Exercícios Resistência dos Materiais com exemplos.

Prévia do material em texto

Deformação Axial 
Exemplo 1: 
Um fio de nylon de 10 m de comprimento está sujeito a uma tração de 25 N. 
Sabendo-se que o módulo de elasticidade E=3,45 GPa, que a máxima tensão 
de projeto é de 32 MPa , determine o diâmetro mínimo necessário para o fio e 
diga se o fio atende ou não projeto sabendo que o fio aumentou 5mm após ser 
tracionado. 
Resolução: 
Temos 
* L - Comprimento = 10m 
* P - Carga atuante = 25N 
* E - Módulo de elasticidade = 3,45Gpa ou 3,45x𝟏𝟎𝟗 
* Tensão de projeto = 32MPa ou 32x𝟏𝟎𝟔 
* 𝛅 - Deformação = 5mm ou 5x𝟏𝟎−𝟑m 
1º - Para acharmos o diâmetro, primeiro devemos achar a área útil do fio. 
𝜹 = 
𝑷.𝑳
𝑬.𝑨
 
5x𝟏𝟎−𝟑 = 
𝟐𝟓∗𝟏𝟎
𝟑,𝟒𝟓𝒙𝟏𝟎𝟗∗𝑨
 
3,45x𝟏𝟎𝟗*A = 
𝟐𝟓∗𝟏𝟎
𝟓𝒙𝟏𝟎−𝟑
 
3,45x𝟏𝟎𝟗*A = 50x𝟏𝟎𝟑 
A = 
𝟓𝟎𝒙𝟏𝟎𝟑
𝟑,𝟒𝟓𝒙𝟏𝟎𝟗
 
A = 14,49x𝟏𝟎−𝟔 m² 
2º - Achando o diâmetro, mínimo do fio. 
A = 
𝝅∗∅²
𝟒
 
∅ = √
𝑨∗𝟒
𝝅
 
∅ = √
𝟏𝟒,𝟒𝟗𝒙𝟏𝟎−𝟔 ∗𝟒
𝝅
 
∅ = 0,0184𝒙𝟏𝟎−𝟑m 
∅ = 0,0184mm 
3º - Verificando se o fio atende ou não ao projeto. 
σ = 
P
A
 
σ =
25N
14,49x10−6m2
 
σ = 1,73 MPa 
O fio atende ao projeto porque a σp = 1,73 MPa < σp = 32 MPa. 
1 Duas marcas de referência são colocadas a exatamente 250 mm uma da 
outra, em uma barra de alumínio com diâmetro de 12 mm. Sabendo que uma 
força axial de 6000 N atuando nessa barra provoca um afastamento entre as 
marcas de 250,18 mm, determine o módulo de elasticidade do alumínio 
utilizado. 
 
2 Uma barra feita de poliestireno de comprimento igual a 304,8 mm e diâmetro 
igual a 12,7 mm está submetida a uma força de tração igual a 3558 N. 
Sabendo que E= 3,10 GPa, determine (a) o alongamento dessa barra e (b) a 
tensão normal na barra. 
 
3 Um fio de aço de 60 m de comprimento está submetido a uma força de 
tração de 6 kN. Sabendo que E=200 GPa e que o comprimento do fio deve 
aumentar no máximo 48 mm, determine (a) o menor diâmetro que pode ser 
selecionado para o fio e (b) a tensão normal correspondente. 
 
4 Deseja-se usar um fio de aço de 8,5 m de comprimento e 6,4 mm de diâ- 
metro para sustentar uma força P de tração. Sabe-se que o fio se alonga 12 
mm quando é aplicada essa força. Sabendo que E=200 GPa, determine (a) a 
intensidade da força P e (b) a tensão normal correspondente no fio. 
 
5 Um tubo de ferro fundido é utilizado para suportar uma força de compressão. 
Sabendo que E=69 GPa e que a máxima variação admissível no comprimento 
é 0,025%, determine (a) a tensão normal máxima no tubo e (b) a espessura 
mínima da parede para uma carga de 7,2 kN se o diâmetro externo do tubo for 
de 50 mm. 
 
6 A barra BD feita de aço (E=200 GPa) é utilizada para contenção lateral 
da haste comprimida ABC. O máximo esforço que se desenvolve em BD é 
igual a 0,02P. Se a tensão não deve exceder 124,1 MPa e a máxima mudança 
de comprimento da barra BD não pode exceder 0,001 vez o comprimento de 
ABC, determine o menor diâmetro possível de ser utilizado para o membro BD. 
 
7 O elemento mostrado é construído com um cilindro de aço com diâmetro de 
25,4 mm e duas luvas com 38,1 mm de diâmetro externo ajustadas nas suas 
extremidades. Sabendo que E=200 GPa, determine (a) a carga P de modo que 
o alongamento total seja igual a 0,0508 mm e (b) o correspondente 
alongamento da porção central BC. 
 
Deformação Térmica 
Exemplo 2: 
Determine os valores da tensão nas partes AC e CB na barra de aço mostrada 
na figura abaixo, quando a temperatura for -45ºC, sabendo que ambos os 
apoios rígidos estão ajustados quando a temperatura estiver a 20ºC. Use E = 
200GPa 𝛼 = 12x10−6/ ºC para o aço. 
 
Resolução: 
Temos 
* Lac = 300mm ou 300x𝟏𝟎−𝟑m 
* Aac = 390mm² ou 390x𝟏𝟎−𝟔m² 
* Lcb = 300mm ou 300x𝟏𝟎−𝟑m 
* Acb = 780mm² ou 780x𝟏𝟎−𝟔m² 
* P - Carga atuante = ? 
* E - Módulo de elasticidade = 200Gpa ou 200x𝟏𝟎𝟗Pa 
* Tensão atuante = ? 
* 𝛼 = 12x𝟏𝟎−𝟔/ºC 
* To = 20ºC 
* TF = -45ºC 
1º - Achamos a variação de temperatura: 
∆𝑇 = TF - To 
∆𝑇 = -45 - 20 
∆𝑇 = -65ºC 
2º - Achamos a deformação térmica: 
𝛿𝑇 = 𝛼 ∗ ∆𝑇 ∗ 𝐿 
𝛿𝑇 = 12x10−6 ∗ (−65) ∗ 300𝑥10−3 
𝛿𝑇 = −0,234x10−3 m 
𝛿𝑇 = −0,234mm 
3º - Achamos a deformação mecânica: 
𝛿𝑚 = 𝑃 (
300𝑥10−3
200𝑥109 ∗ 390𝑥10−6
) + (
300𝑥10−3
200𝑥109 ∗ 780𝑥10−6
) 
𝛿𝑚 = P(3,846𝑥10−9 + 1,923𝑥10−9) 
𝛿𝑚 = 5,769𝑥10−9P 
4º - Achamos a força: 
𝛿𝑇 + 𝛿𝑚 = 0 
−0,234x10−3 + 5,769𝑥10−9P = 0 
5,769𝑥10−9P = 0,234x10−3 
P =
0,234x10−3
5,769𝑥10−9
 
P = 40,56 kPa 
5º - Achamos as tensões: 
𝜎𝑎𝑐 =
P
𝐴
 
𝜎𝑎𝑐 =
40,56x103 Pa
390𝑥10−6 𝑃𝑎
 
𝜎𝑎𝑐 = 104 MPa 
𝜎𝑐𝑏 =
P
𝐴
 
𝜎𝑐𝑏 =
40,56x103 Pa
780𝑥10−6 𝑃𝑎
 
𝜎𝑐𝑏 = 52 MPa 
 
8 Uma barra formada por duas partes cilíndricas AB e BC está impedida 
de se deslocar em ambas as extremidades. A parte AB é feita de aço (Eaço= 
200 GPa, a 𝛼aço 11,7x10−6ºC) e a parte BC é feita de latão (Elatão=105 GPa, 
a 𝛼latão 20,9x10−6ºC). Sabendo que a barra está inicialmente livre de tensões, 
determine a força compressiva induzida em ABC quando há um aumento de 
temperatura de 50ºC. 
 
9 Uma barra formada por duas partes cilíndricas AB e BC está impedida 
de se deslocar em ambas as extremidades. A parte AB é feita de latão (Elatão= 
103,4 GPa, a 𝛼latão 20,9x10−6ºC) e a parte BC é feita de aço (Eaço=200 GPa 
𝛼aço 11,7x10−6ºC). Sabendo que a barra está inicialmente livre de tensões, 
determine (a) as tensões normais nas partes AB e BC provocadas por um 
aumento de 32,2°C na temperatura e (b) o deslocamento correspondente do 
ponto B. 
 
10 Sabendo que existe um espaçamento de 0,508 mm quando a temperatura é 
de 23,9ºC, determine (a) a temperatura na qual a tensão normal na barra de 
alumínio será igual a 5,8 MPa e (b) o comprimento exato correspondente da 
barra 
de alumínio. 
 
11 Determine (a) a força de compressão nas barras mostradas na figura do 
exercício 10 depois que a temperatura atingiu 82ºC e (b) a variação 
correspondente no comprimento da barra de bronze. 
 
Coeficiente de Poisson, Deformação Volumétrica, Dilatação e Módulo de 
Compressibilidade Volumétrica e Deformação de Cisalhamento 
 
Exemplo 3: 
Observa-se que uma barra de 500 mm de comprimento e 16 mm 
de diâmetro, feita de um material homogêneo e isotrópico, aumenta no 
comprimento em 300 𝜇m, e diminui no diâmetro em 2,4 𝜇m quando submetida 
a uma força axial de 12 kN. Determine o módulo de elasticidade e o coeficiente 
de Poisson do material. 
 
Resolução: 
Temos 
* L𝑥 = 500mm ou 500x𝟏𝟎−𝟑m 
* P - Carga atuante = 12 kN ou 12x𝟏𝟎𝟑 Pa 
* E - Módulo de elasticidade = ? 
* ∅𝑦 = 16 𝑚𝑚 ou 16x𝟏𝟎−𝟑m 
* 𝛿𝑥 = 300 𝜇m ou 300x𝟏𝟎−𝟔m 
* 𝛿𝑦 = -2,4 𝜇m ou -2,4x𝟏𝟎−𝟔m 
1º - Achamos a área: 
A = 
𝝅∗∅²
𝟒
 
A = 
𝝅∗𝟏𝟔²
𝟒
 
A = 201,06x𝟏𝟎−𝟔m² 
2º - Achamos a tensão no eixo x: 
𝜎𝑥 =
P
𝐴
 
𝜎𝑥 =
12𝑥𝟏𝟎𝟑 𝑃𝑎
201,06x𝟏𝟎−𝟔m²
 
𝜎𝑥 = 59,68 MPa 
3º - Achamos as deformações específicas de engenharia no eixo x 𝜀𝑥 e no 
eixo y 𝜀𝑦: 
𝜀𝑥 =
𝛿𝑥
𝐿𝑥
 
𝜀𝑥 =
300x𝟏𝟎−𝟔m
500x𝟏𝟎−𝟑m
 
𝜀𝑥 = 600x𝟏𝟎−𝟔 
𝜀𝑦 =
𝛿𝑦
𝐿𝑦
 
𝜀𝑦 =
−2,4x𝟏𝟎−𝟔m
16x𝟏𝟎−𝟑m
 
𝜀𝑦 = 150x𝟏𝟎−𝟔 
4º - Achamos o módulo de elasticidade: 
𝜎𝑥 = E ∗ 𝜀𝑥 
E ∗ 𝜀𝑥 = 𝜎𝑥 
E =
𝜎𝑥
𝜀𝑥
 
E =
59,68𝑥𝟏𝟎𝟔 𝑃𝑎
600x𝟏𝟎−𝟔
 
E = 99,47 𝐺𝑃𝑎 
5º - Achamos o coeficiente de Poisson: 
𝜈 = 
𝜀𝑦
𝜀𝑥
 
𝜈 = 
150x𝟏𝟎−𝟔
600x𝟏𝟎−𝟔
 
𝜈 = 0,25 
Exemplo 4: 
O bloco de aço mostrado na Figura abaixo está submetido a umapressão 
uniforme em todas as suas faces. Sabendo que a variação no comprimento da 
aresta AB é -0,03 mm, determine (a) a variação no comprimento das outras 
arestas e (b) a pressão p aplicada às faces do bloco. Suponha E=200 GPa e o 
coeficiente de Poisson = 0,29. 
 
Resolução: 
Temos 
* L𝑥 = 100mm ou 100x𝟏𝟎−𝟑m 
* L𝑦 = 50mm ou 50x𝟏𝟎−𝟑m 
* L𝑧 = 80mm ou 80x𝟏𝟎−𝟑m 
* P - Carga atuante = ? 
* E - Módulo de elasticidade = 200x𝟏𝟎𝟗 Pa 
𝜈 = 0,29 
* 𝛿𝑥 = -0,03 mm ou -0,03x𝟏𝟎−𝟑m 
* 𝛿𝑦 = ? 
* 𝛿𝑧 = ? 
1º - Achamos as deformações específicas de engenharia no eixo x 𝜀𝑥, no eixo 
y 𝜀𝑦 e no eixo z 𝜀𝑧: 
Sabemos que 𝜀𝑥 = 𝜀𝑦 = 𝜀𝑧 = − 𝑃
𝐸
(1 − 2 𝜈) 
𝜀𝑥 =
𝛿𝑥
𝐿𝑥
 
𝜀𝑥 =
−0,03x𝟏𝟎−𝟑m
100𝑥𝟏𝟎−𝟑𝑚
 
𝜀𝑥 = 𝜀𝑦 = 𝜀𝑧 = −300x𝟏𝟎−𝟔 
2º - Achamos as deformações em y e em z: 
𝜀𝑦 =
𝛿𝑦
𝐿𝑦
 
𝛿𝑦
𝐿𝑦
 = 𝜀𝑦 
𝛿𝑦 = 𝜀𝑦 ∗ 𝐿𝑦 
𝛿𝑦 = −300x𝟏𝟎−𝟔 ∗ 50x𝟏𝟎−𝟑 
𝛿𝑦 = −0,015x𝟏𝟎−𝟑𝑚 
𝛿𝑦 = −0,015 m𝑚 
 
𝜀𝑧 =
𝛿𝑧
𝐿𝑧
 
𝛿𝑧
𝐿𝑧
 = 𝜀𝑧 
𝛿𝑧 = 𝜀𝑧 ∗ 𝐿𝑧 
𝛿𝑧 = −300x𝟏𝟎−𝟔 ∗ 80x𝟏𝟎−𝟑 
𝛿𝑧 = −0,024x𝟏𝟎−𝟑𝑚 
𝛿𝑧 = −0,024m𝑚 
 
3º - Achamos o P: 
𝜀𝑥 = 𝜀𝑦 = 𝜀𝑧 = −
𝑃
𝐸
(1 − 2 𝜈) 
𝑃 = −
200x𝟏𝟎𝟗 Pa ∗ (−300x𝟏𝟎−𝟔)
(1 − 2 ∗ 0,29)
 
𝑃 = −
200x𝟏𝟎𝟗 Pa ∗ (−300x𝟏𝟎−𝟔)
(1 − 0,58)
 
𝑃 = −142,86 MPa 
Exemplo 5: 
Determine a variação em volume do bloco de aço mostrado 
na Figura abaixo, quando ele é submetido a uma pressão hidrostática 
p=180 MPa. Use E=200 GPa e 𝜈 = 0,29. 
 
Resolução: 
Temos 
* L𝑥 = 100mm ou 100x𝟏𝟎−𝟑m 
* L𝑦 = 50mm ou 50x𝟏𝟎−𝟑m 
* L𝑧 = 80mm ou 80x𝟏𝟎−𝟑m 
* P - Carga atuante = 180MPa ou 180x𝟏𝟎𝟔 Pa 
* E - Módulo de elasticidade = 200x𝟏𝟎𝟗 Pa 
𝜈 = 0,29 
Sabemos que e = 
Δ𝑉
𝑉
, então para acharmos a variação de volume precisamos 
usar Δ𝑉 = e*V 
1º - Acharemos o módulo de compressibilidade volumétrica do aço: 
𝑘 =
𝐸
3(1 − 2𝜈)
 
𝑘 =
200x𝟏𝟎𝟗 Pa
3(1 − 2 ∗ 0,29)
 
𝑘 =
200x𝟏𝟎𝟗 Pa
1,26
 
𝑘 = 158,73 Gpa 
2º - Acharemos a dilatação volumétrica específica do aço: 
𝑒 = −
𝑃
𝑘
 
𝑒 = −
180x𝟏𝟎𝟔 Pa
158,73x𝟏𝟎𝟗 Pa
 
𝑒 = −1,134 x𝟏𝟎−𝟑 
3º - Acharemos o volume do bloco livre de tensão: 
v = Lx*Ly*Lz 
v = 100x𝟏𝟎−𝟑m* 50x𝟏𝟎−𝟑m*80x𝟏𝟎−𝟑m 
v = 400x𝟏𝟎−𝟔m³ 
4º - Acharemos a variação de volume do bloco: 
Δ𝑉 = −1,134 x𝟏𝟎−𝟑 *400x𝟏𝟎−𝟔m³ 
Δ𝑉 = 0,4536𝑥𝟏𝟎−𝟔𝑚³ 
Exemplo 6: 
Um bloco retangular de um material com um módulo de elasticidade transversal 
G=620 MPa é colado a duas placas rígidas horizontais. A placa inferior é fixa, 
enquanto a placa superior está submetida a uma força horizontal P. Sabendo 
que a placa superior se desloca 1 mm sob a ação da força, determine (a) 
a deformação de cisalhamento média no material e (b) a força P que atua na 
placa superior. 
 
Resolução: 
Temos 
* L𝑥 = 200mm ou 200x𝟏𝟎−𝟑m 
* L𝑦 = 50mm ou 50x𝟏𝟎−𝟑m 
* L𝑧 = 60mm ou 60x𝟏𝟎−𝟑m 
* P - Carga atuante = ? 
* G - Módulo de elasticidade transversal= 620 MPa ou 620x𝟏𝟎𝟔 Pa 
𝛿𝑥 = 1 𝑚𝑚 ou 1x𝟏𝟎−𝟑 m 
Sabemos que 𝜏 = 𝐺 ∗ 𝛾 
a) primeiro achamos a deformação média de cisalhamento 
 
 
 1 
 
50 𝛾 
 
 
𝛾 =
1x𝟏𝟎−𝟑 m
50x𝟏𝟎−𝟑 m
 
𝛾 = 0,02 𝑟𝑎𝑑 
b) achando o P solicitado: 
𝜏 = 620x𝟏𝟎𝟔 Pa ∗ 0,02 
𝜏 = 12,4 MPa 
A = c * L 
A = 200x𝟏𝟎−𝟑m * 60x𝟏𝟎−𝟑m 
A = 12.000x𝟏𝟎−𝟔m² 
𝜏 =
P
A
 
𝜏 =
P
A
 
P
A
= 𝜏 
P = 𝜏 ∗ 𝐴 
P = 12,4x𝟏𝟎𝟔 Pa ∗12.000x𝟏𝟎−𝟔m² 
P = 148,8 kN 
12 Um ensaio de tração padrão é usado para determinar as propriedades de 
um plástico. O corpo de prova é uma barra de 20 mm de diâmetro e está 
submetido a uma força de tração de 6 kN. Sabendo-se que em um 
comprimento de referência de 150 mm observa-se um alongamento de 14 mm 
no seu comprimento e uma diminuição de 0,85 mm no diâmetro, determine o 
módulo de elasticidade, o módulo de elasticidade transversal e o coeficiente de 
Poisson do material. Considere a barra no eixo x. 
13 Uma força de tração de 2669 N é aplicada a um corpo de prova feito de 
placa de aço plana de 1,588 mm (E=200 GPa, 𝜈 = 0,30). Determine a variação 
resultante (a) no comprimento de referência de 50,8 mm, (b) na largura da 
parte AB do corpo de prova, (c) na espessura da parte AB e (d) na área da 
seção transversal da parte AB. 
 
14 Um tubo de aço de comprimento igual a 1829 mm, diâmetro externo de 
304,8 mm e espessura de parede de 12,7 mm é usado como uma coluna curta 
e suporta uma força axial centrada de 1334 kN. Sabendo que E=200 GPa e 
𝜈 = 0,30, determine (a) a variação no comprimento do tubo, (b) a variação em 
seu diâmetro externo e (c) a variação na espessura da parede. 
 
15 A variação no diâmetro de um grande parafuso de aço é cuidadosamente 
medida enquanto a porca é apertada. Sabendo que E=200 GPa e 𝜈 =0,29, 
determine a força interna no parafuso, quando se observa que o diâmetro 
diminuiu em 0,13 mm. 
 
16 Um tecido utilizado em estruturas infláveis está submetido a um 
carregamento biaxial que resulta em tensões normais 𝜎x=180 MPa e 𝜎z=110 
MPa. Sabendo que as propriedades do tecido podem ser de aproximadamente 
E=88 GPa e 𝜈 = 0,30, determine a variação no comprimento (a) do lado AB, 
(b) do lado BC e (c) da diagonal DB. 
 
17 O bloco mostrado na figura é feito de liga de magnésio com E=45 GPa 
e 𝜈 = 0,35. Sabendo que 𝜎x= -180MPa, determine (a) a intensidade de 𝜎y 
para a qual a variação na altura do bloco será zero, (b) a variação 
correspondente na área da face ABCD. 
 
 
 
18 O bloco de plástico mostrado está colado a uma base fixa e a uma chapa 
horizontal rígida à qual é aplicada uma força P. Sabendo que o plástico 
utilizado tem módulo de elasticidade transversal G=400 MPa, determine o 
deslocamento da chapa quando P= 65 kN. 
 
19 Dois blocos de borracha com um módulo de elasticidade transversal 
G=12,07 MPa são colados a dois suportes rígidos e a uma placa AB. Sabendo 
que c = 102 mm e P = 44,5 kN, determine as menores dimensões a e b 
admissíveis dos blocos para que a tensão de cisalhamento na borracha não 
exceda 1,4 MPa e o deslocamento da placa seja no mínimo de 4,8 mm. 
 
20 Dois blocos de borracha com um módulo de elasticidade transversal 
G=10,34 MPa são colados a dois suportes rígidos e a uma placa AB da figura 
do problema 19 . Sabendo que b=203 mm e c=127 mm, determine a maior 
força P admissível e a menor espessura a admissível dos blocos para que a 
tensão de cisalhamento na borracha não exceda 1448 kPa e o deslocamento 
da placa seja no mínimo 6,4 mm. 
 
Torção 
Exemplo 7: 
Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5 m de comprimento e 
diâmetros interno e externo, respectivamente, iguais a 40 mm e 60 mm 
conforme a figura. (a) Qual é o maior torque que pode ser aplicado à barra 
circular se a tensão de cisalhamento não deve exceder 120MPa? (b) Qual é o 
valor mínimo correspondente da tensão de cisalhamento na barra circular? 
 
Resolução: 
Temos 
* L = 1,50 m 
* di = 40mm 
* de = 60mm 
* 𝜏 = 120 MPa 
* C = r 
1º achamos o momento de inércia polar 
𝐽 =
𝜋
2
(𝐶2 
4 − 𝐶1 
4) 
𝐽 =
𝜋
2
(0,032 
4 − 0,021 
4 ) 
𝐽 = 1,021𝑥10−6 𝑚4 
a) achamos a torque máximo 
𝑇 =
𝜏 ∗ 𝐽
𝐶2
 
𝑇 =
120𝑥106 ∗ 1,021𝑥10−6 𝑚4
0,03
 
𝑇 = 4,08 𝑘𝑁. 𝑚 
b) achamos a tensão de cisalhamento mínima 
𝜏𝑚𝑖𝑛 =
𝐶1
𝐶2
∗ 𝜏𝑚𝑎𝑥 
𝜏𝑚𝑖𝑛 =
0,02𝑚
0,03𝑚
∗ 120𝑥106𝑃𝑎 
𝜏𝑚𝑖𝑛 = 80 𝑀𝑃𝑎 
21 Parao eixo cilíndrico mostrado, determine a tensão de cisalhamento 
máxima provocada por um torque de intensidade T =1,5 kN.m. 
 
22 Determine o torque T que provoca uma tensão de cisalhamento máxima de 
80 MPa no eixo cilíndrico de aço mostrado na figura do anterior. 
23 Sabendo que o diâmetro interno do eixo vazado mostrado é d=22,9 mm, 
determine a máxima tensão de cisalhamento causada por um torque de 
intensidade T=1,017 kN.m aplicado. 
 
24 Sabendo que d=30,5 mm, determine o torque T que causa a máxima tensão 
de cisalhamento de 51,7 MPa no eixo vazado mostrado na figura do problema 
23. 
25 (a) Determine o torque que pode ser aplicado a um eixo de seção cheia com 
diâmetro de 20 mm, sem exceder a tensão de cisalhamento admissível do 
material do eixo de 80 MPa. (b) Resolva a parte a considerando que a seção 
transversal cheia foi substituída por um eixo vazado com a mesma área de 
seção transversal e com um diâmetro interno igual à metade de seu próprio 
diâmetro externo.