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Modulo_I_Aula02 - Computação Grafica 2D

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Adailton José Alves da Cruz 
FACET/UFGD 
 
Computação Gráfica 2D 
Computação Gráfica 
Tópicos 
 Sistemas de Coordenadas 
 Transformações geométricas 2D 
 Transformações de Visualização 2D 
2 
Sistemas de coordenadas 
Computação Gráfica 
Necessário para descrever os atributos geométricos 
dos objetos que desejamos representar em uma 
cena 
• Estabelecer medidas de tamanho 
• Estabelecer posição 
• Efetuar operações de manipulação sobre os 
objetos. 
Sistema de 
Coordenadas 
Sistemas de coordenadas 
Computação Gráfica 
x 
y 
Sistemas de coordenadas 
Computação Gráfica 
• Origem O 
• Par de retas perpendiculares em O 
Fixando um sistema de 
coordenadas 
SRO 
Computação Gráfica 
Usado para descrever um único objeto, apenas o objeto é a 
referência neste espaço de coordenadas 
sistema de referencia do 
objeto –SRO 
• sistema de coordenadas local 
• descrição do objeto é feita 
independentemente da cena 
SRO 
Computação Gráfica 
ytriângulo 
xtriângulo yquadrad
o 
xquadrad
o 
yestrela 
xestrela 
SRU 
Computação Gráfica 
Sistema de coordenadas usado para descrever o mundo, 
referência no posicionamento de todos os objetos da cena 
sistema de referencia 
do universo –SRO 
• sistema de coordenadas global 
• Os objetos são “transportados” do 
seu SRO para o sistema SRU 
SRU 
Computação Gráfica 
x 
y 
SRD 
Computação Gráfica 
Sistema de coordenadas particular que empregam as 
coordenadas reais do dispositivo. 
sistema de referencia do 
dispositivo – SRD 
• A descrição do modelo não leva em 
conta o sistema de coordenadas de 
um dado dispositivo. 
SRD 
Computação Gráfica 
xtela 
ytela 
O 
Exemplo - Sistema de Referência da Tela 
SRN 
Computação Gráfica 
Sistema de coordenadas intermediário entre a aplicação 
gráfica e os dispositivos de exibição. 
sistema de referencia do 
normalizado– SRD 
• valores no intervalo fechado [0,1]. 
transformações 
Computação Gráfica 
Transformações entre sistemas de coordenadas 
SRU 
SRN SRD SRO 
Tópicos 
 Sistemas de Coordenadas 
 Transformações geométricas 2D 
 Transformações de Visualização 2D 
14 
Transformações Geométricas 2D 
Computação Gráfica 
Transformações Geométricas 
 
• Manipulação de objetos 
• Tamanho 
• Posição 
• Orientação 
 
• Simulação do Movimento 
Transformações Geométricas 2D 
Computação Gráfica 
Transformações Geométricas 
• Manipulação de objetos 
• Simulação do Movimento 
Estes procedimentos são descritos em 
termos de TG básicas denominadas 
translações, rotações e escala, bem como da 
combinação destas operações 
Translação 
Transformações Geométricas 
A translação T é a operação que permite 
deslocar um objeto de uma dada distância 
em uma dada direção com relação a sua 
posição original 
y 
(0,0) (6,0) 
(6,4) 
(3,7) 
(0,4) 
x 
y 
x 
(14,3) (20,3) 
(20,7) 
(17,10) 
(14,7) 
T (14,3) 
Translação 
Transformações Geométricas 
Obtemos as coordenadas do novo ponto 𝑷′ 𝑥′, 𝑦′ 
aplicando a transformação 𝑇𝑣 a 𝑃 𝑥 , 𝑦 : 
 
 
𝑷′ = 𝑇𝑣 𝑷 
 
sendo 
x′ = x + xv e 
y′ = y + yv 
T 
v
 























v
v
y
x
y
x
y
x
10
01
'
'
Translação 
Transformações Geométricas 
Rotação 
Transformações Geométricas 
A rotação R é a operação que permite girar 
um objeto em torno da origem do sistema de 
referência de um dado ângulo 𝜽 
ycasa 
(0,0) (6,0) 
(6,4) 
(3,7) 
(0,4) 
xcasa 
y 
x 
(5.2,3) 
(3.2,6.5) 
(-0.9,7.6) 
(-
2,3.5) 
R𝜽 
30
o 
Rotação 
Transformações Geométricas 
A rotação 𝑹𝜃 é dada por 
 
𝑃′ = 𝑹𝜃 𝑃 
sendo 
𝑥′ = 𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑦′ = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + y cos 𝜃 .
 
x 
y 
r cos 
(𝛼) 
r cos (𝛼 + 𝜃) 
r sen 
(𝛼) 
r sen (𝛼 + 𝜃) 
𝛼 
𝜃 
𝑟 
𝑟 
P(𝑥, 𝑦) 
P’(𝑥′, 𝑦′) 
Rotação 
Transformações Geométricas 
𝑥′ = 𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑦′ = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + y cos 𝜃 .
 
x 
y 
r cos (𝛼) r cos (𝛼 + 𝜃) 
r sen (𝛼) 
r sen (𝛼 + 𝜃) 
𝛼 
𝜃 
𝑟 
𝑟 
P(𝑥, 𝑦) 
P’(𝑥′, 𝑦′) 𝑥 = 𝑟 cos(𝛼)
𝑦 = 𝑟 sen 𝛼 .
 
𝑥′ = 𝑟 cos(𝛼 + 𝜃)
𝑦′ = 𝑟 sen(𝛼 + 𝜃)
 
cos 𝛼 + 𝜃 = cos 𝛼 cos 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
sen 𝛼 + 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝛼 + cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝛼 .
 











 






y
x
y
x


cossin
sincos
'
'
Escala 
Transformações Geométricas 
A escala S é a operação que permite alterar 
o tamanho e a forma de um objeto. 
y 
(0,0) (6,0) 
(6,4) 
(3,7) 
(0,4) 
x 
y 
(0,0) (3,0) 
(3,2) 
(1.5,3.5) 
(0,2) 
x 
Multiplicamos os valores de suas 
coordenadas por uma constante 
denominada fator de escala s. 
𝑆1 2 
Fator de escala 
Transformações Geométricas 
y 
(0,0) (6,0) 
(6,4) 
(3,7) 
(0,4) 
x 
y 
(0,0) (3,0) 
(3,2) 
(1.5,3.5) 
(0,2) 
x 
Redução 
𝑆1 2 
y 
(0,0) (12,0) 
(12,8) 
(6,14) 
(0,8) 
x 
Ampliação 
𝑆2 
Fator de escala 
Transformações Geométricas 
y 
(0,0) (6,0) 
(6,4) 
(3,7) 
(0,4) 
x 
𝑆2 
Fator de escala não 
homogêneo 
𝑆1 2 
y 
(0,0) (12,0) 
(12,2) 
(6,3.5) 
(0,2) 
x 
Escala 
Transformações Geométricas 
A Escala S de um dado ponto 𝑷 𝑥, 𝑦 pode 
ser escrita da forma como segue. 
 
𝑷′ = 𝑆𝑠𝑥,𝑠𝑦 𝑷 
 
sendo 
x′ = s𝑥 . 𝑥 
y′ = sy. 𝑦 


















y
x
s
s
y
x
y
x
0
0
'
'
Tópicos 
 Sistemas de Coordenadas 
 Transformações geométricas 2D 
 Combinação de transformações 
 Transformações de Visualização 2D 
27 
























v
v
y
x
y
x
y
x
10
01
'
'
Translação, rotação e escala 
Transformações Geométricas 











 






y
x
y
x


cossin
sincos
'
'


















y
x
s
s
y
x
y
x
0
0
'
'
 
 
 Porque? 
Combinação de Transformações 
 Suponha a rotação de um objeto em relação a 
um ponto arbitrário P 
P P 
R
 Como? Sabemos rotacionar um ponto apenas 
em relação a origem. 
Combinação de Transformações 
1T
θ
θR
2T
1x
1y
Composição 
transformações 2D 
 Para compor 2 transformações temos: 
 Se P’ = T1 x P e P’’ = T2 x P’ , então, P’’ = T2 x T1 x P 
P P’ 
P’’ 
1T
2T
12 TT 
Produto Matricial 
























v
v
y
x
y
x
y
x
10
01
'
'
Translação, rotação e escala 
Transformações Geométricas 











 






y
x
y
x


cossin
sincos
'
'


















y
x
s
s
y
x
y
x
0
0
'
'
Não pode ser representada por uma matriz 2x2 





 


cossin
sincos






y
x
s
s
0
0
E o Produto Matricial? 
soluçãoCoordenadas Homogêneas 
 Para que possamos combinar as 
transformações precisamos operá-las da 
mesma forma. 
 
 Uma abordagem consistente de tratar este 
problema é usar coordenadas homogêneas. 
 
 Em coordenadas homogêneas um ponto (x,y) 
passa a ser representado por três 
coordenadas (x, y , w) 
 
 
Algumas definições 
Plano Projetivo Real 
 O plano projetivo RP2 é o conjunto das retas do R3 
que passam pela origem. 
 Um ponto P do plano projetivo é definido como: 
 
 
 Denotado por P = [x,y,z] em coordenadas homogêneas 
(uma classe de equivalência). 
 Um ponto do RP2 é uma reta do R3 e uma reta do RP2 é 
um plano do R3. 
 
)}0,0,0(),,(,0);,,({  zyxzyx P
Ponto Projetivo 
 Considerando o plano z = 1 como o plano afim 
Euclideano mergulhado em RP2: 
 
 
 
 
 Homogeneizar  dividir o ponto por z 
 1//0,],,[ 2 zyzxPzRPzyxP 
 
 Representa a interseção 
da reta λ(x,y,z) com o plano 
z = 1 ou (λ = 1/z). 
 
Coordenadas homogêneas e 
transformações geométricas 
 Como os pontos são agora representados 
por três coordenadas então devemos ter 
matrizes 3x3. 
 A translação passa a ser representada por: 
































1100
10
01
1
'
'
y
x
t
t
y
x
y
x
Coordenadas homogêneas e 
transformações geométricas 
 A Rotação passa a ser representada por: 




















 











1100
0cossin
0sincos
1
'
'
y
x
y
x


Coordenadas homogêneas e 
transformações geométricas 
 A Escala passa a ser representada por: 
































1100
00
00
1
'
'
y
x
s
s
y
x
y
x
 
Voltando a questão inicial 
Combinação de Transformações 
1T












100
10
01
1
1
y
x
θ









 
100
0cossin
0sincos


θR
2T










100
10
01
y
x
1x
1y
Combinação de Transformações 
1TθR2T

































 






















1100
10
01
100
0cossin
0sincos
100
10
01
1
'
'
1
1
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x


 
 























1100
sincos1cossin
sincos1sincos
11
11
y
x
xy
yx


Combinação de Transformações 
 
 

































1100
sincos1cossin
sincos1sincos
1
'
'
11
11
y
x
xy
yx
y
x


 A matriz que promove a transformação diretamente 
dada pelo produto T2R0T1 
 Representa ganho no processamento 
 A ordem das transformações altera o resultado 
 O produto não é comutativo

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