SOLUÇÃO P1 PROBEST 2017 1 3va 3vb 3vc

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Solução P1- Probabilidade e Estatística – 2017-1 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza (3VB); Soraida Aguilar (3VA); Marco Grivet (3VC) 
 
Questão 1(1.2 pts): 
a) (0.4 pt) Se “X” é uma v.a. discreta, descreva o suporte (possíveis valores) de X para o caso das seguintes 
distribuições: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Binomial Negativa e Poisson. 
SOLUÇÃO 
Bernoulli : x=0,1 
Binomial : x=0,1,...,n 
Geométrica : x=1,2,.... 
Binomial Negativa : x= r, r+1, r+2, .... 
Poisson: x= 0,1,.... 
 
b) (0.4 pt) Se 3 eventos A, B e C são independentes, qual é a probabilidade de interseção desses 3 
eventos? 
SOLUÇÃO 
- Para 3 eventos serem independentes, a intersecção de suas probabilidades terá que ser o produto delas, 
ou seja, a ocorrência de uma delas não traz qualquer informação adicional para a outra. 
- No caso de 3 eventos A, B e C, a independência ocorre se TODAS as condições abaixo são satisfeitas: 
1) Pr( A  B) = Pr(A).Pr(B) 
2) Pr( A  C) = Pr(A).Pr(C) 
3) Pr( B  C) = Pr(B).Pr(C) 
4) Pr( A  B  C) = Pr(A).Pr(B).Pr(C). 
 
 
c) ( 0.4 pt) Seja X uma v.a. discreta e f(x) a sua função de probabilidade: Quem seria a probabilidade da 
variável aleatória “X” ser igual a “x*”, onde x* é um possível valor que X pode assumir. 
E se X for uma v.a. contínua e f(x) a sua função de densidade. Quem seria a probabilidade de X de ser igual 
a “x*”. 
SOLUÇÃO 
Discreta: Contínua: 
f(x) f(x) 
 
 
 
 
 
 x1 x2 x* x x* x 
 
 
f(x1) f(x2) f(x*)=Prob(X=x*) f(x*)≠Prob(X=x*) 
 
Prob(X=
*x
) = f(
*x
) Prob(X=
*x
) = ZERO 
 
 
Problema 2 (1.5 pts) Seja um conjunto de dados ordenados {7, 10, 30, 35, 50,52} , pede-se: 
i. mediana 
ii. moda 
iii. segundo decil 
iv. primeiro quartil 
v. Trigésimo quinto percentil 
Observação: Deve-se identificar necessariamente a posição da estatística pedida. 
 
Solução 
i. mediana 
Posição: 
 
 
 7 10 30 35 50 52 
 
Mediana = (35-30)*50% + 30 = 32,5 
 
ii. moda 
Amodal, não há moda. 
 
iii. Segundo decil 
Posição: 
 
 
 
7 10 30 35 50 52 
 
D2 = (10-7)*40% + 7 = 8,2 
 
iv) Primeiro quartil 
Posição: 
 
 
 
7 10 30 35 50 52 
 
Q1= (10-7)*75% + 7 = 9,25 
 
v) 35º percentil 
Posição: 
 
 
 
7 10 30 35 50 52 
 
P35= (30-10)*45% + 10 = 19 
5,3
100
750
100
1





)(ni
PMed
4,1
100
720
100
1
2





)(ni
PD
75,1
100
725
100
1
1





)(ni
PQ
45,2
100
735
100
1
1





)(ni
PQ
 
 
Problema 3 (1.8 pts) Uma fábrica de televisores compra 1/5 de transistores que necessita de um 
fornecedor que garante uma confiabilidade (probabilidade de funcionar corretamente sem defeitos) de 
80% ao seu material durante um certo período. 
A aquisição do restante material é igualmente dividida por duas outras firmas que garantem, 
respectivamente, confiabilidades de 85% e 95% durante o mesmo período de tempo. 
a) (0.9 pt) Seleciona-se ao acaso um transistor do estoque da fábrica para teste. Qual a probabilidade dele 
funcionar corretamente? 
b) (0.9 pt) Para cada um dos fornecedores, determine a probabilidade de que o transistor escolhido ao 
acaso do estoque tenha sido comprado deste fornecedor sabendo-se que este transistor se revelou 
defeituoso, aplicando o Teorema de Bayes. 
Observação: mostre os resultados considerando 4 casas decimais. 
 
 
Solução 
Seja os eventos: 
Ai = “o transistor foi fornecido pelo fabricante i”, i = 1,2.3 
B = “o transistor funciona bem”. 
Sabe-se que: 
- 
 
5
1
1 AP
 
- 
   
10
4
32  APAP
 
 - 
  80,01 ABP
 
 - 
  85,02 ABP
 
 - 
  95,03 ABP
 
 
a) Seleciona-se ao acaso um transistor do estoque da fábrica para teste. Qual a probabilidade dele 
funcionar corretamente? 
 
     321 ABABABB 
 
       321 ABPABPABPBP 
 
             332211 ... APABPAPABPAPABPBP 
 
 
  88,0
10
4
.95,0
10
4
.85,0
5
1
.80,0 BP
 
 
 
b) Para cada um dos fornecedores, determine a probabilidade de que o transistor escolhido ao acaso do 
estoque tenha sido comprado deste fornecedor sabendo-se que este transistor se revelou defeituoso, 
aplicando o Teorema de Bayes. 
Observação: mostre os resultados considerando 4 casas decimais. 
 
 
 
   
   
 
 
3333,0
)88,01(
8,01.5/1
1
*)Pr
Pr
11
1
1 







BP
APAB
B
BAP
BA
 
    5000,0
12,0
85,01.10/4
Pr 2 

BA
 
    1667,0
12,0
95,01.10/4
Pr 3 

BA
 
R.: Pelo que é mais provável, que o transistor tenha sido adquirido pelo fornecedor 2. 
 
Problema 4 (2.1 pts) Suponha que um experimento biológico deva ser repetido no mínimo 4 vezes com 
sucesso para que seja validado. A cada dia só se pode realizar um experimento, que, em função de 
variações das condições do meio pode resultar em erro, anulando completamente tal tentativa. A chance 
de um experimento chegar até o fim sem sucesso é conhecida e igual a 80%. O pesquisador trabalhará 
todos os dias, inclusive finais de semana e feriados até validar o seu experimento. 
a) (0.7 pt) Identifique o modelo probabilístico que modela a chance do experimento ser validado em x dias 
e apresente o valor esperado do número de dias que ele trabalhará. 
Solução 
- Notação : X ~ NegBin (r=4,p=0,20) 
 
 
 
- E(X) = r/p = 4/0,20 = 20 dias 
 
b) (0.7 pt) Qual a probabilidade do pesquisador validar o seu experimento em exatos 4 dias? 
Solução 
X ~ BIN NEG (r=4;p=0,2) 
 
 
 
 
 (0.7 pt) Qual a chance dele demorar mais que 7 dias para validar o experimento? 
Solução 
Pr (X>7)= 1 - [f(4)+f(5) + f(6) + f(7)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
..... 2,+r 1,+r r,= x onde ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








%16,00016,08,0.2,0.
3)!-(33!
3!
 ..
14
14
)4Pr()4( 04444 







 qpXf
0102,08,0.2,0.
3)!-(53!
5!
 ..
14
16
)6Pr()6( 24464 







 qpXf
0164,08,0.2,0.
3)!-(63!
6!
 ..
14
17
)7Pr()7( 34474 







 qpXf
  %67,969667,00164,00102,00051,00016,01)7Pr( X
0051,08,0.2,0.
3)!-(43!
4!
 ..
14
15
)5Pr()5( 14454 







 qpXf
 
Problema 5(1.6 pts) Considere o experimento aleatório onde um dado não viciado (equilibrado) é lançado 
e o valor da sua face é representado por 
""w
. Considere a seguinte v.a.: 
   23 wwX
. Defina a função 
de probabilidade acumulada, 
)(xFX
, com base na definição da v.a. 
""X
, acima, e esboce o seu gráfico. 
Seja preciso tanto nos cálculos como no desenho. 
SOLUÇÃO 
 
E = jogar o dado e observar o nº da face 
Então. S= {1,2,3,4,5,6} 
 
    9,4,1,0;Pr  xxXobxF
 
Tabela 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico com os seguintes pulos: 
 
  6/10 XF
 
  2/11 XF
 
  6/54 XF
 
  19 XF
 
 
F(x) 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 5/61/2 
 
 
 
 
 1/6 
 
 
 0 1 
 
4 
 
9 
 
x 
 
 
 
 
 
w 
   23 wwX
 f(x) F(x) 
1 4 1/6 - 
2 1 1/6 - 
3 0 1/6 1/6 
4 1 1/6 1/2 
5 4 1/6 5/6 
6 9 1/6 1 
 
Problema 6 (1.8 pts) - Suponha uma variável aleatória contínua X com densidade de probabilidade 
12
8
9
)(
2
 x
x
xfX
, com suporte no intervalo [0,2]. 
a) (0.6 pt) Encontre a função de distribuição de probabilidade acumulada de “X”. 
b) (1.2 pt) Calcule a média e a variância da distribuição de “X”. 
 
SOLUÇÃO 
 
a) Encontre a função de distribuição de probabilidade acumulada de “X”. 
 

x
dxxfxF
0
).()(
 , onde 
12
8
9
)(
2
 x
x
xf
 
 






x
dxx
x
xF
0
2
.12
8
9
)(
 

 
 
xxx
dxxdxdxxxF
000
2 2.
8
9
)(
 

 
 x
xx
x
xx
xF 0
0
2
0
3
2
2
3
.
8
9
)( 












 
 
xx
x
xF  2
3
8
3
)(
 , 
)(xF
 0, se x<0 
xx
x
 2
3
8
3
, se 0≤x≤2 
1, se x>2 
 
 
 
b) Calcule a média e a variância da distribuição de “X”. 
 
Média 

2
0
).(.)( dxxfxXE
 , onde 0≤x≤2 
 






2
0
2
.12
8
9
.)( dxx
x
xXE
 

 
 






2
0
2
3
..2
8
9
)( dxxx
x
XE
 

2
0
234
23
2
48
9
)( 






xxx
XE
 

 
2
4
3
8.2
32
16.9
)( xE

 
96
192512432
)(

XE
 
 
167,1
6
7
96
112
)( XE 
 
167,1)( XE
 
 
Variância 
 
)()()( 22 XEXEXVar 
 
 

2
0
22 ).(.)( dxxfxXE
 

 
 






2
0
2
22 .12
8
9
.)( dxx
x
xXE
 

 
 






2
0
2342 2.
8
9
)( dxxxxXE
 

2
0
345
2
34
.2
5.8
..9
)( 






xxx
XE
 

 







3
8
4
16.2
5.8
32..9
)( 2XE
 
3
8
8
5
36
)( 2 XE

 15
40120108
)( 2

xE
 
 
867,1
15
28
)( 2 xE 
 
867,1)( 2 XE
 
 
)()()( 22 XEXEXVar 
 

 2
6
7
15
28
)( 





XVar
 

 
36
49
15
28
)( XVar
540
7351008
)(

xVar 
 
505,0)( XVar
 
 
505,0)( XVar
 
 
Ou 
dxxfxXVar ).(.)()( 2
2
0
  
 
 












2
0
22
.12
8
9
.
6
7
)( dxx
x
xXVar
 

 
 





















2
0
22
2 .12
8
9
.
6
7
6
.7.2
)( dxx
xx
xXVar
 
 




















































2
0
222223
23
4
.
6
7
2.
6
7
8
.9
.
6
7
6
.7.2
6
.2.7.2
8.6
.9.7.2
2
8
9
)( dxx
xxxx
xx
x
XVar
 
2
0
22232234345
.
6
7
2
.2.
6
7
3.8
.9
.
6
7
2.6
.7.2
3.6
.2.7.2
4.8.6
.9.7.2
34
2
5.8
9
)(


















































 x
xxxxxxxx
XVar
 
 
2
0
22232234345
2.
6
7
2
2
.2.
6
7
3.8
2.9
.
6
7
2.6
2.7.2
3.6
2.2.7.2
4.8.6
2.9.7.2
3
2
4
2
2
5.8
2.9
)(


















































XVar
 
 






 722,2444,5083,4667,4444,125,10
3
8
82,7)(XVar
 
 
505,0)( XVar
 
505,0)( XVar 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO 
 
 
TEOREMA DE BAYES: 
 
 
 
 
MÉDIA E VARIÂNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 = E (X2) - E(X)2 
 
 
SÉRIE GEOMÉTRICA 






0
32 1
1
1
.....1
k
k a
a
aaaa que desde 
 
 
 
Fórmula de Czuber: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 discreta v.a.é X se Pr..
contínua v.a.é X se .
 xtodo xtodo








 



xXxxfx
dxxfx
XE   
   
       
 
 discreta v.a.é X se Pr..
contínua v.a.é X se .
 xtodo xtodo








 



xXxuxfxu
dxxfxu
XuE  
 
 
 
   
   
   






k
j
jj
ii
k
j
jj
ii
i
BBA
BBA
BBA
AB
A
AB
AB
11
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr
Pr
Pr
|Pr   
   
       
2
22
2 2
todo x todo x
. se X contínua
( ) 
. .Pr se X discreta 
x f x dx
VAR X E X
x f x x X x

 
 




    
    


 
h
f
antF
)(ni
lP
i
i
P
i
Pi 









100
1
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 
 
Distribuição Bernoulli 
Notação : X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = p 
VAR(X) = p.q = p.(1-p) 
 
Distribuição Binomial 
Notação : X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = n.p 
VAR(X) = n.p.q = n.p.( 1-p) 
 
Distribuição Geométrica 
Notação : X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = 1/p 
VAR(X) = q/p2 
 
Distribuição Binomial Negativa 
Notação : X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = r/p 
VAR(X) = r.q/p2 
 
Distribuição Poisson 
Notação : X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = μ 
 
 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf    )1(Pr)(
xnx pp
x
n
xXxf 






 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  
