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Adailton José Alves da Cruz FACET/UFGD Computação Gráfica 2D Computação Gráfica Tópicos Sistemas de Coordenadas Transformações geométricas 2D Transformações de Visualização 2D 2 Sistemas de coordenadas Computação Gráfica Necessário para descrever os atributos geométricos dos objetos que desejamos representar em uma cena • Estabelecer medidas de tamanho • Estabelecer posição • Efetuar operações de manipulação sobre os objetos. Sistema de Coordenadas Sistemas de coordenadas Computação Gráfica x y Sistemas de coordenadas Computação Gráfica • Origem O • Par de retas perpendiculares em O Fixando um sistema de coordenadas SRO Computação Gráfica Usado para descrever um único objeto, apenas o objeto é a referência neste espaço de coordenadas sistema de referencia do objeto –SRO • sistema de coordenadas local • descrição do objeto é feita independentemente da cena SRO Computação Gráfica ytriângulo xtriângulo yquadrad o xquadrad o yestrela xestrela SRU Computação Gráfica Sistema de coordenadas usado para descrever o mundo, referência no posicionamento de todos os objetos da cena sistema de referencia do universo –SRO • sistema de coordenadas global • Os objetos são “transportados” do seu SRO para o sistema SRU SRU Computação Gráfica x y SRD Computação Gráfica Sistema de coordenadas particular que empregam as coordenadas reais do dispositivo. sistema de referencia do dispositivo – SRD • A descrição do modelo não leva em conta o sistema de coordenadas de um dado dispositivo. SRD Computação Gráfica xtela ytela O Exemplo - Sistema de Referência da Tela SRN Computação Gráfica Sistema de coordenadas intermediário entre a aplicação gráfica e os dispositivos de exibição. sistema de referencia do normalizado– SRD • valores no intervalo fechado [0,1]. transformações Computação Gráfica Transformações entre sistemas de coordenadas SRU SRN SRD SRO Tópicos Sistemas de Coordenadas Transformações geométricas 2D Transformações de Visualização 2D 14 Transformações Geométricas 2D Computação Gráfica Transformações Geométricas • Manipulação de objetos • Tamanho • Posição • Orientação • Simulação do Movimento Transformações Geométricas 2D Computação Gráfica Transformações Geométricas • Manipulação de objetos • Simulação do Movimento Estes procedimentos são descritos em termos de TG básicas denominadas translações, rotações e escala, bem como da combinação destas operações Translação Transformações Geométricas A translação T é a operação que permite deslocar um objeto de uma dada distância em uma dada direção com relação a sua posição original y (0,0) (6,0) (6,4) (3,7) (0,4) x y x (14,3) (20,3) (20,7) (17,10) (14,7) T (14,3) Translação Transformações Geométricas Obtemos as coordenadas do novo ponto 𝑷′ 𝑥′, 𝑦′ aplicando a transformação 𝑇𝑣 a 𝑃 𝑥 , 𝑦 : 𝑷′ = 𝑇𝑣 𝑷 sendo x′ = x + xv e y′ = y + yv T v v v y x y x y x 10 01 ' ' Translação Transformações Geométricas Rotação Transformações Geométricas A rotação R é a operação que permite girar um objeto em torno da origem do sistema de referência de um dado ângulo 𝜽 ycasa (0,0) (6,0) (6,4) (3,7) (0,4) xcasa y x (5.2,3) (3.2,6.5) (-0.9,7.6) (- 2,3.5) R𝜽 30 o Rotação Transformações Geométricas A rotação 𝑹𝜃 é dada por 𝑃′ = 𝑹𝜃 𝑃 sendo 𝑥′ = 𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑦′ = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + y cos 𝜃 . x y r cos (𝛼) r cos (𝛼 + 𝜃) r sen (𝛼) r sen (𝛼 + 𝜃) 𝛼 𝜃 𝑟 𝑟 P(𝑥, 𝑦) P’(𝑥′, 𝑦′) Rotação Transformações Geométricas 𝑥′ = 𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑦′ = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + y cos 𝜃 . x y r cos (𝛼) r cos (𝛼 + 𝜃) r sen (𝛼) r sen (𝛼 + 𝜃) 𝛼 𝜃 𝑟 𝑟 P(𝑥, 𝑦) P’(𝑥′, 𝑦′) 𝑥 = 𝑟 cos(𝛼) 𝑦 = 𝑟 sen 𝛼 . 𝑥′ = 𝑟 cos(𝛼 + 𝜃) 𝑦′ = 𝑟 sen(𝛼 + 𝜃) cos 𝛼 + 𝜃 = cos 𝛼 cos 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛(𝜃) sen 𝛼 + 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝛼 + cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝛼 . y x y x cossin sincos ' ' Escala Transformações Geométricas A escala S é a operação que permite alterar o tamanho e a forma de um objeto. y (0,0) (6,0) (6,4) (3,7) (0,4) x y (0,0) (3,0) (3,2) (1.5,3.5) (0,2) x Multiplicamos os valores de suas coordenadas por uma constante denominada fator de escala s. 𝑆1 2 Fator de escala Transformações Geométricas y (0,0) (6,0) (6,4) (3,7) (0,4) x y (0,0) (3,0) (3,2) (1.5,3.5) (0,2) x Redução 𝑆1 2 y (0,0) (12,0) (12,8) (6,14) (0,8) x Ampliação 𝑆2 Fator de escala Transformações Geométricas y (0,0) (6,0) (6,4) (3,7) (0,4) x 𝑆2 Fator de escala não homogêneo 𝑆1 2 y (0,0) (12,0) (12,2) (6,3.5) (0,2) x Escala Transformações Geométricas A Escala S de um dado ponto 𝑷 𝑥, 𝑦 pode ser escrita da forma como segue. 𝑷′ = 𝑆𝑠𝑥,𝑠𝑦 𝑷 sendo x′ = s𝑥 . 𝑥 y′ = sy. 𝑦 y x s s y x y x 0 0 ' ' Tópicos Sistemas de Coordenadas Transformações geométricas 2D Combinação de transformações Transformações de Visualização 2D 27 v v y x y x y x 10 01 ' ' Translação, rotação e escala Transformações Geométricas y x y x cossin sincos ' ' y x s s y x y x 0 0 ' ' Porque? Combinação de Transformações Suponha a rotação de um objeto em relação a um ponto arbitrário P P P R Como? Sabemos rotacionar um ponto apenas em relação a origem. Combinação de Transformações 1T θ θR 2T 1x 1y Composição transformações 2D Para compor 2 transformações temos: Se P’ = T1 x P e P’’ = T2 x P’ , então, P’’ = T2 x T1 x P P P’ P’’ 1T 2T 12 TT Produto Matricial v v y x y x y x 10 01 ' ' Translação, rotação e escala Transformações Geométricas y x y x cossin sincos ' ' y x s s y x y x 0 0 ' ' Não pode ser representada por uma matriz 2x2 cossin sincos y x s s 0 0 E o Produto Matricial? soluçãoCoordenadas Homogêneas Para que possamos combinar as transformações precisamos operá-las da mesma forma. Uma abordagem consistente de tratar este problema é usar coordenadas homogêneas. Em coordenadas homogêneas um ponto (x,y) passa a ser representado por três coordenadas (x, y , w) Algumas definições Plano Projetivo Real O plano projetivo RP2 é o conjunto das retas do R3 que passam pela origem. Um ponto P do plano projetivo é definido como: Denotado por P = [x,y,z] em coordenadas homogêneas (uma classe de equivalência). Um ponto do RP2 é uma reta do R3 e uma reta do RP2 é um plano do R3. )}0,0,0(),,(,0);,,({ zyxzyx P Ponto Projetivo Considerando o plano z = 1 como o plano afim Euclideano mergulhado em RP2: Homogeneizar dividir o ponto por z 1//0,],,[ 2 zyzxPzRPzyxP Representa a interseção da reta λ(x,y,z) com o plano z = 1 ou (λ = 1/z). Coordenadas homogêneas e transformações geométricas Como os pontos são agora representados por três coordenadas então devemos ter matrizes 3x3. A translação passa a ser representada por: 1100 10 01 1 ' ' y x t t y x y x Coordenadas homogêneas e transformações geométricas A Rotação passa a ser representada por: 1100 0cossin 0sincos 1 ' ' y x y x Coordenadas homogêneas e transformações geométricas A Escala passa a ser representada por: 1100 00 00 1 ' ' y x s s y x y x Voltando a questão inicial Combinação de Transformações 1T 100 10 01 1 1 y x θ 100 0cossin 0sincos θR 2T 100 10 01 y x 1x 1y Combinação de Transformações 1TθR2T 1100 10 01 100 0cossin 0sincos 100 10 01 1 ' ' 1 1 1 1 y x y x y x y x 1100 sincos1cossin sincos1sincos 11 11 y x xy yx Combinação de Transformações 1100 sincos1cossin sincos1sincos 1 ' ' 11 11 y x xy yx y x A matriz que promove a transformação diretamente dada pelo produto T2R0T1 Representa ganho no processamento A ordem das transformações altera o resultado O produto não é comutativo
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