Transformações Lineares PARTE 2

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Prof. Juscimar Araujo
Curso de A´lgebra Linear
Avaliac¸a˜o II
Engenharia Civil
22.06.2018
Nome:
1. (1,0) Seja T : R3 → R2 um operador linear cuja representac¸a˜o matricial em relac¸a˜o a` base canoˆnica de R3 e´
A = [T ] =
 4 2 0−1 1 0
0 1 2
 .
Determine os autovalores e autovetores de T.
2. (1,0) Seja T : P2(R)→ P2(R)) um operador linear definido por T (a+ bx+ cx2) = b+ ax+ cx2. determine
a representac¸a˜o matricial de T em relac¸a˜o a` base canoˆnica de P2(R).
3. Seja T : R4 → R3 a transformac¸a˜o linear definida por T (x, y, z, t) = (x−y+z+ t, x+2z− t, x+y+3z−3t).
Determine bases para Im[T ] e Nuc[T ].
4. (1,0)
(a) Mostre que os autovalores da matriz 2 X 2
A =
[
a b
c d
]
sa˜o soluc¸a˜o da equac¸a˜o do segundo grau λ2 − tr(A)λ+ det(A) = 0, em que tr(A) e´ o trac¸o de A.
(b) Mostre que os autovalores da matriz A da parte (a) sa˜o λ = 12 (a+ d±
√
(a− d)2 + 4bc).
(c) Mostre que o trac¸o e o determinante da matriz A da parte (a) sa˜o dados por tr(A) = λ1 + λ2 e
det A = λ1λ2 em que λ1 e λ2 sa˜o os autovalores de A.
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