LISTA EDPS 02

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LISTA 02
SEÇÃO 10.3
1 a + b. A função dada é assumida como periódica com #P œ #. O cosseno de Fourier
coeficientes são dadas por
"P
+! œ (0 a B b .B
P P
œ (a  "b .B  (a" b .B
!
 "
œ! ,
"
!
e para 8 ! ,
"P
8 1 B
+ 8 œ (0 a B b -9 =
.B
P P
P
œ  (-9 = 8 1 B .B  (-9 = 8 1 B .B
!
 "
"
!
œ! Þ
Os coeficientes de seno de Fourier são dados por
, 8 œ
"P
8 1 B
.B
(0 a B b = 38
P P
P
œ  (= 38 8 1 B .B  (= 38 8 1 B.B
!
 "
"
!
"9 -9 = 8 1
œ #
º
8 1
Portanto, a série de Fourier para a função especificada é
0 a B b œ
% _
"
"
= 38 a # 8  "b 1 B.
1 8 œ "# 8 "
The function is piecewise continuous on each finite interval. The points of discontinuity
are at integer values of B . At these points, the series converges to
k 0 a B  b  0 a B  b k œ ! .
2.
2a. Substituindo para f (x) nas Eqs. (2) e (3) com L = π
π
produz um 0 = (1 / π) xdx = π / 2;
∫
a m = (1 / π)
b m
∫
0
π
xcosmxdx = (cosmπ - 1) / πm 2 = 0 para m e
0
= -2 / πm 2 para m ímpar; e
π
= (1 / π) xsinmxdx = - (πcosmπ) / mπ = (-1) m + 1 / m,
∫
0
m = 1,2 ... Substituindo estes valores na Eq. (1) com
L = π produz a solução desejada.
2b. A função para a qual a série converge é indicada
na figura e é periódico com o período 2π. Observe que
a série de Fourier converge para π / 2 em x = −π, π, etc.,
mesmo que a função esteja definida como zero.
Este valor (π / 2) representa o valor médio da esquerda
e limites à direita nesses pontos. Em (−π, 0),
f (x) = 0 e f ′ (x) = 0, então tanto f como f ′ são contínuos e
tem limites finitos como x → −π da direita e como
x → 0 da esquerda. Em (0, π), f (x) = x e f ′ (x) = 1
e novamente tanto f como f ′ são contínuos e têm limites como
x → 0 da direita e como x → π da esquerda. Desde a
f e f ′ são contínuos por partes em [−π, π]
condições do teorema de Fourier são satisfeitas.
3.
3 a + b. A função dada é assumida como periódica com X - #P. O cosseno de Fourier
coeficientes são dadas por
"P
(0 a B b .B
P P
"!
"P
œ (a P  B b .B  (a P  B b .B
P P
P!
œ P,
+! œ
e para 8 ! ,
"P
8 1 B
.B
(0 a B b -9 =
P P
P
"!
8 1 B
"P
8 1 B
œ (a P  B b -9 =
.B  (a P  B b -9 =
.B
P P
P
P!
P
"9 -9 = 8 1
œ #P
º
8 # 1 #
+ 8 œ
Os coeficientes de seno de Fourier são dados por
"P
8 1 B
.B
(0 a B b = 38
P P
P
"!
8 1 B
"P
8 1 B
œ (a P  B b = 38
.B  (a P  B b = 38
.B
P P
P
P!
P
œ! Þ
Portanto, a série de Fourier da função especificada é
0 a B b œ
P% P _
"
a # 8  "b 1 B
 # "
-9
.
#
#
1 8 œ "a # 8 " b
P
a, b. Para P œ ",
Observe que 0 a B b é contínuo. Baseado no Teorema "! Þ $ Þ", a série converge para o
função contínua 0 a B b
4.
4a. Substituindo por f (x) nas Eqs. (2) e (3), com L = 1
produz um 0 =
∫
1
(1-x 2) dx = 4/3; a n =
b n
∫
1
∫
(1-x 2) cosnπxdx = (2 / nπ)
-1
1
 -
= (-2 / n 2 π 2) [xcosnπx 
 -1
= 4 (-1) n + 1 / n2 π 2; e
1
=
(1-x 2) sinnxxdx = 0.
∫
1
xsinnπxdx
-1
1
cosnπxdx]
-1
∫
Substituindo esses valores
-1
na Eq. (1) dá a série desejada.
4b. A função para a qual a série converge é mostrada em
a figura e é periódico do período fundamental 2. Em
[-1,1] f (x) e f ′ (x) = -2x são contínuos e têm
limites finitos como os pontos finais do intervalo são
aproximado de dentro do intervalo.
5.
5 a + b. A função dada é assumida como periódica com #P œ # 1. O cosseno de Fourier
coeficientes são dados por e para 8 ! Os coeficientes de seno de Fourier são dados por Observe que Portanto a série de Fourier da função especificada é a, b.
A função dada é contínua por partes, com descontinuidades em múltiplos ímpares de 1A.
Em B œ a # 5  "b1 Î #, 5 œ! ß" ß # ß â, a série converge para
k 0 a b.  b  0 a B.  b k - "Î #.
SEÇÃO 10.4
17.
17. P - 1. Para uma extensão uniforme da função, os coeficientes do seno são zero.
Os coeficientes de cosseno são dados por
e para 8 ! ,
A extensão uniforme da função dada é uma função constante. Como esperado, o Fourier
série cosseno é
19.
19. P - $ 1. Para uma extensão ímpar da função, os coeficientes de cosseno são zero. o
coeficientes seno são dadas por
Portanto, a série seno de Fourier da função especificada é
22.
Estender a função no intervalo c  P ß P d as
com 0 a! b! . Como a função estendida é ímpar, os coeficientes de cosseno são zero. o
coeficientes seno são dadas por
Portanto, a série de cosseno de Fourier da função estendida é
Definindo P #, por exemplo, a série converge para a função representada abaixo:
24.
24 a + b. P - 1. Para uma extensão ímpar da função, os coeficientes de cosseno são zero.
Note que 0 a B b -  B on! Ÿ B  1. Os coeficientes do seno são dados por
Portanto, a série seno de Fourier da função dada é
25.
27.
P - $. Para uma extensão uniforme da função, os coeficientes de cosseno são dados por
e para 8 ! ,
Portanto, a série de cosseno de Fourier da função dada é
Para uma extensão ímpar da função, os coeficientes do seno são dados por
Portanto, a série seno de Fourier da função dada é
a - b. Para a extensão uniforme:
Para a extensão ímpar:
uma . b. Como a extensão uniforme é contínua, a série converge uniformemente. No
de outros
Por outro lado, a extensão ímpar é descontínua. O fenômeno de Gibbs resulta em um erro finito para
todos os valores de 8.
28.
28b.Para a série cosseno (mesmo extensão) temos
28d. O erro máximo não se aproxima de zero em nenhum dos casos,
devido ao fenômeno de Gibb. Note que os coeficientes em
ambas as séries se comportam como 1 / n como n → ∞ desde que há um
n no numerador.
SEÇÃO 10.5
1.
1. Consideramos soluções do formulário? a B ß> b œ \ a B b X a> b. Substituição no parcial
equação diferencial resulta em
B \ ww X  \ X w œ! .
Divida os dois lados da equação diferencial pelo produto \ X para obter
B
\ ww
X w

œ ß
\
X
de modo a
B
\ ww
X w
œ 
.
\
X
Como os dois lados da equação resultante são funções de variáveis ​​diferentes, cada um deve
ser igual a uma constante, digamos -. Obtemos as equações diferenciais ordinárias
B \ ww - -! e X w  - X -
2.
2. A fim de aplicar o método de separação de variáveis, consideramos soluções do
Formato ? a B ß> b œ \ a B b X a> b. Substituindo a forma assumida da solução em parcial
equação diferencial, obtemos
> \ ww X  B \ X w œ! .
Divida ambos os lados da equação diferencial pelo produto B> \ X para obter
\ ww
X w

œ ß
B \
> X
de modo a
\ ww
X w
œ 
.
B \
> X
Como os dois lados da equação resultante são funções de diferentes variáveis, segue
aquele
\ ww
X w
œ 
œ -.
B \
> X
Portanto \ a B b e X a> b são soluções das equações diferenciais ordinárias
\ ww  - B \! e X w  -> X œ! .
3.
3. Buscamos soluções da forma u (x, t) = X (x) T (t).
Substituindo no P.D.E. produz X′′T + X′T ′ + XT ′ =
X′′T + (X ′ + X) T ′ = 0. Divisão formal pela quantidade
(X ′ + X) T dá a equação X ′ ′ / (X ′ + X) = -T ′ / T em que
as variáveis ​​são separadas. Para esta equação
para ser válido no domínio de u é necessário que tanto
os lados devem ser iguais à mesma constante λ. Conseqüentemente
X ′ ′ / (X ′ + X) = -T ′ / T = λ ou equivalentemente,
X ′ ′ - λ (X ′ + X) = 0 e T ′ + λT = 0.
4.
4. Suponha que a solução do PDE tenha o formulário? a B ß> b œ \ a B b X a> b. Substituição
na equação diferencial parcial resulta em
c: a B b \ w d X  <a B b \ X ww œ! .
W
Divida ambos os lados da equação diferencial pelo produto <a B b \ X para obter
c: a B b \ w d w
X ww

œ ß
<a B b \
X
isso é,
c: a B b \ w d w
X ww
œ
.
<a B b \
X
Como os dois lados da equação resultante são funções de variáveis ​​diferentes, cada um deve
ser igual a uma constante, digamos  -. Obtemos as equações diferenciais ordinárias
c: a B b \ w d  - <a B b \! e X ww - X -! 
5.
5. Buscamos soluções da forma u (x, y) = X (x) Y (y).
Substituindo no P.D.E. rende XY + (x + y) XY ′ ′ =
X′′Y + xXY ′ ′ + yXY ′ ′ = 0. Divisão formal por rendimentos XY
X ′ ′
/ X + xY ′ ′ / Y + aa ′ ′ / Y = 0. A partir desta equação, vemos que
a presença da variável independente x multiplicando
o termo uyy na equação original leva ao termo
xY ′ ′ / Y quando tentamos separar as variáveis. isto
Segue-se que o argumento para uma constante de separação faz
não realizar e não podemos substituir o P.D.E. por dois
ODE.
6.
6. Consideramos soluções da forma? a B ß C b - \ a B b] a C b. Substituição no parcial
equação diferencial resulta em
\ ww] \] ww \ B \]! .
Divida os dois lados da equação diferencial pelo produto \] para obter
\ ww
] ww

Bœ! ß
\
]
isso é,
\ ww
] ww
Bœ 
º
\
]
Como os dois lados da equação resultante são funções de diferentes variáveis, segue
aquele
\ ww
] ww
Bœ 
œ  -.
\
]
Obtemos as equações diferenciais ordinárias
\ ww  a B  - b \ œ! e] ww  -] œ! .
9.
9. O problema de condução de calor é formulado como
? BB - >,
? uma ! ß> b œ! ,
? um B ß! b œ &! ,
!  B %! >! uma
? uma %! ß> b œ! >! uma
!  B %! .
Suponha uma solução do formulário? a B ß> b œ \ a B b X a> b. Seguindo o procedimento neste
seção, obtemos as funções próprias \ 8 œ = 38 8 1 BÎ%! , com autovalores associados
- 8 - 8 # 1 # / "'!!. As soluções das equações temporais são
X 8 œ / - 8> Þ
Por isso, a solução geral do problema dado é
? a B ß> b œ "- 8 /  8 1> Î" '!! = 38
_
8œ "
# #
8 1 B
º
%!
Os coeficientes - 8 são os coeficientes de seno de Fourier de? um B ß! b œ &! . Isso é,
# P
8 1 B
.B
(0 a B b = 38
P!
P
&%!
8 1 B
œ (= 38
.B
#!
%!
"9 -9 = 8 1
œ "!!
º
8 1
- 8 œ
A série seno da condição inicial é
&! œ
"!! _"  -9 = 8 1
8 1 B
"
= 38
.
1 8œ "
8
%!
Portanto, a solução do problema de condução de calor é
"!! _" 9 -9 = 8 1 8 # 1 #> Î "'!!
8 1 B
"
? a B ß> b œ
/
= 38
10.
10. Desde o B.C. para este problema de condução de calor são
u (0, t) = u (40, t) = 0, t> 0, a solução u (x, t) é dada
pela Eq. (19) com α 2 = 1 cm 2 / seg, L = 40 cm, ea
coeficientes c n determinados pela Eq. (21) com o I.C.
u (x, 0) = f (x) = x, 0 ≤ x ≤ 20; = 40 - x, 20 ≤ x ≤ 40.
11.
11. Consulte o Prob. * para a formulação do problema. Neste caso, a condição inicial
É dado por
Ú! ß
? um B ß! b - Û &! ß
Ü! ß
! Ÿ B  "! ß
"! Ÿ B Ÿ $! ß
$!  B Ÿ%! .
Todos os outros dados são os mesmos, a solução do problema dado é
Os coeficientes - 8 são os coeficientes de seno de Fourier de? um B ß! b. Isso é,
# P
8 1 B
.B
(0 a B b = 38
P!
P
& $!
8 1 B
œ (= 38
.B
# "!
%!
-9 = 8% 1 9 -9 = $ 8% 1
œ "!!
º
8 1
- 8 œ
Portanto, a solução do problema de condução de calor é
12.
12. Consulte o Prob. * para a formulação do problema. Neste caso, a condição inicial
É dado por
? um B ß! b - B,!  B %! .
Todos os outros dados são os mesmos, a solução do problema dado é
? a B ß> b œ "- 8 /  8 1> Î" '!! = 38
_
8œ "
# #
8 1 B
º
%!
Os coeficientes - 8 são os coeficientes de seno de Fourier de? um B ß! b - B. Isso é,
# P
8 1 B
- 8 œ (0 a B b = 38
.B
P!
P
"%!
8 1 B
œ
.B
(B = 38
#! !
%!
-9 = 8 1
œ )!
º
8 1
Portanto, a solução do problema de condução de calor é
18.
18a. Desde o B.C. para este problema de condução de calor são
u (0, t) = u (20, t) = 0, t> 0, a soluç˜ao u (x, t) é dada por
Eq. (19) com L = 20 cm, e os coeficientes c n determinados por
Eq. (21) com o I.C. u (x, 0) = f (x) = 100 o C. Assim
20
c n = (1/10)
(100) sin (nxx / 20) dx = -200 [(- 1) n-1] / n?
e, portanto
c 2n = 0 e c 2n-1 = 400 / (2n-1) π.
na Eq. (19) rendimentos
400
u (x, t) =
π
∞
∑
n = 1
e - (2n − 1) π α
2n − 1
Substituindo esses valores
2 2 2 t / 400
pecado
(2n − 1) πx
20
18b. Para o alumínio, temos α 2 = 0,86 cm 2 / seg (da Tabela
10.5.1) e assim os dois primeiros termos dão
400 −π 2 (0,86) 30/400
1 −9π 2 (0,86) 30/400
u (10,30) =
{e
-
e
}
π
3
= 67,228 o C. Se um termo adicional for usado, o
a temperatura é aumentada
80 −25π 2 (0,86) 30/400
e
= 3 × 10 −6 graus C.
19.
19. A solução do problema de condução de calor é
? a B ß> b œ
# !! _ " -9 = 8 1 8 # 1 #! #> Î% !!
8 1 B
"
/
= 38
º
1 8œ "
8
#!
Definindo B - "! -7,
# !! _ " -9 = 8 1 8 # 1 #! #> Î% !!
8 1
"
? a "! ß> b œ
/
= 38
º
1 8œ "
8
#
Uma aproximação de dois termos é dada por
? um "! ß> b"
% !!
# #
# #
'$ /  1! > Î% !!  /  * 1! > Î% !! " º
US $ 1
Da tabela "! Þ & Þ" À
SEÇÃO 10.6
1.
1. A solução de estado estacionário, @ a B b, satisfaz o problema do valor limite
@ ww a B b œ! !  B  &! , @ uma ! b œ "!, @ a &! b œ%!.
A solução geral da ODE é @ a B b œ EB  F. Impondo as condições de contorno,
temos
2.
2. A solução de estado estacionário, @ a B b, satisfaz o problema do valor limite
@ ww a B b œ! !  B %! , @ uma ! b - $! , @ uma %! b -  #! .
A solução do ODE é linear. Impondo as condições de contorno, temos
3.
3. A distribuição de temperatura em estado estacionário v (x) deve
satisfazer a Eq. (9) e também se satsify o B.C. v x (0) = 0,
v (L) = 0. A solução geral de v ′ ′ = 0 é
v (x) = Ax + B. O B.C. v x (0) = 0 implica A = 0 e depois
v (L) = 0 implica B = 0, então a solução de estado estacionário é
v (x) = 0.
SEÇÃO 10.7
1.
1a. Como a velocidade inicial é zero, a solução é dada
Eq. (20) com os coeficientes c n dados pela Eq. (22).
Substituindo f (x) na Eq. (22), produz
2 l / 2 2x
nπx
nπx
L 2 (L − x)
c n =
[
pecado
dx +
pecado
dx]
L / 2
L 0
eu
eu
eu
eu
8
nπ
= 2 2 pecado
. Assim Eq. (20) torna-se
2
n π
∫
u (x, t) =
∫
8
π 2
∞
nπat
cos
.
1e. Os gráficos da parte b podem ser melhor compreendidos usando a Eq. (28)
(ou os resultados dos Problemas 13 e 14). O original
forma triangular é composta por dois triângulos semelhantes de
1/2 a altura, um dos quais se move para a direita, h (x-at),
e o outro para a esquerda, h (x + at). Lembrando que o
séries são periódicas, em seguida, dá os resultados mostrados. o
gráficos na parte c podem ser visualizados a partir daqueles em
parte b.
2.
2 a + b. A velocidade inicial é zero. Portanto, a solução, como dada pela Eq. uma #! b, é
? a B ß> b œ "- 8 = 38
_
8œ "
8 1 B
8 1 +>
-9
,
P
P
em que os coeficientes são os coeficientes de seno de Fourier de 0 a B b. Isso é,
Portanto, o deslocamento da corda é dado por
a, b. Com + œ "e P œ"! ,
5.
5 a + b. O deslocamento inicial é zero. Portanto, a solução, como dada pela Eq. um $% b, é
? a B ß> b œ "5 8 = 38
_
8œ "
8 1 B
8 1 +>
= 38
,
P
P
em que os coeficientes são os coeficientes de seno de Fourier de? > um B ß! b - 1 a B b. Segue-se
aquele
Portanto, o deslocamento da corda é dado por
a, b. Com + œ "e P œ"! ,
6.
6a. O movimento é governado pelas Eqs. (1), (3) e (31), e assim
a solução é dada pela Eq. (34) onde o k n é dado
pela Eq. (36):
2
nπx
nπx
nπx
L / 4 4x
3L / 4
L 4 (L − x)
k n =
[
pecado
dx +
pecado
dx +
pecado
dx]
0
L / 4
3L
nπa
eu
eu
eu
eu
eu
8L
nπ
3nπ
+ pecado
). Substituindo isto na Eq. (34)
= 3 3 (pecado
4
4
n π a
nπ
3nπ
+ pecado
∞ pecado
8L
4
4
nπx
nπat
rende u (x, t) =
pecado
pecado
.
3
3
eu
eu
aπ
9.
9
Assumindo que u (x, t) = X (x) T (t) e substituindo u em
Eq. (1) leva ao par de O.D.E. X ′ ′ + σX = 0,
T ′ ′ + a 2 σT = 0. Aplicando o B.C. u (0, t) = 0 e
u x (L, t) = 0 a u (x, t), vemos que devemos ter X (0) = 0
e X ′ (L) = 0. Considerando os três casos σ <0,
σ = 0, e σ> 0 pode ser mostrado que soluções não triviais de
o problema X ′ ′ + σX = 0, X (0) = 0, X ′ (L) = 0 são possíveis se
e somente se σ = (2n-1) 2 π 2 / 4L 2, n = 1,2, ... e o
soluções correspondentes para X (x) são proporcionais
sin [(2n-1) πx / 2L]. Usando esses valores para σ, achamos que T (t)
é uma combinação linear de sin [(2n-1) πat / 2L] e
cos [(2n-1) πat / 2L]. Agora, o I.C. u t (x, 0) implica que
T ′ (0) = 0 e assim funções da forma
n (x, t) = sin [(2n-1)? / 2L] cos [(2n-1)? / 2L], n = 1,2, ...
satsify o P.D.E. (1), o B.C. u (0, t) = 0, u x (L, t) = 0,
e o I.C. u t (x, 0) = 0. Agora procuramos
uma superposição de
estas soluções fundamentais que também satisfazem o
I.C. u (x, 0) = f (x). Assim, assumimos que
∞
u (x, t) =
C sin [(2n-1) �x / 2L] cos [(2n-1) �atra / 2L].
n
o
n = 1
I.C. agora implica que devemos ter
∞
f (x) =
C sin [(2n-1) πx / 2L].
n
Do problema 39 da seção
n = 1
10.4 vemos que f (x) pode ser representado por tal série
e essa
eu
cn = (2 / L) f (x) sen [(2n-1) πx / 2L] dx, n = 1,2, ....
∫
0
Substituindo esses valores nas séries acima por
u (x, t) produz a solução desejada.