Séries e seus respectivos testes

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TESTE SÉRIE CONVERGE DIVERGE COMENTÁRIO 
De divergência 
 𝑎𝑛
∞
𝑛=1
 
 
 lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ≠ 0 Não serve para provar 
convergência 
Da Série 
Geométrica 
 
 𝑎. 𝑟𝑛 
 
 𝑟 < 1 𝑟 ≥ 1 Soma : S = 
𝑝
1−𝑟
 
- Onde p corresponde 
 ao primeiro termo 
 da série analisada . 
Para Série p 
 
 1
 𝑛𝑝
∞ 
𝑛=1
 
 
𝑝 > 1 𝑝 ≤ 1 
Para Séries 
Alternadas −1 
𝑛−1
∞
𝑛 =𝑘
. 𝑏𝑛 
 
0< 𝑏𝑛+1 ≤ 𝑏𝑛 
e 
lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 = 0 
 
Da Razão 
 𝑎𝑛
∞
𝑛=1
 
 
lim
𝑛→∞
 
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
 < 1 lim
𝑛→∞
 
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
 > 1 Teste inconclusivo 
se 
lim
𝑛→∞
 
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
 = 1 
Da 
Comparação 
 
 𝑎𝑛
∞
𝑛=1
 
 
0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 
e 
 
 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 
 converge 
 
0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 
e 
 
 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 
 diverge 
Tanto 
𝑎𝑛 𝑒 𝑏𝑛 
Tem somente termos 
positivos. 
Teste da 
Comparação 
(limite) 
 
 𝑎𝑛
∞
𝑛=1
 
 
e lim𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛
 = p 
𝟏𝒂) 𝑆𝑒 p> 0 e 
 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 converge 
então 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 
converge. 
2) Se p=0 e 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 
converge então 
 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge. 
𝟏𝒃) 𝑆𝑒 p> 0 e 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 
diverge então 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 
diverge. 
3) De p = ∞ e 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 
diverge então 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 
diverge. 
 
Lembre a 𝑏𝑛 tem que ser ou uma 
série geométrica ou série p. 
 
 
Dada a série de potências 
n
0
n xa
 apenas uma das 
seguintes condições é válida : 
a) A série é absolutamente convergente para todo x 
real. 
b) A série converge apenas para x = 0 
c) Existe r  R tal que a série é absolutamente 
convergente para 
rx 
 e divergente para 
rx 
 
O número r > 0 é chamado de raio de convergência da 
série 
Sendo que, R= lim𝑛→∞ 
𝑎𝑛
𝑎𝑛 +1
 
 
Se R= 0 então acontece a. 
Se R= ∞ então acontece b. 
Se R for um número real (R≠0) então acontece c. 
Dada a série de potências 
n
0
n c)(xa 
 apenas uma das 
seguintes condições é válida : 
a) A série é absolutamente convergente para todo 
x real. 
b) A série converge apenas para x = c 
c) Existe r  R tal que a série é absolutamente 
convergente para 
rcx 
 e divergente para 
rcx 
 
O número r > 0 é chamado de raio de convergência 
da série 
Sendo que, R= lim𝑛→∞ 
𝑎𝑛
𝑎𝑛 +1
 
Se R= 0 então acontece a. 
Se R= ∞ então acontece b. 
Se R for um número real (R≠0) então acontece c.