P2 - Cálculo 3(GABARITO) - 2013.2

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Instituto de Matemática - IM/UFRJ 
Cálculo Diferencial e Integral I I I - MAC238 
Segunda prova unificada - Escola Politécnica/Escola de Química -21/11/2013 
Q u e s t ã o 1: (2.5 pontos) 
Calcule a área da superfície de revolução S gerada pela curva plana definida pela 
equação (x2 + y2)2 — 2x(x2 + y2) = y2 em torno da reta paralela ao eixo x passando 
pelo ponto (0, - 2 , 0 ) . 
Solução: 
Com a forma paramétr ica x — r(t)cost,y = r (£ ) sen í da curva onde r(t) = 
1 + cosi, t € [0,27r], tem-se 
área(5) = 2n j(2 + y) ds = 27T J(2 + y(t))yJxt2 + yt2dt. 
c o 
Observamos que 
xt2 + yt2 = r 2 cos 21 + r2 sen 21 + r 2 sen 21 + r 2 cos 21 
= rt2 + r 2 = s e n 2 £ + (1 + cosi) 2 = 2 + 2 c o s í . 
área(S) = 2TT / (2 + (1 + cos t) sen t) y/2 + 2 cos t dt 
o 
2\/2TT / s e n £ ( l + cos£) 3 / 2 cft = 8TT J cos - dt 
o o 
= lÔTrsen^l 2 * - 2V /2TT?(1 + c o s í ) 5 7 2 ! ^ = 16?r. 
2 5 
Q u e s t ã o 2: (2.5 pontos) 
Considere o campo F(x, y, z) = (y2 + z, 2xy, x) e R > 0 um parâmetro. Seja C a 
curva definida pela interseção da superfície z — R — y/x2 + y2 com o plano x + t / = 0, 
com z > 0, orientada com x crescente. Determine R para o qual 
L F-dr = ^ . y/2 
Solução: 
O campo F é gradiente com potencial dado por f(x, y, z) = xy2 + zx. A curva C 
tem ponto inicial (-R/\/2,R/\/2,0) e ponto final (R/y/2, -R/y/2,0). Assim, 
/ ( H / > / 2 , -R/y/2,0) - / ( - -R /v /2 , fl/\/2, 0) -
v /5 ' 
Cálculo Diferencial e Integral I I I - MAC238 
Segunda prova unificada - Escola Politécnica/Escola de Química -21/11/2013 (continuação) 
e portanto devemos ter R = \YTf. 
Q u e s t ã o 3: (2.5 pontos) 
Considere o-campo vetorial definido por 
F = (yz,xz,xy) - (z,x,0) 
Determine o valor da constante a G R para qual 
F • dr = 0 L 'C 
ao longo de qualquer curva C fechada no plano ay + z = 10. 
Solução: 
Temos que F é um campo de vetores de classe Cl em R 3 cujo rotacional é dado 
por r o t F = (0,0,0) — (0,1,1). Aplicando o Teorema de Stokes à região S do 
plano ay + z = 10 delimitada por qualquer curva C do mesmo plano, obtemos 
que 
JF-dr= íítot (F)-nds = JJ-(a + 1)/Va2 + 1 ds, 
onde n = (0, a, l)/y/a2 + 1 é o vector normal ao plano. Para que essa quantidade 
se anule para qualquer região 5, é preciso que a = — 1. 
Q u e s t ã o 4: (2.5 pontos) 
Considere o campo vetorial 
F = (z2,2yz,4cosx). 
Seja a G (0,1) uma constante. Determine o fluxo de F através da superfície S definida 
como a fronteira da região 
W = {(x,ytz): x2 + y2 + z2 < 1, z< J—y/x2 + y2}. 
V i — CL 
Cálculo Diferencial e Integral I I I - MAC238 
Segunda prova unificada - Escola Politécnica/Escola de Química -21/11/2013 (continuação) 
Solução: 
Observamos div F = 2z. Pelo teorema de Gauss, temos 
Fds = JJI . l i v / 
s w' 
A esfera x2 + y2 + z2 = 1 e o cone z = ^Jx2 + y2 intersetam-se no plano 
z — a. Seja y>Q = areosa o ângulo correspondente. Usando coordenadas esféricas, 
tem-se 
2ir JT 1 2n n 
2zdV' = ^ J J 2r cos y> r2 sen (pdrd(pdô = ^J J cos </? sen ^ áy? 
0 <po 0 0 <^o 
77 
cosv?sen^dv? = - -cos 2 v? l£ 0 = - - ( 1 - a 2 ) . 
'•PO 
Observação: Todas as curvas e regiões auxiliares utilizadas na resolução das questões deverão 
ser claramente identificadas, incluindo as orientações adotadas. Fique atento, todas as questões 
devem ser feitas conforme o enunciado. D u r a ç ã o da prova: duas horas 
Regras: 
• Não é permitido consulta a qualquer fonte e nem se ausentar da sala durante a prova. 
• Todo o material do aluno, com exceção do documento de identidade, lápis, caneta, régua 
e borracha, deve ficar junto à mesa do professor. 
• Calculadoras, aparelhos celulares e similares devem ficar desligados na bolsa/mochila do 
aluno junto à mesa do professor. 
• O aluno deve apresentar o documento de identificação quando for assinar a folha de pre-
sença. 
• A prova pode ser feita com lápis e/ou caneta. 
Boa prova!