Apostila - Vetores

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Faculdade Metropolitana de Guaramirim – FAMEG
Curso: Engenharias
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear
Professora: Endi Pricila Alves
Apostila Vetores
Noção intuitiva
Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). Comprimento, área, volume, massa, temperatura, densidade, são exemplos de grandezas escalares. Assim, quando dizemos que uma mesa tem m de comprimento, que o volume de uma caixa é de dm3 ou que a temperatura ambiente é, estamos determinando perfeitamente estas grandezas.
Existem, no entanto, grandezas que não ficam completamente definidas apenas pelo seu módulo, ou seja, pelo número com sua unidade correspondente. Falamos das grandezas vetoriais, que para serem perfeitamente caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Força, velocidade, aceleração, são exemplos de grandezas vetoriais.
Antes de apresentar um exemplo mais palpável de grandeza vetorial, precisamos ter presente as idéias de direção e de sentido. A Figura 1 (a) apresenta três retas. A reta determina, ou define, uma direção. A reta determina outra direção, diferente da direção de . Já a reta , por ser paralela a , possui a mesma direção de . Assim a noção de direção é dada por uma reta e por todas as que lhe são paralelas. Quer dizer, retas paralelas têm a mesma direção.
Na Figura 1 (b) a direção é definida pela reta que passa pelos pontos e . O deslocamento de uma pessoa nessa mesma direção pode ser feito de duas maneiras: no sentido de para ou no sentido contrário, de para . Portanto, a cada direção podemos associar dois sentidos. Fica claro então que só podemos falar em “sentidos iguais” ou em “sentidos contrários” caso estejamos diante da mesma direção.
Figura 1
Exemplo 1 Consideremos um avião com uma velocidade constante de km/h, deslocando-se para nordeste, sob um ângulo de (na navegação aérea, as direções são dadas pelo ângulo considerado a partir do norte, , em sentido horário). Esta grandeza (velocidade) seria representada por um segmento orientado (uma flecha – Figura 2), sendo seu módulo dado pelo comprimento do segmento (no caso, cm, e cada cm corresponde a km/h), com direção e o sentido definidos pelo ângulo de . O sentido será indicado por uma seta na extremidade superior do segmento. 
Observemos que no caso de o ângulo ser , a direção continua sendo a mesma, porém, o sentido é oposto. Este exemplo de grandeza vetorial sugere a noção de vetor.
Figura 2
Exemplo 2 Analisando o deslocamento de um carro de um ponto ao outro em uma estrada, podemos representar esse movimento por um segmento orientado, terminado em ponto de flecha, conforme mostra a Figura 3. O segmento de reta orientado aponta no sentido em que o carro se desloca e possui um comprimento que meça a velocidade real dentro de uma escala conveniente, assim como no exemplo anterior. Esse segmento de reta representa o vetor velocidade do carro. O vetor velocidade é um dos vários exemplos de vetores desse tipo que podem ser encontrados dentro da Física. 
Figura 3
Os vetores nos permitem raciocinar sobre problemas no espaço sem a ajuda de eixos de coordenadas. Dado que as leis fundamentais da Física não dependem de uma posição particular no espaço dos eixos de coordenadas, os vetores são instrumentos adaptados à formulação dessas leis.
Abstendo-se da idéia de grandezas vetoriais, diríamos que o vetor é representado por um segmento orientado (um segmento está orientado quando nele se escolhe um sentido de percurso, considerado positivo).
Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção (são paralelos ou colineares) e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor. Na Figura 4 todos os segmentos orientados paralelos, de mesmo sentido e mesmo comprimento de , representam o mesmo vetor, que será indicado por ou , onde é a origem e a extremidade do segmento. O vetor também costuma ser indicado por uma letra minúscula encimada por uma flecha, tal como .
Quando escrevemos (Figura 5), estamos afirmando que o vetor é determinado pelo segmento orientado . Porém, qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido de representa também o mesmo vetor . Assim sendo, cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento orientado que é representante do vetor . Esta é a razão de o vetor também ser chamado vetor livre, no sentido de que o representante pode ter sua origem colocada em qualquer ponto.
O módulo, a direção e o sentido de um vetor é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes. Indica-se o módulo de por ou por .
	
	
	Figura 4
	Figura 5
Casos particulares de vetores
Dois vetores e são paralelos, e indica-se por , se os seus representantes tiverem a mesma direção. 
Dois vetores e são iguais, e indica-se por , se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido.
Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é indicado por ou (a origem coincide com a extremidade). Pelo fato deste vetor não possuir direção e sentido definidos, considera-se o vetor zero paralelo a qualquer vetor.
A cada vetor não-nulo corresponde um vetor oposto , de mesmo módulo e mesma direção de , porém de sentido contrário. Se , o vetor é oposto de , isto é, .
Um vetor é unitário se . A cada vetor , , é possível associar dois vetores unitários de mesma direção de : e (Figura 6). Nesta figura, tem-se e . O vetor que tem o mesmo sentido de é chamado versor de .
Figura 6
Dois vetores e (Figura 7 (a)) são ortogonais, e indica-se por , se algum representante de formar ângulo reto com algum representante de . A Figura 7 (b) apresenta dois representantes de e , com origem no ponto , formando ângulo reto. Considera-se o vetor zero ortogonal a qualquer vetor.
Figura 7
Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores estão representados. É importante observar que dois vetores e quaisquer são sempre coplanares, pois basta considerar um ponto no espaço e, com origem nele, traçar os dois representantes de e pertencendo ao plano (Figura 8) que passa por aquele ponto. No caso de e serem não paralelos como na Figura 9, estes vetores determinam a “direção” do plano , que é a mesma de todos os planos que lhe são paralelos. Três vetores poderão ser coplanares (Figura 9 (a)) ou não (Figura 9 (b)).
Figura 8
Figura 9
Operação com vetores
Adição de vetores
Consideremos os vetores e , cuja soma pretendemos encontrar. Tomemos um ponto qualquer (Figura 10) e, com origem nele, tracemos um segmento orientado representante do vetor . Utilizemos a extremidade para traçar o segmento orientado representante de . O vetor representado pelo segmento orientado de origem e extremidade é, por definição, o vetor soma de e , isto é, ou .
Sendo , a maneira de se obter o vetor é a mesma e está ilustrada na Figura 11 (a) ( e de mesmo sentido) e na Figura 11 (b) ( e de sentidos contrários).
	
	
	Figura 10
	Figura 11
No caso de os vetores e não serem paralelos, há uma outra maneira de se encontrar o vetor soma . Representam-se e por segmentos orientados de mesma origem . Completa-se o paralelogramo (Figura 12) e o segmento orientado de origem , que corresponde à diagonal do paralelogramo, é o vetor , isto é, ou .
Para o caso de se determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é análogo (Figura 13 (a)) e, em particular, se a extremidade do representante do último vetor coincidir com a origem do representante do primeiro (Figura 13 (b)), a soma deles será o vetor zero .
	
	
	Figura 12
	Figura 13
Sendo , e vetores quaisquer, a adição admite as seguintes propriedades:
Comutativa: 
Associativa: 
Elemento neutro: 
Elemento oposto: 
O vetor , escreve-se , é chamado diferença entree . Observemos que no paralelogramo determinado pelos vetores e (Figura 14), verifica-se que a soma é representada por uma das diagonais, enquanto a diferença pela outra diagonal.
Figura 14
Multiplicação de número real por vetor
Dado um vetor e um número real , chama-se produto do número real pelo vetor , o vetor tal que:
Módulo: , isto é, o comprimento de é igual ao comprimento de multiplicado por ;
Direção: é paralelo a ;
Sentido: e têm o mesmo sentido se , e contrário se . Se ou , então . 
A Figura 15 apresenta o vetor e alguns de seus múltiplos.
Figura 15
Se e são vetores quaisquer e e números reais, a multiplicação de número real por vetor admite as propriedades:
Ângulo de dois vetores
O ângulo entre os vetores não-nulos e é o ângulo formado por duas semi-retas e de mesma origem (Figura 16), onde , e ( em radianos) ou . Se e e têm o mesmo sentido, então . É o que ocorre, por exemplo, com os vetores e que têm o mesmo sentido (Figura 17 (a)). Se e e têm sentidos contrários, então . É o caso de e (Figura 17 (b)).
	
	
	Figura 16
	Figura 17
Decomposição de um vetor no plano
Dados dois vetores e , não colineares, qualquer vetor (coplanar com e ) pode ser decomposto segundo as direções de e . O problema consiste em determinar dois vetores cujas direções sejam as de e e cuja soma seja (Figura 18). Em outras palavras, iremos determinar dois números reais e tais que:
 (1)
Quando o vetor estiver representado pela Equação 1 dizemos que é combinação linear de e . O par de vetores e , não colineares, é chamado base no plano. Aliás, qualquer conjunto de vetores não colineares constitui uma base no plano. Os números e da Equação 1 são chamados componentes ou coordenadas de em relação à base .
Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais. Uma base é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários, isto é, e .
Existem naturalmente infinitas bases ortonormais no plano, porém uma delas é particularmente importante. Trata-se da base formada pelos vetores representados por segmentos orientados com origem em e extremidade nos pontos e . Esses vetores são simbolizados com e e a base é chamada canônica (Figura 19).
	
	
	Figura 18
	Figura 19
Dado um vetor qualquer do plano (Figura 20), existe uma só dupla de números e tal que:
 (2)
Os números e são as componentes de na base canônica. A primeira componente é chamada abscissa de e a segunda componente é a ordenada de .
O vetor na Equação 2 será também representado por 
 (3)
A Equação 3 sugere a seguinte definição: vetor no plano é um par ordenado de números reais. O par é chamado expressão analítica de .
Figura 20
Igualdade e operações
Igualdade
Dois vetores e são iguais se, e somente se, e , escrevendo-se .
Operações
Sejam os vetores e e . Defini-se:
 
Portanto, para somar dois vetores, somam-se as suas coordenadas correspondentes, e para multiplicar um vetor por um número, multiplica-se cada componente do vetor por este número. 
As operações algébricas dos números reais permitem demonstrar as propriedades:
Para quaisquer vetores , e , tem-se
Para quaisquer vetores e e os números reais e , tem-se
Vetor definido por dois pontos
Inúmeras vezes um vetor é representado por um segmento orientado que não parte da origem do sistema. Consideremos o vetor de origem no ponto e extremidade em (Figura 21). Os vetores e têm expressões analíticas definidas pela sua extremidade: e . 
Por outro lado, do triângulo da Figura 21, vem: , donde ou , e:
isto é, as componentes de são obtidas subtraindo-se das coordenadas da extremidade as coordenadas da origem , razão pela qual também se escreve .
É importante lembrar que um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. E, dentre os infinitos representantes do vetor , o que “melhor o caracteriza” é aquele que tem origem em e extremidade em (Figura 22). O vetor é também chamado vetor posição ou representante natural de 
	
	
	Figura 21
	Figura 22
Ponto médio
Seja o segmento de extremos e (Figura 23). Sendo o ponto médio de , podemos expressar de forma vetorial como ou . Resolvendo em relação a e , temos:
	
	Figura 23
Paralelismo de dois vetores
Vimos que, se dois vetores e são paralelos, existe um número real tal que , ou seja, , que pela condição de igualdade resulta em e , donde:
Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais.
Observações!
Considera-se o vetor paralelo a qualquer vetor.
Se uma das componentes de um vetor for nula, a componente correspondente de um vetor paralelo também é nula.
Módulo de um vetor
Seja o vetor (Figura 24). Pelo teorema de Pitágoras, vem
Observação!
Distância entre dois pontos: a distância entre dois pontos e (Figura 25) é o comprimento (módulo) do vetor , isto é, .
	
	
	Figura 24
	Figura 25
Decomposição no espaço
Todo o estudo de vetores feito até aqui, no plano, pode ser realizado no espaço de forma análoga, consideradas as adequações necessárias.
No espaço, qualquer conjunto de três vetores não coplanares é uma base e demonstra-se que todo o vetor no espaço é combinação linear dos vetores da base, isto é, sempre existem números reais , e tais que:
onde , e são as componentes de em relação à base considerada.
Uma base no espaço é ortonormal se os três vetores forem unitários e dois a dois, ortogonais. Dentre as infinitas bases ortonormais existentes, escolheremos para nosso estudo a base canônica representada por . Consideremos estes três vetores representados com origem no mesmo ponto e por este ponto três retas como mostra a Figura 26. A reta com a direção do vetor é o eixo dos (das abscissas), a reta com a direção do vetor é o eixo dos (das ordenadas) e a reta com a direção do vetor é o eixo dos (das cotas). As setas indicam o sentido positivo de cada eixo. Estes eixos são chamados eixos coordenados. 
	
	Figura 26
Cada dupla de eixos determina um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: o plano ou , o plano ou e o plano ou . As Figuras 27, 28 e 29 dão uma idéia dos planos , e , respectivamente.
	
	
	
	Figura 27
	Figura 28
	Figura 29
Referências bibliográficas
STEINBRUSH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria analítica. São Paulo: Makron Books, 2006.
WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Makron Books, 2000.