Apostila - Sistemas Lineares

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Faculdade Metropolitana de Guaramirim – FAMEG
Curso: Engenharias
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear
Professora: Endi Pricila Alves
Apostila Sistemas Lineares
Equação Linear
Equação linear é uma equação na forma:
na qual , , , ..., são as variáveis, , , , ..., são os respectivos coeficientes das variáveis e, é o termo independente.
As equações , e são lineares. Observe que uma equação linear não envolve quaisquer produtos ou raízes de variáveis. Todas as variáveis ocorrem somente na primeira potência e não aparecem como argumentos de funções trigonométricas, logarítmicas ou exponenciais. As equações , e são não-lineares.
Os valores das variáveis que transformam uma equação linear em identidade, isto é, que satisfazem à equação, constituem sua solução. Esses valores são denominados raízes da equação linear.
Sistemas de equações lineares
A um conjunto de equações lineares se dá o nome de sistema de equações lineares.
O subscrito duplo nos coeficientes das incógnitas é um recurso útil que é usado para especificar a localização do coeficiente no sistema. O primeiro subscrito no coeficiente indica a equação na qual o coeficiente ocorre e o segundo subscrito indica qual incógnita ele multiplica. Assim, ocorre na primeira equação e multiplica a incógnita .
Os valores das variáveis que transformam simultaneamente as equações de um sistema linear em identidade, isto é, que satisfazem a todas as equações do sistema, constituem sua solução. Esses valores são denominados raízes do sistema de equações lineares.
Classificação dos sistemas lineares
Um sistema linear é classificado de acordo com seu número de soluções.
Sistema possível ou compatível
Um sistema de equações lineares é compatível quando admite solução, isto é, quando tem raízes. Nesse caso, o sistema pode ser classificado como:
Determinado (SPD): admite uma única solução.
Exemplo O sistema é determinado, pois tem como raízes unicamente e .
Indeterminado (SPI): admite mais de uma solução (infinitas soluções).
Exemplo O sistema é indeterminado, pois admite infinitas soluções:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Sistema impossível ou incompatível
Um sistema de equações lineares é incompatível (SI) quando não admite solução.
Exemplo O sistema é incompatível, pois a expressão não pode ser simultaneamente igual a e igual a para os mesmos valores de e .
Ilustração dos sistemas
Para ilustrar as possibilidades que podem ocorrer na resolução de sistemas de equações lineares, considere um sistema arbitrário de duas equações lineares nas incógnitas e :
 (, não ambas nulas)
 (, não ambas nulas)
Os gráficos destas equações são retas, e . Como um ponto está na reta se, e somente se, os números e satisfazem a equação da reta, as soluções do sistema de equações correspondem a pontos de corte de e . Conforme a classificação dos sistemas lineares, existem três possibilidades ilustradas na Figura 1:
As retas e podem ser paralelas, caso em que não há interseção e conseqüentemente não existe nenhuma solução do sistema (sistema impossível).
As retas e podem cortar-se em um único ponto, caso em que o sistema tem exatamente uma solução (sistema possível determinado).
As retas e podem coincidir, caso em que existe uma infinidade de soluções no sistema (sistema possível indeterminado).
	
	
	
	SI
	SPD
	SPI
Figura 01. Classificação dos sistemas lineares.
Sistemas equivalentes
Dois sistemas de equações lineares são equivalentes quando admitem a mesma solução.
Exemplo Os sistemas e são equivalentes porque admitem a mesma solução e .
Sistema linear homogêneo
Quando num sistema de equações lineares os termos independentes são todos nulos, o sistema é chamado homogêneo.
Exemplo 
Todo sistema linear homogêneo tem pelo menos uma solução; essa solução, denominada solução trivial, é, qualquer que seja o sistema, , representando as variáveis e .
Sistema e matrizes
Os sistemas lineares podem ser escritos numa forma matricial:
É possível associar outra matriz ao sistema:
que chamamos matriz ampliada do sistema. Cada linha desta matriz é simplesmente uma representação abreviada da equação correspondente no sistema.
Exemplo 
Representação na forma matricial: 
Representação na forma matricial ampliada: 
Operações elementares
Um sistema de equações lineares se transforma num sistema equivalente quando se efetuam as seguintes operações elementares:
Permutação de duas equações.
Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero.
Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um número real diferente de zero.
Resolução de um sistema linear: método de Gauss ou escalonamento
Para escalonar um sistema linear qualquer, deve-se seguir os passos abaixo, baseados nas operações elementares.
Escrever a matriz associada ao sistema linear que se deseja escalonar.
Para a 1a equação, deve-se escolher uma equação em que o coeficiente da 1ª incógnita seja não nulo. Se possível, o coeficiente deve ser igual a ou , pois os cálculos ficam, em geral, mais simples.
Anular os coeficientes da 1a incógnita das demais equações, usando as operações elementares. 
Despreza-se a 1a equação e aplica-se o 2° e o 3° passo nas equações restantes.
Despreza-se a 1a e 2a equação e aplica-se o 2° e o 3° passo nas equações restantes até o sistema ficar escalonado.
Exemplo Resolver o sistema abaixo utilizando o método de Gauss.
Escrevendo o sistema equivalente da matriz tem-se: 
A partir da 3a equação, onde se obtém , é possível determinar os valores de e . Portanto, a solução do sistema linear é .
Sistema de equações lineares homogêneo
Um sistema de equações lineares homogêneo pode ter outras soluções, denominadas soluções impróprias, além da solução trivial. O método para encontrar essas soluções, se existirem, é o mesmo método utilizado para resolver um sistema de equações lineares com variáveis: o método de Gauss.
Exemplo 1 Resolver o sistema linear homogêneo 
O sistema é determinado, o que significa que não tem soluções próprias; a solução do sistema é a solução trivial: .
Exemplo 2 Resolver o sistema linear homogêneo 
O sistema é indeterminado. Além da solução trivial, , a 1a linha da matriz terá os valores de calculados ao se atribuir valores arbitrários às variáveis e .
	Arbitrários
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Calculados
	
	
	
	
	
Referências Bibliográficas
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Bookman, 2008.
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. 2.ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2010.