 1,268242 1,425761 1,601032 1,795856 2,012196 2,252192 2,518170 2,812665 3,138428
13 1,138093 1,293607 1,468534 1,665074 1,885649 2,132928 2,409845 2,719624 3,065805 3,452271
14 1,149474 1,319479 1,51259O 1,731676 1,979932 2,260904 2,578534 2,937194 3,341727 3,797498
15 1,160969 1,345868 1,557967 1,800944 2,078928 2,396558 2,759032 3,172169 3,642482 4,177248
16 1,172579 1372786 1,604706 1,872981 2,182875 2,540352 2,952164 3,425943 3,970306 4,594973
17 1,184304 1,400241 1,652848 1,947900 2,292018 2,692773 3,158815 3,700018 4,327633 5,054470
18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025817 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917
19 1,208109 1,456811 1,753506 2,106849] 2,526950 3,025600 3,616528 4,315701 5,141661 6,115909
20 1,220190 1,485947 1,806111 2,191123 2,653298 3,207135 3,869684 4,660957 5,604411 6,727500
21 1,232392 1,515666 1,860295 2,278768 2,785963 3,399564 4,140562 5,033834 6,108808 7,400250
22 1,244716 1,545980 1,916103 2,369919 2,925261 3,603537 4,430402 5,436540 6,658600 8,140275
23 1,257163 1,576899 1,973587 2,464716 3,071524 3,819750 4,740530 5,871464 7,257874 8,954302
24 1,269735 1,608437 2,032794 2,563304 3,225100 4,048935 5,072367 6,341181 7,911083 9,849733
25 1,282432 1,640606 2,093778 2,665836 3,386355 4,291871 5,427433 6,848475 8,623081 10,834706
26 1,295256 1,673418 2,156591 2,772470 3,555673 4,549383 5,807353 7,396353 9,399158 11,918177
27 1,308209 1,706886 2,221289 2,883369 3,733456 4,822346 6,213868 7,988061 10,245082 13,109994
28 1,321291 1,741024 2,287928 2,998703 3,920129 5,111687 6,648838 8,627106 11,167140 14,420994
29 1,334504 1,775845 2,356566 3,118651 4,116136 5,418388 7,114257 9,317275 12,172182 15,863093
30 1,347849 1,811362 2,427262 3,243398 4,321942 5,743491 7,612255 10,062657 13,267678 17,449402
31 1,361327 1,847589 2,500080 3,373133 4,538039 6,088101 8,145113 10,867669 14,461770 19,194342
32 1,374941 1,884541] 2,575083 3,508059 4,764941 6,453387 8,715271 11,737083 15,763329 21,113777
33 1,388690 1,922231 2,652335 3,648381 5,003189 6,840590 9,325340 12,676050 17,182028 23,225154
34 1,402577 1,960676 2,731905 3,794316 5,253348 7,251025 9,978114 13,690134 18,728411 25,547670
35 1,416603 1,999890 2,813862 3,946089 5,516015 7,686087 10,676581 14,785344 20,413968 28,102437
36 1,430769 2,039887 2,898278 4,103933 5,791816 8,147252 11,423942 15,968172 22,251225 30,912681
37 1,445076 2,080685 2,985227 4,268090 6,0814078,636087 12,223618 17,245626 24,253835 34,003949
38 1,459527 2,122299 3,074783 4,438813 6,385477 9,154252 13,079271 18,625276 26,436680 37,404343
39 1,474123 2,164745 3,167027 4,616366 6,704751 9,703507 13,994820 20,115298 28,815982 41,144778
40 1,488864 2,208040 3,262038 4,801021 7,039989 10,285718 14,974458 21,724521 31,409420 45,259256
Fonte: elaborada pela autora, 2017.
A figura anterior apresenta a tabela de fatores de acumulação de capital, de até 40 períodos de 
capitalização, com opções de juros compostos de 1% a 10%, preparada com planilha eletrônica Excel. 
Figura 4 – Tabela de fatores de acumulação de capital com juros e 11% a 20%
i = %
n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 1,110000 1,120000 1,130000 1,140000 1,150000 1,160000 1,170000 1,180000 1,190000 1,200000
2 1,232100 1,254400 1,276900 1,299600 1,322500 1,345600 1,368900 1,392400 1,416100 1,440000
3 1,367631 1,404928 1,442897 1,481544 1,520875 1,560896 1,601613 1,643032 1,685159 1,728000
4 1,518070 1,573519 1,630474 1,688960 1,749006 1,810639 1,873887 1,938778 2,005339 2,073600
5 1,685058 1,762342 1,842435 1,925415 2,011357 2,100342 2,192448 2/787758 2386354 2,488320
6 1,870415 1,973823 2,081952 2,194973 2,313061 2,436396 2,565164 2,699554 2,839761 2,985984
7 2,076160 2,210681 2,352605 2,502269 2,660020 2,826220 3,001242 3,185474 3,379315 3,583181
8 2,304538 2,475963 2,658444 2,852586 3,059023 3,278415 3,511453 3,758859 4,021385 4,299817
9 2,558037 2,773079 3,004042 3,251949 3,517876 3,802961 4,108400 4,435454 4,785449 5,159780
10 2,839421 3,105848 3,394567 3,707221 4,045558 4,411435 4,806828 5,233836 5,694684 6,191736
11 3,151757 3,478550 3,835861 4,226232 4,652391 5,117265 5,623989 6,175926 6,776674 7,430084
12 3,498451 3,895976 4,334523 4,817905 5,350250 5,936027 6,580067 7,287593 8,064242 8,916100
13 3,883280 4,363493 4,898011 5,492411 6,152788 6,885791 7,698679 8,599359 9,596448 10,699321
14 4,310441 4,887112 5,534753 6,261349 7,075706 7,987518 9,007454 10,147244 11,419773 12,839185
15 4,784589 5,473566 6,254270 7,137938 8,137062 9,265521 10,538721 11,973748 13,589530 15,407022
16 5,310894 6,130394 7,067326 8,137249 9,357621 10,748004 12,330304 14,129023 16,171540 18,488426
17 5,895093 6,866041 7,986078 9,276464 10,761264 12,467685 14,426456 16,672247 19,244133 22,186111
18 6,543553 7,689966 9,024268 10,575169 12,375454 14,462514 16,878953 19,673251 22,900518 26,623333
19 7,263344 8,612762 10,197423 12,055693 14,231772 16,776517 19,748375 23,214436 27,251616 31,948000
20 8,062312 9,646293 11,523088 13,743490 16,366537 19,460759 23,105599 27,393035 32,429423 38,337600
21 8,949166 10,803848 13,021089 15,667578 18,821518 22,574481 27,033551 32,323781 38,591014 46,005120
22 9,933574 12,100310 14,713831 17,361039 21,644746 26,186398 31,629255 38,142061 45,923307 55,206144
23 11,026267 13,552347 16,626629 20,361585 24,891458 30,376222 37,006228 45,007632 54,648735 66,347373
24 12,239157 15,178629 18,788091 23,212207 28,625176 35,236417 43,797287 53,109006 65,031994 79,496847
25 13,585464 17,000064 21,230542 26,161516 32,918953 40,874244 50,657826 62,668627 77388073 95396217
26 15,079865 19,040072 23,990513 30,166584 37,856796 47,114123 59,769656 73,348980 92,091807 114,475460
27 16,738650 21,324881 27,109279 34,389906 43,535315 55,000382 69,345497 87,759797 109,589251 137,370552
28 18,579901 23,883866 30,633486 39,204493 50,065612 63,800444 81,134232 102,966560 130,411208 164,844662
29 20,623691 26,749930 34,615839 44,693122 57,575454 74,008515 94,927051 121,500541 155,189338 197,813595
30 22,892297 29,959922 39,115898 50,950159 66,211772 85,849877 111,064650 143,370638 184,675312 237,376314
31 25,410449 33,555113 44,200965 58,083181 76,143538 99,585857 129,945641 169,177353 219,763621 284,851577
32 28,205599 37,381726 49,947090 66,214826 87,565068 115,519594 152,036399 199,629277 261,318710 341,321892
33 31,308214 42,091533 56,440212 75/184902 100,699829 134,002729 177,882587 235,362547 311,307264 410,186270
34 34,752118 47,142517 63,777439 86,052788 115,804803 155,443166 208,122627 277,363805 370,336645 492,223524
35 38,574851 52,799620 72,068506 98,100178 133,175523 180,3L4073 243,503474 327,997290 440,700607 590,668229
36 42,818085 59,135574 81,437412 111,834203 153,151852 209,164324 284,899064 387,036802 524,433722 708,801875
37 47,528074 66,231843 92,024276 127,490992 176,124630 242,630616 333,331905 456,703427 624,076130 850,562250
38 52,756162 74,179664 103,987432 145,339731 202,543324 281,451515 389,998329 538,910044 742,650594 1.020,674700
39 58,559340 83,081224 117,505798 165,687293 232,924823 326,483757 456,298045 635,913852 883,754207 1.224,809640
40 65,000867 93,50970 132,781552 188,781514 267,863546 378,721158 533,868713 750,378345 1.051,667507 1.469,771568
Fonte: elaborada pela autora, 2017.
FIQUE ATENTO!
As Figuras 3 e 4 não resumem todas as possibilidades de taxas de juros (i) e de 
períodos (n). São tabelas elaboradas em planilha eletrônica Excel, que podem ser 
expandidas para mais períodos e mais taxas, por exemplo 0,01% a 100%, ou perío-
dos de 41 a mais opções de períodos (BRUNI, FAMÁ, 2009, p. 413).
A tabela anterior pode ser aplicada em casos de capitalização no qual os juros são com-
postos, de 11% a 20%, expandindo as possibilidades de cálculo, também preparada com planilha 
eletrônica Excel.
4 Aplicação da tabela
A aplicação da tabela é muito simples. Vamos supor que se pretenda calcular qual é o valor 
futuro equivalente ao valor presente de R$ 1.000,00, capitalizados a 1% ao mês por 25 meses. Na 
tabela, é preciso encontrar o fator relativo à taxa de 1% e a linha do período relativo a 25. Portanto, o 
fator que utilizaremos é 1,282432. Multiplicamos o capital pelo fator: 1.000 x 1,282432 = R$ 1.282,43.
SAIBA MAIS!
É importante observar que, quando não existia a fácil disponibilidade de calculadoras 
financeiras ou planilhas eletrônicas, e também nos concursos públicos, em que o 
uso desses recursos era proibido, os cálculos com séries uniformes baseavam-
se em tabelas que apresentavam o fator de acumulação de capital (BRUNI, FAMÁ, 
2009, p. 302).
Se o cálculo requerido for a transformação de um valor futuro em valor presente, faremos a 
divisão utilizando os fatores da tabela. Suponha que se pretenda descapitalizar um valor futuro 
de R$ 25.000,00, o qual será necessário para a compra de um imóvel, daqui há 6 meses, e que se 
tenha uma aplicação que remunera 2% ao mês. Então, falta conhecer qual o valor presente, que 
remunerado a 2% ao mês em 6 meses, totalizará o capital necessário de R$ 25.000,00. Aplicando 
a tabela teremos o seguinte cálculo: 25.000 / 1,126162 = R$ 22.199,29; ou seja, é preciso aplicar 
R$ 22.199,29, por 6 meses a 2% ao mês para obter o capital necessário de R$ 25.000,00.
Agora, vamos considerar que seja necessário saber o valor futuro de uma dívida contraída 
com valor presente de R$ 10.000,00, pelo prazo de 10 meses e juros compostos de 5% a.m. Apli-
cando a tabela teremos: 10.000 x 1,628895 = R$ 16.288,95. Este será o valor capitalizado a ser 
pago no vencimento final da dívida.
SAIBA MAIS!
Se o valor fi nal de uma dívida em 3 anos é de R$ 5.000,00, com juros de 14% ao 
ano, o valor presente que foi recebido no empréstimo pode ser obtido pela divisão 
do capital pelo fator de acumulação, como segue: 5.000 / 1,481544 = R$ 3.374,86. 
Isto signifi ca que um valor de R$ 3.374,86 foi captado em um empréstimo com 
prazo fi nal de 3 anos e juros anuais de 14%, que resultaram em um valor futuro de 
R$ 5.000,00, a ser pago no fi nal dos 3 anos.
EXEMPLO
Uma dívida foi contraída para ser liquidada em 4 anos no valor de R$ 12.000,00. Os 
juros anuais aplicados foram 8% a.a. Qual o valor presente que foi recebido neste 
empréstimo? Neste caso, dividimos o capital emprestado pelo fator corresponden-
te a 8% a.a. e 4 anos: 12.000 / 1,360489 = R$ 8.820,36.
5 Aplicação dafórmula de juros compostos para 
obtenção do VF 
Para saber o montante gerado por depósitos iguais e sucessivos de uma aplicação, verifi ca-
-se o VF (ou FV = Future Value) da sequência de rendas certas postecipadas. Vamos considerar 
uma aplicação mensal de R$ 10.000,00 que é feita rigorosamente num fundo de investimentos 
com remuneração fi xa de 1,2% a.m. O prazo da aplicação é de 6 meses. Qual foi o valor futuro equi-
valente a essas rendas certas? Neste caso, em que buscamos o VF, aplicamos a seguinte fórmula:
FV = PMT 
(1 + i )n − 1
 i
� �
VF = (PMT x((1 + i) n – 1) / i)
VF = 10.000 x ((1 + 0,012)6 – 1) / 0,012)
VF = 10.000x (0,07419487 / 0,012)
VF = 10.000 x 6,18290608
VF = R$ 61.829,06
O montante gerado pelas rendas certas postecipadas será de R$ 61.829,06.
Por outro lado, para saber qual o valor de prestações sucessivas que geram um determinado 
valor futuro, usa-se outra fórmula. Por exemplo, a prestação que em 6 meses, a uma taxa de juro 
composto de 1% a.m., gerará um montante de R$ 2.000,00:
PMT = FV 
 i 
 ( 1 + i )n −1
�PMT = FV �
PMT = FV x ( i ) / ((1 + i) n) –1
PMT = FV x ( 0,01 ) / ((1 + 0,01) 6) – 1)
PMT = 2.000 x ( 0,01 ) / (1,06152015 –1)
PMT = 2.000 x ( 0,01 / 0,06152015 )
PMT = 2.000 x 0,16254344
PMT = 325,09.
FIQUE ATENTO!
Ao utilizar o fator de acumulação de capital, utilize todas as casas decimais do fator 
a ser aplicado. Desta forma é reduzida a possibilidade de erro no cálculo da capita-
lização do investimento ou do endividamento.
O fator de acumulação de capital é muito prático para multiplicar ou dividir capitais referentes 
a investimentos ou empréstimos, com o objetivo de obter o valor futuro (multiplicação pelo fator) 
ou valor presente (divisão pelo fator). 
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • compreender o que é fator de acumulação de capital;
 • entender os cálculos e tabela de fator de acumulação de capital.
Referências
BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. 5. ed. São Paulo: 
Atlas, 2009.
PUCCINI, Abelardo. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 9. ed. São Paulo: Elsevier, 2011.
VALOR ECONÔMICO. Queda da Infl ação anima mercados. 2017. Disponível em: <http://www.valor.
com.br/video/5290957841001/queda-da-infl acao-anima-mercados>. Acesso em: 20 jan. 2017.