Aula 05 TM Difusão Unidimensional Estado Estacionario SEM Reação

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Aula:
TM – Estado estacionário, 
unidimensional e sem reação química
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Departamento de Engenharia Química
Disciplina:
ENG07020
TRANSFERÊNCIA DE
CALOR E MASSA I
Estado estacionário sem reação química
• O ponto de partida é sempre a equação da continuidade da 
espécie A:
• As duas hipóteses constantes nesta seção são:
• Regime permanente:
• Sem reação química homogênea:
• A equação da continuidade fica:
• Considerando fluxo unidimensional (axial ou radial):
Coordenada: retangular cilíndrica esférica
AA
A RN
t
C


 
0


t
CA
0 AN

0AR
0
, 
dz
dN zA 
0
, 
dr
rNd rA  0,
2

dr
Nrd rA
Estado estacionário sem reação química
• O segundo ponto é a equação do fluxo da espécie A:
• Para sistemas com mais de duas espécies:
• É necessário analisar o problema para definir os fluxos ou a 
relação entre os fluxos. Em seguida, a equação do fluxo da 
espécie A é usada em conjunto com a equação da continuidade
 
 rArAAAABrA
zBzAA
A
ABzA
NNy
dr
dy
CDN
NNy
dz
dy
CDN
,,,
,,,




















,...,,
,,
,...,,
,,
CBAi
riA
A
AmistrA
CBAi
ziA
A
AmistzA
Ny
dr
dy
CDN
Ny
dz
dy
CDN
Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
• Considere um tubo de ensaio contendo um líquido A volátil.
• O gás se encontra estagnado, isto é, sem movimento causado por 
algum agente externo.
• O líquido A evapora e difunde ao
longo do tubo de ensaio até
alcançar a parte superior do tubo.
• Na parte superior, uma corrente
de gás B (contendo ou não a
espécie A) mantém constante a
fração da espécie de A.
• O meio também contém o gás B
que é insolúvel no líquido A.
• O processo de TM ocorre no meio
estagnado formado por A e B.
Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
• A equação da continuidade neste sistema é
• Já a equação do fluxo de A é:
• Como B é insolúvel no líquido A, o fluxo de B é nulo. Logo:
• A equação do fluxo de A é substituída na equação da 
continuidade
0
, 
dz
dN zA  zBzAAAABzA NNy
dz
dy
CDN ,,,  dz
dy
y
CD
N A
A
AB
zA


1
, 0
1








dz
dy
y
CD
dz
d A
A
AB
Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
• Sendo a temperatura e a pressão constantes, a concentração total 
é constante. Considerando que DAB também é constante, tem-se:
• Se a derivada é nula quando o termo dentro dos parênteses é 
uma constante C1.
• Separando as variáveis e integrando:
• As constantes de integração C1 e C2 devem ser determinadas 
através das condições de contorno.
0
1
1








dz
dy
ydz
d A
A
  211 1ln
1
CzCydzC
y
dy
A
A
A 

 1
1
1
C
dz
dy
y
A
A



Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
• As condições de contorno em z igual a z1 e z2 são:
• Resolvendo as duas equações acima, determina-se C1 e C2 e a 
solução pode ser escrita como:
• Ou isolando yA:
 
  2212,
2111,
1ln
1ln
CzCy
CzCy
A
A





























 12
1
1,
2,
1, 1
1
1
1 zz
zz
A
A
A
A
y
y
y
y
 



















12
1
1,
2,
1,
1
1
11
zz
zz
A
A
AA
y
y
yy
Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
• Perfil da fração de A com diferentes valores de yA,1 e yA,2.
• Observe que quando a fração de
A é baixa, o perfil é quase linear.
• Ou seja, o termo convectivo é
aproximadamente desprezível.
 zBzAAAABzA NNy
dz
dy
CDN ,,, 
 0
Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
• Para determinar o fluxo de A, temos que o fluxo de A é constante.
• Assim, da equação do fluxo de A:
• Separam-se as variáveis:
• E integra-se usando as condições de contorno como limites de 
integração:
0
, 
dz
dN zA
dz
dy
y
CD
N A
A
AB
zA


1
,
A
A
ABzA
y
dy
CDdzN


1
,  

2,
1,
2
1 1
,
A
A
y
y
A
A
AB
z
z
zA
y
dy
CDdzN
Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
• Após a integração o fluxo é calculado como:
• O fluxo também poderia ser calculado derivando-se a solução do 
perfil de A:
• E substituindo na equação diferencial do fluxo de A












1,
2,
12
,
1
1
ln
A
AAB
zA
y
y
zz
CD
N   









































121,
2,
1,
2,
1,
1
1
1
ln
1
1
1
12
1
zzy
y
y
y
y
dz
dy
A
A
zz
zz
A
A
A
A   











































121,
2,
1,
2,
1,,
1
1
1
ln
1
1
1
1
12
1
zzy
y
y
y
y
y
CD
N
A
A
zz
zz
A
A
A
A
AB
zA
Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
• Avaliando o fluxo de A na posição 1:
• Avaliando o fluxo de A na posição 2:
• Em ambos os casos, após as simplificações, o fluxo é o mesmo 
que já foi calculado antes:
 











































121,
2,
1,
2,
1,
,
1
1
1
ln
1
1
1
12
11
zzy
y
y
y
y
CD
N
A
A
zz
zz
A
A
A
AB
zA  











































121,
2,
1,
2,
2,
,
1
1
1
ln
1
1
1
12
12
zzy
y
y
y
y
CD
N
A
A
zz
zz
A
A
A
AB
zA












1,
2,
12
,
1
1
ln
A
AAB
zA
y
y
zz
CD
N
Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
• É importante observar que se existe um gradiente de fração da 
espécie A, existe obrigatoriamente um gradiente de fração da 
espécie B. 
• Mas este gradiente de concentração (fração) de B não deveria 
provocar a difusão de B?
• Primeiro provamos matematicamente que o fluxo de B é nulo.
• A equação da continuidade de B é:
• Logo, como o fluxo de A, o fluxo de B é constante. Como a 
condição de contorno de B em z igual a z1 diz que B é insolúvel no 
liquido A, o fluxo de B em z igual a z1 é nulo.
• Se o fluxo de B é constante, para ficar de acordo com a condição 
de contorno em z1, o fluxo de B deve se nulo para qualquer z.
0
, 
dz
dN zB
Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
• Escrevendo agora a equação do fluxo de B, tem-se:
• Se o fluxo de B é nulo:
• Esta equação mostra que o movimento difusivo de B na direção 
de z2 para z1 (sentido que a fração de B diminui) é compensado 
pelo movimento convectivo na direção oposta, causado pela 
movimentação de A.
• Assim, apesar do gradiente de concentração, o fluxo global 
líquido de B é nulo.
 zBzABBABzB NNy
dz
dy
CDN ,,,  zAB
B
AB Ny
dz
dy
CD ,0 
Exemplo 5.1
• Determine o
perfil de fração molar e o fluxo da espécie CO2 que 
difunde em um meio estagnado formado por ar seco, conforme a 
figura abaixo. Ao alcançar a superfície líquida o CO2 é 
instantaneamente absorvido. Admita que o ar não é absorvido 
pelo líquido ácido. Inicialmente considere as frações na parte 
superior e na interface gás-líquido como valores fixos yA1 e yA2. 
Compare os resultados com as
soluções encontradas para o problema
de evaporação de um líquido e difusão
ascendente em um meio estagnado.
Avalie as diferenças e as similaridades.
• Em seguida considere z1 = 0, z2 = 1 cm,
yA1 = 0,01 e yA2 = 0. Como fica a fração
de A (isto é, CO2) ao longo de z? Este
resultado é esperado?
Exemplo 5.2
• Em uma planta industrial a abertura acidental de uma válvula
ocasionou um derramamento de água em uma região de difícil
acesso. Deseja-se estimar o tempo necessário para a evaporação
completa da água, com 1 m2 de área, em contato com ar sob
condições completamente estacionárias. A camada de água tem
0,20 cm de espessura e assume-se temperatura constante de 25
ºC. O ar, que também está a 25 ºC, tem pressão de 1 atm e possui
uma umidade relativa de 70 %. Na temperatura do sistema, a
pressão que o vapor d'água exerce é de 22,4 mmHg. A
evaporação é assumida ocorrer por difusão molecular através de
um filme de gás de 0,80 cm de espessura e o coeficiente de
difusão é igual a 0,26 x 10-4 m2/s.
Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
• Considere agora uma esfera de naftalina colocada em um meio 
estagnado, conforme a figura abaixo.
• A medida que a naftalina sofre a sublimação, surge um gradiente 
de concentração que faz com que 
a naftalina na fase gasosa difunda
se afastando da superfície esférica.
• O raio da esfera da naftalina é R0.
• Na superfície da esfera, a fração
de naftalina na fase gasosa é obtida
através da pressão de vapor da
naftalina, função da temperatura.
• E um ponto afastado da superfície
em r ,pode-se admitir que a
fração de naftalina é constante yA.
Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
• Para este sistema, deve-se usar coordenadas esféricas. 
Considerando variação apenas em função do raio, a equação da 
continuidade é:
• Observe que na direção radial, o fluxo não é mais constante em 
problemas em estado estacionário e sem reação química.
• O que é constante é o produto r2NA,r.
• A taxa de transferência de massa é o produto da área com o fluxo.
• Observe que a taxa é constante, mas o fluxo não.
• Por que isso acontece?
 
0
,
2

dr
Nrd rA
cteNrNáreaW rArArA  ,
2
,, 4)( 
Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
• Observe as figuras abaixo, que representam a transferência de 
massa na direção radial em coordenadas esféricas e cilíndricas.
• A área perpendicular ao fluxo NA,r aumenta com o aumento de r.
• No estado estacionário, a quantidade da espécie A que passa pela 
área A1 deve ser igual a que passa pela área A2. Caso contrário a 
quantidade da espécie A vai mudar no volume entre R1 e R2.
• É o produto da área com o fluxo deve ser constante. Como a área 
aumenta, o fluxo deve diminuir ao longo de r.
• É a taxa que
permanece
constante. 2,21,1, RARArA NANAW 
Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
•Assim, em problemas de transferência de 
massa sem reação química homogênea e 
em estado estacionário, onde o transporte 
ocorre na direção radial em coordenadas 
esféricas ou cilíndricas SEMPRE trabalhe 
com a taxa de transferência de massa e 
não com o fluxo, pois é a taxa que 
permanece constante ao longo de r.
Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
• Voltando ao problema, a equação do fluxo de A é:
• Como B é o ar que está estagnado e não é solúvel na naftalina, o 
fluxo de B é nulo e o fluxo de A fica:
• Multiplicando o fluxo de A pela área temos:
• Como condições de contorno temos:
• C.C.1: em r = R0  yA = yA0 = PA,vap/P
• C.C.2: em r =   yA = yA
 rBrAAAABrA NNy
dr
dy
CDN ,,,  dr
dy
y
CD
N A
A
AB
rA


1
, cte
dr
dy
y
CDr
NrW A
A
AB
rArA 


1
4
4
2
,
2
,

Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
• Usando a equação da taxa, separam-se as variáveis:
• E as condições de contorno são usadas como limites de 
integração:
• Após a integração:
• Observe que todos os valores são constantes na equação acima.
• Já o fluxo diminui na medida que r aumenta.
A
A
ABrA
y
dy
CD
r
dr
W


1
4
2,
 



 A
A
y
y
A
A
AB
R
rA
y
dy
CD
r
dr
W
00 1
4
2,
 







 
0
0,
1
1
ln4
A
A
ABrA
y
y
CDRW 








 
0
2
0
2
,
,
1
1
ln
4 A
AABrA
rA
y
y
r
CDR
r
W
N 
Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
• Para determinarmos o perfil de fração molar de A, iniciamos com 
a equação da continuidade e com a definição do fluxo de A.
• Sendo a temperatura e pressão constantes, C é constante. Além 
disso, considerando DAB constante.
• Como a derivada de uma constante é igual a 0.
• Separando as variáveis e integrando:
  0
1
2
,
2 







dr
dy
y
CDr
dr
d
Nr
dr
d A
A
AB
rA 0
1
2








dr
dy
y
r
dr
d A
A
1
2
1
C
dr
dy
y
r A
A


   2
1
21
1ln
1
C
r
C
y
r
dr
C
y
dy
A
A
A 


Difusão através de filme gasoso inerte e 
estagnado
• Usando a segunda condição de contorno: r =   yA = yA
• Usando a primeira condição de contorno: r = R0  yA = yA0
• Assim a solução fica:
• Ou:
  21ln CyA  
    







 
0
01
0
1
0
1
1
ln1ln1ln
A
A
AA
y
y
RCy
R
C
y   
 







 A
A
A
A y
y
y
r
R
y 1ln
1
1
ln1ln
0
0






































 r
R
A
A
A
A
A
A
A
A
y
y
y
y
y
y
r
R
y
y
0
1
1
1
1
1
1
ln
1
1
ln 0
0
00
Exemplo 5.3
• Uma esfera de naftaleno está em um meio estagnado a 72 ºC e 1
atm. Retirou-se a esfera ao longo do tempo, pesando-a e
medindo o seu raio. Estime o valor do coeficiente de difusão do
naftaleno (A) no ar (B) em cm2/s. O valor do DAB a 72ºC é 0,0789
cm2/s.
• Dados:
• yA = 0
• naf = 1,14 g/cm
3;
• Mnaf = 128,16 g/mol;
• R = 82,05 atm.cm3/(mol.K)
• Log Pnaf,vap = 10,56-3472/T, sendo T =[K] e Pnaf,vap = [mmHg]
t (min) 0 10 23 43 73 125 150 190 240 295 330
Massa (g) 2,44 2,43 2,42 2,41 2,39 2,36 2,35 2,31 2,28 2,23 2,21
Raio (cm) 0,85 0,85 0,85 0,85 0,84 0,84 0,84 0,83 0,83 0,82 0,82
Exemplo 5.3
• Cálculo da taxa mássica de sublimação.
y = -6.887E-04x + 2.441E+00
R² = 9.951E-01
2.15
2.20
2.25
2.30
2.35
2.40
2.45
2.50
0 100 200 300 400
M
as
sa
 (
g)
tempo (min)
Exemplo 5.4
• Estime a taxa de difusão de uma gota d'água hemisférica com raio
0,20 cm e que repousa sobre uma superfície plana. Assuma os
dados de equilíbrio, pressão, temperatura e umidade do ar iguais
as do Exemplo 5.2.
Difusão pseudoestacionária em filme gasoso
• No problema de difusão em meio estagnado, onde um fluido 
volátil evapora e difunde até alcançar o topo do tubo de ensaio, o 
nível de líquido decresce lentamente.
• Rigorosamente o sistema não se encontra em estado 
estacionário.
• Mas como
a velocidade com
que o nível diminui é muito
lenta, pode-se admitir o
estado pseudoestacionário.
• O fluxo de A muda lentamente,
já que a distancia z2 – z1
aumenta lentamente.












1,
2,
12
,
1
1
ln
A
AAB
zA
y
y
zz
CD
N
Difusão pseudoestacionária em filme gasoso
• A diferença z2-z1 é substituída por h, que é a altura da fase gasosa 
onde ocorre a difusão.
• O fluxo difusivo de A é igualado ao fluxo de A que evapora.
• Igualando com o fluxo difusivo de A:
• Separando as variáveis e usando como limites de integração uma 
altura inicial h0 quando t é zero e uma altura qualquer h em um 
certo tempo t:
dt
dh
M
N
A
A
zA

, 










1,
2,
1
1
ln
A
AAB
A
A
y
y
h
CD
dt
dh
M

 









t
A
A
A
ABA
h
h
dt
y
yCDM
hdh
0
1,
2,
1
1
ln
0 
Difusão pseudoestacionária em filme gasoso
• O resultado da integração é:
• Este sistema é o procedimento clássico para determinação do 
coeficiente de difusão de um composto volátil na fase gasosa, 
chamado de célula de Arnold.
• A determinação é geralmente feita através da coleta de diversos 
pontos de h ao longo do tempo e fazendo um ajuste linear de 
y = h2 – h0
2 versus t.
• A partir do coeficiente angular, calcula-se o DAB.
• Deve-se ter cuidado para que a temperatura e a pressão 
permaneçam constantes ao longo do experimento.
t
y
yCDMhh
A
A
A
ABA












1,
2,
2
0
2
1
1
ln
2 
Exemplo 5.5
• Deseja-se determinar experimentalmente a difusividade da
acetona no ar a 20 ºC. Durante a realização do experimento, a
pressão barométrica do sistema foi mantida em 750 mmHg sendo
que a acetona exercia uma pressão de vapor 180 mmHg.
Inicialmente, a superfície de líquido estava a 1,1 cm do topo do
tubo e depois de 8,5 horas a superfície de líquido havia caído 0,55
cm. Assuma que a concentração de acetona no ar no topo do
tubo é desprezível e que a densidade da acetona na temperatura
do sistema é 0,792 g/cm3. A massa molar da acetona é 58 g/gmol.
Difusão pseudoestacionária em filme gasoso
• Também podemos considerar o estado pseudoestacionário para o
problema de uma esfera isolada sofrendo sublimação.
• A taxa molar de transferência de massa pode ser relacionada com
a taxa de variação de volume através da seguinte equação:
• Como o volume é , temos:
• Igualando esta taxa com a taxa obtida para a esfera sublimando:













dt
dV
M
W
A
A
rA

,
3
03
4 RV 

























dt
dR
M
R
dt
Rd
M
W
A
A
A
A
rA
02
0
3
03
4
, 4





















 
0
0
02
0
1
1
ln44
A
A
AB
A
A
y
y
CDR
dt
dR
M
R 
Difusão pseudoestacionária em filme gasoso
• Simplificando a equação e separando as variáveis:
• Usando como limites de integração os valores de R0 em dois
tempos específicos:
• A integral resulta em:
• A difusividade pode ser calculada por:
dt
y
y
CDdRR
M A
A
AB
A
A














 
0
00
1
1
ln

 













 
2
1
2,0
1,0
0
00
1
1
ln
t
t
A
A
AB
R
R
A
A dt
y
y
CDdRR
M
t
t
  12
0
2
2,0
2
1,0
1
1
ln
2
tt
y
y
CD
RR
M A
A
AB
tt
A
A 














 





 
 
  











0
12
2
2,0
2
1,0
1
1
ln2
A
A
A
ttA
AB
y
y
ttCM
RR
D

Exemplo 5.6
• Voltando ao problema da sublimação da esfera de naftaleno
(Exemplo 5.3), refaça o problema levando em consideração que o
raio da esfera muda ao longo do tempo, usando a hipótese de
estado pseudoestacionário para isso.