Simulado Complementos de matemática 2EE

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2a Avaliac¸a˜o - Compl. de Matema´tica 1o Semestre de 2017
TURMA /Junho/2017
Leia atentamente todas as questo˜es antes de comec¸ar a prova.
As respostas obtidas somente tera˜o validade se respondidas a caneta nas folhas
pautadas. Ca´lculos podem ser escritos a` lapis e em qualquer ordem
Evite usar material diferente do que foi apresentado em sala. Se for utilizar
algum material extra, justifique-o adequadamente para valida´-lo.
Desligue o celular. Sa´ıda somente apo´s a entrega.
Esta prova tem durac¸a˜o de 1:30h (uma hora e trinta minutos).
BOA PROVA!
Questa˜o Pontos Nota
1 4
2 2
3 2
4 1
5 3
Total: 12
Nome do Aluno:
Prof. Emerson Lima - Escola Polite´cnica da Universidade de Pernambuco
Questa˜o 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Pontos
Considere a func¸a˜o abaixo
Encontre sua se´rie de Fourier. Qual o significado geome´trico do termo a0 neste caso?
Figura 1: Onda Quadrada Per´ıodica
Ainda com relac¸a˜o ao exemplo, use a identidade de Parseval para encontrar uma se´rie
que calcule o valor de pi.
Questa˜o 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Pontos
Escreva
e2+3i
2− i3 nas formas cartesiana, polar e exponeˆncial. Encontre todas as ra´ızes
de z3 = 3i.
Questa˜o 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Pontos
Encontre uma soluc¸a˜o da EDO y′′+ y′ = x onde y = y(x), y(0) = 0ey′(0) = 2 usando
transformada de Laplace.1
1veja o exemplo na pa´gina 2
2
Questa˜o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ponto
Sabendo que senh(x) =
ex − e−x
2
e que cosh(x) =
ex + e−x
2
, calcule Lsenh(x)(s) e
Lcosh(x)(s).
Questa˜o 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Pontos
Resolva as seguintes integrais
a)
∫ ∞
0
√
ye−y
3
dy. Sugesta˜o: Fac¸a y = x3 e use as propriedades da func¸a˜o Gama
b)
∫ pi
2
0
√
tan(x) dx. Sugesta˜o: Escreva em termos de senos e cossenos e use a func¸a˜o
Beta
c)
∫ 3
1
dx√
x− 1√3− x .
Sugesta˜o: Fac¸a y =
x− 1
2
e use as propriedades da func¸a˜o Beta
Exemplo: Como usar a transformada de Laplace na
resoluc¸a˜o de EDO’s
Considere um Problema de Valor Inicial (PVI) na˜o necessariamente homogeˆneo e de 2a
ordem da forma
αy′′ + βy′ + γy = f(x) y(0) = y0, , y′(0) = y1
Com α, β e γ constantes (reais e/ou complexas).
Denotando L = Ly(x)(s) e usando as propriedades
Ly′(s) = sLy(s)− y(0)
Ly′′(s) = s2Ly(s)− sy(0)− y′(0)
Enta˜o, aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros do PVI anterior teremos
Lαy′′+βy′+γy(s) = Lf(x)(s)
αLy′′ + βLy′ + γLy = Lf(x)(s)
α
(
s2L− sy0 − y1
)
+ β (sL− y0) + γL = Lf(x)(s)
A u´ltima equac¸a˜o esta´ em termos apenas da varia´vel s. Isolando L no primeiro mem-
bro, obtemos uma expressa˜o da soluc¸a˜o do PVI na varia´vel s que, invertido, fornece uma
soluc¸a˜o do PVI na varia´vel original x. Com efeito, acompanhe o seguinte exemplo:
y′′(x) + 2y′(x) + 2y(x) = 4, y(0) = 0, y′(0) = 0
3
Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros e denotando L = Ly(x)(s)
teremos
Ly′′(x)+2y′(x)+2y(x)(s) = L4(s)
Ly′′ + 2Ly′ + 2Ly = 4
s(
s2L− sy0 − y1
)
+ 2 (sL− y0) + 2L = 4
s
use que y0 = y1 = 0
s2L+ 2sL+ 2L =
4
s
L(s2 + 2s+ 2) =
4
s
L =
4
s(s2 + 2s+ 2)
=
A
s
+
Bs+ C
(s2 + 2s+ 2)
L =
2
s
+
−2s− 4
(s2 + 2s+ 2)
aqui usamos a decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais
L =
2
s
− 2 s+ 1
(s+ 1)2 + 1
− 2 1
(s+ 1)2 + 1
(1)
Notando que Lsen(x)(s) = 1
s2 + 1
e que Lcos(x)(s) = s
s2 + 1
e usando a propriedade
de translac¸a˜o que diz que Leaxf(x)(s) = Lf(x)(s − a) teremos que a inversa procurada de
L = Ly(x) e´ y(x) = 2− 2e−x(cos(x) + sen(x)) que e´ a soluc¸a˜o procurada do PVI.