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Aula 12   Espaco de Estados

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Análise de Sistemas Lineares
Prof. Dr. Paulo Rogério de Almeida Ribeiro
Coordenação do Curso de Engenharia da Computação
Modelagem matemática por espaço de estados
02 de dezembro de 2016
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
u
′′(t) + 0.125u′(t) + u(t) = 0
Fazendo x
1
= u e x
2
= u′.
Logo, x
′
1
= x
2
e u
′′ = x ′
2
.
Reescrevendo a equação:
x
′
2
(t) + 0.125x
2
(t) + x
1
= 0
Sendo que x
1
(t) e x
2
(t) representam o sistema de duas equações diferenciais ordinárias
de primeira ordem:
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = −x
1
(t)− 0.125x
2
(t)
2 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
u
′′(t) + 0.125u′(t) + u(t) = 0
Fazendo x
1
= u e x
2
= u′.
Logo, x
′
1
= x
2
e u
′′ = x ′
2
.
Reescrevendo a equação:
x
′
2
(t) + 0.125x
2
(t) + x
1
= 0
Sendo que x
1
(t) e x
2
(t) representam o sistema de duas equações diferenciais ordinárias
de primeira ordem:
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = −x
1
(t)− 0.125x
2
(t)
2 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
u
′′(t) + 0.125u′(t) + u(t) = 0
Fazendo x
1
= u e x
2
= u′.
Logo, x
′
1
= x
2
e u
′′ = x ′
2
.
Reescrevendo a equação:
x
′
2
(t) + 0.125x
2
(t) + x
1
= 0
Sendo que x
1
(t) e x
2
(t) representam o sistema de duas equações diferenciais ordinárias
de primeira ordem:
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = −x
1
(t)− 0.125x
2
(t)
2 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
u
′′(t) + 0.125u′(t) + u(t) = 0
Fazendo x
1
= u e x
2
= u′.
Logo, x
′
1
= x
2
e u
′′ = x ′
2
.
Reescrevendo a equação:
x
′
2
(t) + 0.125x
2
(t) + x
1
= 0
Sendo que x
1
(t) e x
2
(t) representam o sistema de duas equações diferenciais ordinárias
de primeira ordem:
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = −x
1
(t)− 0.125x
2
(t)
2 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
Exercício
mu
′′(t) + γu′(t) + ku(t) = F (t)
Fazendo x
1
= u e x
2
= u′.
Logo, x
′
1
= x
2
e u
′′ = x ′
2
.
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = − k
m
x
1
(t)− γ
m
x
2
(t) +
F (t)
m
3 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
Exercício
mu
′′(t) + γu′(t) + ku(t) = F (t)
Fazendo x
1
= u e x
2
= u′.
Logo, x
′
1
= x
2
e u
′′ = x ′
2
.
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = − k
m
x
1
(t)− γ
m
x
2
(t) +
F (t)
m
3 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
Exercício
mu
′′(t) + γu′(t) + ku(t) = F (t)
Fazendo x
1
= u e x
2
= u′.
Logo, x
′
1
= x
2
e u
′′ = x ′
2
.
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = − k
m
x
1
(t)− γ
m
x
2
(t) +
F (t)
m
3 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
Transformação genérica:
y
n = F (t, y , y ′, ..., yn−1)
Faz-se:
x
1
= y , x
2
= y ′, x
3
= y ′′ ... x
n
= yn−1
Obtendo:
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = x
3
(t)
...
x
′
n−1(t) = xn(t)
4 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
Transformação genérica:
y
n = F (t, y , y ′, ..., yn−1)
Faz-se:
x
1
= y , x
2
= y ′, x
3
= y ′′ ... x
n
= yn−1
Obtendo:
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = x
3
(t)
...
x
′
n−1(t) = xn(t)
4 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
Transformação genérica:
y
n = F (t, y , y ′, ..., yn−1)
Faz-se:
x
1
= y , x
2
= y ′, x
3
= y ′′ ... x
n
= yn−1
Obtendo:
x
′
1
(t) = x
2
(t)
x
′
2
(t) = x
3
(t)
...
x
′
n−1(t) = xn(t)
4 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
Novo sistema:
x
′
n
= F (t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
Sendo :
x
′
1
(t) = F
1
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
x
′
2
(t) = F
2
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
...
x
′
n
(t) = F
n
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
5 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
Novo sistema:
x
′
n
= F (t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
Sendo :
x
′
1
(t) = F
1
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
x
′
2
(t) = F
2
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
...
x
′
n
(t) = F
n
(t, x
1
, x
2
, ..., x
n
)
5 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
x
′
1
(t) = p
11
(t)x
1
(t) + ...+ p
1n
(t)x
n
(t) + g
1
(t)
x
′
n
(t) = p
n1
(t)x
1
(t) + ...+ p
nn
(t)x
n
(t) + g
n
(t)
Matricialmente:
x
′ = P(t)x + g(t)
Homogêneo, se g(t) = 0.
6 / 15
Sistemas de equações lineares de primeira ordem
x
′
1
(t) = p
11
(t)x
1
(t) + ...+ p
1n
(t)x
n
(t) + g
1
(t)
x
′
n
(t) = p
n1
(t)x
1
(t) + ...+ p
nn
(t)x
n
(t) + g
n
(t)
Matricialmente:
x
′ = P(t)x + g(t)
Homogêneo, se g(t) = 0.
6 / 15
Espaço de estados
Circuito RL
u(t) = Ri(t) + L
di(t)
dt
Reescrevendo com
di(t)
dt
= x ′: x ′ = −R
L
i(t) + 1
L
u(t)
Fazendo A = −R
L
e B = 1
L
, tem-se:
x
′ = Ax(t) + Bu(t)
7 / 15
Espaço de estados
Circuito RL
u(t) = Ri(t) + L
di(t)
dt
Reescrevendo com
di(t)
dt
= x ′: x ′ = −R
L
i(t) + 1
L
u(t)
Fazendo A = −R
L
e B = 1
L
, tem-se:
x
′ = Ax(t) + Bu(t)
7 / 15
Espaço de estados
Circuito RL
u(t) = Ri(t) + L
di(t)
dt
Reescrevendo com
di(t)
dt
= x ′: x ′ = −R
L
i(t) + 1
L
u(t)
Fazendo A = −R
L
e B = 1
L
, tem-se:
x
′ = Ax(t) + Bu(t)
7 / 15
Espaço de estados
Circuito RL
u(t) = Ri(t) + L
di(t)
dt
Reescrevendo com
di(t)
dt
= x ′: x ′ = −R
L
i(t) + 1
L
u(t)
Fazendo A = −R
L
e B = 1
L
, tem-se:
x
′ = Ax(t) + Bu(t)
7 / 15
Espaço de estados
Circuito RL
x
′ = Ax(t) + Bu(t)
Se a saída for i(t):
i(t) =
−L
R
x
′ +
1
R
u(t)
Fazendo, y(t) = i(t), C = − L
R
e D = 1
R
, tem-se:
y = Cx(t) + Du(t)
8 / 15
Espaço de estados
Circuito RL
x
′ = Ax(t) + Bu(t)
Se a saída for i(t):
i(t) =
−L
R
x
′ +
1
R
u(t)
Fazendo, y(t) = i(t), C = − L
R
e D = 1
R
, tem-se:
y = Cx(t) + Du(t)
8 / 15
Espaço de estados
Circuito RL
x
′ = Ax(t) + Bu(t)
Se a saída for i(t):
i(t) =
−L
R
x
′ +
1
R
u(t)
Fazendo, y(t) = i(t), C = − L
R
e D = 1
R
, tem-se:
y = Cx(t) + Du(t)
8 / 15
Espaço de estados
x
′ = Ax(t) + Bu(t) (Equação de estado)
y = Cx(t) + Du(t) (Equação de saída)
Equações de primeira ordem;
Notação matricial - ideal para sistemas Multi-Input Multi-Output (MIMO);
Representação de sistemas lineares e não lineares;
Representação de sistemas variantes e invariantes no tempo;
Resolução de sistemas - álgebra linear.
9 / 15
Espaço de estados
x
′ = Ax(t) + Bu(t) (Equação de estado)
y = Cx(t) + Du(t) (Equação de saída)
Equações de primeira ordem;
Notação matricial - ideal para sistemas Multi-Input Multi-Output (MIMO);
Representação de sistemas lineares e não lineares;
Representação de sistemas variantes e invariantes no tempo;
Resolução de sistemas - álgebra linear.
9 / 15
Espaço de estados
x
′ = Ax(t) + Bu(t) (Equação de estado)
y = Cx(t) + Du(t) (Equação de saída)
Equações de primeira ordem;
Notação matricial