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Lista 1 - Geometria Analítica

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1ª Lista de Exercícios (Geometria Analítica)
Prof. Helder G. G. de Lima
1
Questões
1. Sejam 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷 vértices de um quadrado. Quantos vetores diferentes entre si podem
ser definidos por segmentos orientados com ambas as extremidades nestes vértices?
2. Suponha que 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 , 𝐺, 𝐻 sejam vértices de um paralelepípedo como o da
figura a seguir, em que apenas duas faces são quadradas e as demais são retangulares:
Encontre segmentos orientados com extremidades nestes pontos para representar:
(a) Dois vetores distintos que sejam paralelos (colineares).
(b) Três vetores distintos que sejam coplanares.
(c) Três vetores distintos que não sejam coplanares nem ortogonais.
(d) Três vetores ortogonais entre si, sem repetir nenhuma das extremidades.
(e) Quatro vetores com soma nula, sem que dois deles sejam opostos.
(f) Dois vetores cuja soma não possa ser representada usando apenas os pontos dados.
(g) Cinco vetores cujas normas (módulos) sejam diferentes entre si.
(h) Sete vetores distintos cuja soma seja
−−→
𝐵𝐻.
3. As faces do sólido representado a seguir são paralelogramos, com exceção dos quadriláteros
ABCD e EFGH. Nessas condições, calcule os vetores pedidos (use apenas os pontos dados):
(a)
−→
𝐴𝐵 −−→𝐺𝐹 +−−→𝐻𝐷
(b)
−→
𝐸𝐹 +
−−→
𝐸𝐻 −−→𝐴𝐵 +−−→𝐷𝐴
(c) (𝐶 −𝐺) + (𝐶 − 𝐸) + (𝐸 − 𝐴)
(d) (𝐹 −𝐸)+(𝐴−𝐸)+(𝐴−𝐺)− (𝐶−𝐺)
1
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CompartilhaIgual 4.0 Internacional
1
4. Supondo que �⃗� ̸= 0⃗, calcule a norma (módulo) dos vetores �⃗� = 4�⃗�|�⃗�| e �⃗� = − �⃗�|5�⃗�| , e também
dos vetores −2�⃗� e −10�⃗�.
5. Sejam �⃗�, �⃗� e �⃗� os vetores representados na figura a seguir:
Encontre representantes para os seguintes vetores, com origem no ponto 𝐴. Indique
também quais dos vetores resultantes são ortogonais a �⃗�.
(a) �⃗� + �⃗� + �⃗�
(b) 2�⃗� + 1
2
�⃗� − 3�⃗�
(c) �⃗�− �⃗� − 2�⃗�
(d) −�⃗�− �⃗� + �⃗�
(e) −�⃗� + �⃗� + 4�⃗�
(f) −�⃗� + 1
2
�⃗�
6. Suponha que �⃗� e �⃗� são os vetores representados a seguir, e que �⃗� e �⃗� satisfazem o sistema
de equações indicado. Expresse �⃗� e �⃗� em termos de �⃗� e �⃗� e represente-os geometricamente.{︂
�⃗� + �⃗� = �⃗�
�⃗�− �⃗� = �⃗�
7. Sejam 𝐴,𝐵,𝐶 e 𝐷 pontos quaisquer do espaço (por exemplo, os da figura abaixo), M o
ponto médio de AC e N o de BD. Encontre uma expressão para a soma �⃗� =
−→
𝐴𝐵 +
−−→
𝐴𝐷 +−−→
𝐶𝐵 +
−−→
𝐶𝐷 em função de
−−→
𝑀𝑁 .
8. Se �⃗� = (−4, 4, 1) pode ser representado por um segmento orientado com origem 𝑀 e
extremidade 𝑁(5,−3, 1), quais são as coordenadas de 𝑀?
9. Se �⃗� = (−7, 5, 3) e �⃗� = (−5, 1, 0), determine o vetor �⃗� que satisfaz 2(�⃗� − �⃗�) = 1
2
(�⃗� + �⃗�).
10. Verifique se o triângulo com vértices 𝑃 (0, 3, 0), 𝑄(3, 1,−1) e 𝑅(1, 0, 2) é equilátero.
11. Sejam 𝐴 = (−𝑡, 𝑡 + 5, 4), 𝐵 = (−3, 4, 0) e 𝐶 = (1, 0, 0). Calcule (se existirem) os valores
de 𝑡 para que 𝐴, 𝐵 e 𝐶:
2
(a) Formem um triângulo retângulo
(b) Sejam colineares
(c) Formem um triângulo equilátero
12. Os pontos 𝑃 (1, 1, 4) e 𝑄(−2, 2, 2) estão a uma mesma distância de um certo ponto 𝑅 do
eixo 𝑧. Quais as coordenadas de 𝑅? Os pontos 𝑃 , 𝑄 e 𝑅 formam um triângulo equilátero?
13. Os pontos 𝐴(−1, 2, 3), 𝐵(1, 4, 3), 𝐶(1, 2, 5) e 𝐷(−1, 4, 5) definem um tetraedro regular?
14. Sejam �⃗� = (−5, 1), �⃗� = (−2,−2) e �⃗� = (6,−6). Encontre escalares 𝛼 e 𝛽 tais que
�⃗� = 𝛼�⃗� + 𝛽�⃗�. Represente graficamente a decomposição encontrada para �⃗�.
15. Obtenha 𝛼 e 𝛽 tais que �⃗� = 𝛼�⃗�+𝛽�⃗�, se �⃗� = 3⃗𝑖+3⃗𝑗−3�⃗�, �⃗� = −2⃗𝑖+ �⃗�+ �⃗� e �⃗� = −3
2
�⃗�+3⃗𝑗.
16. Determine o ponto (ou os pontos) do plano horizontal 𝑥𝑦 cuja distância a 𝐴(1, 1, 0) é 2 e
cuja distância a 𝐵(0, 1, 0) é 3.
17. Suponha que
−−→
𝐴𝐷 =
−−→
𝐵𝐶,
−→
𝐴𝐵 ⊥ −−→𝐵𝐷 e que o ângulo entre −→𝐴𝐵 e −−→𝐵𝐶 é de 𝜋/3 radianos.
Determine o ângulo entre:
(a)
−−→
𝐶𝐷 e
−→
𝐴𝐵 (b)
−−→
𝐵𝐷 e
−−→
𝐶𝐷 (c)
−−→
𝐵𝐷 e
−−→
𝐴𝐷
18. Se 𝐴 = (1
5
, 2
5
, 3
5
) e 𝐵 = (1, 1, 𝑧), determine 𝑧 para que o vetor
−→
𝐴𝐵 seja unitário.
19. Encontre o ponto 𝐴 que é o simétrico de 𝐵 = (−9, 1,−4) em relação ao ponto 𝐶 = (2, 2, 3),
isto é, aquele ponto 𝐴 tal que 𝐶 é o ponto médio de 𝐴𝐵.
20. Verifique se 𝐴 = (−1,−1, 3), 𝐵 = (1, 2, 3), 𝐶 = (1,−3,−1) e 𝐷 = (−1,−6, 10) são
vértices de um paralelogramo (não necessariamente nesta ordem).
3
Respostas
1. 8 vetores. Rotulando os vértices no sentido horário, tem-se:
−→
𝐴𝐵 =
−−→
𝐷𝐶,
−→
𝐴𝐶,
−−→
𝐴𝐷 =
−−→
𝐵𝐶,−→
𝐵𝐴 =
−−→
𝐶𝐷,
−−→
𝐵𝐷,
−→
𝐶𝐴,
−−→
𝐶𝐵 =
−−→
𝐷𝐴,
−−→
𝐷𝐵.
2. Como há diversas respostas válidas, será indicada apenas uma possibilidade:
(a) Basta considerar qualquer vetor e o seu oposto. Por exemplo,
−→
𝐴𝐵 e
−→
𝐵𝐴.
(b) Quaisquer vetores cujas extremidades estão em uma mesma face do paralelepípedo
são coplanares. Por exemplo,
−→
𝐴𝐵,
−→
𝐴𝐹 e
−→
𝐴𝐸.
(c)
−→
𝐴𝐵,
−→
𝐴𝐹 e
−→
𝐴𝐺.
(d)
−→
𝐴𝐵,
−→
𝐹𝐺 e
−−→
𝐷𝐻
(e)
−→
𝐴𝐵 +
−−→
𝐵𝐹 +
−−→
𝐹𝐷 +
−−→
𝐷𝐴
(f)
−→
𝐴𝐵 e
−→
𝐴𝐹
(g)
−→
𝐴𝐵,
−→
𝐴𝐸,
−→
𝐴𝐶,
−→
𝐴𝐹 e
−→
𝐴𝐺
(h)
−−→
𝐵𝐻 =
−−→
𝐵𝐹 +
−→
𝐹𝐸 +
−→
𝐸𝐴 +
−−→
𝐴𝐷 +
−−→
𝐷𝐶 +
−→
𝐶𝐹 +
−−→
𝐹𝐻
3. (a)
−→
𝐴𝐵 −−→𝐺𝐹 +−−→𝐻𝐷 = −→𝐴𝐵 +−→𝐹𝐺 +−−→𝐻𝐷
=
−→
𝐴𝐵 +
−−→
𝐵𝐶 +
−−→
𝐻𝐷
=
−→
𝐴𝐶 +
−−→
𝐻𝐷
=
−→
𝐴𝐶 +
−→
𝐸𝐴
=
−−→
𝐸𝐶
(b)
−→
𝐸𝐹 +
−−→
𝐸𝐻 −−→𝐴𝐵 +−−→𝐷𝐴 = −→𝐸𝐹 +−−→𝐸𝐻 +−→𝐵𝐴 +−−→𝐷𝐴
=
−→
𝐸𝐹 +
−−→
𝐸𝐻 +
−→
𝐹𝐸 +
−−→
𝐷𝐴
=
−−→
𝐸𝐻 +
−−→
𝐷𝐴
=
−−→
𝐸𝐻 +
−−→
𝐻𝐸
= 0⃗
(c)
(𝐶 −𝐺) + (𝐶 − 𝐸) + (𝐸 − 𝐴) = (𝐶 −𝐺) + (𝐶 − 𝐴)
= (𝐴− 𝐸) + (𝐶 − 𝐴)
= 𝐶 − 𝐸
(d)
(𝐹 − 𝐸) + (𝐴− 𝐸) + (𝐴−𝐺)− (𝐶 −𝐺) = (𝐹 − 𝐸) + (𝐴− 𝐸) + (𝐴−𝐺) + (𝐺− 𝐶)
= (𝐹 − 𝐸) + (𝐴− 𝐸) + (𝐴− 𝐶)
= (𝐵 − 𝐸) + (𝐴− 𝐶)
= (𝐵 − 𝐸) + (𝐸 −𝐺)
= 𝐵 −𝐺
4
4. Lembrando que |𝑚−→𝑤 | = |𝑚| |−→𝑤 |, para todo 𝑚 ∈ R e todo vetor −→𝑤 , tem-se:
(a) |�⃗�| =
⃒⃒⃒
4�⃗�
|�⃗�|
⃒⃒⃒
=
⃒⃒⃒
4
|�⃗�| �⃗�
⃒⃒⃒
=
⃒⃒⃒
4
|�⃗�|
⃒⃒⃒
|�⃗�| = 4|�⃗�| |�⃗�| = 4.
(b) |�⃗�| =
⃒⃒⃒
− �⃗�|4�⃗�|
⃒⃒⃒
=
⃒⃒⃒
−1
|4�⃗�| �⃗�
⃒⃒⃒
=
⃒⃒⃒
−1
|4�⃗�|
⃒⃒⃒
|�⃗�| = 1|4�⃗�| |�⃗�| = 1|4||�⃗�| |�⃗�| = 1|4| = 14 .
(c) |−2�⃗�| = | − 2| |�⃗�| = 2 · 4 = 8.
(d) |−10�⃗�| = | − 10| |�⃗�| = 10 · 1
4
= 5
2
.
5.
�⃗� é ortogonal a:
ˆ −�⃗� + �⃗� + 4�⃗�
ˆ 2�⃗� + 1
2
�⃗� − 3�⃗�
6. �⃗� = �⃗�+�⃗�
2
e �⃗� = �⃗�−�⃗�
2
7. Note que
ˆ
−→
𝐴𝐵 =
−−→
𝐴𝑀 +
−−→
𝑀𝑁 +
−−→
𝑁𝐵
ˆ
−−→
𝐴𝐷 =
−−→
𝐴𝑀 +
−−→
𝑀𝑁 +
−−→
𝑁𝐷
ˆ
−−→
𝐶𝐵 =
−−→
𝐶𝑀 +
−−→
𝑀𝑁 +
−−→
𝑁𝐵
ˆ
−−→
𝐶𝐷 =
−−→
𝐶𝑀 +
−−→
𝑀𝑁 +
−−→
𝑁𝐷
Logo,
�⃗� =
−→
𝐴𝐵 +
−−→
𝐴𝐷 +
−−→
𝐶𝐵 +
−−→
𝐶𝐷
= 2
−−→
𝐴𝑀 + 2
−−→
𝐶𝑀 + 4
−−→
𝑀𝑁 + 2
−−→
𝑁𝐵 + 2
−−→
𝑁𝐷
= 2
−−→
𝐴𝑀 + 2
−−→
𝐶𝑀 + 4
−−→
𝑀𝑁
= 4
−−→
𝑀𝑁
8. 𝑀(9,−7, 0)
9. �⃗� = 1
3
�⃗� + 4
3
�⃗� = (−11, 7, 4)
5
10.
⃒⃒⃒−→
𝑃𝑄
⃒⃒⃒
=
⃒⃒⃒−→
𝑃𝑅
⃒⃒⃒
=
⃒⃒⃒−→
𝑄𝑅
⃒⃒⃒
=
√
14, então o triângulo é equilátero.
11. (a) Como
−→
𝐴𝐵 = (−3+𝑡,−𝑡−1,−4), −→𝐴𝐶 = (1+𝑡,−𝑡−5,−4) e −−→𝐵𝐶 = (4,−4, 0), pode-se
dizer que:
i. Para que o triângulo fosse retângulo em 𝐴, deveria ocorrer
−→
𝐴𝐵 · −→𝐴𝐶 = 0, isto é,
0 = (−3 + 𝑡,−𝑡− 1,−4) · (1 + 𝑡,−𝑡− 5,−4) = 2𝑡2 + 4𝑡 + 18.
Mas isto não é possível para nenhum 𝑡 ∈ R pois ∆ = 42 − 4 · 2 · 18 < 0. Logo,
independentemente do valor de 𝑡, nunca ocorre um ângulo reto no vértice 𝐴. De
fato, o ângulo no vértice 𝐴 é sempre agudo pois 2𝑡2+4𝑡+18
= 2(𝑡+1)2+16 > 0.
ii. Haverá um ângulo reto em 𝐵 se, e somente se,
−−→
𝐵𝐶 · −→𝐵𝐴 = 0, isto é,
0 = (4,−4, 0) · (3− 𝑡, 𝑡 + 1, 4) = 8− 8𝑡.
Assim, o triângulo é retângulo em 𝐵 se 𝑡 = 1.
iii. Analogamente, há um ângulo reto em 𝐶 se, e somente se,
−→
𝐶𝐴 · −−→𝐶𝐵 = 0, isto é,
0 = (−1− 𝑡, 𝑡 + 5, 4) · (−4, 4, 0) = 8𝑡 + 24.
Neste caso, 𝑡 = −3.
(b) Os três pontos só podem ser colineares se os vetores
−→
𝐴𝐶 e
−−→
𝐵𝐶 forem paralelos, isto
é, se existir algum 𝑘 ∈ R tal que −→𝐴𝐶 = 𝑘−−→𝐵𝐶. Mas isto equivale a
(1 + 𝑡,−𝑡− 5,−4) = 𝑘(4,−4, 0) = (4𝑘,−4𝑘, 0),
ou em termos das coordenadas, 1 + 𝑡 = 4𝑘, −𝑡−5 = 4𝑘 e −4 = 0. Como esta última
equação é sempre falsa, não há qualquer valor de 𝑡 que torne os pontos colineares.
(c) Se os pontos formam um triângulo equilátero, então
⃒⃒⃒−→
𝐴𝐵
⃒⃒⃒
=
⃒⃒⃒−−→
𝐵𝐶
⃒⃒⃒
=
⃒⃒⃒−→
𝐴𝐶
⃒⃒⃒
. A
primeira equação implica que√︀
(−3 + 𝑡)2 + (−𝑡− 1)2 + (−4)2 =
√︀
42 + (−4)2 + 02,
ou ainda,
√
2𝑡2 − 4𝑡 + 26 = √32. Elevando ambos os membros ao quadrado e resol-
vendo a equação do segundo grau, resulta que 𝑡 = −1 ou 𝑡 = 3. Mas para 𝑡 = 3
tem-se
−→
𝐴𝐶 = (4,−8,−4) e
⃒⃒⃒−→
𝐴𝐶
⃒⃒⃒
=
√
96 ̸= √32 (ou seja, o triângulo é isósceles, mas
não é equilátero). Logo, a única possibilidade é 𝑡 = −1.
12. 𝑃 (0, 0, 3/2) está a uma distância
√
33/2 dos pontos 𝑄 e 𝑅, mas estes distam
√
14 entre
si, então não formam um triângulo equilátero (mas ele é isósceles).
13. Como
⃒⃒⃒−→
𝐴𝐵
⃒⃒⃒
=
⃒⃒⃒−→
𝐴𝐶
⃒⃒⃒
=
⃒⃒⃒−−→
𝐴𝐷
⃒⃒⃒
=
⃒⃒⃒−−→
𝐵𝐶
⃒⃒⃒
=
⃒⃒⃒−−→
𝐵𝐷
⃒⃒⃒
=
⃒⃒⃒−−→
𝐶𝐷
⃒⃒⃒
=
√
8, o tetraedro 𝐴𝐵𝐶𝐷 tem
todos os lados com a mesma medida, ou seja, é regular.
14. A equação �⃗� = 𝛼�⃗�+𝛽�⃗� equivale a (6,−6) = 𝛼(−5, 1) +𝛽(−2,−2) = (−5𝛼− 2𝛽, 𝛼− 2𝛽),
ou seja, 𝛼 e 𝛽 devem ser soluções do sistema{︃
−5𝛼− 2𝛽 = 6
𝛼− 2𝛽 = −6,
a saber, 𝛼 = −2 e 𝛽 = 2.
6
15. A equação �⃗� = 𝛼�⃗� + 𝛽�⃗� equivale a
−3
2
�⃗�+ 3⃗𝑗 + 0�⃗� = 𝛼(3⃗𝑖+ 3⃗𝑗− 3�⃗�) +𝛽(−2⃗𝑖+ �⃗� + �⃗�) = (3𝛼− 2𝛽)⃗𝑖+ (3𝛼+𝛽)⃗𝑗 + (−3𝛼+𝛽)�⃗�,
ou seja, 𝛼 e 𝛽 devem ser soluções do sistema⎧⎪⎨⎪⎩
3𝛼− 2𝛽 = −3
2
3𝛼 + 𝛽 = 3
−3𝛼 + 𝛽 = 0,
a saber, 𝛼 = 1
2
e 𝛽 = 3
2
.
16. (...)
17. (...)
18. (...)
19. (...)
20. Para que os pontos definam um paralelogramo, é preciso que o vetor determinado por
dois dos pontos seja igual (ou oposto, dependendo de como orientar as arestas) ao vetor
determinado pelos outros dois pontos. Assim, deveríamos ter
−→
𝐴𝐵 = ±−−→𝐶𝐷 ou −→𝐴𝐶 =
±−−→𝐵𝐷. Mas −→𝐴𝐵 = (2, 3, 0) ̸= ±(−2,−3, 11) = −−→𝐶𝐷 e −→𝐴𝐶 = (2,−2,−4) ̸= ±(−2,−8, 7) =−−→
𝐵𝐷, então estes pontos não formam um paralelogramo.
7

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