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1 2a Avaliac¸a˜o - Compl. de Matema´tica 1o Semestre de 2017 TURMA /Junho/2017 Leia atentamente todas as questo˜es antes de comec¸ar a prova. As respostas obtidas somente tera˜o validade se respondidas a caneta nas folhas pautadas. Ca´lculos podem ser escritos a` lapis e em qualquer ordem Evite usar material diferente do que foi apresentado em sala. Se for utilizar algum material extra, justifique-o adequadamente para valida´-lo. Desligue o celular. Sa´ıda somente apo´s a entrega. Esta prova tem durac¸a˜o de 1:30h (uma hora e trinta minutos). BOA PROVA! Questa˜o Pontos Nota 1 4 2 2 3 2 4 1 5 3 Total: 12 Nome do Aluno: Prof. Emerson Lima - Escola Polite´cnica da Universidade de Pernambuco Questa˜o 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Pontos Considere a func¸a˜o abaixo Encontre sua se´rie de Fourier. Qual o significado geome´trico do termo a0 neste caso? Figura 1: Onda Quadrada Per´ıodica Ainda com relac¸a˜o ao exemplo, use a identidade de Parseval para encontrar uma se´rie que calcule o valor de pi. Questa˜o 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Pontos Escreva e2+3i 2− i3 nas formas cartesiana, polar e exponeˆncial. Encontre todas as ra´ızes de z3 = 3i. Questa˜o 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Pontos Encontre uma soluc¸a˜o da EDO y′′+ y′ = x onde y = y(x), y(0) = 0ey′(0) = 2 usando transformada de Laplace.1 1veja o exemplo na pa´gina 2 2 Questa˜o 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ponto Sabendo que senh(x) = ex − e−x 2 e que cosh(x) = ex + e−x 2 , calcule Lsenh(x)(s) e Lcosh(x)(s). Questa˜o 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Pontos Resolva as seguintes integrais a) ∫ ∞ 0 √ ye−y 3 dy. Sugesta˜o: Fac¸a y = x3 e use as propriedades da func¸a˜o Gama b) ∫ pi 2 0 √ tan(x) dx. Sugesta˜o: Escreva em termos de senos e cossenos e use a func¸a˜o Beta c) ∫ 3 1 dx√ x− 1√3− x . Sugesta˜o: Fac¸a y = x− 1 2 e use as propriedades da func¸a˜o Beta Exemplo: Como usar a transformada de Laplace na resoluc¸a˜o de EDO’s Considere um Problema de Valor Inicial (PVI) na˜o necessariamente homogeˆneo e de 2a ordem da forma αy′′ + βy′ + γy = f(x) y(0) = y0, , y′(0) = y1 Com α, β e γ constantes (reais e/ou complexas). Denotando L = Ly(x)(s) e usando as propriedades Ly′(s) = sLy(s)− y(0) Ly′′(s) = s2Ly(s)− sy(0)− y′(0) Enta˜o, aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros do PVI anterior teremos Lαy′′+βy′+γy(s) = Lf(x)(s) αLy′′ + βLy′ + γLy = Lf(x)(s) α ( s2L− sy0 − y1 ) + β (sL− y0) + γL = Lf(x)(s) A u´ltima equac¸a˜o esta´ em termos apenas da varia´vel s. Isolando L no primeiro mem- bro, obtemos uma expressa˜o da soluc¸a˜o do PVI na varia´vel s que, invertido, fornece uma soluc¸a˜o do PVI na varia´vel original x. Com efeito, acompanhe o seguinte exemplo: y′′(x) + 2y′(x) + 2y(x) = 4, y(0) = 0, y′(0) = 0 3 Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros e denotando L = Ly(x)(s) teremos Ly′′(x)+2y′(x)+2y(x)(s) = L4(s) Ly′′ + 2Ly′ + 2Ly = 4 s( s2L− sy0 − y1 ) + 2 (sL− y0) + 2L = 4 s use que y0 = y1 = 0 s2L+ 2sL+ 2L = 4 s L(s2 + 2s+ 2) = 4 s L = 4 s(s2 + 2s+ 2) = A s + Bs+ C (s2 + 2s+ 2) L = 2 s + −2s− 4 (s2 + 2s+ 2) aqui usamos a decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais L = 2 s − 2 s+ 1 (s+ 1)2 + 1 − 2 1 (s+ 1)2 + 1 (1) Notando que Lsen(x)(s) = 1 s2 + 1 e que Lcos(x)(s) = s s2 + 1 e usando a propriedade de translac¸a˜o que diz que Leaxf(x)(s) = Lf(x)(s − a) teremos que a inversa procurada de L = Ly(x) e´ y(x) = 2− 2e−x(cos(x) + sen(x)) que e´ a soluc¸a˜o procurada do PVI.
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