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Disciplina: CEL0687 - FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 
	
	 
	Ref.: 201605853636
		
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Determine 2-4  em (Z, +).
		
	 
	-8
	
	8
	 
	-4
	
	2
	
	4
	
	 
	Ref.: 201605853606
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Podemos verificar de maneira mais simples a existência de subgrupo através de uma proposição. Marque a alternativa que apresenta corretamente essa proposição.
		
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se  é  satisfeita a seguinte propriedade:  ∀ h1,h2 ∈H, temos  h1h2 ∈H.  
	 
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, são satisfeitas as seguintes propriedades: 
∀ h1,h2 ∈H, temos  h1h2 ∈H   e
 ∀ h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈H.
	
	Então H é um subgrupo de G se é  satisfeita  a seguinte propriedade:   
 ∀ h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈H.
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade:  Para todo h1,h2 ∈ H  temos  h1h2 ∈ H.
 
 
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade:  Para todo h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈H.
	
	 
	Ref.: 201605837739
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine os geradores de G.
		
	
	C e F
	
	B e C
	 
	B, D e E
	 
	A e F
	
	A e D
	
	 
	Ref.: 201605853599
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considere o grupo (Z10,+).  Determine o subgrupo gerado pelo elemento 3.
		
	 
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}.
	 
	Z10 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}.
	
	 
	Ref.: 201605853615
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o subconjunto 3Z = {3X / x ∈Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
 
		
	 
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
 
	
	Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x).   Logo, t-1  ∈3Z
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y = 3(x + y). Logo, t*u ∈ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	 
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈ 3Z.
Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x).   Logo, t-1  ∈3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∉ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	 
	Ref.: 201605837742
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um elemento de G.
		
	
	x = a
	 
	x = c  
	 
	x = b
	
	x = d
 
	
	x = f
	
	 
	Ref.: 201605853640
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G.
		
	 
	x = f
	
	x = c
	 
	x = b
	
	x = d
	
	x = a
	
	 
	Ref.: 201605853600
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Seja (G,*) um grupo. Se R e S são subgrupos de G então R ∩ S é um subgrupo de G. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição.
		
	
	Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos de G. R e S contém o elemento e ∈G, assim e ∈R ∩ S  . Considere dois elementos x, y ∈R ∩ S. Pela teoria dos conjuntos x,y ∈ R e x,y ∈S. Agora considerando um elemento x ∈R ∩ S  , temos x ∈ R e x ∈S, pela hipótese x-1 ∈R e x-1 ∈S , temos então x-1 ∈R ∩ S. Portanto, R ∩ S é um subgrupo de G.
	
	Por hipótese G é um grupo e R subgrupo de G. R contém o elemento e  ∈ G. Isso mostra que R ∩ S ≠ Ø. Considere dois elementos  x, y ∈R ∩ S  .Pela hipótese xy ∈ R e xy ∈ S então  xy ∈ R ∩ S  . Agora considerando um elemento x∈ R ∩ S  , temos x ∈ R e x ∈ S,  pela hipótese  x-1∈ R e x-1 ∈ S , temos então x-1 ∈ R ∩ S. Portanto, R ∩ Sé um subgrupo de G.
	 
	Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos de G. R e S contém o elemento e ∈G, assim e ∈R ∩ S . Isso mostra que R ∩ S ≠ Ø. Considere dois elementos x, y ∈R ∩ S. Pela teoria dos conjuntos x,y ∈R e x,y ∈S. Pela hipótese  xy ∈R e xy ∈S então  xy ∈ R ∩ S  . Agora considerando um elemento x∈ R ∩ S  , temos x ∈ R e x ∈S, pela hipótese x-1 ∈R e x-1 ∈S , temos então x-1 ∈R ∩ S. Portanto, R ∩ S é um subgrupo de G.
	
	Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos de G. R e S contém o elemento e ∈ G, assim e ∈ R ∩ S  . Isso mostra que R ∩ S ≠ Ø. Considere um elemento x ∈ R ∩ S  , temos x ∈ R e x ∈ S, pela hipótese  x-1 ∈ R e x-1 ∈ S , temos então x-1 ∈  R ∩ S. Portanto, R ∩ Sé um subgrupo de G.
	
	Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos de G. R e S contém o elemento e ∈ G, assim e ∈ R ∩ S . Isso mostra que R ∩ S ≠ Ø. Considere dois elementos x, y ∈ R ∩ S. Pela teoria dos conjuntos x,y ∈ R e x,y ∈ S. Pela hipótese xy ∈ R e xy ∈ S então  xy ∈ R ∩ S  . Portanto, R ∩ S é um subgrupo de G.