Métodos Científicos e Modelos em Física

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Física Experimental I
1 – Método Científico e Modelos em Física 
Livro: Curso de Física Básica – H. Moysés Nussenzveig 
1
2
2 – Grandezas e Unidades 
- Grandeza Física: Qualquer propriedade física que pode ser descrita quantitativamente. 
- Grandezas Mecânicas Básicas: Comprimento, Tempo e Massa. 
- Grandezas Mecânicas Derivadas: Velocidade, Aceleração, Força, Frequência e Outras. 
- Sistema Internacional de Unidades, SI , ( S ystème I nternational d'unités ): Estabelecido na década de
1790 pela Academia de Ciências da França. 
 Comprimento Tempo Massa
 
- 1 m = DAB / 10.000.000. 
- 1 s = Tempo de meia oscilação de um pêndulo de 1m de comprimento.
- 1 Kg = Massa de um dado cilindro de platina (mesma de massa de 1 litro de água). 
- Padrão de unidades atual do SI 
Tempo:1s = Tempo necessário para a ocorrência de 9.192.631.770 ciclos da radiação emitida pelo
átomo de césio quando sofre transição entre os dois estados de mais baixa energia. 
Comprimento: Em 1960 a velocidade da luz no vácuo foi medida em 299.792.458 m/s. Em 1983
definiu-se que a velocidade da luz no vácuo seria exatamente 299.792.458 m/s. Assim, 1m = distância
que a luz percorre em (1/299.792.458) s. 
Massa: 1Kg = Massa de um cilindro específico feito com uma liga de platina e irídio. 
3 – Algarismos Significativos 
Imagine-se realizando uma medida qualquer com dois instrumentos distintos, por exemplo, o
comprimento de um parafuso, figura 1. No caso da figura da esquerda a medida é dada com 2
algarismos significativos (1 certo e 1 duvidoso). Já no caso da figura da direita a medida é dada com 3
algarismos significativos (2 certos e 1 duvidoso). 
3
 
Platina
=
 
Figura 1 – Medida do tamanho de um parafuso com uma fita graduada em centímetros (esquerda) e uma régua milimetrada
(direita). 
4 – Notação Científica 
- Diâmetro do Sol = 1.392.000.000 m 
- Número de neurônios do Cérebro humana = 100.000.000.000 
- Raio do Próton = 0,000000000000001 m 
- Carga do elétron = 0,00000000000000000016 C 
Em notação científica, teremos: 
- Diâmetro do Sol = 1,392 x 109 m 
- Número de neurônios do Cérebro humano = 1 x 1011 
- Raio do Próton = 1 x 10-15 m 
- Carga do elétron = 1,6 x 10-19 C 
Além da praticidade da notação científica, devemos notar que com esta notação o número de
algarismos significativos fica expresso de forma direta. Por exemplo, sem a notação científica, parace
que o valor do diâmetro do Sol possui 10 algarismos significativos, mas, vemos que na verdade esse
valor possui 4 algarismos significativos. 
5 – Incerteza de uma medida 
A Incerteza ou Erro de uma medida, Δx, indica o intervalo dentro do qual estamos seguros que a
grandeza reside. Assim, o resultado de uma medida seria dado por x ± Δx. Nesse caso, x corresponde
à melhor estimativa para a grandeza. Repare que nesse contexto, a palavra erro não tem a mesma
conotação de equívoco ou engano. 
- Aceleração da gravidade = (9,82 ± 0,02) m/s2 
- Medida de um dado comprimento = 1256 ± 2 mm 
Uma maneira comum de apresentar a incerteza de uma única medida é utilizar a metade da
menor divisão da escala. Por exemplo, para a figura 1 podemos escrever: 1,5 ± 0,5 cm (para a figura
da esquerda) e 14,8 ± 0,5 mm (para a figura da direita). 
A importância do conhecimento das incertezas pode ser exemplificada em uma edição atual do
famoso problema resolvido por Arquimedes, figura 2. 
4
Figura 2 – Exemplo do livro do Taylor. 
A Incerteza Relativa ou Incerteza Fracionária é igual ao quociente entre a incerteza e a medida
da grandeza (Δx/x). Ela nos fornece informações sobre a qualidade do processo de medida, isto é,
quanto menor a incerteza relativa, melhor a qualidade da medida. A Incerteza Relativa Percentual é
a incerteza relativa expressa em termos percentuais (multiplicada por 100%). Por exemplo, para a
figura 1 podemos escrever: 1,5 cm ± 33% (para a figura da esquerda) e 14,8 cm ± 3% (para a figura da
direita). 
6 – Comparações de Valores Medidos 
A discrepância é a diferença entre dois valores de medidas da uma mesma grandeza. A
discrepância pode ou não ser significativa, figura 3. 
Muitos experimentos envolvem a medição de dois valores que uma teoria prediz serem iguais.
Uma forma simples de comparar valores medidos dá-se com o uso de escalas, figura 4. 
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Figura 3 – Exemplo do livro do Taylor.
Figura 4 – Exemplo do livro do Taylor.
7 – Operações com Algarismos Significativos 
Incertezas experimentais devem quase sempre ser arredondadas para um dígito
significativo. 
OBS: Se o dígito líder da incerteza for 1, então é melhor manter dois dígitos significativos. Por
exemplo, suponha que certo cálculo gerou uma incerteza Δx = 0,14. Arredondar esse número para 
Δx = 0,1 proporcionaria uma substancial redução. Assim, mantemos Δx = 0,14. Em alguns casos, o
mesmo pode ser aplicado se o dígito líder for 2. 
O último dígito significativo em uma resposta deve geralmente ser da mesma ordem de
magnitude (na mesma posição decimal) que a incerteza. 
OBS: Se o dígito líder na incerteza for pequeno (1 ou, talvez, 2), manter um dígito extra na resposta
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final pode ser apropriado. Por exemplo, uma resposta como 3,6 ± 1 é perfeitamente aceitável.
Podemos argumentar que arredondá-la para 4 ± 1 causaria uma perda de informação. 
7.1 – Adição e Subtração de Algarismos Significativos e Regras de Arredondamento 
Para se realizar uma operação de adição, levando em consideração os algarismos significativos,
deve-se efetuar a soma e escrever o resultado com um número de casas decimais igual ao da parcela
que possui o menor número dessas casas (o da grandeza menos precisa), fazendo o arredondando
necessário. 
Suponha que se deseje adicionar as seguintes parcelas: 
15709,1 
 32,593 
 0,0071 
 618,363 
16360,0631 
Para o exemplo anterior, a soma resultaria em 16.360,0631. O resultado deve ser escrito com
apenas uma casa decimal, pois a primeira parcela é a menos precisa. Assim, o resultado da adição é
16.360,1, onde foi “jogado fora” dos centésimos em diante. A regra de arredondamentos que será
adotada é a seguinte: 
1 – Arredondamento por falta – se a parte a ser “jogada fora” estiver entre 0,000... e 0,499... deve-se
simplesmente abandonar esta parte, mantendo o algarismo a ser arredondado. 
2 – Arredondamento por excesso – se a parte a ser “jogada fora” estiver entre 0,500... e 0,999...
deve-se somar uma unidade ao algarismo a ser arredondado. 
3 – Se a parte a ser “jogada fora” for exatamente 0,500... o arredondamento deve ser tal que o
algarismo a ser arredondado seja par. 
Justificativa da regra 3 
Considere uma série de medidas em que a parte a ser “jogada fora” seja 0,500... Ao se arredondar
sempre do mesmo modo, influencia-se, por exemplo, a soma dessa série sempre num único sentido
(para mais ou para menos). Utilizando-se esta regra o efeito pode ser minimizado. Para exemplificar,
considere as quatro medidas: 
0,35 - 0,45 - 0,35 - 0,45 
Jogando fora os centésimos e deixando os décimos como são (arredondando por falta), fica-se com: 
0,3 - 0,4 - 0,3 - 0,4 
e a média seria 0,35 que, usando o mesmo critério, seria arredondada para 0,3. 
Se o arredondamento fosse por excesso, ficaria-se com: 
0,4 - 0,5 - 0,4 - 0,5 
cuja média seria 0,45, que arredondada daria 0,5. 
Usando a regra, o arredondamento ficará: 
0,4 - 0,4 - 0,4 - 0,4 
e a média seria 0,4 que é um valor mais justo para a média dos valores iniciais. 
Em resumo, “joga-se fora” a parte 0,500 ... e 
a) o algarismo a ser arredondado permanece o mesmo se ele for par; 
b) soma-se 1 ao algarismo a ser arredondado seele for ímpar. 
Todas essas regras servem, também para a subtração. 
Exemplos (os algarismos destacados devem ser “jogados fora”): 
7,81 – arredondado para os décimos fica 7,8. 
7,86 – arredondado para os décimos fica 7,9. 
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9,3499 – arredondado para os décimos fica 9,3. 
9,3501 – arredondado para os décimos fica 9,4. 
11,850 – arredondado para os décimos fica 11,8. 
11,750 – arredondado para os décimos fica 11,8. 
1,3500 – arredondado para os décimos fica 1,4. 
47,950 – arredondado para os décimos fica 48,0. 
7.2 – Multiplicação e Divisão 
O resultado de uma multiplicação deve ter o mesmo número de algarismos significativos, ou
um a mais, que o fator com menor número desses algarismos. Veja o exemplo: 
,
1 4 , 2 8
7 1 4 0
5 , 4 5
5 7 1 2
7 1 4 0
7 7 8 2 6 0
4 a l g a r i s m o s s i g n i f i c a t i v o s
3 a l g a r i s m o s s i g n i f i c a t i v o s
3 a l g a r i s m o s s i g n i f i c a t i v o s
O resultado, escrito com apenas 3 algarismos significativos (número de algarismos
significativos do fator 5,45), fica sendo 77,8. 
A razão para isso é a seguinte: os algarismos 8 e 5 marcados são duvidosos. A multiplicação de
um algarismo duvidoso por um algarismo correto ocasiona um algarismo duvidoso. Assim, os
algarismos marcados são duvidosos. Como o resultado deve ter somente algarismos corretos e apenas
um duvidoso, o resultado da multiplicação é 77,8. 
Veja agora este exemplo:
,
 3 2 , 8
2 2 9 6
9 , 9 7
2 9 5 2
2 9 5 2
3 2 7 0 1 6
3 a l g a r i s m o s s i g n i f i c a t i v o s
3 a l g a r i s m o s s i g n i f i c a t i v o s
4 a l g a r i s m o s s i g n i f i c a t i v o s
Nesse caso, o resultado 327,0 possui 4 algarismos significativos, um a mais que o fator de
menor número de algarismos significativos (3). Para contemplar essas duas situações, adotaremos a
seguinte regra: 
Multiplique os dois fatores colocados em notação científica 10. Se o resultado for da ordem
de unidades, utilize o menor número de algarismos significativos, se for da ordem de dezenas,
considere um algarismo significativo a mais. Exemplos: 
1)P1 = 3,495 x 2,1 = 7,3395 (ordem de unidades). P1 = 7,3 (2 algarismos significativos)
2)P2 = 6,495 x 2,1 = 13,6395 (ordem de dezenas). P2 = 13,6 (3 algarismos significativos)
3)P3 = 78 x 57 = (7,8x101) x (5,7x101) = 44,46x102 (ordem de dezenas). P3 = 4,45x103 (3
algarismos significativos)
4)P4 = 1569,68 x 3,47 = (1,56968x103) x (3,47) = 5,4467896x103 (ordem de unidades). P4 =
5,45x103 (3 A.S.)
Na aplicação desta regra, deve-se seguir a regra de arredondamentos adotada na adição. 
Procedimentos análogos devem ser seguidos ao ser efetuada uma divisão. Exemplo: 
32,8
2,1
=3,28 x10
2,1
=1,562 x10=1,6 x10
Comentários: 
1. As constantes que aparecem em expressões devem ser consideradas com infinitos algarismos
significativos. Ao se operar com elas, basta aplicar as regras considerando este fato. 
2. Em multiplicações envolvendo constantes irracionais, como π, opere-o com 2 algarismos
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significativos a mais que o fator com o maior número desses algarismos.
3. Em operações sucessivas, o arredondamento deve ocorrer somente na resposta final.
8 – Classificação de erros 
Erros Grosseiros:
Estes erros são devidos à falta de atenção ou de prática do operador. São ocasionados por:
enganos na leitura de medidores; contagem errada do número de oscilações de um pêndulo; operações
matemáticas incorretas; erros de transcrição, como escrever 7428 quando o número é 7482. Esse tipo
de erro ocorre devido a técnicas deficientes e deve ser eliminado realizando cuidadosamente as
medidas. 
Erros Sistemáticos: 
São os que ocorrem, em geral, devido a defeitos dos instrumentos ou a hábitos do operador. São
ocasionados por:
- erros na calibração de instrumentos;
- fatores ambientais tais como temperatura, pressão, umidade etc.
- erros de observação como, por exemplo, o erro devido à paralaxe (leituras que dependem da posição
do observador em relação a um ponteiro);
- influência de certos fatores que são desprezados. Por exemplo: um instrumento usado a uma
temperatura diferente daquela em que foi feita a sua calibração causaria um erro sistemático nas
medidas se não fosse feita a correção apropriada;
- erro no tempo de resposta do operador de um instrumento, que sempre se atrasa ou se adianta nas
medidas.
Esses erros sempre introduzem desvios em um mesmo sentido, ou seja, ocasionam um
aumento ou uma diminuição sistemática nas medidas.
Erros Estatísticos ou Aleatórios ou Acidentais:
São os que ocorrem inevitavelmente em uma série de medidas e ocasionam desvios para mais
ou para menos, mesmo em medidas realizadas sob mesmas condições. São ocasionados por:
- erros devidos a condições que flutuem, como por exemplo, variações na tensão da rede de energia
elétrica;
- erros devidos à natureza da grandeza a ser medida, como por exemplo, variações verificadas no
comprimento de um objeto devidas à falta de polimento ou paralelismo das faces;
- variação da capacidade de avaliação ou da perícia na medida de uma mesma grandeza por
observadores diferentes;
- fatores não intencionais não considerados como falta grave de operação.
9 – Instrumentos de Medidas 
Neste tópico serão abordadas as características e modo de operação dos instrumentos de
medidas mais utilizados no Laboratório de Física. A maioria dos instrumentos utilizados é de fácil
operação, mas, apesar disto, qualquer dúvida que surja, o estudante deve pedir explicação, ler os
manuais de instrução e/ou consultar bibliografia específica.
A precisão instrumental deve ser dada pelas especificações do fabricante e, caso não se tenha
esta informação, deve-se utilizar a metade da menor divisão da escala ou outro valor mais apropriado.
Os instrumentos digitais mostram todos os algarismos correspondentes à medida. Em geral, ocorre
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uma flutuação no último algarismo e neste caso, estima-se o último algarismo e a incerteza da leitura
em função dessa flutuação. No uso de instrumentos digitais, deve-se sempre que possível consultar o
manual do instrumento para se conhecer o seu erro de calibração, que, geralmente, é maior que a
menor leitura do instrumento, podendo também ser superior à incerteza na leitura decorrente da
flutuação no último dígito.
9.1 – Instrumentos de medidas de comprimento 
Régua milimetrada
A régua milimetrada é geralmente construída de plástico ou aço inoxidável e é utilizada
quando não é necessária uma medida de comprimento com alta precisão. A menor divisão da régua
comum é de 1 mm, sendo que algumas mais precisas possuem divisão de 0,5 mm. A incerteza
instrumental de uma régua, metade da menor divisão da escala, é de 0,5 mm, não podendo, portanto,
ser usada em medidas de pequenas dimensões ou onde uma boa precisão seja necessária. Nestes casos
os paquímetros ou os micrômetros devem ser utilizados.
Trena
A trena é uma fita graduada, maleável, metálica ou de plástico, enrolada dentro de uma caixa
suporte. Ao se puxar a extremidade da fita, esta é desenrolada permitindo que se faça a medida. Ao ser
liberada ela retorna para dentro do suporte através de um mecanismo interno de recolhimento. Não se
deve puxar a fita além do valor máximo de medida de cada trena, sob pena de danificar o mecanismo
interno de recolhimento. Possui, geralmente, a mesma escala de medida de uma régua milimetrada e,
portanto, a mesma incerteza instrumental.
Paquímetro
O paquímetro (Figura 9.1) é usado, principalmente, para medir diâmetros externos, diâmetros
internos, espessuras e profundidades com precisão de décimo ou centésimos de milímetro ou frações
de polegadas. É geralmente construído de aço inoxidável e possui superfícies planas e polidas e sua
calibraçãoé feita a 20°C.
Para se fazer uma medida externa com o paquímetro coloca-se o objeto a ser medido entre as
garras para medidas externas. Faz-se uma pressão suave com o dedo polegar contra o impulsor para
que a garra móvel entre em contato com a peça, sem forçá-la. Para uma medida interna, diâmetros de
tubos, por exemplo, colocam-se as garras para medidas internas no interior do orifício a ser medido e
abre-se o paquímetro de modo que as garras toquem, de maneira suave, a superfície interna do mesmo.
Para medidas de profundidade coloca-se a haste de profundidade no interior da cavidade a ser medida,
encostando-a na superfície interna do objeto, até que sua extremidade toque o fundo.
Figura 9.1 – O Paquímetro.
O paquímetro possui em seu corpo duas escalas principais fixas. Na parte superior apresenta
uma escala graduada em polegadas e na parte inferior uma escala graduada em milímetros. 
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Acoplado ao corpo do paquímetro têm-se o nônio ou vernier, cuja escala se move sobre a
escala principal. A finalidade do nônio ou vernier é aumentar a precisão da medida, pois torna a
medida mais precisa do que os nossos olhos poderiam determinar na escala principal. O princípio do
nônio é utilizado em muitos instrumentos de qualidade (goniômetros, barômetros, microscópios, etc.)
para aumentar a precisão da medida. Utilizaremos um nônio de 10 divisões para explicar a lógica de
seu funcionamento.
Quando o zero do nônio coincidir exatamente com uma divisão da escala principal, a leitura é
feita diretamente na escala fixa, como ilustra a Figura 9.2.
Figura 9.2 – Zero do nônio coincidindo exatamente com uma divisão da escala principal. Valor da
leitura 2,0 mm.
Quando o zero do nônio não coincidir exatamente com uma divisão da escala principal, a
leitura deve ser adicionada de uma fração que é dada pela divisão do nônio que coincidir com a
divisão da escala principal. Por isso, a leitura da medida representada na Figura 9.3 deve ser 17,3 mm,
pois é a terceira marca do nônio que coincide com uma das marcas da escala principal.
Figura 9.3 – Leitura, em um paquímetro, de 10 divisões; a leitura é 17,3 mm.
O princípio de funcionamento do nônio ou vernier de dez divisões se baseia no fato de que
nele estão gravadas a marca 0 (zero) e mais 10 outras marcas distanciadas de 0,9 mm umas das outras.
Portanto, uma divisão do nônio é 1/10 menor que a divisão da escala principal. Na leitura anterior, a
primeira marca do nônio que coincide com as marcas da escala principal é a de número três. Como o
distanciamento das marcas do nônio é de 0,9 mm, segue que a marca de número dois está a 1 - 0,9 =
0,1 mm da marca da escala principal mais próxima. Portanto, a marca de número 1 está deslocada de
0,2 mm e finalmente a marca zero está a 0,3 mm à direita da marca de 17 mm. Portanto, a medida da
espessura é 17,3 mm.
Há também nônios que contêm 20 divisões, onde cada subdivisão corresponde a 1/20 mm
(0,05 mm). Neste caso a coincidência da terceira marca do nônio (marca entre o 1 e o 2) com a escala
principal (Figura 9.4) representa uma fração de 3/20 ou 0,15 mm, o que fornecerá uma leitura de 25,15
mm. Uma coincidência com a marca 2 do nônio daria uma fração 0,20 mm. A coincidência com a
marca 7 seria uma fração 0,70 mm e uma coincidência com a marca que está entre o 8 e o 9 seria uma
fração de 0,85 mm.
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Figura 9.4 – Medição com um paquímetro de 20 subdivisões, cuja leitura é 25,15 mm.
A fração da escala principal que cada traço do nônio representa, chama-se “Natureza do
Paquímetro”, ou seja, para um paquímetro com nônio de "n" divisões ela é dada pela grandeza 1/n.
Portanto, a “Natureza do Paquímetro” que possui um nônio de 10 divisões é 0,1 mm e a de um com 20
divisões é 0,05 mm.
Na apresentação da leitura de uma medida realizada com um paquímetro, deve-se colocar como
incerteza da medida o valor da natureza do mesmo. Por exemplo, a medida apresentada na Figura 9.3
deve ser escrita como se segue: (17,3 ± 0,1) mm. E da Figura 4.4 (25,15 ± 0,05) mm.
Para medidas de profundidades ou diâmetros internos, o procedimento de leitura é o mesmo.
Existem paquímetros bem mais precisos que os de nônio com 20 divisões, tais como, os de 50 divisões
que apresentam uma incerteza de 0,02 mm e os digitais que apresentam incerteza de 0,01 mm. 
9.2 - Instrumentos de medidas de tempo
Cronômetro digital
No cronômetro digital o tempo medido é mostrado em um visor de cristal líquido. Possui um
botão para disparar e parar a contagem e outro para “zerar” o cronômetro. A medida de tempo é
baseada na oscilação de um cristal de quartzo e tem precisão de centésimo de segundo. Um aspecto
importante que deve ser levado em conta ao se realizar uma medida de tempo com este tipo de
cronômetro é o “tempo de reflexo do operador” para disparar e parar o mecanismo.
9.3 - Instrumentos de medidas de massa e de força
Balança de travessão
A balança de travessão é o instrumento de medida de massa mais utilizado em laboratório.
Esta balança compara o peso do objeto a ser medido com um peso conhecido (calibrado). Como a
aceleração da gravidade é a mesma em ambos os lados da balança, esta compara massas e não pesos,
mesmo que o seu funcionamento esteja baseado na força gravitacional que age nos dois lados da
balança. Portanto, as medidas com este tipo de instrumento são independentes do local onde ele é
utilizado. 
Existem vários tipos destas balanças que são utilizadas em intervalos de massas muito
diversos e com sensibilidades variadas. Para medidas rápidas são utilizadas balanças do tipo mostrado
na Figura 9.5 que permitem pesagens rápidas de massas relativamente grandes, da ordem de 1600 g.
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Figura 9.5 - Balança de travessão
Esta balança consiste de um travessão rígido com três escalas diferentes: uma de 100 em 100
gramas, uma de 10 em 10 gramas e uma de 0,1 em 0,1 grama. As duas escalas superiores devem ser
usadas colocando-se os cursores (massas móveis) exatamente em cima das marcas, ou seja, não se
pode colocar estas massas em posições diferentes daquelas preestabelecidas. O cursor da escala de 0,1
g deve ser movimentado continuamente até que se obtenha o equilíbrio do travessão.
Alguns cuidados devem ser tomados ao se fazer uma medida com esta balança. Um deles é
nivelá-la corretamente. Para isto algumas balanças vêm com um indicador de nível acoplado à sua base.
Para nivelá-la deve-se levantar ou abaixar os seus pés de modo que a bolha do nível fique centralizada
entre as marcas do mesmo. Caso a balança não seja equipada com este nível, deve-se usar um nível
externo para tal. Outro cuidado que se deve tomar é a zeragem da balança. Quando todos os cursores
(massas móveis) estiverem no zero de suas escalas, a marca horizontal na extremidade do travessão deve
coincidir com a marca central de referência de uma pequena escala que fica na vertical. Caso isto não
ocorra, deve-se girar a porca que se encontra embaixo do prato da balança até que as marcas coincidam.
A incerteza na medida desta balança seria de 0,05 g, ou seja, metade da menor divisão da escala. Porém,
como este não é um instrumento preciso, pode-se considerar incertezas de até alguns gramas.
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10 – Construção de Gráficos lineares 
10.1 - Introdução
A apresentação de dados numéricos em forma de gráficos é uma técnica usada em todas as
áreas do conhecimento. Um especialista da área médica, por exemplo, ao interpretar os vários valores
traçados em um gráfico (eletrocardiograma, eletroencefalograma, etc.) pode ser auxiliado
substancialmente no diagnóstico de algumas doenças. Taxas de multiplicação ou de morte de vírus e
bactérias em função da dose de radiação recebida podem ser interpretadas através de gráficos, os quais
trazem informações que possibilitam "enxergar" melhor os dados obtidos. A análise gráfica é muito
útil, pois permite, em muitos casos, descobrir a lei que rege o fenômeno através de uma visualizaçãoimediata do comportamento de suas variáveis. Em outras palavras, a interpretação correta de um
gráfico possibilita enxergar um pouco mais. Portanto, ao se observar um gráfico, devesse questionar e
procurar entender qual o seu significado, o que ele representa, qual a lei representativa da curva e,
principalmente, saber fazer as leituras das medidas segundo as escalas contidas nos seus eixos. 
Para a correta construção de um gráfico, é necessário saber construir as escalas deste gráfico.
Uma escala é um trecho de reta ou curva, marcado por pequenos traços transversais, alguns dos quais
associados com os valores ordenados de uma grandeza. São exemplos, as escalas de um termômetro,
de um relógio, de um cronômetro, de uma régua, de um velocímetro de carro, etc. Na construção de
um gráfico, é necessário que se represente os valores de cada uma das grandezas sobre escalas. No
caso de gráficos bidimensionais são necessárias duas escalas, uma representada no eixo das abscissas e
a outra no eixo das ordenadas. Aqui serão estudadas as duas escalas mais importantes, a escala linear
e a escala logarítmica.
10.2 - Escala Linear
Para se construir uma escala linear em um certo segmento de reta (eixo), deve-se conhecer,
inicialmente, o tamanho deste segmento (L). Suponha que se deseje representar sobre esta escala os
valores de uma grandeza física qualquer. Para a construção da escala é necessário determinar a
variação dos valores da grandeza a ser marcada nesta escala, ou seja, deve-se conhecer a diferença
entre os seus valores máximo e mínimo. Esta diferença será representada por "d". Dividindo-se "L"
por "d", obtém-se uma constante denominada de módulo da escala (m). Por exemplo, considere a
Tabela 1 abaixo para ser marcada em uma escala linear de 15 cm de comprimento.
Tabela 1 - Valores medidos da Força, em newtons, atuante sobre uma partícula.
Força (N) 3 8 17 23 29
O intervalo das medidas é d = 29 - 3 = 26 N e o comprimento do eixo é L = 15 cm. Portanto,
o módulo da escala, m, é dado por:
m=1526=0,5769
cm
N
.
Este resultado indica que cada unidade da força será representada por um comprimento igual
a 0,5769 cm. A escala deve ser construída, então, com espaçamentos iguais de 0,5769 cm. Como se
percebe, o módulo da escala acima é inconveniente para se trabalhar e, portanto, adota-se um número
melhor que facilite as marcações. Na escolha deste melhor número para representar o módulo "m", o
arredondamento deverá ser sempre para menos e deve ser tal que seja utilizado pelo menos 2/3 do
comprimento "L". No exemplo acima, um número conveniente para representar o módulo da escala
seria 0,5 cm/N. Escalas do tipo 1:3, 1:7 e 1:9 devem ser evitadas, pois dificultam a marcação de
submúltiplos dos valores da escala.
Em tabelas onde o valor mínimo é próximo de zero, como no exemplo, é aconselhável incluir
o zero para efeito de cálculo do módulo "m". Isto pode também ser feito quando seja necessária a
apresentação da origem da escala. Nestes casos, divide-se o comprimento disponível "L" pelo valor
14
máximo da grandeza, 
m=1529=0,5172
cm
N
. 
Com a determinação do módulo, obtém-se os comprimentos que representarão cada uma das
medidas da tabela. No exemplo anterior, considerando-se o módulo como 0,5 cm/N, tem-se a
correlação dada pela Tabela 2.
Tabela 2 - Correlação entre os valores medidos da Força e as distâncias a serem marcadas na escala a
partir do zero.
Força (N) 3 8 17 23 29
Distâncias (em cm) que representam a
grandeza física na escala a partir da
origem
1,5 4,0 8,5 11,5 14,5
É tecnicamente errado, ao se montar o eixo da escala, representar nela as medidas da tabela.
O que se usa fazer é representar no eixo da escala pontos igualmente espaçados, marcando e
destacando cada um deles. Indica-se, abaixo de cada ponto, o valor respectivo da grandeza, sem, no
entanto, sobrecarregar a escala com excesso de números. Não é problema se, por acaso, os valores
indicados coincidirem com alguns ou todos os valores tabelados. Isto pode ocorrer quando as medidas
são realizadas em intervalos iguais. Em suma, deve-se sempre observar o aspecto da escala,
procurando construí-la de modo a se ter uma boa visualização de seus valores.
A grandeza representada na escala é escrita, acompanhada da respectiva unidade, sempre
abaixo da escala. A unidade vem separada da grandeza entre parênteses ou por vírgula.
A representação em uma escala em que m = 0,5 cm/N é a apresentada na Figura 10.1, onde
os pontos da Tabela 1 estão marcados na escala, a partir do zero, às distâncias dadas pela Tabela 2.
Figura 10.1 - Escala com a representação dos pontos da Tabela 1.
10.3 - Construção de gráficos em papel milimetrado
Para se construir um gráfico, é necessário que se represente os valores de cada uma das
grandezas sobre escalas. Para gráficos em duas dimensões são necessárias duas escalas, uma
representada no eixo das abscissas e a outra no eixo das ordenadas.
Vários tipos de papéis para gráficos são utilizados nas várias áreas da Ciência (Física,
Engenharia, Biologia, Medicina, Química, etc.). O papel mais utilizado é o papel milimetrado, pois
possui escalas lineares nos dois eixos. Outros tipos de papeis serão estudados posteriormente.
Suponha que os dados contidos na tabela abaixo, (Tabela 3) relacionando as grandezas físicas
velocidade e tempo, tenham sido obtidos a partir de uma dada experiência.
Tabela 3 - Medidas experimentais da velocidade de uma partícula em função do tempo.
tempo (s) 1,0 1,8 2,8 5,0 6,9 7,5 8,7
velocidade
(m/s) 9,0 11,0 14,5 21,0 26,5 28,4 32,0
Primeiramente deve-se montar as escalas para a representação das duas grandezas. Para isto
deve-se usar a metodologia apresentada no item 10.2, ou seja, determinar o módulo das escalas a
15
serem representadas nos dois eixos. É norma colocar a variável independente no eixo das abscissas e a
dependente no das ordenadas. Por exemplo, numa experiência em que se mede o período de oscilação
de um pêndulo simples para vários comprimentos do mesmo, a variável independente é o
comprimento (a ser marcado no eixo x) e a variável dependente é o período (a ser marcado no eixo y).
Outro exemplo: medindo-se a intensidade da radiação (I) emitida por uma cápsula contendo material
radioativo em função da distância (d) do detector à fonte, a variável independente é a distância (eixo x)
e a dependente é a intensidade da radiação (eixo y).
Após os devidos cálculos, marque nos eixos do papel milimetrado as escalas, sendo que a
escala para os valores do tempo (variável independente) deve ser localizada na horizontal (eixo das
abscissas) e a escala dos valores da velocidade (variável dependente), deve ser localizada na vertical
(eixo das ordenadas). A este sistema, cujos eixos das escalas são semi-retas ortogonais entre si, dá-se o
nome de sistema cartesiano.
As semi-retas (eixos) cruzam-se em um ponto denominado origem. A cada par (t,v)
corresponde um ponto no gráfico cartesiano. A curva traçada pelos vários pontos (t,v) representa
graficamente a lei de dependência entre as grandezas t e v. É importante em um trabalho experimental
saber julgar qual a forma da curva que melhor representa a distribuição dos pontos experimentais. 
A curva a ser traçada, deve ser contínua e passar o mais próximo possível dos pontos
experimentais. Quando a curva mais conveniente para representar os dados, for uma reta, esta deve ser
traçada de modo que os pontos pelos quais a reta não passe, fiquem distribuídos igualmente em ambos
os lados da mesma. Posteriormente será ensinado um método para ajustar "a melhor reta" a ser
traçada.
É comum o estudante, iniciante no método de traçado de gráficos, unir os pontos com
segmentos de retas (Figura 10.2-a) ou traçar curvas passando pelospontos obtidos (Figura 10.2-b),
quando o correto seria traçar uma reta média (Figura 10.2-c). Observe as figuras abaixo e procure
evitar os erros apresentados.
Figura 10.2 - Ajuste de retas: ( a ) e ( b ) modos errados; ( c ) modo certo.
Estando as escalas devidamente representadas e a curva média traçada, coloca-se, acima do
gráfico, o seu título. A forma de colocação do título fica a critério do autor. No caso do gráfico da
Tabela 3 poderia ser: "GRÁFICO DA VELOCIDADE VERSUS TEMPO", ou "VELOCIDADE x
TEMPO", ou ainda, "VELOCIDADE EM FUNÇÃO DO TEMPO".
Ao se fazer a análise de um gráfico e a dependência entre as grandezas for linear, ou seja, for
obtida uma reta, pode-se afirmar que a função que relaciona estas duas grandezas é uma função do
primeiro grau, do tipo:
y = A + Bx,
onde "A" é o coeficiente linear e "B" é o coeficiente angular. 
16
O coeficiente angular (B) é dado pela inclinação da reta, ou seja, pela tangente do ângulo que
a reta faz com a horizontal; o coeficiente linear (A) é dado pela ordenada do ponto onde a reta corta o
eixo das ordenadas, ou seja, é lido diretamente no gráfico, como é mostrado na Figura 10.3
Figura 10.3 – Gráfico de uma função linear. O coeficiente linear (A) é o ponto onde a reta cruza o eixo
y e o coeficiente angular (B) é dado pela inclinação da reta (tg θ).
10.3.1 - Ajuste de retas
Dados experimentais que obedeçam a uma relação linear, quando colocados em um gráfico,
nunca formam uma linha reta perfeita devido aos dados experimentais nunca serem perfeitos. Quando se
observa que a relação é linear, deve-se tentar traçar a melhor reta possível, que, de preferência, deve
passar pelo maior número de pontos e o mais próximo possível dos mesmos. Por exemplo, a reta (a) da
Figura 10.4 é, obviamente, melhor que a reta (b). 
Figura 10.4 - O ajuste de "melhor reta". A reta (a) é melhor que a reta (b).
A reta que melhor ajusta os pontos pode ser traçada com suficiente precisão com o uso de
uma régua transparente e do bom senso. Porém, existem métodos de ajuste de "melhor reta" que
utilizam uma combinação de análise numérica e gráfica. Aqui será mostrado o processo mais usado,
chamado de método dos mínimos quadrados. 
10.3.2 - Método dos Mínimos Quadrados
Uma maneira de se determinar a melhor reta é fazer com que a soma das distâncias entre cada
ponto experimental e a reta seja menor que para qualquer outra reta que pudesse ser traçada. Uma
outra forma de melhor ajuste é traçar a reta para a qual a soma dos quadrados das distâncias, segundo
y, entre os pontos experimentais e a reta, seja um mínimo, isto é, seja menor que para qualquer outra
reta que pudesse ser traçada. Esta forma de ajuste pode ser calculada rapidamente e o método é
chamado de Método dos Mínimos Quadrados.
Seja Ei a distância entre cada um dos pontos experimentais e a reta traçada (E1 para o
17
primeiro ponto, E2 para o segundo ponto, ..., En para o último ponto). O método dos mínimos
quadrados consiste em fazer com que a soma dos quadrados de todos os Ei seja um mínimo, ou seja:
∑
i=1
n
Ei
2 é mínimo.
Considere um conjunto de pontos experimentais representados por (x1,y1), (x2,y2),
(x3,y3), ..., (xn,yn). Considerando-se que a equação da reta que passe por estes pontos seja y = A +
Bx, a distância entre esta reta e o i-ésimo ponto é yi – (A + Bxi). Chamando esta distância de erro Ei,
tem-se:
Ei= y i−A−Bx i
O quadrado deste termo é:
Ei
2= y i
2−2 Ay i−2Bx i y i+2 ABxi+A
2+B2 xi
2
A soma dos quadrados de todos estes erros é:
S=∑
i=1
n
E i
2=∑
i=1
n
( y i
2−2 Ay i−2 Bxi yi+2 ABxi+A
2+B2 xi
2)
Para se encontrar o mínimo, diferencia-se e iguala-se a zero. Para diferentes retas, as
quantidades que variam são "A" e "B", então:
dS= ∂ S
∂ A dA+
∂ S
∂B dB
Esta diferencial deve ser igual a zero no ponto de mínimo. As variáveis "A" e "B" são
independentes, portanto, os dois termos devem ser, cada um, igual a zero. Diferenciando-se em relação
a "A" e em relação a "B" obtém-se (simplificando-se os números 2):
∑
i=1
n
(A− yi+Bx i)=0
e
∑
i=1
n
(Bx i
2−x i yi+Ax i)=0
Somando-se cada um dos termos entre parênteses obtém-se:
nA−∑
i=1
n
y i+B∑
i=1
n
xi=0
e
B∑
i=1
n
x i
2−∑
i=1
n
x i y i+A∑
i=1
n
x i=0
As equações podem ser escritas de forma mais simples, representando-se os valores médios
com uma barra escrita acima da grandeza. Então, usando-se:
1
n∑i=1
n
y i= y¯ e 
1
n∑i=1
n
x i= x¯
e dividindo-se as equações por n, fica-se com:
A− y¯+B X¯=0
e
B ( x¯2)−( x¯y )+A x¯=0
O coeficiente angular da reta é obtido resolvendo-se o sistema de equações anterior, o que
resulta em:
B= x¯y− x¯ . y¯
( x¯2)−( y¯2)
O coeficiente linear é dado por:
A= y¯−B x¯
18
Através dos coeficientes linear e angular, a equação da "melhor reta" fica determinada. Para
traçá-la, basta escolher alguns valores para x, determinar os respectivos valores de y e marcar os pontos
sobre os quais será traçada a reta.
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
a. Represente, em escala linear, os pontos da Tabela 4 apresentada a seguir; observe que não é
conveniente desenhar o eixo das ordenadas (variável dependente) iniciando na origem. Pode-
se iniciar, por exemplo, em 50 ou 60 cm de Hg.
b. calcule os coeficientes linear e angular da "melhor reta" pelo método dos mínimos
quadrados; escreva a equação desta reta;
c. trace esta "melhor reta".
Tabela 4 - Medidas experimentais da pressão, em cm de Hg, em função da temperatura, em °C, de
um gás a volume constante
Temperatura
(°C)
Pressão
(cm de Hg)
x y
0,0 66,9
13,0 71,8
18,5 73,8
29,0 76,5
40,0 80,2
51,0 83,2
60,0 86,8
72,0 90,2
80,0 93,1
89,5 96,3
98,0 99,1
11 – Propagação de erros máximos 
Incertezas em medições diretas: Quase todas as medições diretas envolvem a leitura de uma
escala (por exemplo, em uma régua, cronômetro ou voltímetro) ou em uma tela digital (por exemplo,
em um cronômetro ou voltímetro digital). Em algumas ocasiões, as principais fontes de incertezas são
a leitura de escalas e a necessidade de interpolar entre as marcações da escala. Em tais situações, uma
estimativa razoável da incerteza é facilmente realizada. Por exemplo, medida do comprimento abaixo. 
Algumas grandezas físicas são calculadas com outras grandezas que são obtidas por meio de
medições diretas, por exemplo, a área de um retângulo. Se cada grandeza medida (lado do retângulo)
vier acompanhada de uma incerteza, a grandeza calculada (área) também deverá ser representada com
sua respectiva incerteza. Para este cálculo, existem regras definidas pelo cálculo diferencial, que
19
fogem do enfoque deste curso. Existe, porém, uma forma simples que não exige conhecimento mais
profundo de cálculo, que será dada a seguir: 
Por exemplo, suponhamos que medimos o volume de dois líquidos (V1 ± ΔV1) e (V2 ± ΔV2).
Ao juntar os dois líquidos, teremos um volume de no máximo V1 + ΔV1 + V2 + ΔV2 e no mínimo V1 -
ΔV1 + V2 - ΔV2. Assim, o volume total pode ser sado por VTotal ± ΔVTotal, onde ΔVTotal = ΔV1 + ΔV2. O
mesmo resultado vale para subtração. 
Ou seja, para adição e subtração: Δx=Δx1+Δx2 . 
Para se achar a incerteza ΔA da área do retângulo associada ao produto dos lados (a ± Δa) e (b
± Δb) calcula-se os valores máximo e mínimo da área: 
Amáx = (a + Δa).(b + Δb) = ab + aΔb + bΔa + ΔaΔb
Amín = (a - Δa).(b - Δb) = ab - aΔb - bΔa + ΔaΔb
A incerteza ΔA será dada pela metade da diferença entre os dois valores calculados acima.
Logo: A = ab ± ΔA, onde: ΔA = aΔb + bΔa. 
Ou seja, para multiplicação: Δx=x1 . Δx2+x2. Δx1 . 
Uma outra maneira de encontrar a incerteza é por meio da incerteza relativa. Esse método é muito
mais prático, pois evita longas operações matemáticas como nocaso dos produtos e divisões. No exemplo
da área, temos que: 
ΔA
A =
aΔb
A +
bΔa
A =
aΔb
ab +
bΔa
ab =
Δb
b +
Δa
a
Ou seja, para multiplicação, em termos de incertezas relativas: 
Δx
|x|
=
Δx1
|x1|
+
Δx2
|x2|
O resultado acima vale também para divisão. 
Casos particulares: 
y = k.x, onde k é uma constante. → Δy
|y|=
Δx
|x|
. 
y = xn, onde n é qualquer número real → Δy
|y|=
|n|Δx
|x|
. 
Exemplo: 
L=
L1. L2
L3
, onde L1 = (200 ± 2)m, L2 = (5,5 ± 0,1)m e L3 = (10,0 ± 0,4)m. Os erros percentuais
são: 1%, 2% e 4%, respectivamente. 
LMelhor = 110m. 
ΔL
L
=
ΔL1
L1
+
ΔL2
L2
+
ΔL3
L3
 → ΔL/L = (1 + 2 + 4)% = 7% 
Logo: L = (110 ± 8)m. 
Para se chegar ao caso geral, utilizaremos o conceito de cálculo diferencial. Suponhamos que a
grandeza V seja determinada a partir de uma função que envolva operações matemáticas entre outras
grandezas medidas diretamente
V=f (x ± Δx , y ± Δy , ...) . 
Uma maneira usual e que nos dá o valor de ΔV imediatamente em termos de Δx, Δy, ..., é
20
baseada na aplicação de resultados do cálculo diferencial. 
A diferencial total de V nos dará
dV=∂ f
∂ x dx+
∂ f
∂ y dy+...
.
As diferenciais na equação anterior podem ser substituídas pelas incertezas ΔV, Δx, Δy, ...,
sempre que tais incertezas forem suficientemente pequenas: 
ΔV=∂ f
∂ x Δx+
∂ f
∂ y Δy+...
Como as incertezas Δx, Δy, ..., são precedidas do sinal ±, procura-se obter o maior valor de ΔV,
que é dado por
ΔV=|∂ f∂ x|Δx+|∂ f∂ y|Δy+...
A partir da Equação acima, pode-se obter as regras de propagação de incertezas. Para duas
quantidades (x ± Δx) e (y ± Δy), onde x e y são os valores médios das medidas, c e n são constantes
quaisquer e e é o número neperiano (e = 2,718...), obtém-se: 
onde todos os termos após o sinal ± são tomados em valor absoluto, ou seja, todos os termos
pertencentes à incerteza são positivos e sempre se somam. 
Exemplo 1 
Calcular a incerteza do produto z = x.y, onde x é uma grandeza medida com uma incerteza Δx e y com
incerteza Δy. Para calcularmos a incerteza no valor de z, diferenciaremos ambos os lados da função:
dz= y .∂ x+x .∂ y .
Substituindo as derivadas pelas incertezas e dividindo ambos os lados por z:
Δz
z =
Δx
x +
Δy
y
21
Exemplo 2 
Calcular a incerteza de y = x2, onde x é medida com uma incerteza Δx. De forma análoga: 
Δy
y =2
Δx
x
Exemplo 3 
Determinar a incerteza relativa de y para a função: y= x
3. z5
t2
. 
Neste caso: 
Δy
y =3
Δx
x +5
Δz
z +2
Δt
t
. 
x = (3,27 ± 0,01) unidades de x, z = (2,110 ± 0,003) unidades de z e t = (8,6735 ± 0,0007) unidades de
t. 
Realizando os cálculos: y = (19,4 ± 0,3) unidades de y. 
OBS: Dos exemplos acima, para a função polinomial genérica y= x
n . zm
tk
, temos que: 
Δy
|y|=n
Δx
|x|+m
Δz
|z| +k
Δt
|t|
Exemplo 4 
Cálculo do volume de uma chapa de dimensões: x = (4,27 ± 0,02) mm, y = (3,51 ± 0,02) mm e z =
(0,74 ± 0,02) mm. 
V = x.y.z = (4,27).(3,51).(0,74) mm3 = 11,091 mm3
ΔV
11,091=
0,02
4,27 +
0,02
3,51 +
0,02
0,74=0,0374
ΔV = 0,41 mm3.
O volume será dado por: V = (11,1 ± 0,4) mm3. 
12 – Análise estatística de incertezas aleatórias 
Incertezas são classificadas em dois grupos: as incertezas aleatórias, as quais podem ser obtidas
a partir da repetição de medições, e as incertezas sistemáticas, as quais não podem ser obtidas desta
forma. Ver figura 12.1. 
22
Figura 12.1 – Figura do livro do Taylor. 
Suponha que realizamos N medições de uma grandeza x (todas usando o mesmo equipamento) e
encontramos N valores x1, x2, …, xN. Se os erros sistemáticos puderem ser desprezados, então, a
melhor estimativa de x será sua média. Ou seja: 
xmelhor= x¯=
x1+x2+ ...+ xN
N
=
∑
i=1
N
x i
N
=
∑ x i
N
.
Para a estimativa do erro de x, temos algumas opções. Necessitamos, fazemos algumas definições: 
Desvio (ou Resíduo): d i=x i− x¯ . 
Desvio Padrão ou Desvio Padrão Populacional: σ x=√ 1N∑ d i2 . 
OBS: Também chamado de Raiz Média Quadrática (Root Mean Square – RMS). 
Desvio Padrão ou Desvio Padrão Amostral: σ x=√ 1N−1∑ d i2 . 
OBS: Formalmente, o desvio padrão amostral é mais apropriado do que o amostral, principalmente
23
para conjuntos com poucas medidas. 
Tabela 12.1 – Exemplo. 
Ni xi x¯ di Soma di di2 σx
1 71 - -0,8 - 0,64 -
2 72 - 0,2 - 0,04 -
3 72 - 0,2 - 0,04 -
4 73 - 1,2 - 1,44 -
5 71 - -0,8 - 0,64 -
Geral - 71,8 - 0 - 0,7
Usar o desvio padrão como incerteza, significa que temos ~ 68% de certeza que o valor a ser
medido para x encontra-se no intervalo: x= x¯ ± σ x . 
OBS: Perceba a diferença dos erros máximos, onde temos certeza de que o valor medidos encontra-se
no intervalo x=xmelhor± Δx . 
Erro Padrão ou Erro Padrão da Média: σ x¯=
σ x
√N
. 
OBS: Também chamado Desvio Padrão da Média (Standard Deviation Of the Mean - SDOM). 
De forma geral, a melhor estimativa para o intervalo da grandeza medida (se os erros sistemáticos
forem desprezíveis) será: 
x= x¯ ± σ x¯= x¯ ±
σ x
√N . 
Perceba que o erro padrão diminui com o aumento de N, ou seja, o erro da medida (erro
estatístico) diminui com o aumento do número de valores medidos. 
Se houver erro sistemático, esse não será influenciado pelo aumento do número de dados
coletados. 
Exemplo 
Suponha que desejamos medir a constante de elasticidade k de uma mola tomando os tempos de
oscilação de uma massa m presa no final da mola. Da mecânica elementar, sabemos que k=4 π2 m
T 2
.
Tabela 12.2 – Resultados dos 8 experimentos realizados para medir k. 
M (Kg) 0,513 0,581 0,634 0,961 0,752 0,834 0,901 0,950
T (s) 1,24 1,33 1,36 1,44 1,50 1,59 1,65 1,69
k (Kg.s-2) 13,17 12,97 etc.
Neste caso, k¯=13,16N /m e σ k¯=0,06 N /m , então k = 13,16 ± 0,06 N/m. 
A propagação de incertezas para medidas com erros independentes e aleatórios é feita com soma
em quadratura (ou soma quadrática). 
q = x ± y → σq=√σ x2+σ y2 - Para somas e subtrações 
24
q = x.y → 
σ q
|¯q|
=√ σ x|x¯|2+ σ y| y¯|2 - Para produtos, quocientes e potências 
q = q(x, y) → σq=√( ∂ q∂ x σx )2+( ∂ q∂ y σ y )2 - Para funções quaisquer 
Exemplo: q = x + y e σx = σy = 2mm. Então, σq = 4 mm utilizando soma direta e σ q¯ = 3 mm
utilizando soma em quadratura. 
13 – A distribuição normal 
Suponhamos que temos 10 medidas de comprimento (em cm): 
26 – 24 – 26 – 28 – 23 – 24 – 25 – 24 – 26 – 25
A Fração ou Fração Relativa com que cada valor é obtido é: F k=
nk
N
. 
Temos que: ∑
k
nk=N e ∑
k
F k=1 . 
A média desses valores será: x¯=
∑
i
xi
N
=
∑
k
xk nk
N
=∑
k
xkFk . 
Outras formas de apresentar estas medidas são mostradas na tabela 13.1 e na figura 13.1. 
Tabela 13.1 – Valores medidos. 
xk 23 24 25 26 27 28
nk 1 3 2 3 0 1
Fk 0,1 0,3 0,2 0,3 0 0,1
Figura 13.1 – Figura do livro do Taylor. 
Em um experimento real, provavelmente obteremos valores não inteiros. Como no exemplo abaixo. 
26,4 – 23,9 – 25,1 – 24,6 – 22,7 – 23,8 – 25,1 – 23,9 – 25,3 – 25,4 
25
Neste caso, é mais conveniente apresentar os resultados como na tabela 13.2 e na figura 13.2. 
Tabela 13.2 – Valores medidos. 
Compartimento 22 a 23 23 a 24 24 a 25 25 a 26 26 a 27 27 a 28
Observações no
compartimento
1 3 1 4 1 0
Figura 13.2 – Figura do livro do Taylor. 
fkΔk = fração das medidas no k-ésimo compartimento. 
No limite para muitas medidas (do ponto de vista matemático seriam infinitas medidas), podemos
dividir os compartimentos cada vez mais, de forma que o histograma tenda a uma curva contínua,
figura 13.3. 
 
Figura 13.3 – Figura do livro do Taylor.
No caso contínuo, fk passa a ser f(x), Função Densidade de Probabilidade de uma dada medida
dar um dado valor,figura 13.4. 
f(x)dx = probabilidade de que uma medida esteja entre x e x + dx. 
∫
a
b
f (x)dx = probabilidade de que uma medida esteja entre a e b. 
x¯=∑
k
xkFk → x¯=∫
−∞
∞
xf (x)dx
Figura 13.4 – Figura do livro do Taylor.
26
Para um experimento sujeito apenas a erros aleatórios e pequenos, a função densidade de
probabilidade apresenta forma de sino, figura 13.5 e 13.6. Tal função é conhecida como Distribuição
Normal ou Função de Gauss ou Função Gaussiana. Matematicamente ela é dada por: 
f (x)= 1
σ √2π
e
−(x−X )2
2σ 2
onde, σ é o parâmetro de largura e X o valor verdadeiro de x. 
Figura 13.5 – Figura do livro do Taylor, a função Gaussiana.
Figura 13.6 – Figura do livro do Taylor.
A melhor estimativa do valor verdadeiro X, a partir de um conjunto de N medidas, é x¯ . 
A melhor estimativa do parâmetro de largura, a partir de um conjunto de N medidas, é o desvio
padrão. 
A probabilidade de uma dada medida ter valor entre X – σ e X + σ é dada por: 
∫
X−σ
X+σ
f (x)dx
Da mesma forma, a probabilidade de uma dada medida ter valor entre X – tσ e X + tσ, figura 13.7, é
dada por: 
∫
X−tσ
X+ tσ
f (x )dx
Os valores da integral acima encontram-se tabelados na figura 13.8. 
27
Figura 13.7 – Figura do livro do Taylor.
Figura 13.8 – Figura do livro do Taylor.
28