Notas de aula Estruturas Isostaticas En

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Notas de aula – Estruturas Isostáticas - Engenharia Civil 
 Professora: Carmem Lage II/2013 
 
 
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1. FUNDAMENTOS 
1.1. Introdução 
 
 
As estruturas são sistemas físicos constituídos de partes ou componentes interligados e 
deformáveis, capazes de receber e transmitir esforços. Esses componentes necessitam ser 
dimensionados de maneira a resistir, sem serem danificados, ao seu próprio peso e às ações que 
lhe são aplicadas, além de terem rigidez suficiente para não apresentar deformações excessivas 
que venham a prejudicar o uso e a estética dos mesmos. 
O projeto estrutural consiste no desenvolvimento de uma forma material capaz de receber as 
forças atuantes (ações permanentes ou variáveis) e transmiti-las ao solo por meio de fundações 
com o máximo de eficiência global, envolvendo critérios de economia e segurança. 
 
1.2. As grandezas vetoriais força e momento 
 
Força: grandeza vetorial com módulo, direção e sentido. 
 
 
É o resultado da interação entre dois corpos e, portanto, sempre ocorre em pares de ação e 
reação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Diagramas de corpo livre: representações de corpos isolados com indicações de forças 
externas que atuam sobre os mesmos, como ilustra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema cartesiano de referência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Decomposição bidimensional de uma força: 
 
 
 
 
 
Momento de uma força: 
 
O momento de uma força é a medida da tendência que tem a força de produzir giro em um corpo 
rígido. 
 
 
 
 
 
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1.3. Condições de equilíbrio 
Uma estrutura só poderá ser utilizada se estiver em equilíbrio. Uma estrutura é dita em equilíbrio, 
quando a resultante de todas as forças e o momento em qualquer ponto, forem iguais à zero. 
 
NO ESPAÇO: 
 
 
 
 
 
 
 
NO PLANO: 
 
Exemplo da viga: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
 
y
 
z
 
x
 
y
 
z
 
 
0FX =∑ 0MX =∑ 
Translação 0FY =∑ ; rotação 0MY =∑ 
 
0FZ =∑ 0MZ =∑ 
 
0FX =∑ 
translação 0FY =∑ 
 
rotação 0MZ =∑ 
 
Equações de equilíbrio da estática 
Equações de equilíbrio da estática 
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2. NOÇÕES PRELIMINARES DE ESTRUTURAS EM BARRAS 
 
2.1. Introdução 
 
Estruturas: são sistemas físicos capazes de receber e transmitir esforços. 
 
 
Transmissão de forças na estrutura de um edifício. 
 
 
 
 
 
 
2.2. Classificação das estruturas quanto aos elementos componentes 
 
• ESTRUTURAS LINEARES, RETICULARES OU DE BARRAS 
 
Duas dimensões são pequenas em relação à terceira. Exemplos: vigas, treliças, pórticos, grelhas, 
arcos. 
 
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Viga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Treliça 
 
 
 
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Treliça de cobertura 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arcos 
 
 
 
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 Grelha 
 
 
 
Pórticos 
 
 
 
 
 Pórticos 
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• ESTRUTURAS LAMINARES 
 
Uma dimensão é pequena em relação as outras duas. Exemplos: placas (lajes), chapas 
(paredes), cascas etc. 
 
 
 
 
 
Sydney Opera House-Austrália 
 
 
 
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• ESTRUTURAS TRIDIMENSIONAIS 
 
As três dimensões são consideráveis. Exemplos: blocos de fundação, barragens etc. 
 
 
 
 
 
→→→→ Na estática das estruturas são estudadas apenas as estruturas em barras. 
 
 
 
2.3. Idealização e representação de uma barra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.4. Superposição dos efeitos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5. Ações atuantes nas estruturas 
 
 
 
 
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2.5.1 Classificação das cargas quanto à forma de ocorrência 
 
 
 
 
 
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2.5.1 Classificação das cargas quanto à lei de distribuição 
 
 
 
 
 
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Carga distribuída sobre viga 
 
 
 
2.6. Condições de apoio 
 
Os deslocamentos (translação e rotação) de uma estrutura podem no todo ou em parte, serem 
restringidos por vínculos externos denominados APOIOS. 
 
Nas direções dos deslocamentos restringidos ocorrem esforços reativos às ações transmitidas 
pela estrutura aos apoios, denominados REAÇÕES DE APOIO. 
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TIPOS PRINCIPAISDE APOIOS: 
a) Articulado móvel (rotulado móvel ou apoio de 1º gênero): 
Este tipo de apoio oferece apenas uma reação (V) vertical (eixo y), permitindo assim dois tipos de 
movimentos (uma translação no eixo x e uma rotação). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V
 
V
 
x
 
y
 
ou
 
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b) Apoio articulado fixo (apoio de 2º gênero) 
Este tipo de apoio oferece duas reações (V e H), permitindo assim apenas um tipo de movimento 
(o de rotação). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Engastamento 
Este tipo de apoio oferece três reações (V, H e M), não permitindo assim qualquer tipo de 
movimento. 
 
 
 
x
 
y
 
V
 
H
 
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2.7. Esforços seccionais (internos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
 
y
 
V
 
H
 
M
 
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CONVENÇÃO DOS SINAIS DOS ESFORÇOS SECCIONAIS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura - Convenção clássica dos sinais dos esforços seccionais 
Q - 
M + M - 
N: esforço normal 
N - N + 
Q + 
Q: esforço cortante 
M: momento fletor 
T: momento torsor 
lado 
direito 
lado 
direito 
lado 
esquerdo 
lado 
esquerdo 
T + T - 
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A figura anterior apresenta a convenção clássica. 
 
Esforço normal: é positivo se for de tração e negativo se for de compressão. 
 
Esforço cortante: é positivo quando “provoca giro no sentido horário”, ou o que dá no 
mesmo, quando entrando pelo lado esquerdo, for de baixo para cima, e é negativo, em caso 
contrário. 
 
Momento fletor: é preciso escolher uma posição para a definição de lados “superior” e “inferior” 
da barra. Escolhida essa posição, o momento fletor é positivo quando provoca flexão na barra 
com concavidade voltada para o lado superior e é negativo, em caso contrário. Ou o que dá 
no mesmo, o momento fletor é positivo quando “entrando” pelo lado esquerdo esse esforço 
gira no sentido horário e é negativo, em sentido contrário. 
 
Momento torsor: é positivo quando o seu vetor representativo tiver o sentido “de entrar” na 
seção transversal e negativo quando tiver o sentido “de sair” da seção transversal. 
 
 
 
 
 
 
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3. ESTUDO DAS VIGAS 
 
Como toda estrutura em barras, as vigas podem ser hipostáticas, isostáticas ou hiperestáticas 
 
3.1. Classificação das estruturas 
 
A) QUANTO À ESTATICIDADE 
 
• ESTRUTURA HIPOSTÁTICA 
É aquela cujos vínculos não são suficientes para manter o equilíbrio estático, assim sendo, são 
inadequadas às construções. 
 
• ESTRUTURA ISÓSTATICA 
É aquela que possui o nº de vínculos estritamente necessário para manter o equilíbrio estático. 
As reações de equilíbrio são perfeitamente determinadas pelas equações da estática (o número 
de reações é igual ao número de equações). 
 
• ESTRUTURA HIPERESTÁTICA 
 
É aquela que possui mais vínculos que o necessário para manter o equilíbrio estático. As 
equações da estática não são suficientes para o cálculo da estabilidade, pois o número de 
equações é menor que o número de reações, conduzindo à um sistema indeterminado, apesar de 
ser uma estrutura estável. 
 
 
3.2. Vigas mais usuais 
O modelo de estrutura em viga tem barras dispostas sequencialmente em uma mesma linha reta 
horizontal, sob carregamento que a solicita no plano vertical, de maneira que desenvolva o 
momento fletor de vetor representativo normal a esse plano, o esforço cortante e, eventualmente, 
o esforço normal. 
a) Biapoiada (simplesmente apoiada) / Isostática 
 
 
 
b) Biapoiada com balanços / Isostática 
 
 
 
 
c) Balanço (viga engastada e livre ou viga engastada) / Isostática 
 
 
 
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d) Biengastada / Hiperestática 
 
 
 
e) Contínua de dois vãos / Hiperestática 
 
 
 
f) Viga gerber (pode ser decomposta em vigas isostáticas) 
A viga gerber pode ser definida como um conjunto de vigas em que uma ou mais tem estabilidade 
e as outras se apóiam sobre elas. É aplicável em estruturas pré-moldadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Formas de resolução: 
 
� Equações de equilíbrio e momentos nulos nas rótulas 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Decomposição da estrutura (três vigas isostáticas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
rio 
pilar 
fundação 
solo 
N.A. 
rótula 
 
0FX =∑ 
translação 0FY =∑ 
 
rotação 0MZ =∑ 
 
0M
.RÓT =∑ 
 
 
A B C D E F 
VC VD 
HC 
VC HC 
VD 
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3.3. Determinação e representação dos esforços seccionais 
3.3.1. Determinação dos esforços 
 
É feito por meio das equações de equilíbrio da estática utilizando a convenção de sinais do item 
2.7. 
 
3.3.2. Representação dos esforços 
 
São representados graficamente por meio dos diagramas de esforços seccionais traçados 
transversalmente as linhas de referência. 
 
� DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (D.M.F.): é traçado sempre do lado onde as fibras estão 
tracionadas. Assim, o momento fletor positivo é traçado no lado inferior da linha de 
referência (traciona as fibras inferiores) e o momento fletor negativo no lado superior dessa 
linha (traciona as fibras superiores). No concreto armado os vergalhões ou barras de aço 
são utilizados para absorver a tração, portanto são colocados no lado onde está atuando 
este esforço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE (D.E.C.): convencionou-se representar esse esforço, 
quando positivo, no lado superior da linha de referência e, quando negativo, no lado inferior 
dessa linha. 
 
� DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL (D.E.N.): convencionou-se representar esse esforço, 
quando positivo, no lado superior da linha de referência e, quando negativo, no lado inferior 
dessa linha.q 
+ 
- - D.M.F. 
Linha de referência 
M + M - 
Armadura negativa 
Armadura positiva 
+ 
+ 
- 
- 
É adequado acrescentar, que na grande maioria das vezes é suficiente esboçar os 
diagramas dos esforços seccionais com a indicação de seus valores mais 
característicos, tais como esforços nos apoios e esforços máximos. 
 
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3.3.3. Carregamentos distribuídos mais utilizados na prática com as suas resultantes e os seus 
pontos de aplicação. 
 
 
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3.3.4. Alguns casos de carregamento em vigas 
a) Viga biapoiada com carga concentrada no meio do vão 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
1. Reações de apoio: 
 
0H0F AH =⇒=∑ 
PVV0PVV0F BABAV =+⇒=−+⇒=∑ 
2/PV02/-PV0M AAB =⇒=⋅⋅⇒=∑ l l 
2/PVB =∴ 
 
2. Momento fletor 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considera-se a coordenada x a partir da extremidade esquerda, de maneira que defina a 
posição da seção transversal genérica S. “Entrando pelo lado esquerdo”, tem-se a equação 
de momento fletor: 
 
 
 
 
 
 
 
2/x 0; xVMs A l ≤≤⋅= 
x2/PMs ⋅=∴ (variação linear) 
0M0xse =⇒= (momento no apoio A) 
4
PM2/xse ll ⋅=⇒= (momento em C) 
Para x≥ l/2: 
 
 
 
 
 
 
 l 
P 
l/2 l/2 
A B 
x
 
y
 
x 
l 
2P/VA = 
l/2 l/2 
2P/VB = 
S 
P 
A B C 
2P/VA =
x 
S 
A 
2P/VA = 
l/2 
S 
x 
P 
A 
(esq.)
 
l 
2P/VA = 
P 
l/2 l/2 
2P/VB = 
A B 
0HA = 
M + 
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 l )2/x(PxVMs A −⋅−⋅= 
( )x
2
P2/Px2/PMs −=⋅+⋅−=∴ ll 
4
PM2/xse ll ⋅=⇒= (momento em C = momento máximo) 
0Mxse =⇒= l (momento no apoio B) 
 
3. Esforço cortante 
 
Considera-se a coordenada x a partir da extremidade esquerda, de maneira que defina a 
posição da seção transversal genérica S. “Entrando pelo lado esquerdo”, tem-se a equação 
de esforço cortante: 
 
 
 
 
 
 
2
PVQ02/x0para A +==⇒=<≤ l (constante) 
2
PQA =∴ (esforço cortante no apoio A) 
 
Seção C: 
• Esforço cortante imediatamente à esquerda de C: 
2
PQQc Aesq +== 
• Esforço cortante imediatamente à direita de C: 
2
PP
2
PPQQc Adir −=−+=−= 
 
Para x> l/2: 
 
2
QQ Pcdir −== (esforço cortante no apoio B) 
 
Ou “entrando pelo lado direito”: 
2
PVQ BB −=−=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Esforço normal 
0HNNN ACBA ==== 
2P/VA =
x 
S 
A 
l 
2P/VA = 
P 
l/2 l/2 
2P/VB = 
A B 
(esq.)
 
(dir.)
 
Q - 
Q + 
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5. Diagramas dos esforços 
 
Com os resultados anteriores, são traçados os diagramas mostrados na próxima figura, 
onde se observa que a área compreendida pelo trecho do esforço cortante positivo é 
numericamente igual à área correspondente ao trecho do esforço cortante negativo. E 
importa observar também que o diagrama do momento fletor é simétrico e que o diagrama 
do esforço cortante é antissimétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Viga biapoiada com carga uniformemente distribuída 
 
 
Solução: 
 
1. Reações de apoio: 
 
0H0F AH =⇒=∑ 
ll ⋅=+⇒=⋅−+⇒=∑ qVV0qVV0F BABAV 
2/qV02/-qV0M AAB lll l ⋅=⇒=⋅⋅⋅⇒=∑ 
2/qVB l⋅=∴
 
 
2. Momento fletor 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
A B 
+ 
- 
D.E.C. 
D.M.F. 
-P/2 
+P/2 
+ 
Pl/4 
C 
0HA = 
A B 
l 
2/qVB l= 2/qVA l= 
q 
q.l 
l/2 
l 
 
q 
A B 
x 
S 
2/qVA l= 2/qVB l= 
C 
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Considera-se a coordenada x a partir da extremidade esquerda, de maneira que defina a 
posição da seção transversal genérica S. “Entrando pelo lado esquerdo”, tem-se a equação 
de momento fletor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
x
x-qxVMs A ⋅⋅⋅= 
2
xq
2
xqMs
2
⋅
−
⋅⋅
=∴
l (variação parabólica) 
0M0xse =⇒= (momento no apoio A) 
8
qM2/xse
2
l
l
⋅
+=⇒= (momento no meio do vão = momento máximo) 
 0
2
q
2
qMxse
22
=
⋅
−
⋅
=⇒=
ll
l (momento no apoio B) 
 
 
3. Esforço cortante 
 
Considera-se a coordenada x a partir da extremidade esquerda, de maneira que defina a 
posição da seção transversal genérica S. “Entrando pelo lado esquerdo”, tem-se a equação 
de esforço cortante: 
 
 
 
 
 
 
 
2
qVQ AA l⋅=+= (esforço cortante no apoio A) 
Seção C: 
• Esforço cortante imediatamente à esquerda de C: 0
2
q
2
q
xqQQc Aesq =
⋅
−
⋅
+=⋅−=
ll
 
• Esforço cortante imediatamente à direita de C: 0QcQc esqdir == 
2
qq
2
qqVQ AB llll ⋅−=⋅−⋅=⋅−+= (esforço cortante no apoio B) 
 
4. Esforço normal 
0HNNN ACBA ====
 
 
 
 
 
(esq.)
 
q 
2/qVA l⋅= 
x 
S 
A 
(esq.)
 
q 
2/qVA l⋅= 
x 
S 
A 
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5. Diagramas dos esforços 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSTRUÇÃO GRÁFICA DA PARÁBOLA DO SEGUNDO GRAU: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� A partir do ponto médio da linha de referência AB , marca-se transversalmente um 
segmento representativo de ( )4/q 2l⋅ (dobro do momento fletor máximo ( )8/q 2l⋅ , de 
maneira a obter o ponto C. 
� Traçam-se os segmentos ACe BC . 
� Divide-se cada um desses dois segmentos em um número de partes iguais, como 
em 4 partes, por exemplo. 
� Traçam-se segmentos, por união alternada, dos pontos obtidos com as divisões 
anteriores. 
� A parábola do segundo grau é traçada a partir dos pontos A e B de forma a 
tangenciar os referidos segmentos. 
c) Viga biapoiada com carga distribuída triangular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.E.C. 
D.M.F. 
C A B 
q 
2/q l⋅− 
2/q l⋅+ 
+ 
- 
 
+ 
8/q 2l⋅ 
Divisão em 
partes iguais 
C 
x
 
y
 
 
A B 
l 
q 
l/3 
l 
0HA = 
 
A B 
q 
3/qVB l= 6/qVA l= 
2/q l⋅ 
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Solução: 
 
1. Reações de apoio: 
 
0H0F AH =⇒=∑ 
2/qVV02/qVV0F BABAV ll ⋅=+⇒=⋅−+⇒=∑ 
6/qV03/2/-qV0M AAB lll l ⋅=⇒=⋅⋅⋅⇒=∑ 
3/qVB l⋅=∴
 
 
2. Esforço cortante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
qVQ AA l⋅=+= (esforço cortante no apoio A) 
l
l
l
l
l ⋅
⋅
−
⋅
=⇒⋅
⋅
−
⋅
=⋅
⋅
−+=
2
xq
6
qQs
2
xxq
6
q
2
xxqVQs
2
A (parábola do segundo grau) 
3
qVQ BB l⋅−=−= (esforçocortante no apoio B) 
 
 
 
3. Momento fletor: 
 
3
x
2
xxq
-xVMs A ⋅





⋅
⋅
⋅=
l
 
l
l
⋅
⋅
−
⋅⋅
=∴
6
xq
6
xqMs
3
(parábola do terceiro grau) 
0M0xse =⇒= (momento no apoio A) 
 
O momento máximo ocorre na seção do esforço cortante nulo: 
l
l
l
l 57735,0
3
3
x0
2
xq
6
q0Q
2
≅=⇒=
⋅
⋅
−
⋅
⇒= 
2
2
q06415,0
243
qM57735,0xse lll ⋅⋅≅⋅+=⇒= (momento máximo) 
 0
6
q
6
qMxse
22
=
⋅
−
⋅
=⇒=
ll
l (momento no apoio B) 
 
 
l 
0HA = 
 
A B 
q 
3/qVB l= 6/qVA l= 
S 
x 
⇒ 
S A 
6/qVA l= 
x 
x/3 
2
xxq
⋅
⋅
l
 
l
xqq0
⋅
= 
x
qq 0
=
l
 
Área do triângulo 2
hb ⋅
 
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32 
 
 
4. Esforço normal 
0HNN ABA === 
 
5. Diagramas dos esforços 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Viga biapoiada sob momento concentrado 
 
 
 
Solução: 
 
1. Reações de apoio: 
 
0H0F AH =⇒=∑ 
BABAV VV0VV0F −=⇒=+⇒=∑ 
l l /MV0-MV0M AAB =⇒=⋅⇒=∑ 
l/MVB −=∴ 
 
2. Esforço cortante: 
 
 
 
 
 
 
l
MVQ AA =+= (esforço cortante no apoio A) 
l
MVQs A =+= 
 
 
D.E.C. 
D.M.F. 
A B 
l 
q 
+ 
0,57735 l 
3/q l⋅− 
6/q l⋅ 
2
.máx q06415,0M l⋅⋅= 
- 
- 
M
b a 
A B 
0HA = 
l/MVA = l/MVB −= 
M
S 
b a 
A B 
l 
(esq.)
 x 
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33 
 
 
3. Momento fletor: 
 
Para 0≤x≤a: xMxVMs A ⋅=⋅=
l
 
 
 0M:0xse == (momento fletor no apoio A) 
 
a
MM:axse ⋅==
l
(momento fletor à esquerda da carga momento) 
Para a≤x≤l: ( )xMMxM-MxVMs A −−=−⋅=⋅= l
ll
 
 
bMM:axse ⋅==
l
(momento fletor à direita da carga momento)
 
 
0M:xse == l (momento fletor no apoio B) 
 
 
 
 
 
 
e) Viga em balanço sob carga uniformemente distribuída 
 
 
Solução: 
 
1. Reações de apoio: 
 
0H0F AH =⇒=∑ 
ll ⋅=⇒=⋅−⇒=∑ qV0qV0F AAV 
b-a
ba
=∴
=+
l
l
 
 
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34 
 
 
2
qM0
2
q-MV0M
2
AAAB
ll
l l
⋅
=⇒=⋅⋅−⋅⇒=∑
 
 
 
Esforço cortante: 
 
 
 
Cortante na seção S:
 
xqVQ AS ⋅−+= (⇒ diagrama linear) 
Cortante no apoio A (x=0): l⋅=+= qVQ AA 
Cortante no apoio B (x=l): 0qqqVQ AB =⋅⋅=⋅−+= l-ll 
 
2. Momento fletor: 
 
Momento fletor na seção S:
 2
x
xqMxVM AAS ⋅⋅−⋅+= − (⇒ diagrama parabólico) 
Momento fletor no apoio A (x=0): 
2
qMM
2
AA
l
⋅−=−= 
Momento fletor no apoio B (x=l): 0
2
q
2
qq
2
qMVM
22
2
2
AAB =⋅−⋅−⋅=⋅−−⋅+=
ll
l
l
l 
 
 
 
 
 
 
 
 
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35 
 
 
f) Uniforme parcial 
 
 
g) Triangular parcial 
 
 
h) Trapezoidal 
 
 
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36 
 
 
Exemplos: 
 
1 – Seja a viga biapoiada com um balanço. Calcular as reações de apoio, os esforços e 
desenhar os diagramas dos esforços. 
 
 
 
 
a) Reações de apoio: 
 
 
0H0F BH =⇒=∑ 
kN0,100VV07102010VV0F BABAV =+⇒=⋅−−−+⇒=∑ 
kN0,73V05,2205,37105V7100M AAB =⇒=⋅−⋅⋅−⋅+⋅−⇒=∑ 
kN0,27VB =∴ 
 
 
b) Esforço cortante: 
 
⇒ Considerando o efeito das forças atuantes à esquerda. 
 
kN10QD −= 
kN0,30)210(10Q esq,A −=⋅−+−= 
kN0,437330V)210(10Q Adi,A =+−=+⋅−+−= 
kN0,18733025435,210QQ di,Aesq,C =+−=−=⋅−= 
kN0,2201820QQ esq,Cdir,C −=−=−=
 
kN0,272525,210QQ dir,CB −=−−=⋅−=
 
 
 
 
 
 
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37 
 
 
c) Momento fletor: 
 
⇒ Considerando o efeito das forças atuantes à esquerda. 
 
0MD =
 kNm0,40)1210(210MA −=⋅⋅−+⋅−=
 
kNm25,365,273)25,25,410(5,410MC =⋅+⋅⋅−+⋅−=
 
05,2200,573)5,30,710(0,710MB =⋅−⋅+⋅⋅−+⋅−=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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38 
 
 
2 – Seja a viga biapoiada. Calcular as reações de apoio, os esforços e desenhar os 
diagramas dos esforços. 
 
 
 
a) Reações de apoio: 
 
 
0H0F AH =⇒=∑ 
kN75,83VV0
2
5,21531520VV0F BABAV =+⇒=⋅−⋅−−+⇒=∑ 
( ) kN38,22V05,2
3
1
2
5,2155,13153205V0M AAB =⇒=⋅⋅




 ⋅
+⋅⋅−⋅−⋅⇒=∑ 
kN37,61VB =∴
 
 
b) Esforço cortante: 
 
⇒ Considerando o efeito das forças atuantes à esquerda. 
 
kN38,22VQ AA =+= 
kN38,22Q esq,C = 
kN38,22038,22Q di,C =−= 
kN62,424538,20,315QQ di,Cesq,B −=−=⋅−= 
kN75,1837,6162,42VQQ Besq,Bdir,B +=+−=+=
 
075,1875,18
2
5,215QQ esq,BD =−=⋅−=
 
 
 
 
 
 
 
 
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39 
 
 
 
c) Momento fletor: 
 
⇒ Considerando o efeito das forças atuantes à esquerda. 
 
0MA =
 kNm76,44238,22MC =⋅=
 ( ) kNm6,155,1315320538,22MB −=⋅⋅−⋅−⋅=
 
0MD =