Estatística e Métodos Quantitativos AULA 04 MTC

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Nesta aula estudaremos três conceitos relativos às Medidas Estatísticas: Média, Mediana e Moda. 
No entanto, para uma melhor compreensão deste tópico, estudaremos esses importantes conceitos utilizando exemplos, exercícios, problemas propostos e situações do dia a dia.
Vamos lá!
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Medidas de Tendência Central
MODA: valor mais provável.
MÉDIA: ponto de equilíbrio do conjunto.
MEDIANA: divide o conjunto em duas partes iguais.
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Média Aritmética
Existem dois tipos de Média mais utilizados: aritmética Simples e aritmética Ponderada.
A Média aritmética Simples, chamada normalmente apenas de
	“Média Aritmética”, é a mais utilizada no nosso dia a dia.
Consiste na soma dos valores coletados e divididos pela quantidade de fatores considerados.
A média aritmética dos números x1, x2, x3, ..., xn, é dada pela fórmula:
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Média Aritmética Simples
	Exemplos de utilização da média aritmética no cotidiano:
Média das notas escolares.
Média de gols em um campeonato de futebol.
Média de público nos jogos dos campeonatos.
Média da idades dos alunos da turma.
Renda Per Capita de um país (total da renda de um país dividido pelo número total de seus habitantes).
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Média Aritmética Simples
Questão sobre MÉDIA ARITMÉTICA:
Considere que as médias finais dos alunos do Curso de SI, na disciplina Estatística e Métodos Quantitativos foram representadas no gráfico a seguir.
Sabendo que a média para aprovação nesse curso era maior ou igual a 6,0, qual foi a porcentagem de alunos aprovados?
	(A) 18%
	(B) 21%
	(C) 36%
	(D) 50%
	(E) 72%
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Média Aritmética Simples
Analisando o gráfico verificamos: 4 alunos com média 4; 10 alunos com média 5; 18 alunos com média 6; 16 alunos com média 7 e 2 alunos com média 8; num total de 50 alunos.
Portanto, 38 alunos possuem média igual ou maior que 6.
Calculando a porcentagem dos aprovados através do método da regra de três, temos:
								Resposta: E
	
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Média Aritmética Ponderada
A Média Aritmética Ponderada, chamada simplesmente por :
	“Média Ponderada”, é calculada atribuindo-se pesos aos valores coletados (Ponderação é sinônimo de peso).
Também é utilizada em cálculo de notas, normalmente em provas de concursos onde determinadas disciplinas tem maior importância que outras para certas áreas. 
A média aritmética ponderada dos números x1, x2, x3, ..., xn, com pesos p1, p2, p3, ..., pn, respectivamente, é dada pela fórmula:
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Média Aritmética Ponderada
Questão com Média Aritmética Ponderada:
(Matemática Aplicada – Gelson Iezzi e Outros) Em um dia de pesca nos rios do Pantanal, uma equipe de pescadores anotou a quantidade de peixes capturada de cada espécie e o preço pelo qual eram vendidos a um supermercado de Cuiabá. Qual o preço médio por quilo?
Neste caso o fator ponderação (peso) é a quantidade, em quilos de peixe pescado de cada espécie.
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MEDIANA em Estatística
Após uma coleta de dados estatísticos, inicialmente convertemos os dados brutos em rol, ou seja, ordenamos os valores por ordem crescente ou decrescente. Em seguida obtemos a Mediana (Me), da seguinte forma:
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MEDIANA para uma quantidade ÍMPAR de valores
1) Se numa coleta de dados estatísticos a quantidade de valores obtidos for ímpar, o valor da mediana será aquele que ocupar a posição central. 
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Exemplo de MEDIANA em Estatística
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RESPOSTA
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MEDIANA para uma quantidade PAR de valores
2) Numa coleta de dados estatísticos se a quantidade de valores obtidos for par, o valor da mediana será a média aritmética dos dois valores centrais.
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Exemplo de MEDIANA em Estatística
2) Um restaurante do município de Barreirinhas-MA, fez uma pesquisa para saber a preferência de seus clientes em relação aos tipos de “pratos” mais pedidos no mês de janeiro de 2017 e obteve o seguinte resultado: 
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RESPOSTA
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Expressão de cálculo para MEDIANA
Distribuição de Frequência com intervalo de classes
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A palavra moda originou-se do latim (modus) que significa modos, maneiras. No nosso dia a dia, por exemplo, a palavra moda é mais usada como uma maneira de se vestir, um modo de viver, um estilo de vida que gera uma tendência de consumo de roupas, calçados, tipos de penteados, etc. Cada geração de pessoas, dentro de um determinado meio social e econômico, vive tipos diferentes de moda no decorrer do tempo. 
MODA
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A MODA em Estatística
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Exemplo de MODA em Estatística
Vamos considerar que uma determinada loja de eletrodomésticos de Recife, vendeu no 1º semestre de 2014 a seguinte quantidade de geladeiras: 
Neste caso percebemos que o número de geladeiras vendidas nos meses de março e maio é igual a 20. Esse número aparece com uma maior frequência (duas vezes) em relação aos outros. Assim dizemos que Mo = 20 é a moda dessa distribuição.
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Na estatística há distribuições de números ou conjunto de dados que apresentam mais de uma moda. Essas distribuições são chamadas: bimodal (duas modas) ou multimodal (mais de duas modas).
Quando existe mais de uma MODA
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Nesse caso os valores 36, 37 e 40 se repetem na mesma quantidade (3 vezes), então dizemos que esse conjunto de dados é multimodal e a moda pode ser: 36, 37 ou 40.
Vamos supor que os dados a seguir representem os números de calçados mais vendidos de uma loja localizada no centro de São Luís – MA, no período de um mês:
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Se numa coleta de dados estatísticos todos os valores de uma distribuição numérica forem diferentes, dizemos que esse conjunto de dados não possui moda. Portanto, neste caso, não existe moda.
Quando NÃO existe MODA
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Expressão de cálculo para MODA
Distribuição de Frequência com intervalo de classes
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EXEMPLO
Considerando que os dados a seguir referem-se as notas de matemática de um grupo de alunos do 9º ano do ensino fundamental de uma determinada escola de Pernambuco: 4,0; 7,0; 5,5; 8,0; 3,0; 9,5; 6,5; 7,5; 4,5; 8,5; 5,0; 10,0; 6,0. 
Podemos observar que as notas são todas diferentes entre si. Dessa forma, dizemos que nos dados apresentados não existe moda.
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SEPARATRIZES
A mediana caracteriza uma série de valores devido à sua posição central, apresentando uma segunda característica tão importante quanto a primeira: ela separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo número de valores.
As SEPARATRIZES não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana por conta de sua segunda característica e conhecidas como: quartis, percentis e decis.
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Os quartis – valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais. Há, portanto, três quartis:
O primeiro quartil (Q1) – valor situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%) dos dados é menor que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores.
O segundo quartil (Q2) – evidentemente, coincide com a mediana (Q2 = Md).
O terceiro quartil (Q3) – valor situado de tal modo que as três quartas partes (75%) dos termos são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior.
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CÁLCULO DO QUARTIL
Assim temos:
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Os PERCENTIS – são os 99 valores que separam uma série em 100 partes iguais.
Assim temos:
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:
1. Seja dada a distribuição do número de acidentes diários, durante 53 dias, em certa rodovia:
Pede-se:
A média
A mediana
A moda
Qual a porcentagem de dias em que tivemos dois ou mais acidentes por dia?
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:
2. Dadas as notas (em créditos) de 50 alunos:
Calcule:
Amplitude Total da amostra
Número de classes pela fórmula de Sturges (k = 1 + 3,22 . log n). Dado log 50 = 1,7
Amplitude das classes
Quais as classes? (Inicie pelo 30)
Frequências absolutas das classes
Frequências relativas
Ponto médio das classes
Frequências acumuladas crescentes
Média amostral*
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EXERCÍCIOS
3. Um corredor de maratona, anotou numa tabela a distância que percorreu em cada dia da semana durante seus treinos. Nessas condições, qual deve ser a moda entre as distâncias percorridas, de acordo com a tabela a seguir.
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EXERCÍCIOS
4. A tabela ao lado apresenta as notas da disciplina português de uma turma de 40 alunos de uma escola da rede estadual de Pernambuco. Indique a moda desse conjunto de dados coletados. 
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5. Analise o gráfico ao lado e indique, do ponto de vista da estatística, se entre os dados apresentados existe moda. Se houver, indique o país e o valor? 
EXERCÍCIOS
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6. O gráfico a seguir mostra a evolução do salário mínimo no período de 1940 a 2011. Indique, dentre esses valores, qual o valor da mediana. 
EXERCÍCIOS
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ENEM 2014 – 141 – prova azul – Os candidatos K, L, M, N e P estão disputando uma única vaga de emprego em uma empresa e fizeram provas de português, matemática, direito e informática. A tabela apresenta as notas obtidas pelos cinco candidatos. 
Segundo o edital de seleção, o candidato aprovado será aquele para o qual a mediana das notas obtidas por ele nas quatro disciplinas for a maior. O candidato aprovado será:
A) K
B) L
C) M
D) N
E) P 
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ENEM 2012 - Questão 170 – Prova Amarela.
A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda.
Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual. As empresas que este investidor escolhe comprar são:
A) Balas W e Pizzaria Y.
B) Chocolates X e Tecelagem Z.
C) Pizzaria Y e Alfinetes V.
D) Pizzaria Y e Chocolates X.  
E) Tecelagem Z e Alfinetes V.
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O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010. 
Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é:
A) 212.952.  
B) 229.913.  
C) 240.621. 
D) 255.496. 
E) 298.041.
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ENEM 2010 - Questão 175 – Prova Rosa. 
O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols. 
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então:
A) X = Y < Z.
B) Z < X = Y.
C) Y < Z < X.
D) Z < X < Y.
E) Z < Y < X.