Aula 7. ZAB0262

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Variáveis aleatórias 
 
Experimento genético com flores de ervilhas 
 WW=flor branca 
 WR ou RW=flor rosa e 
 RR=flor vermelha 
 
S={WW, WR, RW, RR} 
 
Quantificar os resultados e associar a cada ponto amostral o número de alelos R: 
 0 ao ponto WW, 
 1 aos pontos WR e RW, e 
 2 ao ponto RR 
 
Variável aleatória discreta 
Definição 1: 
A função que associa a cada ponto do espaço amostral um número real é chamada 
variável aleatória (v.a.). 
 
v.a. X = "número de alelos R" temos que: 
X(WW) = 0, X(WR) = X(RW) = 1, e X(RR) = 2. 
 
O domínio da v.a. X é o conjunto 
D(X) = {WW, WR, RW, RR} = S 
 
e a imagem, o conjunto dos números inteiros 
I(X) = {0, 1, 2}. 
 
Variável aleatória discreta 
 Definição 2. 
 Chamamos de variável aleatória discreta toda função definida 
no espaço amostral S (ou ) que assume valores num conjunto 
enumerável de pontos do conjunto real. 
 
 
 Seja o seguinte: 
 O fabricante de um determinado tipo de centrifugador garante 
que a probabilidade de estar funcionando adequadamente é de 
90% 
 Pergunta: 
 Num conjunto de três centrífugas, qual a probabilidade de que 
uma esteja com defeito? 
 
 Experimento: observar um conjunto de três centrifugadores 
quanto ao funcionamento 
 Espaço amostral S (A=adequado; D=defeituoso) 
 S = {AAA, AAD, ADA, ADD, DAA, DAD, DDA, DDD} 
 Evento de interesse 
 E = {AAD, ADA, DAA} 
Variável aleatória discreta 
Variável aleatória 
 Probabilidade desse evento: 
 
 P(E)=P({AAD, ADA, DAA}) 
 P(E)=3(0,9)2.(1-0,9)=0,243 
 
 Não nos interessa qual das três centrífugas está com 
defeito, apenas se há uma com defeito 
 Nos interessa o número de centrifugadores defeituosos 
entre três 
Variável aleatória 
 Nesse caso: 
 Nome da variável aleatória: 
 
 Número de centrífugas com defeito num grupo de três 
centrifugadores, denominada X (letra maiúscula) 
 
 Valores que tal v.a. assume: 
 x=0, 1, 2, 3 (letra minúscula) 
 
 Probabilidade do evento de interesse 
 P(X=x) 
 No exemplo em questão P(X=1) 
2 
Cálculo das Probabilidades 
x 0 1 2 3 
AAA AAD ADD DDD 
ADA DAD 
DAA DDA 
P(X=x) (0,9)3 3(0,9)2.(0,1) 3(0,9).(0,1)2 (0,1)3 
Distribuição de Probabilidade da v.a. X 
x 0 1 2 3 
P(X=x) 0,729 0,243 0,027 0,001 
Variável aleatória discreta 
Definição 3. 
Chamamos de Função de Probabilidade (f.p.) da v.a. discreta X, que 
assume os valores x1, x2, ..., xn, a função P(xi) que associa a cada valor xi da 
variável aleatória X, sua probabilidade de ocorrência, isto é, 
P(xi) = P(X = xi) = pi. 
 
 










ii
n
i
i
xxXP
xXP
pf
,1)(0
1)(
..
1
Variáveis Aleatórias Discretas 
Exemplo 
Seis lotes de ‘componentes’ estão prontos para embarque de um 
fornecedor. O número de componentes com defeito em cada lote é 
mostrado a seguir: 
 
 
 
Um desses lotes será selecionado aleatoriamente para embarque a um 
cliente específico. 
- Seja X o número de peças com defeito no lote selecionado. 
 
Lote 1 2 3 4 5 6 
Número de peças com defeito 0 2 0 1 2 0 
Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Discretas 
 Seja X o número de peças com defeito no lote selecionado. 
 
 
 
 
p(0)=P(X=0)=P(lote 1 ou 3 ou 6 é enviado)= 3/6 
p(1)=P(X=1)=P(lote 4 é enviado)= 1/6 
p(2)=P(X=2)=P(lote 2 ou 5 é enviado)= 2/6 
 
 
x 0 1 2 
P(X=x) 0,5 0,167 0,333 
Função distribuição acumulada 
Para um valor fixo x, normalmente desejamos computar a probabilidade de o 
valor observado de X ser no máximo x. 
 se x = 0 
 se x = 1 
 se x = 2 
 caso contrário 
 
A probabilidade de X ser no máximo 1 é então 
P(X≤ 1) = p(0)+p(1)= 0,500 + 0,167 = 0,667 
P(X≤ 1,5) = P(X≤ 1) =0,667; 
P(X≤ 0)= P(X=0)=0,5, e 
 P(X≤0,75)=0,5 
Observe que P(X<1)=0,5 ≠ P(X≤ 1), pois a probabilidade de X com valor 1 está 
incluída na última probabilidade, mas não na anterior. 
 
 








0
333,0
167,0
500,0
)(xp
Função distribuição de probabilidade 
x 0 1 2 3 5 8 
P(X=x) 0,15 0,30 0,25 0,20 0,05 0,05 
Prove que P(X=x) é uma função de probabilidade 
Encontre a função de distribuição acumulada 
Faça o gráfico da função de distribuição acumulada 
Calcule usando F(x) 
P(X=1) 
P(X≤3) 
P(1≤X≤3) 
P(X≥2) 
3 
Valor esperado de uma variável aleatória discreta 
 
Definição 4. 
Dada uma v.a. discreta X, assumindo os valores x1, x2,... , xn, com as 
respectivas probabilidades p1, p2, ..., pn, chamamos de valor médio ou 
esperança matemática da v.a. X, o valor numérico calculado através da 
fórmula: 
 
 
 
    


n
i
ii
n
i
ii pxxXPxXE
11
chamamos de variância da v.a. X o valor calculado através da fórmula: 
 
 , onde 
 
 
 
 
 Desvio padrão da v.a. X : 
 
 
     i
n
i
i pXExXVar 


1
2
      22 XEXEXVar    


n
i
ii pxXE
1
22
   XVarXDP 
Valores Esperados de Variáveis Aleatórias Discretas 
 Consideramos uma universidade com 15.000 alunos e a variável 
 X= número de disciplinas em que um aluno selecionado aleatoriamente estava 
matriculado. 
 
A fp de X é mostrada a seguir. 
 
 
 
 
 Número médio de disciplinas por aluno ou o valor médio de X na população. 
 
 
x 1 2 3 4 5 6 7 
P(x) 0,01 0,03 0,13 0,25 0,39 0,17 0,02 
Número de alunos matriculados 150 450 1950 3750 5850 2550 300 
O tempo de processamento de um programa computacional (em 
segundos) é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidades : 
2 3 4 5 6 7 Tempo 
P(Tempo) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 
Qual o tempo médio de processamento ? 
segXE 6,41,072,062,053,041,031,02)( 
Qual a variância do tempo de processamento ? 
2222 04,21,0)6,47(2,0)6,46(1,0)6,42()( segXV  
Valores Esperados de Variáveis Aleatórias Discretas 
Para uma v.a. X (discreta ou contínua) e um número k  R, valem as 
seguintes propriedades: 
a) E(X + k) = k + E(X) 
b) E(kX) = kE(X) 
c) Var(k + X) = Var(X) 
d) Var(kX) = k2Var(X) 
e) DP(k + X) = DP(X) 
f) DP(kX) = kDP(X)