Apostila - Determinantes

Prévia do material em texto

Faculdade Metropolitana de Guaramirim – FAMEG
Curso: Engenharias
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Vetorial
Professora: Endi Pricila Alves
Apostila Determinante
Classe de uma permutação
Considera-se uma permutação dos três elementos , , , e adota-se para permutação principal , na qual os elementos estão em ordem alfabética.
Dois elementos de uma permutação formam uma inversão se estão em ordem inversa à permutação principal. Assim, na permutação , os elementos e formam uma inversão.
Uma permutação é de classe par ou ímpar, conforme apresente um número par ou ímpar de inversões. Portanto, a permutação é de classe ímpar. 
Termo principal
Dada a matriz quadrada , de ordem , ao produto dos elementos da diagonal principal dá-se o nome de termo principal:
Termo secundário
Dada a matriz quadrada , de ordem , ao produto dos elementos da diagonal secundária dá-se o nome de termo secundário:
Determinante de uma matriz
Chama-se determinante de uma matriz quadrada à soma algébrica dos produtos que se obtém efetuando todas as permutações dos segundos índices do termo principal, fixados os primeiros índices, e fazendo-se preceder os produtos do sinal ou , conforme a permutação dos segundos índices seja de classe par ou de classe ímpar. 
Ordem de um determinante
Chama-se ordem de um determinante a ordem da matriz a que o mesmo corresponde. Assim, se a matriz é de ordem , por exemplo, o determinante será de ordem . 
Representação de um determinante
A representação do determinante de uma matriz , que será designado por , é feita de maneira análoga à da matriz, colocada entre dois traços verticais.
Linhas e colunas de um determinante
Apesar do determinante de uma matriz quadrada , de ordem , ser um número real, costuma-se considerar as linhas e as colunas do determinante, uma vez que o número é calculado a partir dos elementos presentes nas linhas e nas colunas da matriz.
Cálculo do determinante de 2ª ordem
Para a correta aplicação da definição de determinante de uma matriz, considera-se a Tabela 01.
Tabela 01. Tabela referente às permutações dos números 1 e 2.
	Permutação Principal
	Permutação
	Número de Inversões
	Classe de Permutação
	Sinal que precede o produto
	
	
	
	par
	
	
	
	
	ímpar
	
Dada a matriz , para calcular o determinante dessa matriz , deve-se de acordo com a definição, proceder da seguinte maneira:
Escrever os elementos que compõem o termo principal, um após o outro, somente com os primeiros índices, deixando lugar para colocar depois os segundos índices, tantas vezes quantas forem as permutações dos números e :
	
	
Colocar nas duas expressões anteriores, como segundos índices, as permutações e , uma permutação em cada expressão e não necessariamente nessa ordem:
	
	
Preceder cada um dos dois produtos assim formados dos sinais ou , conforme a permutação dos segundos índices, classe par ou ímpar. Segundo a Tabela 01, o sinal que precede o 1° produto é , porque a permutação é de classe par, e o sinal que precede o 2° produto é , porque a permutação é de classe ímpar:
	
	
Efetuar a soma algébrica dos produtos assim obtidos:
Por comodidade costuma-se dizer que o determinante de 2ª ordem é igual ao termo principal menos o termo secundário.
Observação Para o cálculo do determinante de 3ª ordem o procedimento envolvido é análogo ao cálculo do determinante de 2ª ordem.
Determinante de matrizes de 2ª e 3ª ordem
A fórmula da letra a descrita abaixo é obtida da Figura 01(a) somando os elementos da flecha direcionada para a direita e subtraindo os elementos da flecha direcionada para a esquerda. A fórmula da letra b é obtida acrescentando à matriz uma cópia da primeira e da segunda coluna, conforme a Figura 01(b). O determinante é, então, calculado somando os elementos das flechas direcionadas para a direita e subtraindo dos elementos das flechas direcionadas para a esquerda.
	
	
	Determinante de uma matriz .
	Determinante de uma matriz .
Figura 01. Determinante de matrizes de 2ª e 3ª ordem.
Propriedades dos determinantes
O determinante de uma matriz não se altera quando se trocam as linhas pelas colunas.
Exemplo: 
Se a matriz possui uma linha (ou coluna) constituída de elementos nulos, o determinante é nulo.
Exemplo: 
Se a matriz tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, o determinante é nulo.
Exemplo:
Se na matriz duas linhas (ou colunas) têm seus elementos correspondentes proporcionais, o determinante é nulo. Numa matriz , dois elementos são correspondentes quando, situados em linhas diferentes, estão na mesma coluna, ou quando, situados em colunas diferentes, estão na mesma linha.
Exemplo: 
Nesse determinante os elementos correspondentes das duas colunas são proporcionais: .
Se na matriz cada elemento de uma linha (ou coluna) é uma soma de duas parcelas, o determinante de pode ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de duas matrizes.
Exemplo:
	
36
	
O determinante de uma matriz diagonal (superior ou inferior) é igual ao termo principal, isto é, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
Exemplo:
Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) da matriz , o determinante muda de sinal, isto é, fica multiplicado por .
Exemplo:
 
Trocando a 2ª linha pela 3ª:
Observação Essa operação será utilizada no cálculo de um determinante de qualquer ordem, quando num determinado estágio do processo o número zero da diagonal principal não pode existir: a troca da 2ª linha pela 3ª linha tira o zero da diagonal principal e coloca em seu lugar o número 4.
Quando se multiplicam por um número real todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) da matriz , o determinante fica multiplicado por esse número.
Exemplo:
Multiplicando a segunda linha por :
O determinante de fica multiplicado por ao se multiplicar os elementos da 2ª linha por , uma vez que: .
Observação Essa operação será utilizada no cálculo de um determinante de qualquer ordem, quando num determinado estágio do processo se desejar obter o número 1 como um dos elementos da diagonal principal: a multiplicação do número , que estava na 2ª linha como elemento da diagonal principal, por colocou o número em seu lugar.
Para que se mantenha o valor do determinante , quando se multiplica a 2ª linha por , deve-se proceder do seguinte modo:
Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha (coluna) da matriz os elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número real diferente de zero.
Exemplo:
Substituindo a 2ª linha do determinante de pela soma de seus elementos com os elementos correspondentes da 1ª linha previamente multiplicados por .
Observação Essa operação será utilizada no cálculo de um determinante de qualquer ordem, quando num determinado estágio do processo se desejar o número “zero” para formar uma matriz triangular.
Cálculo de um determinante de qualquer ordem
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada , de ordem , será utilizado o processo de triangulação.
Assim, dada uma matriz , de ordem , se precederão com as linhas (ou colunas) de seu determinante as operações adequadas para transformar a matriz numa matriz triangular superior (ou inferior), ao mesmo tempo em que se efetuarão com o determinante de as necessárias compensações, quando for o caso, para manter inalterado seu valor, tudo de acordo com as propriedades dos determinantes já vistas e verificadas.
Visando a facilidade dos cálculos e por ser bastante prático para executar o processo de triangulação, se procura colocar, por meio das operações adequadas, como elementos da diagonal principal, exceto o último, o número .
Obtido o número na 1ª linha e 1ª coluna, , substituem-se, por meio das operações competentes, todos os demais elementos da 1ª coluna por zeros; da mesma forma, depois de obter , substituem-se os demais elementos da2ª coluna, situados abaixo (acima) de por zeros, e assim por diante. Quanto a cada um dos elementos da diagonal principal da matriz , três hipóteses podem ocorrer:
O elemento é igual a zero: proceder a operação de troca de linhas e multiplicar o por para que o conserve o seu valor.
O elemento é igual à : deve-se multiplicar todos os elementos da linha por para se obter o número como elemento da diagonal principal dessa linha. Para que o mantenha o seu valor, deve-se multiplicá-lo pelo inverso de , isto é, por .
O elemento é igual a : não se realiza nenhum procedimento com relação à diagonal principal.
Exemplo: calcular o 
O termo principal é: 
Logo: 
Referências Bibliográficas
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Bookman, 2008.
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. 2.ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2010.