ELECTROMAGNETISMO TOMO II

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SOLUCIONARIO DE 
ELECTROMAGNETISMO – TOMO II 
Joseph A. Edminister - Schaum 
 
El presente documento contiene problemas resueltos de los siguientes 
capítulos: 8(Ecuaciones de Laplace), 9(Ley de Ampere y campo 
magnético), 10(Fuerzas y torques en los campos magnéticos), 
11(Inductancia y circuitos magnéticos), 12(Corriente de desplazamiento 
FEM inducida), 13(Ecuaciones de Maxwell y condiciones límites), 
14(Ondas electromagnéticas). 
 
2017 
Pilligua Menéndez Lider Eduardo 
Solucionario de Schaum 
08/08/2017 
Contenido 
Capítulo 8 - Ecuación de Laplace 
Capítulo 9 - Ley de Ampere y campo magnético 
Capítulo 10 - Fuerzas y torques en los campos magnéticos 
Capítulo 11 - Inductancia y circuitos magnéticos 
Capítulo 12 - Corriente de desplazamiento FEM inducida 
Capítulo 13 - Ecuaciones de Maxwell y condiciones límites 
Capítulo 14 - Ondas electromagnéticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 8 
Ecuación de Laplace 
Problemas Suplementarios 
8.21 En coordenadas cartesianas un potencial es función de solamente. En 
 ⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ) en toda la región. Halle en 
 
Datos: 
 
 ⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ) 
 
 
 
 
 
 ⃗ 
 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ( ⃗⃗⃗⃗ )
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) ( ) 
 
 
 ( 
 
 
) 
 ( 
 
 
) ( ) 
8.22 En coordenadas cartesianas un plano en es el voltaje de referencia. 
Halle el voltaje y la densidad de carga en el conductor si ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
para y la región contiene un dieléctrico para el cual 
Datos: 
 
 
 
 ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
Coordenadas cartesianas 
 
Condiciones 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) ( ) 
 
 
 
 
( ) 
 ⃗ 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 
 
 ⃗⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ (
 
 
) ( )( ⃗⃗⃗⃗ ) 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
Sobre una superficie conductora, 
 
 
 
 
8.23 En coordenadas cilíndricas, en 
Halle el voltaje en si el potencial depende sólo de 
Datos: 
 
 
 
Coordenadas cilíndricas 
 
 
 
 
 
( 
 
 
) 
∫ ( 
 
 
) ∫ 
 
 
 
 
∫ ∫
 
 
 
 
Condiciones: 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ( ) ( )) 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
8.24 Cilindros circulares, rectos, concéntricos en el espacio vacío en 
 tienen voltaje de 0 y respectivamente. Si ⃗ 
 ⃗⃗⃗⃗ en 
 halle y la densidad de carga en el conductor externo. 
Datos: 
 
 
 ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
Coordenadas cilíndricas 
 
Condiciones: 
 ( ) ( 
 ) 
 ( 
 ) ( ) 
 ( ( 
 ) ( )) 
 ( ) 
 
 
 
 
 (
 
 
) ( ) 
 
 
 (
 
 
) 
 ⃗ 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 
((
 
 
) ) ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ 
 
( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 
( )( )
 ⃗⃗⃗⃗ 
 ( 
 )( )( ) 
 (
 
 
) ( ) 
 
 ⃗ 
 
 
(( ) ) ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ (
 
 
)( 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ) 
 ⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗ ⃗ (
 
 
) 
Sobre una superficie conductora, 
En 
 
 
 
 
En 
 
 
 
 
 
 
8.25 Para cilindros conductores concéntricos, 
 Halle ⃗⃗ en la región entre los cilindros, donde 
Datos: 
 
 
 ⃗⃗ 
 
Coordenadas cilíndricas 
 
Condiciones: 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ( ) ( )) 
 ( ) 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) 
 ⃗ 
 ⃗ 
 
 
(( ) ) ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ (
 
 
) ( ) (
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ) 
 ⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
8.26 Planos conductores en en coordenadas cilíndricas tienen 
voltajes de y cero respectivamente. Obtenga ⃗⃗ en la región entre planos, que 
contiene un material con 
Datos: 
 
 
 ⃗⃗ 
 
Coordenadas cilíndricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
Condiciones: 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗ 
 ⃗ 
 
 
 ( )
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ (
 
 
) ( ) ( 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗) 
 ⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ (
 
 
) 
8.27 Dos planos conductores cuadrados con 50 cm de lado están separados por 2.0 cm a 
lo largo de un lado y 2.5 cm a lo largo del otro. Suponga una diferencia de voltaje y 
compare la densidad de carga en el centro de un plano, con la que existiría si la 
separación fuese uniforme de 2.0 cm. 
 
8.28 El voltaje de referencia está en r = 15 mm en coordenadas esféricas y el voltaje es 
 en r = 200 mm. Dado ⃗ ⃗⃗ ⃗ (
 
 
) en r = 110 mm, halle El potencial es 
función de r solamente. 
Datos: 
 
 
 ⃗ ⃗⃗ ⃗ (
 
 
) 
 
Coordenadas esféricas 
 
 
 
 
 
( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ ∫
 
 
 
 
 
 
 
Condiciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
 
 
) 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗ 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 
( 
 
 
 ) ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ )
 
 
 
 ⃗ 
 ( ⃗⃗⃗⃗ )
 
 
 ⃗ ⃗⃗⃗ (
 
 
) 
 ⃗⃗ ⃗ 
 ( ⃗⃗⃗⃗ )
 
 
 
( )
 
( ) 
 
8.29 En coordenadas esféricas, en ⃗ ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
 Determinar la localización del voltaje de referencia si el potencial depende sólo 
de 
Datos: 
 
 ⃗ ⃗⃗ ⃗ (
 
 
) 
8.30 Con referencia cero en el infinito y en coordenadas 
esféricas, un dieléctrico de ocupa la región y el espacio 
libre ocupa Determine en 
Datos: 
 
 
 
 
Coordenadas esféricas 
 
 
 
 
( 
 
 
) 
 
 
 
 
Condiciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 ⃗ 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 
(
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
8.31 En la figura 8.18, el cono en tiene un voltaje respecto de la referencia 
en En ⃗ ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) Determine la 
diferencia de voltaje 
 
Datos: 
 
 
 ⃗ ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
Coordenadas esféricas 
 
 
 
 
( 
 
 
) 
Integrando 2 veces: 
 ( 
 
 
) 
También se puede usar esta forma: 
 (
 
 
) 
Condiciones 
 ( 
 
 
) ( 
 
 
) 
 ( 
 
 
) ( 
 
 
) 
 ( ( 
 
 
) ( 
 
 
)) 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) ( 
 
 
) 
 
 
 ( ) ( 
 
 
) 
 ⃗ 
 ⃗ 
 
 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 
( )
 
 
( ( 
 
 
)) ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 
( )
 
( 
 
 )
 
 
( 
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 
( )(
 
 
 
 
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 
( ) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
 
 
 
 
) 
 ⃗ 
 
 
( ) ⃗⃗⃗⃗ 
(
 
 
 (√
 
 )
 
(
 
 ))
 
 
 
 ⃗ 
( )
 
 ⃗⃗⃗⃗ (
 
( ) (
 
 )
) 
 ⃗ 
( )
 
 ⃗⃗⃗⃗ (
 
( )
) 
 ⃗ 
( )
 
 ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
 ⃗ 
( )
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗⃗⃗ 
( )
( ) 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 
 ( ) 
 
 
 
8.32 En el problema 8.31 determine las densidades superficiales de carga sobre los 
conos conductores en 30º y 45º, entre los conos. 
Datos: 
 ⃗ 
( )
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 
 ⃗ 
( ( ))
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 
 ⃗⃗ ⃗ 
 ⃗⃗ (
 
 
) ( ) ( 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ) 
 ⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
Sobre una superficie conductora, 
Para 
 
 
 ( )
 
 
 
 
Para 
 
 
 ( )
 
 
 
 
8.33 Halle ⃗ en la región que queda entre los conos que aparecen en la figura 8.19. 
 
Datos: 
 
 
 ⃗ 
Coordenadas esféricas 
 
 
 
 
( 
 
 
) 
Integrando 2 veces: 
 ( 
 
 
) 
También se puede usar esta forma: 
 (
 
 
) 
Condiciones: 
 ( 
 
 
) ( 
 
 
) 
 ( 
 
 
) ( 
 
 
) 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) ( 
 
 
) 
 (
 
 
) ( 
 
 
) 
 ( ) 
 ( 
 
 
) ( 
 
 
) ( ) 
 ⃗ 
 ⃗ 
 
 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 
(
 
 
)
 
 
( ( 
 
 
)) ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 
(
 
 
)
 
( 
 
 )
 
 
( 
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 
(
 
 
 
 
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
 
 
 
 
) 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
(
 
 
 (√
 
 )
 
(
 
 ))
 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ (
 
( ) (
 
 )
) 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ (
 
( )
) 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
 ⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
8.34 En coordenadas cilíndricas, 
 
 
 (
 
 
) Dado que 
 debido a esta configuración de carga, halle la expresión para ⃗ 
Datos: 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 ⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
) 
 
 
 
∫ ( 
 
 
) 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
∫ ∫
 
 
 
 
 
 
 
Condiciones 
 
 ( )
 
 
 
 ( )
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗ 
 ⃗ 
 
 
( 
 
 
 ) ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ ( 
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
8.35 Determine ⃗ en coordenadas esféricas, a partir de la ecuación de Poisson, 
suponiendo una densidad uniforme de carga. 
Coordenadas esféricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
) 
 
 
 
∫ ( 
 
 
) 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
∫ 
 
 
∫ ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗ 
 ⃗ 
 
 
( 
 
 
 
 
 
 ) ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗ (
 
 
 
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ 
8.36 Particularice la solución encontrada en el problema 8.35 al caso de una esfera 
uniformemente cargada. 
Resp. Ver problema 2.56 
2.56 Hay una carga distribuida con densidad constante a través de un volumen 
esférico de radio Usando los resultados de los problemas 2.35 y 2.55, muestre que 
 
Donde es la distancia desde el centro de la esfera. 
8.37 Suponga que un potencial en coordenadas cilíndricas es una función de y pero 
no de ( ) ( ) 
Escriba la ecuación de Laplace y obtenga las ecuaciones deferenciales separadas en y 
 Demuestre que las soluciones en son funciones Bessel y que las soluciones en 
tienen la forma de funciones exponenciales o hiperbólicas. 
8.38 Verifique que los primeros cinco polinomios de Legendre son: 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
( ) 
 ( ) 
 
 
( ) 
 ( ) 
 
 
( ) 
Y haga una gráfica con 
Resp. Ver figura 8.20 
 
8.39 Obtenga ⃗ para el problema 8.18 y trace algunos valores en la figura 8.14. 
Observe la ortogonalidad de ⃗ ylas superficies equipotenciales. 
 
 
8.40 Dado ( )( ) donde determine la forma y localización 
de las superficies sobre las cuales Haga un trazo similar a la figura 
8.14. 
Resp. Ver figura 8.21. 
 
8.41 De la función potencial del problema 8.40, obtenga ⃗ e indique algunos valores 
sobre el trazo de las superficies equipotenciales, figura 8.21. 
8.42 Utilice una superposición de los productos solución encontrados en los problemas 
8.17 para obtener la función potencial para la franja semicircular que aparece en la 
figura 8.22. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actualizado: sábado 20 de mayo de 2017 (09:46 A.M.) 
 
 
 
 
9.24 Obtenga 𝑑�⃗⃗� en un punto general (𝑟, 𝜃, 𝛷) en coordenadas esféricas, producido por 
un elemento diferencial de corriente 𝐼 𝑑𝐥 en el origen en dirección de z positivo. 
 
 
 
 
 
 
9.25 Las corrientes en los conductores interno y externo de la figura 9-20 están 
uniformemente distribuidas. Utilice la ley de Ampere para demostrar que para 𝑏 ≤ 𝑟 ≤
𝑐, 
�⃗⃗� =
I
2πr
(
c2 − r2
c2 − b2
)𝐚𝚽⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
 
9.26 Dos lazos idénticos de corriente, circulares, de radio r = 3 m e I = 20 A están en 
planos paralelos, separados, separados respecto de su eje común por 10 m. Halle �⃗⃗� en 
un punto medio entre los dos lazos. 
 
9.27 Utilice la ley de Biot-Savart para demostrar que �⃗⃗� =
1
2
�⃗⃗� × 𝐚n⃗⃗⃗⃗ para una lámina 
plana de corriente de densidad constante �⃗⃗� . 
Considérese una lámina de corriente que fluya en la dirección positiva de 𝑦 y se localice 
en el plano 𝑧 = 0. Se puede pensar de la corriente de retorno como igualmente dividida 
entre dos láminas distintas sobre cada uno de los lados de la lámina que se está 
considerando. Una lámina con densidad superficial de corriente uniforme �⃗⃗� = 𝐾𝑦𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ se 
muestra en la figura. 
 
�⃗⃗� No puede variar con 𝑥 o 𝑦. Si la lámina está subdividida en un cierto número de 
filamentos, es evidente que ningún filamento puede producir una componente 𝐻𝑦. Más 
aún, la ley de Biot-Savart muestra que se cancela la contribución a 𝐻𝑧 producida por un 
par de filamentos simétricamente situados. De aquí que 𝐻𝑧 también es cero; sólo está 
presente la componente 𝐻𝑥. Por lo tanto, se elige la trayectoria 1 − 1’ − 2’ − 2 − 1 
compuesta de segmentos de línea recta en donde son paralelos o perpendiculares a 𝐻𝑥. 
La ley circuital de Ampere da 
𝐻𝑥1𝐿 + 𝐻𝑥2(−𝐿) = 𝐾𝑦𝐿 
O 
𝐻𝑥1 − 𝐻𝑥2 = 𝐾𝑦 
Si ahora se elige la trayectoria 3 − 3′ − 2′ − 2 − 3 se encierra la misma corriente, y 
𝐻𝑥3 − 𝐻𝑥2 = 𝐾𝑦 
Y, por lo tanto, 
𝐻𝑥3 = 𝐻𝑥1 
Se sigue que 𝐻𝑥 es el mismo para todo 𝑧 positivo. Del mismo modo, 𝐻𝑥 es igual para 
todo 𝑧 negativo. Debido a la simetría, entonces la intensidad de campo magnético sobre 
un lado de la lámina de corriente es el negativo de la del otro lado. Sobre la lámina, 
𝐻𝑥 =
1
2
𝐾𝑦 (𝑧 > 0) 
Mientras que debajo de ella 
𝐻𝑥 = −
1
2
𝐾𝑦 (𝑧 < 0) 
Por medio de un vector unitario 𝐚𝑛⃗⃗⃗⃗ normal (hacia afuera) a la lámina de corriente, el 
resultado puede escribirse en forma correcta para todo 𝑧 como. 
�⃗⃗� =
1
2
�⃗⃗� × 𝐚𝑛⃗⃗⃗⃗ 
Pueden revisar el problema 9.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.28 Un filamento de corriente de 10 A en dirección + y, yace a lo largo del eje 𝑦 y una 
lámina de corriente, �⃗⃗� = 2𝐚z⃗⃗⃗⃗ (
A
m
), está localizada en z = 4 m. Determine �⃗⃗� en el punto 
(2, 2, 2) m. 
 
 
 
 
9.29 Demuestre que el rotacional de 
(x𝐚x⃗⃗ ⃗⃗ +y𝐚y⃗⃗ ⃗⃗ +z𝐚z⃗⃗⃗⃗ )
(x2+y2+z2)
3
2
 es cero. (𝑠𝑢𝑔𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝛁 × �⃗� = 0) 
rotacional �⃗⃗� = (
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑦
−
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑧
) 𝐚x⃗⃗⃗⃗ + (
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑥
)𝐚y⃗⃗⃗⃗ + (
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑦
)𝐚z⃗⃗⃗⃗ 
𝛁 × �⃗⃗� =
(
 
 
𝜕
x𝐚x⃗⃗⃗⃗ 
(x2 + y2 + z2)
3
2
 
𝜕𝑦
−
𝜕
y𝐚y⃗⃗⃗⃗ 
(x2 + y2 + z2)
3
2
𝜕𝑧
)
 
 
𝐚x⃗⃗⃗⃗ +
(
 
 
𝜕
x𝐚x⃗⃗⃗⃗ 
(x2 + y2 + z2)
3
2
𝜕𝑧
−
𝜕
z𝐚z⃗⃗ ⃗
(x2 + y2 + z2)
3
2
𝜕𝑥
)
 
 
𝐚y⃗⃗⃗⃗ 
+
(
 
 
𝜕
y𝐚y⃗⃗⃗⃗ 
(x2 + y2 + z2)
3
2
𝜕𝑥
−
𝜕
x𝐚x⃗⃗⃗⃗ 
(x2 + y2 + z2)
3
2
 
𝜕𝑦
)
 
 
𝐚z⃗⃗ ⃗ 
𝛁 × �⃗⃗� = 0 
9.30 Dado el vector general �⃗⃗� = (− cos 𝑥)(cos 𝑦)𝐚z⃗⃗⃗⃗ , halle el rotacional de �⃗⃗� en el 
origen. 
 
9.31 Dado el vector �⃗⃗� = (cos 𝑥)(𝑠𝑒𝑛 𝑦)𝐚x⃗⃗⃗⃗ + (𝑠𝑒𝑛 𝑥)(cos 𝑦)𝐚y⃗⃗⃗⃗ , halle el rotacional de �⃗⃗� 
para todos los puntos. 
 
9.32 Dado el vector general �⃗⃗� = (sen2Φ)𝐚Φ⃗⃗⃗⃗ ⃗ en coordenadas cilíndricas, halle el 
rotacional de �⃗⃗� en (2,
𝜋
4
, 0). 
 
9.33 Dado el vector general �⃗⃗� = 𝑒−2𝑧 (sen
1
2
Φ)𝐚Φ⃗⃗⃗⃗ ⃗ en coordenadas cilíndricas, halle el 
rotacional de �⃗⃗� en (0.8,
𝜋
3
, 0.5). 
 
9.34 Dado el vector �⃗⃗� = (𝑠𝑒𝑛Φ)𝐚r⃗⃗ ⃗ + (𝑠𝑒𝑛𝜃)𝐚Φ⃗⃗⃗⃗ ⃗ en coordenadas esféricas, halle el 
rotacional �⃗⃗� en el punto (2,
𝜋
2
, 0). 
 
9.35 Dado el vector �⃗⃗� = 2.5𝐚θ⃗⃗⃗⃗ + 5𝐚Φ⃗⃗⃗⃗ ⃗ en coordenadas esféricas, halle el rotacional de �⃗⃗� 
en (2,
𝜋
6
, 0). 
 
9.36 Dado el vector general 
 �⃗⃗� =
2 cos 𝜃
𝑟3
𝐚r⃗⃗ ⃗ +
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑟3
𝐚θ⃗⃗⃗⃗ 
Demuestre que el rotacional de �⃗⃗� es en todo punto cero. 
 
 
9.37 Un conductor cilíndrico radio 10−2 m tiene un campo magnético interno 
�⃗⃗� = (4.77 × 104) (
𝑟
2
−
𝑟2
3 × 10−2
)𝐚Φ⃗⃗⃗⃗ ⃗ (
A
m
) 
¿Cuál es la corriente total en el conductor? 
 
9.38 En coordenadas cilíndricas, 𝐉 = 105(cos22r)𝐚z⃗⃗⃗⃗ en una cierta región. Obtenga �⃗⃗� a 
partir de esta densidad de corriente y luego tome el rotacional de �⃗⃗� y compárelo con 𝐉 . 
 
9.39 En coordenadas cartesianas, una densidad constante de corriente, 𝐉 = 𝐽0𝐚y⃗⃗⃗⃗ , existe 
en la región −𝑎 ≤ 𝑧 ≤ 𝑎. Ver figura 9-21. Utilice la ley de Ampere para hallar �⃗⃗� en 
todas las regiones. Obtenga el rotacional de �⃗⃗� y compárelo con 𝐉 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.40 Calcule el flujo magnético total Φ que cruza el plano z = 0 en coordenadas 
cilíndricas para r ≤ 5 × 10−2 m si 
�⃗⃗� =
0.2
r
(sen2Φ)𝐚z⃗⃗⃗⃗ (T) 
Datos: 
Φ = ? 
z = 0 
r ≤ 5 × 10−2 m 
�⃗⃗� =
0.2
r
(sen2Φ)𝐚z⃗⃗⃗⃗ (T) 
Φ = ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐒 
𝑆
 
d𝐒 = r dΦ dr 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
Φ = ∫ ∫
0.2
r
(sen2Φ) 𝑟 𝑑𝛷 𝑑𝑟
5×10−2
0
2𝜋
0
 
Φ = 0.2|r|0
5×10−2∫ (
1
2
−
1
2
cos 2Φ)dΦ
2π
0
 
Φ = 0.2(5 × 10−2) |(
1
2
Φ −
1
4
sen2Φ)|
0
2π
 
Φ = 0.01 [(
1
2
2π +
1
4
sen4π) − (
1
2
0 −
1
4
sen0)] 
Φ = 0.01𝜋 
Φ = 3.141592654 × 10−2 Wb 
 
 
 
9.41 Sea 
�⃗⃗� = 2.5 (sen
πx
2
) e−2y𝐚z⃗⃗⃗⃗ (T) 
Halle el flujo magnético total que cruza la franja z = 0, y ≥ 0, 0 ≤ x ≤ 2 m. 
Datos: 
�⃗⃗� = 2.5 (sen
πx
2
) e−2y𝐚z⃗⃗⃗⃗ (T) 
Φ = ? 
z = 0, y ≥ 0, 0 ≤ x ≤ 2 m 
Φ = ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐒 
𝑆
 
d𝐒 = dx dy 𝐚z⃗⃗⃗⃗ 
Φ = ∫ ∫ 2.5 (sen
πx
2
) e−2y𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑦
0
2
0
 
Φ = 2.5 (−
1
2
) |e−2y|0
𝑦 |−
2
𝜋
(𝑐𝑜𝑠
𝜋𝑥
2
)|
0
2
 
Φ = 2.5 (
1
𝜋
) (−1)(−1 − 1) 
Φ =
5
𝜋
 
Φ = 1.591549431 Wb 
 
 
 
 
 
9.42 Un cable coaxial cuyo conductor interno tiene radio 𝑎 y el externo tiene radios 
interno y externo 𝑏 y 𝑐 respectivamente, transporta una corriente 𝐼 en el conductor 
interno. Halle el flujo magnético por unidad de longitud que cruza un plano 𝛷 = 
constante entre los conductores. 
 
9.43 Una hoja uniforme de corriente, �⃗⃗� = 𝐾0𝐚y⃗⃗⃗⃗ ,está en 𝑧 = 𝑏 > 2 y otra �⃗⃗� =
𝐾0(−𝐚y⃗⃗⃗⃗ ), está en 𝑧 = −𝑏. Halle el flujo magnético que cruza el área definida por 𝑥 = 
constante, −2 ≤ 𝑧 ≤ 2, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝐿. Suponga espacio vacío. 
 
 
 
 
9.44 Utilice el potencial vectorial magnético del problema 9.19 para obtener el flujo un 
plano 𝛷 = constante para 𝑟1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑟0 y 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐿 producido por una corriente de 
filamento 𝐼 sobre el eje 𝑧. 
 
9.45 Sea el potencial vectorial magnético dentro de un conductor cilíndrico de radio 𝑎 
igual a 
�⃗⃗� = −
𝜇0𝐼𝑟
2
4𝜋𝑎2
𝐚z⃗⃗⃗⃗ 
Halle el correspondiente �⃗⃗� . 
 
 
 
9.46 Una lámina uniforme de corriente, �⃗⃗� = 𝐾0(−𝐚y⃗⃗⃗⃗ ), está localizada en 𝑥 = 0 y otra, 
�⃗⃗� = 𝐾0𝐚y⃗⃗⃗⃗ , está en 𝑥 = 𝑎. Halle el potencial magnético entre las láminas. 
𝑅𝑒𝑠𝑝. (𝜇0𝐾0𝑥 + 𝐶)𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ 
9.47 Entre las hojas de corriente del problema 9.46 una porción del plano 𝑧 = 
constante está definida por 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 y 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑎. Halle el flujo Φ que cruza porción, 
desde ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐒 y desde ∮ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐥 . 
𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝑎𝑏𝜇0𝐾0 
 
 
 
 
 
 
 
10.24 La espira circular de corriente que aparece en la figura 10-19 yace en el plano 
 paralelamente a una lámina de corriente uniforme, ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ en Exprese 
la fuerza sobre un diferencial de longitud de la espira. 
Integre y demuestre que la fuerza total es cero. 
 
 
 
 
 ( ⃗⃗⃗⃗ ) 
∫ 
 
 
 ∫ ( ⃗⃗⃗⃗ )
 
 
 
 
 
 
 ( ( ) ( ))( ⃗⃗⃗⃗ ) 
 
10.25 Dos conductores de longitud normales a ⃗⃗ aparecen en la figura 10-20. Tienen 
una separación fija Demuestre que el torque alrededor de cualquier eje paralelo a los 
conductores está dado por 
 
Datos: 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
Hallar el momento magnético: 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗ |
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
| 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
10.27 Una espira de corriente de radio está centrada alrededor del eje en 
el plano y en ( ) la corriente está en dirección ⃗⃗⃗⃗ con magnitud 
 Halle el torque si el campo uniforme es ⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) 
Datos: 
 
 
 ⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) 
 
 
 ⃗⃗ 
 ( ⃗⃗ ) 
 ( ( ⃗⃗⃗⃗ ) 
 ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )) 
 ⃗⃗ 
|
|
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
|
|
 ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( 
 ) ⃗⃗⃗⃗ 
 ( ( ))( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) 
 ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) 
 ⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) 
 
|
|
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
|
|
 ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ( ⃗⃗⃗⃗ ) 
Otra solución: 
 ⃗⃗ ( )( ⃗⃗⃗⃗ ) 
 ⃗⃗ ( ( ) ( )( ))( ⃗⃗⃗⃗ ) 
 ⃗⃗ ( )( ⃗⃗⃗⃗ ) 
10.30 Dos conductores de longitud 4 m están sobre un cascarón esférico de 2 m de radio 
centrado en el eje z tal como se muestra en la figura 10-21. Corrientes de 10 A están 
dirigidas tal como se muestra y hay un campo externo ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ en y 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ en Halle la suma de la fuerzas y el torque alrededor del eje. 
 
Datos: 
 
 
 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
 ⃗⃗ 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ ( ( ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ) 
 ⃗⃗ ⃗ |
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
| 
 ⃗⃗ ⃗ ( )( ) ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ ( ( ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ) 
 ⃗⃗ ⃗ |
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
| 
 ⃗⃗ ⃗ ( )( ) ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗⃗⃗ 
Calcular el torque alrededor del eje seria lo siguiente: 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
Aquí debemos calcular dos valores de ⃗⃗ y sumarlo. 
El momento magnético, ⃗⃗⃗ va ser igual para ⃗⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗⃗ pero ⃗⃗ tiene la misma magnitud y 
signos contrarios a simple vista el valor va ser 0. 
10.31 Un cilindro circular recto contiene 550 conductores sobre la superficie curva y 
cada uno tiene una corriente de magnitud constante 7.5 A. El campo magnético es 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ La dirección de la corriente es ⃗⃗⃗⃗ para y ⃗⃗⃗⃗ para 
 Halle la potencia mecánica requerida para hacer girar el cilindro a 1600 
revoluciones por minuto de dirección ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
Datos: 
 
 ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗ 
 ( ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗⃗⃗ ) 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 ∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 ∫ 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.32 Obtenga una expresión para la potencia requerida para girar un conjunto 
cilíndrico de n conductores (ver figura 10-22) en contra del campo a N revoluciones 
por minuto si ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ y las corrientes cambian de dirección en cada 
cuadrante, donde el signo de ⃗⃗ cambia. 
 
La fuerza sobre el conductor es 
 ⃗⃗ 
 ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) 
 ( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
Así que la fuerza aplicada es 
 ( ) ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗) 
 ∫ ( ) ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗) ⃗⃗⃗⃗ ⃗
 
 
 
 ( )∫ 
 
 
 
10.33 Un conductor de longitud yace a lo largo del eje con corriente en dirección 
 ⃗⃗⃗⃗ Halle el trabajo realizado para rotarlo a velocidad constante, tal como se muestra en 
la figura 10-23, si el campo uniforme es ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
 ⃗⃗ 
 ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ∫ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.34 Una espira rectangular de corriente, de longitud l a lo largo del eje y, está en un 
campo uniforme ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ tal como se muestra en la figura 10-24. Demuestre que el 
trabajo para mover la espira a lo largo del eje x a velocidad constante es cero. 
 
 ⃗⃗ 
 ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ∫ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 ∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 
 
Después con ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 ∫ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 ∫ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 
 
 
10.35 Para la configuración que aparece en la figura 10-24, el campo magnético es 
 ⃗⃗ ( 
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ 
Halle el trabajo realizado al mover la espira a una distancia w a lo largo del eje x, a 
velocidad constante, partiendo del punto que se muestra. 
 
 ⃗⃗ 
 ( ⃗⃗⃗⃗ ( 
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ ) 
 ( 
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗ ⃗ ( 
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ 
 ∫ ⃗⃗ ⃗ 
 
 
 
 ∫ ( 
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 
 ∫ ( 
 
 
) 
 
 
 
 (
 
 
) 
 (
 
 
) 
10.36 Un conductor de longitud 0.25 m yace a lo largo del eje y lleva un corriente de 25 
A en dirección 𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ . Halle la potencia requerida para la translación paralela del conductor 
hasta 𝑥 = 5.0 m a velocidad constante en 3.0 s, si el campo uniforme es �⃗⃗� = 0.06𝐚𝑧 ⃗⃗ ⃗⃗ T. 
Datos: 
𝑙 = 0.25 m 
𝐼 = 25 A 
𝑥 = 5 m 
𝑡 = 3 s 
�⃗⃗� = 0.06𝐚𝑧 ⃗⃗ ⃗⃗ T 
𝑃 = ?𝐅 = 𝐼𝐋 × �⃗⃗� 
𝐅 = 25(0.25𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ × 0.06𝐚𝑧 ⃗⃗ ⃗⃗ ) 
𝐅 = 25 |
𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ 𝐚𝑧⃗⃗⃗⃗ 
0 0.25 0
0 0 0.06
| 
𝐅 = 25 ∗ (0.25) ∗ (0.06)(𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ ) 
𝐅 = 0.375(𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ ) N 
Y así 𝐅𝒂⃗⃗⃗⃗ = −0.375(𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ ) N 
𝑊 = ∫ 𝐅𝒂⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑑𝐥 
𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
 
𝑊 = ∫ −0.375(𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ ) ∙ 𝑑𝑥 𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ 
5
0
 
𝑊 = −0.375∫ 𝑑𝑥
5
0
 
𝑊 = −1.875 J 
𝑃 =
𝑊
𝑡
=
−1.875
3
= −0.625 W 
 
 
Inductancia y circuitos 
magnéticos 
Capítulo 11 
 
El presente documento contiene los problemas suplementarios del libro de 
ELECTROMAGNETISMO de Joseph A. Edminister – Schaum. 
 
2017 
Lider Eduardo Pilligua Menéndez 
 
08/06/2017 
 
11.23 Halle la inductancia por unidad de longitud de un conductor coaxial con un radio 
interno 𝑎 = 2 mm y un conductor externo en 𝑏 = 9 mm. Suponga 𝜇𝑟 = 1. 
Resp. 0.301 𝜇H/m 
Datos: 
𝐿
𝑙
= ? (inductancia por unidad de longitud). 
𝑎 = 2 mm (radio interno). 
𝑏 = 9 mm (radio externo). 
𝜇𝑟 = 1 (permeabilidad relativa del medio). 
𝜇0 = 4𝜋 × 10
−7 H/m (permeabilidad del espacio vacío). 
Donde 𝜇 = 𝜇0𝜇𝑟 es la permeabilidad del medio. 
𝐿
𝑙
=
𝜇
2𝜋
ln
𝑏
𝑎
 
𝐿
𝑙
=
(4𝜋 × 10−7 H/m) ∗ (1)
2𝜋
ln (
9 mm
2 mm
) 
𝐿
𝑙
= 3.008 × 10−7 H/m 
𝐿
𝑙
= 0.3008 𝜇H/m 
11.24 Halle la inductancia por unidad de longitud de dos conductores cilíndricos 
paralelos, donde el radio de los conductores es 1 mm y la separación de un centro a otro 
es de 12 mm. 
Resp. 0.992 𝜇H/m 
 
Datos: 
𝐿
𝑙
= ? (inductancia por unidad de longitud). 
𝑎 = 1 mm (radio de los conductores). 
𝑑 = 12 mm (separación de los conductores). 
𝜇0 = 4𝜋 × 10
−7 H/m (permeabilidad del espacio vacío). 
𝐿
𝑙
=
𝜇0
𝜋
cosh−1
𝑑
2𝑎
 
𝐿
𝑙
=
4𝜋 × 10−7 H/m
𝜋
cosh−1 (
12 mm
2 ∗ (1 mm)
) 
𝐿
𝑙
= 9.91 × 10−7 H/m 
𝐿
𝑙
= 0.991 𝜇H/m 
La fórmula aproximada da 
𝐿
𝑙
≈
𝜇0
𝜋
ln
𝑑
𝑎
 
𝐿
𝑙
≈
(4𝜋 × 10−7 H/m)
𝜋
ln (
12 mm
1 mm
) 
𝐿
𝑙
≈ 9.93 × 10−7 H/m 
𝐿
𝑙
≈ 0.993 𝜇H/m 
Cuando 𝑑/𝑎 ≥ 10, la formula aproximada puede usarse con un error menor de 0.5 %. 
11.25 Dos conductores cilíndricos paralelos separados por 1 mm tienen una inductancia 
por unidad de 2.12
𝜇H
m
. ¿Cuál es el radio del conductor? 
Resp. 5 mm. 
Datos 
𝑑 = 1 mm (separación de los conductores). 
𝐿
𝑙
= 2.12 𝜇H/m (inductancia por unidad de longitud). 
𝑎 = ? (radio de los conductores). 
𝜇0 = 4𝜋 × 10
−7 H/m (permeabilidad del espacio vacío). 
𝐿
𝑙
=
𝜇0
𝜋
cosh−1
𝑑
2𝑎
 
2.12
𝜇H
m
=
4𝜋 × 10−7
H
m
𝜋
cosh−1
1
2𝑎
 
cosh−1
1
2𝑎
=
𝜋 ∗ (2.12 × 10−6 
H
m)
4𝜋 × 10−7
H
m
 
cosh−1
1
2𝑎
=
2.12 × 10−6
4 × 10−7
 
ln (
1
2𝑎
± √
1 × 10−6
4𝑎2
− 1) = 5.3 
ln (
1
2𝑎
± √
1 − 4𝑎2
4𝑎2
) = 5.3 
𝑒
ln(
1
2𝑎±
√1−4𝑎
2
4𝑎2
)
= 𝑒5.3 
(
1
2𝑎
+ √
1 − 4𝑎2
4𝑎2
) = 𝑒5.3 
1
2𝑎
+ √
1 − 4𝑎2
4𝑎2
= 200.3 
√
1 − 4𝑎2
4𝑎2
= 200.3 −
1
2𝑎
 
1 − 4𝑎2
4𝑎2
= (200.3 −
1
2𝑎
)
2
 
1 − 4𝑎2
4𝑎2
= 40120.09 −
200.3
𝑎
+
1
4𝑎2
 
−1 = 40120.09 −
200.3
𝑎
 
200.3
𝑎
= 40120.09 + 1 
𝑎 =
200.3
40121.09
 
𝑎 = 0.005 m = 5 mm 
11.26 Un solenoide con núcleo de aire con 2500 vueltas uniformemente espaciadas tiene 
una longitud de 1.5 m y radio 2 × 10−2 m. Halle la inductancia 𝐿. 
𝑅𝑒𝑠𝑝. 6.58 mH 
Usando la formula empírica 
𝐿 =
39.5𝑁2𝑎2
9𝑎 + 10𝑙
 
𝐿 =
39.5 ∗ (2500)2 ∗ (2 × 10−2)2
9 ∗ (2 × 10−2) + 10 ∗ (1.5)
 
𝐿 = 6505.27 𝜇H 
𝐿 = 6.50527 mH 
Solenoide largo de sección transversal pequeña, 𝑆. 
𝐿 =
𝜇0𝑁
2𝑆
𝑙
 
𝐿 =
(4𝜋 × 10−7) ∗ (2500)2 ∗ 𝜋 ∗ (2 × 10−2)2
1.5
 
𝐿 = 0.006579 H 
𝐿 = 6.579 mH 
11.27 Halle la inductancia de la bobina de la figura 11-9 si 𝑟1 = 1 cm, 𝑟2 = 2 cm, l =
3 cm y 𝑁 = 800. 
𝑅𝑒𝑠𝑝. 4.70 mH 
 
𝐿 =
31.6 ∗ (800)2 ∗ (0.01)2
6 ∗ (0.01) + 9 ∗ (0.03) + 10 ∗ (0.02 − 0.01)
 (𝜇H) 
𝐿 = 4703.2558 𝜇H 
𝐿 = 4.7032 mH 
7
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lo li.'"o J.l es pocio s",bre lo c.u.vc¡ B - H dul Silicio -o,cero
dub*., ho..rg* ,r[3.r",o: o¡u§tu: po.o, [o, d¡ C" ,etiles dru.t
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"l tr,o.edo d" l" á"g.,.-J. c.,rue inr.rer se dr B- H sobr. ts pri rnero no ut i..,
d¡ Fl.r I corrr.o pJ'b esperqr* ?
&"p ,10-4 Wb Lo,s lorgit.rdot rrreJ,br 1 t*r .k*. ¿.
lo, Secclones' ttorrsr.".o[*t, son tot rsismqs.
Reviso' ul probl..nu, .,t,t.46 MltoJ* J. \ prol'r\er:ns 44.4S,
Dotos'-
P*,tn 4, rl l;ci,¡ - t-t¡qr,f,
l'^: oo19m
5,r = ,l x,lC 4 n1z
?"1u zl A\*or,ir- N-q,r*i-. Li*.,o
t. : ü-ü*'t rrr ,, i.-
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F : ,t:l .3b A
tl rnismo p.oblerno 44.,11 es ul 44.18.
E"l *!toJ* p*« J* ut i li¿ürfle to*t,J" e-ün Ju, por1".t
oli.,.olu: dr *.i.\.o.
¿ A" g.ré el t.q.odo d. lo 
"u3.rnd* c*:ruq lnuerss,& B- H sobre to pri rnero ho e> ton diFl.¡t soffio
FoJrl* Gp* rof 
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Lo" longi t.rd*s r.rudiot ) l*s d*q= d" [qrt Secc-ione:
do.S ue.sol.. oon to. misrnqs.
44. 48 E l clrctr.lto *.3"rátl.o pqrqtulo 'dn ocero .lo.,-
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Corriente de desplazamiento 
FEM inducida 
Capítulo 12 
 
El presente documento contiene los problemas suplementarios del libro de 
ELECTROMAGNETISMO de Joseph A. Edminister – Schaum. 
 
2017 
Lider Eduardo Pilligua Menéndez 
Solucionario de Schaum 
08/03/2017 
 
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12.19 Un conductor con sección circular cuyo radio es 1.5 mm lleva una corriente 𝑖𝑐 =
5.5 sen(4 × 1010𝑡) (𝜇A). ¿Cuál es la amplitud de la densidad de corriente de 
desplazamiento, si 𝜎 = 35 MS/m y 𝜖𝑟 = 1? 
𝑅𝑒𝑠𝑝. 7.87 × 10−3 𝜇A/m2 
𝑖𝑐 = ∫ 𝐉𝑐⃗⃗⃗ ∙ 𝑑𝐒 
𝑆
 
𝑖𝐷 = ∫ 𝐉𝐷⃗⃗ ⃗ ∙ 𝑑𝐒 
𝑆
= ∫
𝜕�⃗⃗� 
𝜕𝑡
∙ 𝑑𝐒 
𝑆
 
𝐽𝑐 = 𝜎𝐸 
𝐽𝑐 =
𝑖𝑐
𝜋 ∗ 𝑟2
=
5.5 ∗ sen(4 × 1010𝑡) × 10−6
𝜋 ∗ (0.0015)2
= 0.778 ∗ sen(4 × 1010𝑡) A/m2 
𝐸 =
𝐽𝑐
𝜎
=
0.778 ∗ sen(4 × 1010𝑡)
35 × 106
= 2.2228 × 10−8 ∗ sen(4 × 1010𝑡) V/m 
𝐷 = 𝜖0𝜖𝐸 
𝐷 = (
10−9
36𝜋
) ∗ (1) ∗ (2.2228 × 10−8) ∗ sen(4 × 1010𝑡)
= 1.9653 × 10−19 ∗ sen(4 × 1010𝑡) C/m2 
𝐽𝐷 =
𝜕𝐷
𝜕𝑡
 
𝐽𝐷 =
𝜕
𝜕𝑡
(1.9653 × 10−19 ∗ sen(4 × 1010𝑡)) 
𝐽𝐷 = 1.9653 × 10
−19 ∗ (cos(4 × 1010𝑡)) ∗ (4 × 1010) A/m2 
𝐽𝐷 = 7.861 × 10
−3 𝜇A/m2 
a
12.2,i D"s conchos , .o.rd.rctoros, 
"sFd"ico,S ,conc"'ntnico,s enq = o. 5 rnrn y r, : ,{ rnrn 
"std., Se porodos po. oñ dl ut.'. -r ' r' | 
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,Obü^g"r lq corriente J. d"rgtoo"nrá^to ,i" 1 co*pd-| , . i , : L I ; , i i , : i , -,relo, con ie . : ,
i:,1Doto,o: :
geil \ m /
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pore<e en L f;g.,ro ,t¿-48 compl*t" unq esp\ro r,rq
Jtorit. un 
"onto.to d.rlizorrle con lo¡ cor-rdu.tore:
en \=e y y: o.oshñ (o)"H*lle nl uolt5" i.rJuciJo
cuqndo lo b..ro .$á utocionq'riq en x : O- 05 m )
-á ¡ r , - \ ,- r A r IB- : o- 30 óen lC'4 t o*z (T) . (U ) R"p,to 
"t "y.cicio pora
ono. unlo.i JoJ á* lo torro t' 4 50 ót* mlr. Exornine \o
po[o ridqJ ,
Resp. (o) -?.5
.-sen,toat (V)
0.05
f,A. ,t¿ - ,tB
cor 401 t (V) ; (b) -l.5co54o1t -2.L3...
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13.17 Una hoja de corriente, ⃗⃗ (
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 en separada la región 1, y 
 de la región 2, y Dado ⃗⃗
 
 (
 
 
) ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )
 
 
 halle ⃗⃗ 
Datos: 
 ⃗⃗ (
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗ (
 
 
) ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) 
 ⃗⃗ 
( ⃗⃗ ⃗⃗ ) ⃗ ⃗⃗
 
((
 
 
) ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ( ) ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )) ⃗ (
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ 
(
 
 
) ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗ ) (
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗ 
(
 
 
) ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) 
 
 
14.19 Dado 
��⃗ (�, �) = 10�sen(6 × 10�� − �z)������⃗ 
En el espacio vacío, haga el trazo de la onda en � = 0 y en un tiempo �, cuando hay 
viajado �/4 a lo largo del eje �. 
Halle ��, � y λ. 
Solución: 
En la presente figura se realizó un trazo de la onda en � = 0 y en un tiempo �, cuando 
hay viajado �/4 a lo largo del eje �. 
 
Para hallar la longitud de onda �. 
� = 2�� 
� =
1
T
 
Entonces: 
� = 2�
1
T
 
T =
2�
�
 
La onda avanzada � en un periodo, � =
��
�
. Por lo tanto. 
�� =
T
4
=
�
2�
 
�
4
= ��� 
Donde � = 3 × 10� �/� por ser la velocidad de la luz ya que las ondas viajan también 
a esa velocidad. 
�
4
= (3 × 10�) �
�
2�
� 
En los datos no dan � = 6 × 10�
���
�
. 
�
4
= (3 × 10�) �
�
2(6 × 10�)
� 
� = (3 × 10�) �
�
2(6 × 10�)
� (4) 
� = � � 
Para hallar constante de corrimiento de fase �. 
� =
2�
�
 
� =
2�
�
 
� =
��
�
= � ���/� 
Para hallar �� tenemos anteriormente la siguiente ecuación: 
�� =
T
4
=
�
2�
 
�� =
�
2(6 × 10�)
 
�� = �. ����� × ��
�� � = �. �� �� 
14.20 En el espacio vacío, 
 ⃗⃗ ( ) ( 
 ) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
Obtenga una expresión para ⃗ ( ) y determine la dirección de propagación. 
 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
La expresión de ⃗ ( ) Ver el problema 13.9 del libro. 
 ⃗ ( ) 
 ⃗⃗ 
 
 
Donde la permeabilidad del espacio vacío 
 (
 
 
) 
 ⃗ ( ) 
( )( )( ( 
 ))
 
 
 ⃗ ( ) ( 
 ) ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Un examen de la fase, revela que la dirección de la propagación es 
 ⃗ ⃗⃗ debe estar también dirigido según 
 
14.21 En el espacio vacío, 
 ⃗⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
Obtenga una expresión para ⃗ ( ) Halle y λ. 
Solución: 
Para hallar la longitud de onda 
 
 
 
 
 
Entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
La onda avanzada en un periodo, 
 
 
 Por lo tanto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde por ser la velocidad de la luz ya que las ondas viajan también 
a esa velocidad. 
En los datos no dan 
 
 
 
 ( ) (
 
 ( )
) 
 
Para hallar constante de corrimiento de fase 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para obtener el mismo resultado del libro debemos multiplicar para 2 a ambos 
miembros de la ecuación. 
Entonces: 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
La expresión de ⃗ ( ) Ver el problema 13.9 del libro. 
 ⃗ ( ) 
 ⃗⃗ 
 
 
Donde la permeabilidad del espacio vacío 
 (
 
 
) 
 ⃗ ( ) 
( )( )( ( ))
(
 
 )
 
 ⃗ ( ) ( ) ( ⃗⃗⃗⃗ ) (
 
 
) 
Dónde: 
 (
 
 
) 
14.22 Una onda viajera tiene una velocidad de y está descrita por 
 ( ) 
Dibuje la onda como función de en ¿Qué fracción de la 
longitud de onda es recorrida entre estos dos tiempos? 
Dibujo: 
 
Datos: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La fracción de la longitud de onda es recorrida entre estos dos tiempos es de 
 
 
 
14.23 Halle la magnitud y dirección de 
 ⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
En 
Magnitud: 
| ⃗ ( )| √ 
| ⃗ ( )| √( ) ( ) 
| ⃗ ( )| 
Dirección: 
 ⃗⃗ ⃗⃗ 
 ⃗ ( )
| ⃗ ( )|
 
 ⃗⃗ ⃗⃗ 
 ( 
 
 ) ⃗⃗⃗⃗ ( 
 
 ) ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗ ⃗⃗ 
 ( ) ⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 
 
14.24 Determine a para un medio en el cual ¿A qué 
velocidad viajará un campo electromagnético en este medio? 
En general, √ ( ) En el espacio vacío así que: 
 √ 
 √ 
 ( 
 
 
)√( ) ( 
 
 
) ( ) () 
 ( 
 
 
)√ 
 
La velocidad: 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
√( ) ( 
 
 ) 
( ) (
 
 
 
 
)
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
14.25 Una onda electromagnética en el espacio vacío tiene una longitud de onda de 
 Cuando esta onda penetra un dieléctrico perfecto, la longitud de onda cambia a 
 Suponiendo que determine y la velocidad de propagación. 
 
 
 
 
Constante de desfasaje después de entrar en el dieléctrico perfecto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hallar la frecuencia: 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
La velocidad de propagación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 ( ) ( 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.27 Halle la constante de propagación a una frecuencia de 400 MHz para un medio en 
el cual 𝜀𝑟 = 16, 𝜇𝑟 = 4.5 𝑦 𝜎 = 0.6
S
m
. Halle la razón entre la velocidad 𝑈 y la 
velocidad en el espacio vacío. 
Datos: 
𝛾 = ? 
𝑓 = 400 MHz 
𝜀𝑟 = 16 
𝜀0 = 8.854 × 10
−12 F/m 
𝜇𝑟 = 4.5 
𝜇0 = 4𝜋 × 10
−7 H/m 
𝜎 = 0.6 S/m 
𝑈 = ? 
𝑐 = 3 × 108 m/s 
𝜔 = 2𝜋𝑓 
𝜔 = 2𝜋(400 × 106) 
𝜔 = 2513274122.8718 rad/s 
𝜀 = 𝜀𝑟𝜀0 
𝜀 = (16) ∗ (8.854 × 10−12) 
𝜀 = 1.41664 × 10−10 F/m 
𝜇 = 𝜇𝑟𝜇0 
𝜇 = (4.5) ∗ (4𝜋 × 10−7) 
𝜇 = 5.6548 × 10−6 H/m 
 
𝛾2 = 𝑗𝜔𝜇(𝜎 + 𝑗𝜔𝜀) 
𝛾2 = 𝑗(2513274122.8718) ∗ (5.6548 × 10−6)(0.6 + 𝑗(2513274122.8718) ∗ (1.41664 × 10−10)) 
𝛾2 = 9915.54745367|120.6849° 
𝜸 = 𝟗𝟗. 𝟓𝟕𝟔𝟖|𝟔𝟎. 𝟑𝟒° 𝐦−𝟏 
𝛾 = (49.27579 + 𝑗86.5299) m−1 
𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 
𝛽 = 86.5299 rad/m 
𝜆 =
2𝜋
𝛽
 
𝜆 =
2𝜋
86.5299
 
𝜆 = 0.0726 m 
𝑈 = λ𝑓 
𝑈 = (0.0726) ∗ (400 × 106) 
𝑈 = 29040000 m/s 
Razón entre la velocidad 𝑈 y la velocidad en el espacio vacío: 
𝑈
𝑐
=
29040000
3 × 108
= 𝟎. 𝟎𝟗𝟔𝟖 
14.28 En un medio parcialmente conductor, 𝜀𝑟 = 18.5, 𝜇𝑟 = 800 y 𝜎 = 1 S/m . Halle 
𝛼, 𝛽, η y la velocidad 𝑈, para una frecuencia de 109 Hz. Determine �⃗⃗� (𝑧, 𝑡), dado 
�⃗� (𝑧, 𝑡) = 50.0𝑒−𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧) 𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ (
V
m
) 
Datos: 
𝜀𝑟 = 18.5 
𝜀0 = 8.854 × 10
−12 F/m 
𝜇𝑟 = 800 
𝜇0 = 4𝜋 × 10
−7 H/m 
𝜎 = 1 S/m 
𝛼 = ? 
𝛽 = ? 
𝜂 = ? 
𝑈 = ? 
𝑐 = 3 × 108 m/s 
𝑓 = 109 Hz 
�⃗⃗� (𝑧, 𝑡) = ? 
�⃗� (𝑧, 𝑡) = 50.0𝑒−𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧) 𝐚𝑦⃗⃗⃗⃗ (
V
m
) 
𝜔 = 2𝜋𝑓 
𝜔 = 2𝜋(109) 
𝜔 = 6283185307.18 rad/s 
𝜀 = 𝜀𝑟𝜀0 
𝜀 = (18.5) ∗ (8.854 × 10−12) 
𝜀 = 1.6379 × 10−10 F/m 
𝜇 = 𝜇𝑟𝜇0 
𝜇 = (800) ∗ (4𝜋 × 10−7) 
𝜇 = 0.001 H/m 
 
𝛾2 = 𝑗𝜔𝜇(𝜎 + 𝑗𝜔𝜀) 
𝛾2 = 𝑗(6283185307.18) ∗ (0.001)(1 + 𝑗(6283185307.18) ∗ (1.6379 × 10−10)) 
𝛾2 = 9016084.09036|135.8222° 
𝛾 = 3002.6794|67.9111° m−1 
𝛾 = (1129.1399 + 𝑗2782.288) m−1 
𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 
𝜶 = 𝟏𝟏𝟐𝟗. 𝟏𝟑𝟗𝟗 𝐍𝐩/𝐦 
𝜷 = 𝟐𝟕𝟖𝟐. 𝟐𝟖𝟖 𝐫𝐚𝐝/𝐦 
𝜂 = √
𝑗𝜔𝜇
𝜎 + 𝑗𝜔𝜀
 
𝜂 = √
𝑗(6283185307.18) ∗ (0.001)
1 + 𝑗(6283185307.18) ∗ (1.6379 × 10−10)
 
𝜼 = 𝟐𝟎𝟗𝟐. 𝟓𝟐𝟔𝟏|𝟐𝟐. 𝟎𝟖𝟖𝟖° Ω 
𝑈 =
𝜔
𝛽
 
𝑈 =
6283185307.18
2782.288
 
𝑼 = 𝟐. 𝟐𝟓 × 𝟏𝟎𝟔 𝐦/𝐬 
�⃗⃗� (𝑧, 𝑡) =
𝐸0
|𝜂|
𝑒−𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 − 𝜃) (−𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ ) 
�⃗⃗� (𝑧, 𝑡) =
50
2092.5261
𝑒−𝛼𝑧 cos(𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 − 𝜃) (−𝐚𝑥⃗⃗⃗⃗ ) 
𝜃 = 22.0888° Transformarlo en radianes tenemos: 
𝜋
180°
=
𝑥
22.0888°
 
𝑥 =
𝜋 ∗ (22.0888°)
180°
 
𝑥 = 𝜃 = 0.3855 
�⃗⃗� (𝒛, 𝒕) = 𝟐. 𝟑𝟖 × 𝟏𝟎−𝟐𝒆−𝜶𝒛 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 − 𝟎. 𝟑𝟖𝟓𝟓 − 𝜷𝒛) (−𝐚𝒙⃗⃗⃗⃗ ) (
𝐀
𝐦
) 
14.29 Para la plata, 𝜎 = 3.0
MS
m
. ¿A qué frecuencia la profundidad de penetración 𝛿 será 
1 mm? 
 Datos: 
𝜎 = 3 MS/m 
𝑓 = ? 
𝛿 = 1 mm 
𝛿 =
1
√𝜋𝑓𝜇𝜎
 
𝛿2 =
1
𝜋𝑓𝜇𝜎
 
𝑓 =
1
𝜋𝛿2𝜇𝜎
 
𝑓 =
1
𝜋(1 × 10−3)2(4𝜋 × 10−7)(3 × 106)
 
𝑓 = 84.4 kHz 
14.30 A cierta frecuencia, la constante de desfasaje en el cobre 
( 
 
 
) Determine la frecuencia. 
Datos: 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 ( )( )
 
 
 
 
14.31 La amplitud de ⃗ justo dentro de un líquido es y las constantes son: 
 
 
 
 Determine la amplitud de ⃗ a una distancia de 
dentro del medio para frecuencias de ( ) ( ) ( ) 
Datos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 
( ) 
 
 ( ) 
 
 √ ( ) 
 √ ( )( ) ( ( ) (
 
 
)) 
 ( ) 
 
 ⃗ 
 
 ⃗ ( ) ( ) ( ) 
 ⃗ 
( ) 
 
 ( ) 
 
 √ ( ) 
 √ ( )( ) ( ( ) (
 
 
)) 
 ( ) 
 
 ⃗ 
 
 ⃗ ( ) ( ) ( ) 
 ⃗ 
( ) 
 
 ( ) 
 
 √ ( ) 
 √ ( )( ) ( ( ) (
 
 
)) 
 ( ) 
 
 ⃗ 
 
 ⃗ ( ) ( ) ( ) 
 ⃗ 
 
14.32 En el espacio vacío, ⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) Halle la potencia 
promedio que cruza un disco circular de radio en un plano 
 
Datos: 
 ⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
 
 
En forma compleja, 
 ⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
Y como y la propagación es en 
 ⃗⃗ 
 
 
 ( ) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
 ⃗⃗⃗ 
 
 
 ( ⃗ ⃗⃗ ) 
 ⃗⃗⃗ 
 
 
(
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ 
El flujo es normal al área, y así 
 
 
 
(
 
 
) ( ) 
 
 
14.33 En coordenadas esféricas, la onda esférica 
 ⃗ 
 
 
 ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) ⃗⃗ 
 
 
 ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ (
 
 
) 
Representa el campo a grandes distancias de una cierta antena dipolo en el espacio 
vacío. Halle la potencia promedio que pasa a través del cascarón hemisférico 
 
Datos: 
 ⃗ 
 
 
 ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
 ⃗⃗ 
 
 
 ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ (
 
 
) 
 
 
 
En forma compleja: 
 ⃗ 
 
 
 ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
 ⃗⃗ 
 
 
 ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ (
 
 
) 
 
 
 
 ( ⃗ ⃗⃗ ) 
 ⃗⃗⃗ 
 
 
(
 
 
 ( ))(
 
 
 ( )) ⃗⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗⃗ (
( ( ))
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ 
 ∮ ⃗⃗⃗ 
 
 
 ∫ ∫ (
( ( ))
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ 
 ( ) 
 
 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ 
 ( )( )∫ ( ( ))
 
( ( )) 
 
 
 
 ( )( )∫ ( ( ( ))
 )( ( )) 
 
 
 
 ( )( ) (∫ ( ( )) 
 
 
 
 ∫ (( ( )) )( ( ))) 
 ( )( ) (| | 
 
 |
( ) 
 
|
 
 
 
) 
 ( )( ) (( ) (
( ) 
 
 
( ) 
 
)) 
 ( )( ) ( 
 
 
) 
 
14.34 En el espacio vacío, ⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) Halle la potencia total 
que pasa a través de un área rectangular de lados en el plano 
Datos: 
 ⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
 
 
 
Entonces: 
 ⃗⃗ ( ) 
 
 
 ( ) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
En forma compleja: 
 ⃗ ( ) ( ) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
 ⃗⃗ ( ) 
 
 
 ( ) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
 
 ⃗⃗⃗ 
 
 
 ( ⃗ ⃗⃗ ) 
 ⃗⃗⃗ 
 
 
( ) (
 
 
) ⃗⃗⃗⃗ (
 
 
) 
 
 
 
 
( ) (
 
 
) ( ) 
 
14.35 Una entrecara de espacio vacío y plata tiene 𝐸0
𝑖 = 100 V/m en el lado del espacio 
vacío. La frecuencia es 15 MHz y las constantes de la plata son: 𝜀𝑟 = 𝜇𝑟 = 1, 𝜎 =
61.7
MS
m
. Determine 𝐸0
𝑟 y 𝐸0
𝑡 en la entrecara. 
Datos: 
𝐸0
𝑖 = 100 V/m 
𝑓 = 15 MHz = 15 × 106 Hz 
𝜀𝑟 = 𝜇𝑟 = 1 
𝜀 = 𝜀0 = 8.854 × 10
−12 F/m 
𝜇 = 𝜇0 = 4𝜋 × 10
−7 H/m 
𝜎 = 61.7
MS
m
= 61.7 × 106 S/m 
η1 = η0 = 120𝜋 Ω 
𝐸0
𝑟 = ? 
𝐸0
𝑡 = ? 
𝜔 = 2𝜋𝑓 
𝜔 = 2𝜋(15 × 106) 
𝜔 = 94247779.6077 rad/s 
η2 = √
𝜔𝜇
𝜎
|45° 
η2 = √
(94247779.6077) ∗ (4𝜋 × 10−7)
(61.7 × 106)
|45° 
η2 = 0.001385|45° Ω 
𝐸0
𝑟 =
η2 − η1
η2 + η1
𝐸0
𝑖 
𝐸0
𝑟 =
(0.001385|45°) − (120𝜋)
(0.001385|45°) + (120𝜋)
(100) 
𝐸0
𝑟 = 100|180° V/m 
𝑬𝟎
𝒓 = −𝟏𝟎𝟎 𝐕/𝐦 
𝐸0
𝑡 =
2η2
η2 + η1
𝐸0
𝑖 
𝐸0
𝑡 =
2(0.001385|45°)
(0.001385|45°) + 120𝜋
(100) 
𝑬𝟎
𝒕 = 𝟕. 𝟑𝟒𝟕𝟔 × 𝟏𝟎−𝟒|𝟒𝟓° 𝐕/𝐦 
14.36 Una entecara de espacio vacío y conductor tiene 
 en el lado del 
espacio vacío. La frecuencia es y las constantes del conductor son: 
 
 
 
 Determine 
 y 
 y la profundidad de penetración de ⃗⃗ ⃗⃗ 
Datos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
 ( ) 
 
 √
 
 
 
 √
( )( )
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 ( | )
( ) 
 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
√ 
 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 
√ ( )( )( )
 
 ⃗⃗ ⃗⃗ 
14.37 Un campo ⃗⃗ que viaja en el espacio vacío, de amplitud y frecuencia de 
 golpea una hoja de plata de de espesor con 
 
 
 tal como se 
muestra en la figura 14-13. Halle 
 justo después de pasar la hoja. 
Datos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 √
 
 
 
 √
( )( )
( )
 
 
 
 ( | )
 ( | )
( ) 
 
 √ ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 ( )( ) 
 
 
 ( )
 ( | )
( ) 
 
 
 
14.38 Un campo ⃗ que viaja en el espacio vacío, de amplitud 
 
 
 golpea un 
dieléctrico perfecto, como el que se muestra en la figura 14-14. Determine 
 
Datos: 
 
 
 
 
 
 √
( )
( ) 
 
 
 
 ( )
 ( )
( ) 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 ( )
 ( )
( ) 
 
 
 
14.39 Un campo ⃗ que viaja en el espacio vacío golpea un medio parcialmente 
conductor, tal como se muestra en la figura 14-15. Dada un frecuencia de y 
 
 
 
 
 determine y 
 
Datos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 √
 ( )( )
 ( )( )( )
 
 
 
 ( | )
 ( | )
( ) 
 
 √ ( ) ( )( ( ) ( )( ) 
 ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( )
 ( | )
( )