Aula 12 Espaco de Estados

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Análise de Sistemas Lineares
Prof. Dr. Paulo Rogério de Almeida Ribeiro
Coordenação do Curso de Engenharia da Computação
Modelagem matemática por espaço de estados
02 de dezembro de 2016
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
u
′′(t) + 0.125u′(t) + u(t) = 0
Fazendo x
1
= u e x
2
= u′.
Logo, x
′
1
= x
2
e u
′′ = x ′
2
.
Reescrevendo a equação:
x
′
2
(t) + 0.125x
2
(t) + x
1
= 0
Sendo que x
1
(t) e x
2
(t) representam o sistema de duas equações diferenciais ordinárias
de primeira ordem:
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = −x
1
(t)− 0.125x
2
(t)
2 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
u
′′(t) + 0.125u′(t) + u(t) = 0
Fazendo x
1
= u e x
2
= u′.
Logo, x
′
1
= x
2
e u
′′ = x ′
2
.
Reescrevendo a equação:
x
′
2
(t) + 0.125x
2
(t) + x
1
= 0
Sendo que x
1
(t) e x
2
(t) representam o sistema de duas equações diferenciais ordinárias
de primeira ordem:
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = −x
1
(t)− 0.125x
2
(t)
2 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
u
′′(t) + 0.125u′(t) + u(t) = 0
Fazendo x
1
= u e x
2
= u′.
Logo, x
′
1
= x
2
e u
′′ = x ′
2
.
Reescrevendo a equação:
x
′
2
(t) + 0.125x
2
(t) + x
1
= 0
Sendo que x
1
(t) e x
2
(t) representam o sistema de duas equações diferenciais ordinárias
de primeira ordem:
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = −x
1
(t)− 0.125x
2
(t)
2 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
u
′′(t) + 0.125u′(t) + u(t) = 0
Fazendo x
1
= u e x
2
= u′.
Logo, x
′
1
= x
2
e u
′′ = x ′
2
.
Reescrevendo a equação:
x
′
2
(t) + 0.125x
2
(t) + x
1
= 0
Sendo que x
1
(t) e x
2
(t) representam o sistema de duas equações diferenciais ordinárias
de primeira ordem:
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = −x
1
(t)− 0.125x
2
(t)
2 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
Exercício
mu
′′(t) + γu′(t) + ku(t) = F (t)
Fazendo x
1
= u e x
2
= u′.
Logo, x
′
1
= x
2
e u
′′ = x ′
2
.
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = − k
m
x
1
(t)− γ
m
x
2
(t) +
F (t)
m
3 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
Exercício
mu
′′(t) + γu′(t) + ku(t) = F (t)
Fazendo x
1
= u e x
2
= u′.
Logo, x
′
1
= x
2
e u
′′ = x ′
2
.
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = − k
m
x
1
(t)− γ
m
x
2
(t) +
F (t)
m
3 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
Exercício
mu
′′(t) + γu′(t) + ku(t) = F (t)
Fazendo x
1
= u e x
2
= u′.
Logo, x
′
1
= x
2
e u
′′ = x ′
2
.
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = − k
m
x
1
(t)− γ
m
x
2
(t) +
F (t)
m
3 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
Transformação genérica:
y
n = F (t, y , y ′, ..., yn−1)
Faz-se:
x
1
= y , x
2
= y ′, x
3
= y ′′ ... x
n
= yn−1
Obtendo:
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = x
3
(t)
...
x
′
n−1(t) = xn(t)
4 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
Transformação genérica:
y
n = F (t, y , y ′, ..., yn−1)
Faz-se:
x
1
= y , x
2
= y ′, x
3
= y ′′ ... x
n
= yn−1
Obtendo:
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = x
3
(t)
...
x
′
n−1(t) = xn(t)
4 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
Transformação genérica:
y
n = F (t, y , y ′, ..., yn−1)
Faz-se:
x
1
= y , x
2
= y ′, x
3
= y ′′ ... x
n
= yn−1
Obtendo:
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = x
3
(t)
...
x
′
n−1(t) = xn(t)
4 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
Novo sistema:
x
′
n
= F (t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
Sendo :
x
′
1
(t) = F
1
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
x
′
2
(t) = F
2
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
...
x
′
n
(t) = F
n
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
5 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
Novo sistema:
x
′
n
= F (t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
Sendo :
x
′
1
(t) = F
1
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
x
′
2
(t) = F
2
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
...
x
′
n
(t) = F
n
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
5 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
x
′
1
(t) = p
11
(t)x
1
(t) + ...+ p
1n
(t)x
n
(t) + g
1
(t)
x
′
n
(t) = p
n1
(t)x
1
(t) + ...+ p
nn
(t)x
n
(t) + g
n
(t)
Matricialmente:
x
′ = P(t)x + g(t)
Homogêneo, se g(t) = 0.
6 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
x
′
1
(t) = p
11
(t)x
1
(t) + ...+ p
1n
(t)x
n
(t) + g
1
(t)
x
′
n
(t) = p
n1
(t)x
1
(t) + ...+ p
nn
(t)x
n
(t) + g
n
(t)
Matricialmente:
x
′ = P(t)x + g(t)
Homogêneo, se g(t) = 0.
6 / 15
Espaço de estados
Circuito RL
u(t) = Ri(t) + L
di(t)
dt
Reescrevendo com
di(t)
dt
= x ′: x ′ = −R
L
i(t) + 1
L
u(t)
Fazendo A = −R
L
e B = 1
L
, tem-se:
x
′ = Ax(t) + Bu(t)
7 / 15
Espaço de estados
Circuito RL
u(t) = Ri(t) + L
di(t)
dt
Reescrevendo com
di(t)
dt
= x ′: x ′ = −R
L
i(t) + 1
L
u(t)
Fazendo A = −R
L
e B = 1
L
, tem-se:
x
′ = Ax(t) + Bu(t)
7 / 15
Espaço de estados
Circuito RL
u(t) = Ri(t) + L
di(t)
dt
Reescrevendo com
di(t)
dt
= x ′: x ′ = −R
L
i(t) + 1
L
u(t)
Fazendo A = −R
L
e B = 1
L
, tem-se:
x
′ = Ax(t) + Bu(t)
7 / 15
Espaço de estados
Circuito RL
u(t) = Ri(t) + L
di(t)
dt
Reescrevendo com
di(t)
dt
= x ′: x ′ = −R
L
i(t) + 1
L
u(t)
Fazendo A = −R
L
e B = 1
L
, tem-se:
x
′ = Ax(t) + Bu(t)
7 / 15
Espaço de estados
Circuito RL
x
′ = Ax(t) + Bu(t)
Se a saída for i(t):
i(t) =
−L
R
x
′ +
1
R
u(t)
Fazendo, y(t) = i(t), C = − L
R
e D = 1
R
, tem-se:
y = Cx(t) + Du(t)
8 / 15
Espaço de estados
Circuito RL
x
′ = Ax(t) + Bu(t)
Se a saída for i(t):
i(t) =
−L
R
x
′ +
1
R
u(t)
Fazendo, y(t) = i(t), C = − L
R
e D = 1
R
, tem-se:
y = Cx(t) + Du(t)
8 / 15
Espaço de estados
Circuito RL
x
′ = Ax(t) + Bu(t)
Se a saída for i(t):
i(t) =
−L
R
x
′ +
1
R
u(t)
Fazendo, y(t) = i(t), C = − L
R
e D = 1
R
, tem-se:
y = Cx(t) + Du(t)
8 / 15
Espaço de estados
x
′ = Ax(t) + Bu(t) (Equação de estado)
y = Cx(t) + Du(t) (Equação de saída)
Equações de primeira ordem;
Notação matricial - ideal para sistemas Multi-Input Multi-Output (MIMO);
Representação de sistemas lineares e não lineares;
Representação de sistemas variantes e invariantes no tempo;
Resolução de sistemas - álgebra linear.
9 / 15
Espaço de estados
x
′ = Ax(t) + Bu(t) (Equação de estado)
y = Cx(t) + Du(t) (Equação de saída)
Equações de primeira ordem;
Notação matricial - ideal para sistemas Multi-Input Multi-Output (MIMO);
Representação de sistemas lineares e não lineares;
Representação de sistemas variantes e invariantes no tempo;
Resolução de sistemas - álgebra linear.
9 / 15
Espaço de estados
x
′ = Ax(t) + Bu(t) (Equação de estado)
y = Cx(t) + Du(t) (Equação de saída)
Equações de primeira ordem;
Notação matricial- ideal para sistemas Multi-Input Multi-Output (MIMO);
Representação de sistemas lineares e não lineares;
Representação de sistemas variantes e invariantes no tempo;
Resolução de sistemas - álgebra linear.
9 / 15
Espaço de estados
x
′ = Ax(t) + Bu(t) (Equação de estado)
y = Cx(t) + Du(t) (Equação de saída)
Equações de primeira ordem;
Notação matricial - ideal para sistemas Multi-Input Multi-Output (MIMO);
Representação de sistemas lineares e não lineares;
Representação de sistemas variantes e invariantes no tempo;
Resolução de sistemas - álgebra linear.
9 / 15
Espaço de estados
x
′ = Ax(t) + Bu(t) (Equação de estado)
y = Cx(t) + Du(t) (Equação de saída)
Equações de primeira ordem;
Notação matricial - ideal para sistemas Multi-Input Multi-Output (MIMO);
Representação de sistemas lineares e não lineares;
Representação de sistemas variantes e invariantes no tempo;
Resolução de sistemas - álgebra linear.
9 / 15
Espaço de estados
x
′ = Ax(t) + Bu(t) (Equação de estado)
y = Cx(t) + Du(t) (Equação de saída)
Equações de primeira ordem;
Notação matricial - ideal para sistemas Multi-Input Multi-Output (MIMO);
Representação de sistemas lineares e não lineares;
Representação de sistemas variantes e invariantes no tempo;
Resolução de sistemas - álgebra linear.
9 / 15
Espaço de estados
x é o vetor de estados
u é a entrada
y é a saída
A é a matriz de estados
B é a matriz de entrada
C é a matriz de saída
D é a matriz de transmissão direta da entrada para saída
10 / 15
Espaço de estados
x é o vetor de estados
u é a entrada
y é a saída
A é a matriz de estados
B é a matriz de entrada
C é a matriz de saída
D é a matriz de transmissão direta da entrada para saída
10 / 15
Espaço de estados
x é o vetor de estados
u é a entrada
y é a saída
A é a matriz de estados
B é a matriz de entrada
C é a matriz de saída
D é a matriz de transmissão direta da entrada para saída
10 / 15
Espaço de estados
x é o vetor de estados
u é a entrada
y é a saída
A é a matriz de estados
B é a matriz de entrada
C é a matriz de saída
D é a matriz de transmissão direta da entrada para saída
10 / 15
Espaço de estados
x é o vetor de estados
u é a entrada
y é a saída
A é a matriz de estados
B é a matriz de entrada
C é a matriz de saída
D é a matriz de transmissão direta da entrada para saída
10 / 15
Espaço de estados
x é o vetor de estados
u é a entrada
y é a saída
A é a matriz de estados
B é a matriz de entrada
C é a matriz de saída
D é a matriz de transmissão direta da entrada para saída
10 / 15
Espaço de estados
x é o vetor de estados
u é a entrada
y é a saída
A é a matriz de estados
B é a matriz de entrada
C é a matriz de saída
D é a matriz de transmissão direta da entrada para saída
10 / 15
Espaço de estados
x é o vetor de estados
u é a entrada
y é a saída
A é a matriz de estados
B é a matriz de entrada
C é a matriz de saída
D é a matriz de transmissão direta da entrada para saída
10 / 15
Espaço de estados
Estados - efeitos de entradas passadas nas saídas futuras;
Estados - memórias do sistema;
Saídas - medições (sensores);
Sistema invariante no tempo: A, B, C e D são constantes;
Sistema invariante no tempo: A(t), B(t), C(t) e D(t) variam no tempo;
C é a matriz de saída
D é a matriz de transmissão direta da entrada para saída
11 / 15
Espaço de estados
Estados - efeitos de entradas passadas nas saídas futuras;
Estados - memórias do sistema;
Saídas - medições (sensores);
Sistema invariante no tempo: A, B, C e D são constantes;
Sistema invariante no tempo: A(t), B(t), C(t) e D(t) variam no tempo;
C é a matriz de saída
D é a matriz de transmissão direta da entrada para saída
11 / 15
Espaço de estados
Estados - efeitos de entradas passadas nas saídas futuras;
Estados - memórias do sistema;
Saídas - medições (sensores);
Sistema invariante no tempo: A, B, C e D são constantes;
Sistema invariante no tempo: A(t), B(t), C(t) e D(t) variam no tempo;
C é a matriz de saída
D é a matriz de transmissão direta da entrada para saída
11 / 15
Espaço de estados
Estados - efeitos de entradas passadas nas saídas futuras;
Estados - memórias do sistema;
Saídas - medições (sensores);
Sistema invariante no tempo: A, B, C e D são constantes;
Sistema invariante no tempo: A(t), B(t), C(t) e D(t) variam no tempo;
C é a matriz de saída
D é a matriz de transmissão direta da entrada para saída
11 / 15
Espaço de estados
Estados - efeitos de entradas passadas nas saídas futuras;
Estados - memórias do sistema;
Saídas - medições (sensores);
Sistema invariante no tempo: A, B, C e D são constantes;
Sistema invariante no tempo: A(t), B(t), C(t) e D(t) variam no tempo;
C é a matriz de saída
D é a matriz de transmissão direta da entrada para saída
11 / 15
Espaço de estados
Estados - efeitos de entradas passadas nas saídas futuras;
Estados - memórias do sistema;
Saídas - medições (sensores);
Sistema invariante no tempo: A, B, C e D são constantes;
Sistema invariante no tempo: A(t), B(t), C(t) e D(t) variam no tempo;
C é a matriz de saída
D é a matriz de transmissão direta da entrada para saída
11 / 15
Espaço de estados
Estados - efeitos de entradas passadas nas saídas futuras;
Estados - memórias do sistema;
Saídas - medições (sensores);
Sistema invariante no tempo: A, B, C e D são constantes;
Sistema invariante no tempo: A(t), B(t), C(t) e D(t) variam no tempo;
C é a matriz de saída
D é a matriz de transmissão direta da entrada para saída
11 / 15
Espaço de estados
Estados - efeitos de entradas passadas nas saídas futuras;
Estados - memórias do sistema;
Saídas - medições (sensores);
Sistema invariante no tempo: A, B, C e D são constantes;
Sistema invariante no tempo: A(t), B(t), C(t) e D(t) variam no tempo;
C é a matriz de saída
D é a matriz de transmissão direta da entrada para saída
11 / 15
Espaço de estados
Representação interna - informação completa dos sinais do sistema;
(Representação externa - relação de entrada-saída)
Sistema descrito por um conjunto de variáveis - estados;
Demais variáveis - combinação (linear) dos estados;
Variáveis de estado - variáveis chaves;
A ordem do sistema indica o número mínimo de variáveis de estado;
As variáveis têm que ser linearmente independentes.
12 / 15
Espaço de estados
Representação interna - informação completa dos sinais do sistema;
(Representação externa - relação de entrada-saída)
Sistema descrito por um conjunto de variáveis - estados;
Demais variáveis - combinação (linear) dos estados;
Variáveis de estado - variáveis chaves;
A ordem do sistema indica o número mínimo de variáveis de estado;
As variáveis têm que ser linearmente independentes.
12 / 15
Espaço de estados
Representação interna - informação completa dos sinais do sistema;
(Representação externa - relação de entrada-saída)
Sistema descrito por um conjunto de variáveis - estados;
Demais variáveis - combinação (linear) dos estados;
Variáveis de estado - variáveis chaves;
A ordem do sistema indica o número mínimo de variáveis de estado;
As variáveis têm que ser linearmente independentes.
12 / 15
Espaço de estados
Representação interna - informação completa dos sinais do sistema;
(Representação externa - relação de entrada-saída)
Sistema descrito por um conjunto de variáveis - estados;
Demais variáveis - combinação (linear) dos estados;
Variáveis de estado - variáveis chaves;
A ordem do sistema indica o número mínimo de variáveis de estado;
As variáveis têm que serlinearmente independentes.
12 / 15
Espaço de estados
Representação interna - informação completa dos sinais do sistema;
(Representação externa - relação de entrada-saída)
Sistema descrito por um conjunto de variáveis - estados;
Demais variáveis - combinação (linear) dos estados;
Variáveis de estado - variáveis chaves;
A ordem do sistema indica o número mínimo de variáveis de estado;
As variáveis têm que ser linearmente independentes.
12 / 15
Espaço de estados
Representação interna - informação completa dos sinais do sistema;
(Representação externa - relação de entrada-saída)
Sistema descrito por um conjunto de variáveis - estados;
Demais variáveis - combinação (linear) dos estados;
Variáveis de estado - variáveis chaves;
A ordem do sistema indica o número mínimo de variáveis de estado;
As variáveis têm que ser linearmente independentes.
12 / 15
Espaço de estados
Representação interna - informação completa dos sinais do sistema;
(Representação externa - relação de entrada-saída)
Sistema descrito por um conjunto de variáveis - estados;
Demais variáveis - combinação (linear) dos estados;
Variáveis de estado - variáveis chaves;
A ordem do sistema indica o número mínimo de variáveis de estado;
As variáveis têm que ser linearmente independentes.
12 / 15
Espaço de estados
Exercício
Converta a representação do sistema massa-mola amortecedor,
m
d
2
y
dt
2
+ b dy
dt
+ ky(t) = f (t) , para a representação por espaço de estados.
13 / 15
Exercícios no computador
14 / 15
Referência bibliográfica
Boyce, W. E. and Diprima, R. C. (2008). Elementary Differential Equations and
Boundary Value Problems. Wiley, 9th edition.
Lathi, B. (2006). Sinais e Sistemas Lineares. Bookman, 2 edition.
Souza, A. C. Z. and Pinheiro, C. A. M. (2008). Introdução à Modelagem, Análise e
Simulação de Sistemas Dinâmicos. Interciência.
15 / 15