Calculo I - Integrais definidas Area Entre Duas Funções

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SALA: 214 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral B 
Sexta Feira 
 
 
 
 
 
10a Aula Integrais definidas 
 
 Área entre duas funções 
 
 
 
 
Códigos: T1106 B / T6003 B / T9003 
 
Turma: MEC108AN 
 
 
 
 
Prof. HANS-ULRICH 
 PILCHOWSKI 
 
 
 Versão: 1o Semestre de 2009 
 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 1 
A integral definida para cálculo de áreas entre duas funções 
 
Teorema: A área entre duas funções quaisquer ( )xf e ( )xg em um intervalo [ ]ba, , 
como mostra a figura a seguir, é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) dxxgxfA b
a∫ −= e é sempre positiva. 
 
Exemplo: Achar a área entre as curvas 3xy = e xy = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Primeiro resolva o sistema y = x3 = x para achar os limites de integração. 
 
 x
6
 = x → x(x5 – 1) = 0 → x = 0 e x = 1 
 
satisfazem a equação. 
 
A = dxxx∫ −
1
0
3
 pode integrar e depois tomar o módulo. 
 A = ( )dxxx∫ −
1
0
32/1
 = 
1
0
42/3
43
2






−
xx
 = 
3
2
 - 
4
1
 = 
12
38 −
 = 
12
5
 
 
 
Exemplo: Calcule a área entre os gráficos de y = x + 2 e y = x2. 
 
 
 
 
 
y=x2 
 -1 0 2 x 
y=x+2 
y 
( )xf 
a b X 
Y 
( )xg 
A 
Y ( ) 3xxf = 
A 
a b X 
( ) xxg = 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 10a Aula Área entre funções 
 2 
 
 
 
 
Resolve-se o sistema de equações para achar P1 e P2. 
 
 y = x2 = x + 2 → x2 – x – 2 = 0 
 
 x = -1 e x = 2 
 
 A = dxxgxf
b
a
∫ − )()( = ( )dxxx∫
−
−+
2
1
22
 
 
 A = 
2
1
32
3
2
2
−
−+
x
x
x
 = 
2
4
 + 4 - 
3
8
 - 



+−
3
12
2
1
 = 
3
10
 + 
6
7
 = 
2
9
 unid.2 
 
 
Exemplo: Achar a área da região limitada pelos gráficos x = y2 – 2y e x = 2y – 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P1 e P2 são obtidos pela solução do sistema 
 
 x = y2 – 2y = 2y – 3 → y’ – 4y + 3 = 0 
 y1 = 1 e y2 = 3 e x1 = -1 e x2 = 3 
 A integração é feita em y, porque as funções estão resolvidas para x e não para y. 
 A = dyygyf∫ −
3
1
)()(
 = 
3
1
3
32
3 




+− yyy = 
3
4
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
 
 Calcule a área da curva com o eixo x nos intervalos: 
 
 
1) y = 
x
1
 entre x = 1 e x = 2,718 
 
 
y 
x 
(3,3) 
(-1,1) 
 1 e x 
Prof. Hans-Ulrich Pilchowski Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral B 
 
 3 
 
2) Calcular a área entre a reta y = 4 e y = x2 no intervalo de x = 0 a x = 2 
 
 
 
 
 
 
 
A = ∫
a
dxxf
0
1 )( - ∫
a
dxxf
0
2 )( 
 
 
 
 
3) Achar a área entre as curvas y = x3 e y = x2 no intervalo x = 0 a x = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A= ∫ −
a
dxxfxf
0
21 )()( 
 
• Resolver as integrais definidas: 
 
1) 
3
33
2 abdxx
b
a
−
=∫ 
 
2) )4ln(14
1
=∫ dxx
 
 
3) 
4
)(sen2
0
2 pi
=∫
pi
dxx 
 
4) [ ]
2
)(cos)(sen2
0
22 pi
=+∫
pi
dxxx 
 
 
 
• Obter as áreas relativas às seguintes funções: 
f1(x) 
f2(x) 
y 
y = x3 
y = x2 
A 
y 
x 
1 
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 4 
 
5) ( ) ( ) [ ] ..
3
141,012 2 auAemxxf =⇒+= 
 
6) ( ) [ ] ( ) ..1
2
1
,0 22 aueAemexf −=⇒pi= piθ 
 
7) ( ) [ ] ..
2
3
2
32,0
4
3
2 aunAemx
x
xf 





=⇒
+
= l 
 
 
8) Encontre a área delimitada por ( )xy sen= , o eixo X e as retas 
4
pi
=x e 
4
3pi
=x . 
 
9) Encontre a área delimitada por xey = , xey 2= e a reta ( )2ln=x . 
 
 
10) Encontre a área delimitada por 
y
x
1
= , 0=x , 1=y e ey = . 
 
 
 
5a LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
Exercícios a serem entregues na 11a aula: em 15.05.2009, 
no momento em que entrar na sala de aula 
 
Obter a área entre as funções: 
 
1o Exercício: xy 162 = e xy 4= 
 
2o Exercício: Encontre a área delimitada por ( )xy 2cos= , o eixo X e as retas 
4
pi
=x e 
2
pi
=x .