Resumo P2- Matemática, Prof.ª Eliana

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Resumo P2
Função Exponencial 
A função , com 0<b e b≠1, é chamada de função exponencial e possui as seguintes propriedades:
É definida e positiva para todos os valores de .
O eixo X é uma assíntota horizontal do gráfico de .
O ponto de interseção da curva com o eixo X é o ponto (0,1).
A curva não intercepta o eixo X.
∀ x, a função é crescente se b>1.
∀ x, a função é decrescente se 0<b<1
Função Logarítmica
Se x é um número real positivo, o logaritmo de x na base b, com b>0 e b≠1, representado por , é o numero tal que , ou seja, .
Ex: 
Propriedades:
Obs: Quando a base é 10, não a escrevemos. Isto é .
Definimos a função logarítmica de base b (com b>0 e b), como a função que associa, a cada número real x, o seu logaritmo. Isto é, .
O domínio de f é o conjunto e a imagem é o conjunto R.
Se 0<b<1 a função é decrescente
Se b>1, ela é crescente.
Chama-se logaritmo natural de x, representada por, a função logarítmica cuja base é p número de Euler e.
Obs: Como a função exponencial e logarítmica são funções inversas entre si, seus gráficos são simétricos com relação à reta y=x.
Limites
Calcular um limite é investigar de que forma a função se comporta quando a variável independente X se aproxima de um número a (que não precisa, necessariamente, pertencer ao domínio).
Dizemos que se aproxima do numero L quando X se aproxima de a se nos aproximamos, tanto pela esquerda como pela direita de a e a imagem fica tão próxima de L quanto quisermos.
Notação: 
É importante estabelecer que os limites descrevem o comportamento de uma função perto de um ponto, mas não necessariamente no ponto.
Propriedades dos limites:
Se e existem, então:
, ∀ K =constante
 , se .
, se existir.
, ∀ k = constante
Casos especiais:
Se p(x) e q(x) são polinômios:
 
, se q(a)≠0
Sempre que ao substituímos a letra pelo número e encontrarmos , é preciso fatorar ou racionalizar para simplificar o quociente até poder substituir a letra pelo número. 
Limites no infinito
Se os valore da função f(x) tendem a um número L quando x cresce indefinidamente escrevemos .
Se os valores da função f(x) se aproximam do número M quando X diminui sem limite escrevemos .
Geometricamente, a notação significa que, quando x aumenta sem limite, a curva f(x) se aproxima da reta horizontal y=L, chamada de assíntota horizontal de f. O mesmo para M.
Uma função f(x) tem uma assíntota vertical se pelo menos uma das afirmações a seguir ocorrer:
Atenção: O eixo Y (isto é, a reta x=0) é assíntota vertical de , pois .
Teorema:
Se A e n são constantes, então e (desde que esteja definido).
Por exemplo:
Para calcular limites no infinito de funções racionais (quociente de polinômios), devemos dividir todos os termos do quociente pelo termo de maior grau do denominador. Depois, calcula-se o limite usando o artifício no exemplo: 
Em um polinômio, quando calculamos limites no infinito, “manda” o termo de maior grau, pois: 
Ao calcular o limite no infinito do polinômio, todos os termos de dentro dos parênteses tendem a zero, exceto o primeiro.
Limites infinitos
Dizemos que é um limite infinito se f(x) aumenta ou diminui indefinidamente se x se aproxima de c.
Escrevemos ou 
Ex:
Limites laterais
Dizemos que se, ao nos aproximarmos de c pelas esquerda (ou seja, valores menores que c), a imagem se aproxima de L.
Dizemos que se, quando nos aproximamos de c pela direita (ou seja, valores maiores que c), a imagem se aproxima de M.
Teorema: Dizemos que o limite de f(x) quando se x se aproxima do numérico c é o número L se, e somente se, .
Continuidade
Dizemos que uma função f é contínua em x=c se ocorrerem os 3 itens a seguir: