Aula 4 - Operaões I Escoamento de fluidos

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Professora Viviane Tavares
E-mail: viviane.tavares@ifrj.edu.br
Fluidos em movimento Fluidos em movimento --
EscoamentoEscoamento
• Escoamento Laminar e Turbulento. 
• Cálculo do Número de Reynolds.
• Lei de Viscosidade de Newton.
• Analogia com outros transportes: massa e calor.
O fluido não resiste a esforços tangenciais por 
menores que estes sejam, o que implica que se 
deformam continuamente.
F
Escoamento 
no interior de 
tubulação
Escoamento interno
Para escoamento laminar, pode-se obter a seguinte expressão para o comprimento de entrada Le.
Escoamento 
externo
• Como calcular a velocidade do 
escoamento do fluido?
Medindo a vazão do fluido.....
Escoamento no interior de tubos
Área da seção transversal e Diâmetro 
nominal
Para calcular a área do escoamento utiliza-se o diâmetro 
interno. As tabelas comerciais geralmente apresentam o 
diâmetro externo e a espessura do tubo para cada Schedule. 
O cálculo do diâmetro nominal deve ser feito para calcular o 
diâmetro interno. Assim, deve ser feito subtraindo duas vezes 
o valor da espessura do tubo do diâmetro externo.
Determinação da intensidade 
da força de resistência viscosa:
contatoAF ×=τµ
Onde ττττ é a tensão de cisalhamento que será
determinada pela lei de Newton da 
viscosidade.
Viscosidade dinâmica
A constante de proporcionalidade 
da lei de Newton da viscosidade 
é a viscosidade dinâmica, 
ou simplesmente viscosidade - µ
dy
dv
×= µτ
Princípio de aderência observado 
na experiência das duas placas:
•Consideremos um fluido em repouso entre duas placas planas. Suponhamos 
que a placa superior em um dado instante passe a se movimentar sob a ação 
de uma força tangencial. As partículas fluidas em contato com uma superfície 
sólida têm a velocidade da superfície que encontram em contato.
F
v
v = constante
V=0
• A força F, tangencial ao fluido, gera uma tensão de 
cisalhamento.
• O fluido adjacente à placa superior adquire a mesma 
velocidade da placa (princípio da aderência).
• Surge um perfil de velocidades no fluido.
• Também pelo princípio da aderência, a velocidade do fluido 
adjacente à placa inferior é zero.
• Como existe uma diferença de velocidade entre as 
camadas do fluido, haverá fluxo de momento linear 
(grandeza extensiva) devido a formação de um gradiente 
de velocidade.
• Haverá uma deformação contínua do fluido sob a ação da 
tensão de cisalhamento.
Lei de Newton da viscosidade:
Gradiente de velocidade:
y
v
v = constante
V=0
representa o estudo da variação da velocidade no 
meio fluido em relação a direção mais rápida desta
variação.dy
dv
Análise dimensional da grandeza
A grandeza será definida pela equação 
dimensional, sendo esta constituída pela 
base MLT ou FLT, e onde o expoente indica 
o grau de dependência entre a grandeza 
derivada e a grandeza fundamental (MLT ou 
FLT).
A definição quantitativa depende do 
sistema de unidade considerado
Por exemplo, se considerarmos o Sistema Internacional (SI) 
para a mecânica dos fluidos, temos como grandezas 
fundamentais:
M – massa – kg (quilograma)
L – comprimento – m (metro)
T – tempo – s (segundo)
As demais grandezas são 
denominadas de grandezas derivadas:
F – força – N (Newton) – [F] = (M*L)/T2
V – velocidade – m/s – [v] = L/T
dv/dy – gradiente de velocidade – hz ou 1/s
T
1T
L
LT
dy
dv 1--1
===





Sistema MK*S
Nele as grandezas fundamentais adotadas 
para o estudo de mecânica dos fluidos são:
F – força – kgf – (1 kgf = 9,8 N)
L – comprimento – m – metro
T – tempo – s (segundo) 
M – massa – utm (1 utm = 9,8 kg) –
ρ - massa específica kg/m³ -
Algumas grandezas derivadas no 
MK*S:
L
TFM
2×
=
4
2
3 L
TF
L
M ×
==ρ
Análise dimensional da tensão de cisalhamento e da 
viscosidade dinâmica
• CGS:
[µ] poise = dina x s /cm2 - poise = cetipoise (cp);
• Métrico Gravitacional (MK*S) :[µ] = kgf × s/ m2
• Sistema Internacional (SI) :
• [µ] = N x s / m2 - 1 N/m2 = 1 Pa (Pascal)
Observações sobre a unidade de µ
Viscosidade cinemática - ν
Equação dimensional possibilita a definição 
qualitativa da viscosidade cinemática 
[ν] = L2*T-1
ρ
µ
=ν
Observações sobre a unidade de ν
• SI e MK*S – [ν] = m²/s
• CGS - [ν] = cm²/s = stokes (St)
• 1 cSt = 10-2 St = 10-2 cm²/s = 10-6 m²/s
Para desenvolver este cálculo é necessário 
se conhecer a função v = f(y)
Cálculo do gradiente de velocidade
v
v = constante
V=0
y
Simplificação prática da lei de Newton 
da viscosidade
Esta simplificação ocorre quando 
consideramos a espessura do fluido entre 
as placas (experiência das duas placas) o 
suficientemente pequena para que a função 
representada por uma parábola seja 
substituída por uma função linear.
v = a*y + b
ε
y
v = cte
v = 0
constante
v
dy
dv
constante
v
dy
dv
 ey v v:portanto
v
 a portanto v, v temse y para
0b portanto 0, v temse 0 y para
=×=×=
===
===
===
ε
µµτ
εε
ε
ε
Condições de contorno:
O escoamento no fluido não tendo 
deslocamento transversal de massa 
(escoamento laminar)
• Considerar v = f(y) sendo representado 
por uma parábola
v
v = constante
V=0
y
v = a*y2 + b*y + c
Onde:
• v = variável dependente;
• y = variável independente;
• a, b e c são as incógnitas que devem ser 
determinadas pelas condições de 
contorno
Condições de contorno:
• Para y =o tem-se v = 0, portanto: c = 0
• Para y = ε tem-se v = v que é constante, 
portanto: v = a* ε2 + b* ε (I)
• Para y = ε, tem-se o gradiente de 
velocidade nulo: 0 = 2*a* ε + b, portanto: b 
= - 2*a* ε
• Substituindo em (I), tem-se: v = - a* ε2 , 
portanto: a = - v/ ε2 e b = 2*v/ ε
Equação da parábola:
yv2yvv 22 εε
+−=
E a equação do gradiente de velocidade seria:
εε
2vyv2
dy
dv
2 +−=
Exercício de aplicação:
Sabendo-se que a figura a seguir é a representação de 
uma parábola que apresenta o vértice para y = 30 cm, 
pede-se:
a)A equação que representa a função v = f(v)
b)A equação que representa a função do gradiente de 
velocidade em relação ao y
c)A tensão de cisalhamento para y = 0,1; 0,2 e 0,3 m
0,30 m
y
4 m/s
Solução:
a) Determinação da função da velocidade:
Para y =o, tem-se v =0, portanto: c = 0
Para y = 0,3 m, tem-se v = 4m/s, portanto: 4 = 0,09a + 
0,3b (I)
Para y = 0,3 m, tem-se o gradiente de velocidade nulo, ou 
seja: 0 = 0,6a + b, portanto: b = -0,6a, que sendo 
considerada em (I) resulta: 4 = 0,09a –0,18a .
Portanto: a =-4/0,09 e b = 8/0,3
m emy e 
s
m
 em vcomy 
3,0
8y
0,09
4
-v 2 +=
Solução:
b) Para a determinação do gradiente de 
velocidade simplesmente deriva-se a 
função da v = f(y)
0,3
8y
0,09
8
-
dy
dv
+=
c) Para o cálculo da tensão de 
cisalhamento evoca-se a lei de Newton 
da viscosidade, ou seja:
0 temse m 0,3 y para
0,9
8
 temse m 0,2 y para
0,9
16
 temse m 0,1 y para
0,3
8
 temse 0 y para
0,3
8y
0,09
8
-
dy
dv
 onde 
dy
dv
==
×==
×==
×==
+=×=
τ
µτ
µτ
µτ
µτ
Determinação da viscosidade:
Sendo conhecido o diagrama da tensão 
de cisalhamento (τ) em função do 
gradiente de velocidade (dv/dy)
α
τµ tg
dy
dv ==
Para líquidos: a viscosidade diminui com a 
temperatura
Para gases: a viscosidade aumenta com a 
temperatura
Água a 38ºC
Água a 16ºC
τ
dv/dyα
α`
µα =tg
• Transferência de calor
• Transferência de massa.