Como calcular o Desvio Padrão

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OBSERVAÇÕES SOBRE O CÁLCULO DO 
DESVIO PADRÃO 
 
A avaliação da incerteza estatística, devida a processos aleatórios em uma experiência, é uma das 
principais competências que o curso de Laboratório de Física I pretende que os alunos adquiram. No 
entanto, a fórmula para o cálculo do desvio padrão da média pode parecer bastante complicada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fora o fato de que os alunos iniciantes terão dificuldade com o símbolo de somatório, um ponto que 
gera perplexidade é a quantidade de algarismos que devem ser levados em conta na hora de se anotar os 
valores. Em alguns casos, uma avaliação incorreta do número de algarismos significativos necessários pode 
levar, inclusive, a uma raiz quadrada de número negativo, erroneamente. Observando as tabelas abaixo, 
podemos verificar um exemplo de como o arredondamento mal feito dos valores dos quadrados pode levar 
a resultados incorretos. Na análise que se segue iremos calcular o desvio padrão da amostra, S, ao invés do 
da média, , (que tem o 1/ adicional), para chamar também a atenção para outro ponto mais para 
frente... Agora, digamos que um grupo de alunos tenha obtido a seguinte tabela para a massa do pedaço de 
madeira: 
m (g) m2 (g2) 
21,195 449,228025 
21,194 449,185636 
21,194 449,185636 
21,195 449,228025 
21,193 449,143249 
 =105,971 
 
 =2245,970571 
 
 = 0,00083666 
 
Será que não podemos arredondar um pouco? Vejamos: 
m (g) m2 (g2) 
21,195 449,2 
21,194 449,2 
21,194 449,2 
21,195 449,2 
21,193 449,1 
 =105,971 
 
 =2245,9 
 
 = 
 
Como se pode ver, o arredondamento deixando um número insuficiente de algarismos significativos nos 
quadrados levou a uma raiz quadrada negativa! Casos menos dramáticos podem levar a resultados errados 
por um fator 10, por exemplo. Mas será que não há uma maneira de simplificar a anotação das contas, sem 
ter que carregar todos os números que a calculadora apresenta? É claro que sim! Mas a maneira certa de 
fazer isso não é muito óbvia, e não passa por operações de arredondamento. Primeiramente, devemos 
observar em qual casa (decimal ou não), os números flutuam. Vamos olhar a tabela novamente. 
m (g) m2 (g2) 
21,195 449,228025 
21,194 449,185636 
21,194 449,185636 
21,195 449,228025 
21,193 449,143249 
 
 
Note que neste caso em particular, as flutuações acontecem na terceira casa decimal. Isso indica que 
a princípio, teríamos mesmo que tomar conta dos números dos quadrados até a sexta decimal, pois 
(10-3)2=10-6. Mas não é só isso: vários dígitos na tabela de massas se repetem para todos os números. 
Podemos tirar vantagem disso e simplificar muito as contas. Vejamos em seguida uma sequência de tabelas, 
todas obtidas da tabela original. Você consegue ver como essas tabelas foram extraídas da original? 
m (g) m2 (g2) 
195 38025 
194 37636 
194 37636 
195 38025 
193 37249 
 =971 
 
 =188571 
 
 = 0,83666 
 
Note que o desvio padrão da média guarda uma semelhança com o desvio padrão da minha tabela original. 
E agora, simplificando um pouco mais: 
 
m (g) m2 (g2) 
95 9025 
94 8836 
94 8836 
95 9025 
93 8649 
 =471 
 
 =44371 
 
 = 0,83666 
 
Simplificando um pouco mais... 
m (g) m2 (g2) 
5 25 
4 16 
4 16 
5 25 
3 9 
 =21 
 
 =91 
 
 = 0,83666 
 
E finalmente, subtraindo o menor valor (o que aliás, poderíamos ter feito desde o início), temos 
m (g) m2 (g2) 
2 4 
1 1 
1 1 
2 4 
0 0 
 =6 
 
 =10 
 
 = 0,83666 
 
O motivo pelo qual eu calculei o S ao invés do é porque boa parte das calculadoras científicas já 
faz o cálculo dessa grandeza. Mas tem outro motivo: um bom chute para o valor de S é a amplitude da 
variação da grandeza, dividido por 2. No nosso exemplo, os valores vão de 21,193 a 21,195, o que dá 0,002 
de amplitude. Dividido por 2 temos 0,001, o que é razoavelmente parecido com 0,00083666..... Melhor do 
que o arredondamento mal feito.... 
 Agora, e o caso de números grandes? Exemplo: 
A (mm2) A2 (mm4) 
2646926,45 7006219631709,60 
2646220,84 7002484734050,30 
2646298,21 7002894216249,20 
2646353,77 7003188275993,21 
2646445,12 7003671773171,82 
 =13232244,39 
 
 =35018458631174,10 
 
 
 = 279,211767 
 
Esses números são impossíveis de tratar, e eu só pude completar a tabela com a ajuda do 
computador. Para conseguir fazer a conta na calculadora, é preciso verificar em qual dígito começa a haver 
flutuação nos dados. No caso da tabela acima, a variação está na casa da centena. Assim, podemos 
simplificar a tabela extraindo os valores que são comuns a todos os números: 
 
A (mm2) A2 (mm4) 
926,45 858309,6025 
220,84 48770,3056 
298,21 88929,2041 
353,77 125153,2129 
445,12 198131,8144 
 =2244,39 
 
 =1319294,14 
 
 
 = 279,211767 
 
 Melhorou bastante, mas ainda são dígitos demais para manter registro. Podemos fazer uma 
simplificação adicional, mantendo somente 3 algarismos significativos (só funciona depois de descontar a 
parte comum, respeitando regras de arredondamento): 
A (mm2) A2 (mm4) 
926 857476 
221 48841 
298 88804 
354 125316 
445 198025 
 =2244 
 
 =1318462 
 
 
 = 278,9958781 
 
 
 
 Houve uma pequena mudança no desvio padrão, mas somente no terceiro algarismo significativo. 
Como as incertezas devem ser anotadas com apenas um significativo no resultado final, podemos simplificar 
anda mais: 
A (mm2) A2 (mm4) 
93 8649 
22 484 
30 900 
35 1225 
45 2025 
 =225 
 
 =13283 
 
 
 = 28,09804264 
 
 
 
Note que embora os algarismos do último resultado se assemelhem ao valor original, a potência de 
10 está “errada”, e deve ser ajustada manualmente: S=28,09805264 x 10 = 280,9805264. O valor está 
correto (igual ao da tabela original) até o segundo algarismo significativo, o que é mais que suficiente.