Aula 9. ZAB0262

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Variáveis Aleatórias Contínuas 
 Caracterizaremos agora as variáveis cujos possíveis valores 
ocorrem aleatoriamente e pertencem a um intervalo de 
números reais: variáveis aleatórias contínuas; 
 Exemplos: duração de um produto, peso de determinado 
produto, características físicas e químicas dos alimentos, etc, 
são exemplos de quantidades que podem ser modeladas por 
variáveis aleatórias contínuas; 
 De forma semelhante às variáveis aleatórias discretas, 
precisamos estabelecer a atribuição de probabilidades para as 
diversas realizações contínuas; 
 Entretanto, nos casos contínuos, as variáveis podem assumir 
um número infinito de valores diferentes. 
Variáveis aleatórias contínuas 
Sabemos que uma v.a. contínua é uma função que pode assumir 
infinitos valores num intervalo real. 
 
Se X é uma v.a. contínua, associaremos a cada sub-intervalo do 
seu domínio uma probabilidade, através de uma função 
densidade de probabilidade (f.d.p.). 
Variáveis aleatórias contínuas 
Definição. Uma função f(x), definida para x  [a,b]‚ é chamada 
de função densidade de probabilidade (f.d.p.) se satisfaz as 
seguintes condições: 
a) f(x) é positiva, para todo x  [a, b]; 
b) , ou seja, a área sob a curva representativa de 
f(x), entre as abcissas a e b, é igual a um. 
 
 
  
b
a
dxxf 1
Variáveis aleatórias contínuas 
Vale observar que: 
 
a) a função f(x) não define uma probabilidade; 
b) o que define uma probabilidade, realmente, é o resultado da 
integral de f(x) no intervalo [a, b], que coincide com a área da 
região sob a curva de f(x), o eixo das abcissas e os limites de 
integração; 
c) para calcularmos a probabilidade da v.a. X assumir valores entre x1 
e x2, com x1 < x2, precisaremos resolver a integral: 
 
   
2
1
21
x
x
dxxfxXxP
Variáveis aleatórias contínuas 
Vale observar que: 
 
d) a probabilidade de uma v.a. contínua assumir um certo valor k é 
nula, pois 
 
 e portanto, somente tem sentido calcularmos a probabilidade de 
uma v.a. contínua assumir valores dentro de um intervalo real. 
    .0)()()(  kFkFxFdxxf
k
k
k
k
Variáveis aleatórias contínuas 
Dada a função definida por f(x) = 2x, para x[0, 1], pede-se: 
 
(i) verificar se f(x) é uma função densidade de probabilidade; 
 
 
Analisando a figura, percebemos que a função f(x) = 2x, para x[0, 1] é 
positiva; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  12 1
0
1
0
2  xxdx
2 
Variáveis aleatórias contínuas 
Dada a função definida por f(x) = 2x, para x[0, 1], pede-se: 
 
ii) calcular as probabilidades: 
 
     
      45,02,07,027,02,0)
25,05,025,00)
22
7,0
2,0
7,0
2,0
2
2
5,0
0
5,0
0
2




xdxxXPb
xdxxXPa
 Dizemos que f(x) é uma função contínua de probabilidade ou 
função densidade de probabilidade para uma variável aleatória 
contínua X, se satisfaz duas condições: 
i. A f(x)  0, para todo x  (-,); 
 
ii. A área definida por f(x) é igual a 1. 
Definição de Função Densidade de Probabilidade 
(ou Função Contínua de Probabilidade) 
Distribuição Normal 
 A distribuição Normal é a mais importante distribuição contínua de 
probabilidade pois: 
 
 Muitos fenômenos biológicos aleatórios comportam-se de forma 
próxima a essa distribuição. Exemplos: 
• Alturas ; Pesos 
• Comprimentos, Larguras, Volumes, Diâmetros 
• Produtividade 
 
 Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, 
probabilidades para outras distribuições, como por exemplo, para a 
distribuição Binomial 
 Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal. 
10 
 Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição Normal, 
com parâmetros e 2, se sua função densidade de probabilidade 
é dada por: 
Var(X)variânciaσ
E(X)médiaμ
x- para e
2πσ
1
2
2σ
μ)(x
2
2





f(x)
 Usaremos a notação X ~ N(, 2) para indicar que X tem 
distribuição Normal, com parâmetros  e 2. 
Distribuição Normal 
Curvas Normais com mesma variância 2 
mas médias diferentes (2 > 1). 
A distribuição Normal depende dos parâmetros  e 2 
 
1 
 
2 
N(  1 ;  
2 ) N(  2 ;  
2 ) 
x 
Curvas Normais com mesma média , 
mas com variâncias diferentes (2
2 > 1
2
 ) 
Influência de 2 na curva Normal 
N(;1
2) 
N(;2
2) 
2
2 > 1
2 
 
3 
Distribuições Normais 
Cálculo de probabilidades 
P(a < X < b) 
a b 
Área sob a curva e acima do eixo horizontal (x) entre a e b. 
15 
 No cálculo de probabilidades para variáveis contínuas, devemos 
resolver a integral da função densidade no intervalo de interesse, 
ou seja: 
d(x)e
2πσ
1
b)XP(a
b
a
2σ
μ)(x
2
2




 Entretanto, a integral acima só pode ser resolvida de modo 
aproximado e por métodos numéricos. 
 Por essa razão, as probabilidades para o modelo Normal são 
calculadas com auxílio de Tabelas. 
Propriedades do Modelo Normal 
 Observe que teríamos que ter uma quantidade grande de Tabelas 
para cada par de valores  e 2. 
 Para evitarmos essa situação, utilizaremos uma transformação que 
conduz sempre ao cálculo de probabilidades com uma variável de 
parâmetros (0,1), ou seja, com média 0 e variância 1. 
 Considere uma variável X ~ N(, 2) e defina uma nova variável Z 
da seguinte forma: 
 
 
Propriedades do Modelo Normal 



X
Z
Distribuição Normal Padrão/Reduzida 
X
Z




( )E Z  X
E


 
 
 
 
1
E X 

   
1
( )E X 

   
1
0 

 
( )Var Z  X
Var


 
 
 
 
2
1
Var X 

   
2
2 2
1
1Var X

 
 
 integrais podem ser tabeladas! 
~ (0,1)Z N
2
~ ( , )X N  
Se X ~ N( ;  2), definimos 
0 z 
f(z) 
a – 

b – 

Z ~ N(0 ; 1) 
E(Z) = 0 
Var(Z) = 1 
a  b x 
f(x) X ~ N( ; 2) 
X
Z
 


4 
A v.a. Z ~ N(0;1) denomina-se normal padrão ou reduzida. 
P( ) P P
a X b a b
a X b Z
            
          
       
Portanto, 
Dada a v.a. Z ~N(0;1) podemos obter a v.a. X ~ N(;2) através da 
transformação inversa 
X =  + Z .
Distribuição Normal Padrão 
z 
(0 2,17) ?P Z  
(0 2,17) 0,4850P Z  
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- + 0 z 
(0 )P Z z 
Exemplo: Seja X ~ N(10 ; 64) (  = 10, 2 = 64 e  = 8 ) 
Calcular: (a) P(6  X  12) 
Z 





 





8
1012
8
10
8
106 X
P  25,05,0  ZP
= P(0<Z<0,25)+P(0<Z<0,5) 
= 0,0987+ 0,1915 = 0,2902 
 
8 10 14 10
P( 8) P( 14) P P
8 8
X X Z Z
    
         
   
(b) P( X  8 ou X > 14) 
Z 
   5,0ZP25,0ZP 
= 0,5 - P(0<Z<0,25) + 0,5 - P(0<Z<0,5) 
= 0,5 - 0,0987 + 0,5 - 0,1915 = 0,7098 
10 10 10
( ) 0,05 0,05
8 8 8
X k k
P X k P P Z
     
         
   
10
Então, 1,64.
8
k
z

 
Logo k = 10 + 1,645  8 = 23,16. 
c) k tal que P( X  k) = 0,05 
Pela tabela z = 1,645 
Z 
d) k tal que P( X  k) = 0,025 
10 10 10
P( ) 0,025 P P 0,025
8 8 8
X k k
X k Z
     
         
   
10
Então , 1,96.
8
k
z

   
Logo k = 10 – 1,96  8 = – 5,68. 
Pela tabela, z = 1,96. 
Z 
5 
Exemplo: O teor de colesterol na carne bovina tem distribuição 
normal, com média 120 mg/100g e desvio padrão 15 mg/100g. 
a) Sorteando um bife bovino ao acaso, qual éa probabilidade que 
ele tenha teor de colesterol inferior a 100 mg/100g? 
X: teor de colesterol na carne -- X ~ N(120; 152) 
100 120
P( 100) P P( 1,33)
15
X Z Z
 
      
 
Z 
0918,04082,05,0
)33,10(5,0

 ZP
b) Qual deve ser o teor de colesterol de modo a incluir 95% dos 
bifes? 
120
( ) 0,95 0,95
15
x
P X x P Z
 
     
 
z = ? tal que A(z) = 0,95. 
Pela tabela z = 1,645. 
120
Então , 1,64 
15
x 

x = 120 +1,645 15 
 x = 144,7 mg/100g 
X: teor de colesterol na carne --X ~ N(120; 152) 
Z 
c) Qual é o intervalo central de Teor de Colesterol, tal que 80% dos 
bifes estejam incluídos? 
1 2
1 2
120 120
P( ) 0,80 P 0,80
15 15
x x
x X x Z
  
       
 
z = ? tal que A(z) = 0,80 
Pela tabela, z = 1,28. 
1 120 1,28
15
x 
 
2 120 1,28
15
x 

 x1= 120 – 1,28  15  x1 = 100,8 mg 
 x2 = 120 +1,28  15  x2 = 139,2 mg 
Z 
X: teor de colesterol na carne -- X ~ N(120; 152)