Lista 8

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Ca´lculo III
Departamento de Matema´tica
Universidade Federal de Minas Gerais
Prof. Karina Marin
LISTA 8
Exerc´ıcio 1
Determine se o campo vetorial e´ conservativo. Se for, determine uma func¸a˜o f tal que
∇f = F. (Veja o Exerc´ıcio 2 da Lista 6)
(a) F(x, y, z) = xyz4 i + x2z4 j + 4x2yz3 k.
(b) F(x, y, z) = z cos y i + xz sin y j + x cos y k.
(c) F(x, y, z) = eyz i + xzeyz j + xyeyz k.
(d) F(x, y, z) = ex sin yz i + zex cos yz j + yex cos yz k.
(e) F(x, y, z) = y2z3 i + 2xyz3 j + 3xy2z2 k.
(f) F(x, y, z) = xyz2 i + x2yz2 j + x2y2z k.
Exerc´ıcio 2
Use o Teorema de Stokes para calcular
∫
S
rot F · dS:
(a) F(x, y, z) = x2 sin z i + y2 j + xy k,
S e´ a parte do paraboloide z = 1−x2−y2 que esta´ acima do plano xy orientada
para cima.
(b) F(x, y, z) = x2z2 i + y2z2 j + xyz k,
S e´ a parte do paraboloide z = x2 + y2 que se encontra dentro do cilindro
x2 + y2 = 4 orientada para cima.
(c) F(x, y, z) = xyz i + xy j + x2yz k,
S e´ formada pelo topo e pelos quatro lados (mas na˜o pelo fundo) do cubo com
ve´rtices (±1,±1,±1) orientada para fora.
(d) F(x, y, z) = exy i + ezx j + x2z k,
S e´ a metade do elipsoide 4x2 + y2 + 4z2 = 4 que se situa a` direita do plano xz
orientado na direc¸a˜o do eixo y positivo.
1
2
Exerc´ıcio 3
Use o Teorema de Stokes para calcular
∫
C
F · dr:
(a) F(x, y, z) = yz i + 2xz j + exy k,
C e´ o c´ırculo x2 +y2 = 16, z = 5 com orientac¸a˜o no sentido anti-hora´rio quando
visto de cima.
(b) F(x, y, z) = 2y i + xz j + (x + y) k,
C e´ a curva de intersecc¸a˜o do plano z = y + 2 com o cilindro x2 + y2 = 1, com
orientac¸a˜o no sentido anti-hora´rio quando visto de cima.
Exerc´ıcio 4
Seja C uma curva fechada simples suave que se situa no plano x + y + z = 1. Mostre
que a integral de linha ∫
C
z dx− 2x dy + 3y dz,
depende apenas da a´rea da regia˜o englobada por C e na˜o da forma de C ou de sua posic¸a˜o
no plano.
Exerc´ıcio 5
Use o Teorema de Gauss para calcular
∫
S
F · dS:
(a) F(x, y, z) = x2yz i + xy2z j + xyz2 k,
S e´ a superf´ıcie da caixa delimitada pelos planos x = 0, x = a, y = 0, y = b,
z = 0 e z = c, onde a, b, c sa˜o nu´meros positivos.
(b) F(x, y, z) = x2 sin y i + x cos y j− xz sin y k,
S e´ a superf´ıcie x8 + y8 + z8 = 8.
(c) F(x, y, z) = (xy + 2xz) i + (x2 + y2) j + (xy − z2) k,
S e´ a fronteira do so´lido limitado pelo cilindro x2+y2 = 4 e pelos planos z = y−2
e z = 0.
(d) F = r |r| onde r(x, y, z) = x i + y j + z k,
S consiste no hermisfe´rio z =
√
1− x2 − y2 e no disco x2 + y2 ≤ 1 no plano xy.
(e) F(x, y, z) = x4 i− x3z2 j + 4xy2z k,
S e´ a fronteira do so´lido limitado pelo cilindro x2+y2 = 1 e pelos planos z = x+2
e z = 0.
3
Exerc´ıcio 6
Use o Teorema de Gauss para calcular∫
S
(2x + 2y + z2) dS,
onde S e´ a esfera x2 + y2 + z2 = 1.