Geometria Analítica Espacial - Apostila.doc

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CEFET-SP Uned Cubatão
Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
CEFET-SP Uned Cubatão
Curso:	Curso Superior de Tecnologia em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
Turma:			SAI – 171
Matéria:		Geometria Analítica
Aluno:		Flávio Alves Monteiro
Matrícula:			051017
GEOMETRIA ANALÍTICA
Conceito de vetor 
Definição 1
Um, segmento orientado é um par ordenado (A, B) de pontos do espaço. A é dito origem, B extremidade do segmento orientado. Os segmentos orientados da forma (A, A) são ditos nulos. Se A ( B, (A, B) é diferente de (B, A).
Definição 2
Dizemos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) têm o mesmo comprimento se os segmentos geométricos AB e CD têm o mesmo comprimento.
Suponha (A, B) e (C, D) não nulos. Então dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesma direção se AB // CD (AB // CD inclui o caso em que as retas suportes coincidem) . Nesse caso dizemos que (A, B) e (C, D) são paralelos.
.Suponha que (A, B) e (C, D) têm mesma direção.
a) Se as retas AB e CD são distintas, dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesmo sentido se a intersecção entre os segmentos AC e BD for vazia. Caso AB ( CD ( ( , dizemos que (A, B) e (C, D) têm sentido contrário.
b) Se as retas AB e CD coincidem, tome (A', B') tal que A' não pertença à reta AB e (A', B') tenha mesma direção, e mesmo sentido que (A, B). Então dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesmo sentido se (A', B' ) e (C, D) têm mesmo sentido. Se não, dize​mos que (A, B) e (C, D) têm sentido contrario.
Definição 3 .
	Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes, e indica-se (A,B) ( (C,D), se um dos casos seguintes ocorrer:
ambos são nulos;
nenhum é nulo, e têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido.
Proposição 1: A relação de equipolência goza das seguintes propriedades:
a) (A , B) ( (A , B) (reflexiva) 
 
b) (A ,B) ( (C , D) ( (C,D) ( (A,B) (simétrica)
 
c) (A,B) ( (C,D) e (C,D) ( (E ,F) ((A ,B)((E,F) (transitiva)
Observação: (Uma relação que goza das propriedades a), b) e c) se chama de relação de equivalência.
Definição 4
Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados de E3. Se (A,B) é um segmento orientado, o vetor correspondente (ou seja, o vetor cujo representante é (A,B)) será indicado por 
. Usam-se também letras latinas minúsculas encimadas por uma seta (
, 
, 
 etc.), não se fazendo desse modo referência ao representante. 
Chamaremos vetor nulo ao vetor cujo representante é um segmento orientado nulo (A,A) e indica-se o vetor nulo por 
.
Os vetores 
 e 
 não-nulos são paralelos (
//
) se um representante de 
 é paralelo a um representante de 
 (e portanto a todos). Se 
 // 
, 
 e 
 têm mesmo sentido se um representante de 
 e um representante de 
 têm mesmo sentido. Consideramos o vetor nulo paralelo a qualquer vetor.
Chamaremos norma (ou módulo, ou comprimento) de um vetor ao comprimento de qual​quer um de seus representantes; indica-se a norma de 
 por (
(. Se (
( = 1, dizemos que o vetor 
 é unitário.
Observação	
O vetor 
 é chamado vetor oposto do vetor 
 e eles só diferem no sen​tido (se A(B), já que seus representantes (A,B) e (B,A) têm mesma direção, mesmo comprimento e sentido contrário. O vetor oposto do vetor 
 é indicado também por -
; o vetor oposto de um vetor 
 é indicado por -
.
OPERAÇÕES COM VETORES
ADIÇÃO DE VETORES
Sejam os vetores 
 e 
 representados pelos segmentos orientados AB e BC.
Os pontos A e C determinam o vetor soma dos vetores 
 e 
Propriedades da adição
A1) PROPRIEDADE ASSOCIATIVA 
 (
 + 
 ) + 
 = 
 + (
 + 
 ), ( 
, 
, 
 ( V3 
A2) PROPRIEDADE COMUTATIVA
 
 + 
 = 
 + 
 ( 
, 
 ( V3
A3) ELEMENTO NEUTRO
 Existe um só vetor nulo 
 tal que para todo vetor 
 se tem: 
 
 + 
 
= 
 + 
 = 
, ( 
 ( V3
 
 + 
 
= 
 + 
 = 
 = 
.
A4) ELEMENTO OPOSTO
 Dado um vetor 
 qualquer, existe um vetor que somado a 
 dá como resultado o vetor nulo: trata-se do vetor oposto de 
, que se indica por -
.
 
 + ( -
) = -
 + 
 = 
 
 + ( -
) = 
 + 
 = 
 = 
 
 Diferença de vetores
Chama-se diferença de dois vetores 
 e 
, e se representa por 
 = 
- 
, ao vetor 
+ ( - 
) .
Dados dois vetores 
 e 
, representados pelos segmentos orientados AB e AC, respectivamente, e construído o paralelogramo ABCD verifica-se que a soma 
= 
+ 
 é representada pelo segmento orientado AD (uma das diagonais) e pela diferença 
 = 
- 
 é representada pelo segmento orientado CB (a outra diagonal)
Multiplicação por um número real
Dado um vetor 
 ( 
 e um número real k ( 0, chama-se produto do número real k pelo vetor 
 o vetor 
 = k
, tal que: 
módulo: 
 = 
 = 
 
direção: a mesma de 
sentido: o mesmo de 
 se k ( 0 , e contrário ao de 
 se k ( 0.
Observações:
Se k = 0 ou 
 = 
, o produto é o vetor 
, isto é k 
 = 
.
Dados dois vetores 
 e 
, colineares, sempre existe k ( R tal que 
= k 
. Exemplo: se 
 = 
 
 
 
 = 
 
O versor de um vetor 
 ( 0 é o vetor unitário 
= 
�� EMBED Equation.3 ou 
 
 = 
 De fato, ele é unitário 
 = 
 = 
 = 1
Daí, concluí-se que 
 = 
 
 isto é, o vetor 
 é o produto de seu módulo pelo vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de 
Propriedades da multiplicação de número por vetor.
Se 
 e 
 são vetores quaisquer e ( e ( são números reais, temos:
 
M1) ( ( 
 + 
 ) = ( 
 + (
, ( ( ( R , ( 
, 
 ( V3 (distributiva em relação à adição de vetores)
M2) ( ( + ( ) 
 = ( 
 + ( 
, ( (, ( ( R , ( 
 ( V3
M3) 1 . 
 = 
, (
 ( V3
M4) ( ( ( 
) = (( ( )
 = ( ( ( 
) , ( (, ( ( R , ( 
 ( V3 
Observação
 Se ( ( R e 
 ( V3 , com ( ( 0 , 
 significa 
 
Soma de ponto com vetor
Cada ponto P ( E3 e cada vetor 
 ( V3 associa um único ponto Q de E3 indicado por P + 
 e chamado soma de P com 
. Assim: ( P ( E3 , ( 
( V3 : P + 
 = Q 
 
 = 
 donde P + 
 = Q
Observação:
A notação P - 
 indica a soma do ponto P com o vetor oposto do vetor 
 Assim: P - 
 = P + (
)
Propriedades dessa operação:
P1 P + 
 = P ( P ( E3
 P + 
 = P
P2 P + 
 = P + 
 
 
 + 
 Seja Q = P + 
 = P + 
 por def. decorre 
 = 
 e 
 = 
Logo 
 = 
P3 ( P + 
) + 
 = P + (
 + 
) ( 
,
 ( V3 ( P ( E3
 Sejam A = P + 
 e B = A + 
 ( logo B = (P + 
) + 
)
 por def. decorre que 
 = 
 e 
 = 
 somando, temos: 
 
	+ 
 = 
 + 
 mas, 
 + 
 = 
, portanto temos 
 = 
 + 
 
 Pela definição de soma de ponto com vetor, temos: B = P ( 
 + 
) 
 e portanto: (P + 
) + 
 = P + (
 + 
) 
P4 A + 
 = B + 
 
 A = B 
 A + 
 = B + 
 
 (A + 
) - 
 = (B + 
) - 
 
 
 
 A + (
 - 
) = B + (
 - 
) 
 A + 
 = B + 
 
 A = B 
P5 ( P - 
) + 
 = P
 ( P - 
) + 
 = [P + ( - 
) ] + 
 
 P + [ - 
 + 
] = P + 
 
 P
 
Dependência Linear 
 Dados n vetores 
 , 
 , 
 ,....., 
 chama-se combinação linear dos n vetores a qualquer vetor da forma: a1
 + a2 
 + ....+ an 
 em que a1 , a2 , a3 ,......,an são números reais.
 Observe que os números a1 , a2 , a3 ,......, an que figuramna combinação linear podem ser nulos ou não.
 O vetor nulo é combinação linear de qualquer vetor pois: 
 = 0 
 + 0 
 + +..... + 0 
 , onde p é qualquer número natural, maior do que zero.
Exemplo:
No triângulo ABC, M é o ponto médio de BC. Escrever o vetor 
 como combinação linear de 
 e 
 A
 B M C
Solução:
Traçar pelo ponto M, paralelas aos lados AB e AC. Pelo teorema de Pitágoras ( P e N são pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente.
 A
 P N
 B M C
Como o quadrilátero APMN é um paralelogramo, temos:
 = 
 + 
 e 
 = 
�� EMBED Equation.3 e 
 = 
�� EMBED Equation.3 
portanto: 
 = 
�� EMBED Equation.3 + 
�� EMBED Equation.3 
Condições para que um vetor possa ser dado como combinação linear de outros vetores.
Proposição 1 (para dois vetores)
Dados um vetor 
, não nulo, e um vetor 
, tais que 
// 
, então existe um único número real m tal que 
 = m 
Se o vetor 
 for nulo, basta fazer m = 0.
Se o vetor 
 também também não for nulo, teremos:
(
 ( = (m
( ( (
( = (m ( (
( ( m = ( 
 , sendo m ( 0 se 
 e 
 têm mesmo sentido e m ( 0 se 
 e 
 têm sentidos contrários.
“Dois vetores são paralelos se e somente se um deles é igual ao outro multiplicado por um número real” .
exemplo: Sejam dados os vetores 
 e 
, paralelos e de sentidos contrários tais que 
 = 4 e 
 = 7. Escreva 
 em função de 
 e 
 em função de 
.
Solução: Como 
 e 
 têm sentidos contrários, o número que multiplicando um deles dá o outro será um número negativo.
4
 = 7
 ( 
 
 = 
 
 e 
 = 
 
Quando a combinação linear existe, dando um vetor em função do outro, dizemos que existe uma dependência linear entre eles e, o conjunto formado por dois vetores paralelos é linearmente dependente. ( LD ).
Um vetor não nulo 
 forma uma base para o conjunto de todos os vetores que possuem a mesma direção de 
, isto é, todos os vetores paralelos a 
 são múltiplos de 
.
Proposição 2 ( para 3 vetores ) 
Dados os vetores 
 e 
, LI, e o vetor 
 tais que 
, 
 e 
 sejam coplanares, então existem e são únicos os números n e m , tais que 
 = m
 + n
.
Se o vetor 
 for nulo, basta fazer m = 0 e n = 0.
Se o vetor 
 for paralelo a 
, basta fazer n = 0 e achar m conveniente.
 Se o vetor 
 for paralelo a 
, basta fazer m = 0 e achar n conveniente.
Se o vetor 
não for nulo e não for paralelo a nenhum dos dois vetores, tomemos os três vetores aplicados em um mesmo ponto A e seja 
= 
 B P
 
 
 
 A 
 C 
Traçando-se por P paralelas a 
 e a 
 forma-se o quadrilátero ABPC paralelogramo ( 
 = 
 + 
Como 
 // 
, existe um número real m tal que 
 = m 
 e como 
 // 
, 
Existe um número real n tal que 
 = n 
 e, portanto: 
 = m
 + n
.
( Pela definição da operação adição de dois vetores pode-se afirmar que “
 = m
 + n
 então 
,
 e 
 são coplanares” pois 
, m
 e n
 possuem representantes que são lados de um triângulo, sendo portanto coplanares e, conseqüentemente 
, 
 e 
 também são coplanares.
 “Três vetores são coplanares se e somente se um deles é igual a uma combinação linear dos outros dois”.
Exemplo: 
Dados os vetores 
 , 
 e 
, como na figura, e sendo 
 = 2 , 
 = 3 e 
 = 6,
Obter 
 como combinação linear de 
 e 
. 
 ( = 600 C P
 
 
 
 ( (
 A 
 B
Por P traça-se // a 
 e a 
. Assim, ABPC é um paralelogramo sendo que o triângulo ABP é eqüilátero.
 
 = 3
 e 
 = 2
 , logo:
 
 = 
 + 
 
 = 3
 + 2
( Dados três vetores coplanares, sendo dois deles LI, o outro poderá ser expresso como combinação linear dos dois primeiros.
( Como essa combinação linear sempre existe, dando um vetor em função dos outros dois pode-se dizer que existe uma dependência linear entre eles ou seja, o conjunto formado por três vetores coplanares é LD.
( O conjunto formado por três vetores não coplanares é LI.
( Dois vetores LI formam uma base para o conjunto de todos os vetores coplanares com eles isto é, todo vetor 
 , coplanar com 
 e 
, LI , pode ser sempre escrito como combinação linear de 
 e 
.
Proposição 3 ( para 4 vetores ) 
Dados 
 , 
 e 
, LI , e o vetor 
 qualquer, então existem e são únicos os números reais m , n e p tais que 
 = m
 + n
 + p
Se o vetor 
 for nulo, basta fazer m = 0 , n = 0 e p = 0.
Se o vetor 
 for paralelo a 
, basta fazer n = 0 e p = 0 e encontrar o m conveniente.
Se o vetor 
 for paralelo a 
, basta fazer m = 0 e p = 0 e encontrar o n conveniente.
Se o vetor 
 for paralelo a 
, basta fazer m = 0 e n = 0 e encontrar o p conveniente.
Se o vetor 
 não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas for coplanar a 
 e 
, basta fazer p = 0 e encontrar m e n convenientes.
Se o vetor 
 não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas for coplanar a 
 e 
, basta fazer m = 0 e encontrar n e p convenientes.
Se o vetor 
 não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas for coplanar a 
 e 
, basta fazer n = 0 e encontrar m e p convenientes.
Se o vetor 
 não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, nem coplanar com dois deles, tomemos os quatro vetores aplicados em um mesmo ponto A . 
Seja 
 = 
. Traçando por P paralelas a 
, a
 e a
 obtemos, assim, um paralelogramo.
 Portanto: 
 = 
 + 
 + 
 Como 
 // 
 existe um número real m tal que 
 = m 
; 
 // 
 existe um número real n tal que 
 = n 
; 
 // 
 existe um número real p tal que 
 = p
 ( 
 = m
 + n
 + p
 E
 
 P
 
 
 
 A 
 D
 B C
“ Dados quatro vetores no espaço, sempre um deles é combinação linear dos outros três” – Os vetores são LD.
Exemplo:
 Dados os vetores 
, 
 e 
, ortogonais dois a dois; sendo 
 = 1; 
 = 2; 
 = 3; 
 = 6
 e sabendo que 
 forma ângulos iguais com 
 , 
 e 
, obter 
 como combinação linear de 
 , 
 e 
.
 Solução: 
 E 
 
 P
 
 
 
 
 
 A 
 D
 B C
Tracemos por P, paralelas a 
 , 
 e 
. 
Obtemos, assim, um cubo de aresta 6 logo:
 
 = 6 
 
 = 3 
 
 = 2
 portanto 
 = 6
 + 3
 + 2
Base
 Chama-se base de V3 a qualquer trinca ordenada de vetores LI. Assim, se (
, 
, 
) é uma base de V3 então qualquer vetor 
 de V3 é gerado por 
, 
, 
, ou seja, existem números reais m, n e p tais que 
 = m
 + n
 + p
. Como esses números são únicos, associamos a cada vetor de V3 uma única trinca de números reais (m, n, p). Esses números são chamados de coordenadas de vetor 
 em relação à base (
, 
, 
) ; os vetores m
, n
 e p
 são componentes do vetor 
.
Exemplos:
 Fixada uma base E = ( 
 , 
 , 
)
Verificar se são LI ou LD os vetores:
 a) 
 = (1, 2, 3) e 
 = ( 2, 1, 1)
 
 ( 
 ( 
 eles não são proporcionais ( (
, 
) é LI
b) 
 = (1, 7, 1) e 
 = ( 
, 
, 
)
 
 = 
 = 
 são proporcionais - fator de proporcionalidade: 2
 
= 2 
 ( (
, 
) é LD
2) Verificar se são LI ou LD os vetores:
 
 = (1, -1, 2) 
 = ( 0, 1, 3) 
 = ( 4, -3, 11)
 1 -1 2
 0 1 3 = 0
 4 -3 11
 resulta que (
, 
, 
) é LI
3) Sejam: 
 = 2 
 - 
 
 = 
 - 
 + 2 
 
 = 
 + 2 
 Mostre que (
 , 
 , 
 ) é LI e portanto base de V3
Resolução:
Tem-se: 
 = (2 , - 1 , 0 )
 
 = (1, - 1, 2 )
 
 = ( 1, 0, 2 )
 2 -1 0
 1 -1 2 = -4 ( 0 logo (
 , 
 , 
 ) é LI
 1 0 2
4) Calcule as coordenadas do vetor 
= ( 1, 1, 1 )E na base F do exercício 
 anterior.
Resolução:
 Sabemos que: 
 = 2 
 - 
 
 = 
 - 
 + 2 
 
 = 
 + 2 
Resolvendo as equações acima com relação a 
 , 
 , 
 temos:
 
 = 
 - 
 ( 
 = 
 - 
 
 = 2 
 - 
 ( 
 = 2 
 - (
 - 
) ( 
 + 
 - 
 = 2 
 
 ( 
 = 
 
 - 
 
 + 
 
 
 = 
 + 2 
 ( 
 - 
 = 2 
 ( 
 
 - 
 ( 
 
 - 
 
 + 
 
) = 
 ( 
 = 
 
 - 
 
 + 
 
 
 = - 
 + 
 
 = - 
 
 + 
 
 + 
 
 como 
 = ( 1, 1, 1 )E , temos 
 = 
 + 
 + 
 e, portanto: 
 
 = 
 
 - 
 
 + 
 
 donde 
 
 = ( 
 , - 
 , 
 ) isto é, as coordenadas de 
 na base F são: 
, - 
, 
BASE
Chama-se base V3 a qualquer tripla ordenada E = (
 , 
 , 
) LI de vetores de V3. Se (
 , 
 , 
) é uma base de V3, todo vetor de V3 é gerado por 
 , 
 e 
, isto é, para todo 
 ( V3, existem escalares 
, 
, 
, tais que 
 
	= 
�� EMBED Equation.3 + 
�� EMBED Equation.3 + 
�� EMBED Equation.3 .
 
 
 
 
 
	 Essa tripla (
, 
, 
) de escalares é única. 
Escolhida uma base E de V3 fica associada univocamente a cada vetor 
 uma tripla ordenada de escalares (
, 
, 
). Essa tripla é denominada tripla de coordenadas do vetor 
em relação à base E. Observe que é importante a ordem dos escalares 
, 
, 
; trata-se de uma tripla ordenada ( 
 = 
�� EMBED Equation.3 + 
�� EMBED Equation.3 + 
�� EMBED Equation.3 . A notação utilizada para indicar que 
, 
, 
 são coordenadas (nessa ordem) do vetor 
 em relação à base E é 
 
 = (
, 
,
)E ou 
	= (
, 
,
)
É conveniente que as operações entre vetores sejam feitas diretamente com coordenadas, evitando perda de tempo.
a) Adição: Se 
 = (
, 
, 
) e 
	= (
, 
, 
) então 
 
+ 
 = (
 + 
, 
 + 
, 
 + 
) 
De fato:
 
 = (
, 
, 
) ( 
 = 
�� EMBED Equation.3 + 
�� EMBED Equation.3 + 
�� EMBED Equation.3 
 
	= (
, 
, 
) ( 
	= 
�� EMBED Equation.3 + 
�� EMBED Equation.3 + 
�� EMBED Equation.3 
Logo: 
 
+ 
 = (
 + 
)
 + (
 + 
)
 +( 
 + 
)
ou seja: 
 
+ 
 = (
 + 
, 
 + 
, 
 + 
)
Para o procedimento acima é essencial que 
 e 
 estejam referidos a uma mesma base.
b) Multiplicação por escalar: Se 
 = (
, 
, 
) e ( é um escalar, então
 ( 
 = ((
, (
, (
) 
De fato:
 
 = (
, 
, 
) ( 
 = 
�� EMBED Equation.3 + 
�� EMBED Equation.3 + 
�� EMBED Equation.3 ( (
 = ( (
�� EMBED Equation.3 + 
�� EMBED Equation.3 + 
�� EMBED Equation.3 ) =
 = ( (
)
 + ((
)
 + ((
)
 ( ( 
 = ((
, (
, (
) 
 Observação: 
 = 
 ( 
 = ( 0, 0, 0 )
Vamos reexaminar em termos de coordenadas o conceito de dependência e independência linear.
Proposição 1: Os vetores 
 = (
, 
, 
) e 
 = (
, 
, 
) são LD se e somente se 
, 
, 
, são proporcionais a 
, 
, 
 Proposição 2: 
 = (
, 
, 
) , 
 = (
, 
, 
) , 
 = (
, 
, 
) são LI se e somente se 
 
 
 
 
 
 ( 0
 
 
 
O conceito de ortogonalidade de vetor com setas e planos se define de modo natural, usando os mesmos conceitos para os segmentos orientados que representam o vetor.
Definição:
 = 
 é ortogonal à reta r [ ao plano ( ] se existe um representante (A, B) de 
 tal que o segmento AB é ortogonal a r [ a ( ]. O vetor nulo é considerado ortogonal a toda reta r e a todo plano (.
Os vetores 
 e 
 são ortogonais se um deles é nulo, ou, caso contrário, admitirem representantes perpendiculares.
Para ortogonalidade usaremos o símbolo ( .
Proposição 3: 
 Os vetores 
 e 
 são ortogonais se e somente se 
 + 
2 = 
2 + 
2 .
Demonstração:
Tomando um ponto ) qualquer, 
 ( 
 se e somente se os pontos 0, 0 + 
, 0 + 
 + 
, são vértices de um triângulo retângulo.
 0 + 
 + 
 
 
 + 
 
 
 
 0 0 + 
 
Definição: Uma base E = (
 , 
 , 
) é ortonormal se 
 , 
 , 
 são unitários ( 
 = 
 = 
 = 1) e dois a dois ortogonais. 
 
 
 0 
 
 
 
Proposição 4: Se E = (
 , 
 , 
) é base ortonormal, e 
 = x
 + y
 + z
 então 
 = 
( x2 + y2 + z2 
Ângulo entre vetores – Produto Escalar
Seja os vetores não nulos 
 e 
. Tomemos um ponto 0 ( E3 e, sejam P, Q ( E3 tais que 
 = 
, 
 = 
. Seja ( a medida em radianos (graus) do ângulo POQ satisfazendo 0 ( ( ( ( [ 0 ( ( ( 1800 ]
 P P’
 
 
 ( (
 0 
 Q 0 
 Q’
 Se tivéssemos tomado outro ponto 0’ ( E3 em lugar de 0, e P’, Q’ com 
 = 
, 
 = 
 obteríamos que a medida em radianos [graus] de P’Ô’Q’, ainda seria ( (como na figura)
Definição 1
O número ( se chama medida em radianos [graus] do ângulo 
 e 
.
Para encontrar uma expressão que forneça ( em termos de 
 e 
 fixa-se uma base ortonormal ( 
, 
, 
 ) e sejam 
 = (
, 
, 
) e 
 = (
, 
, 
)
Observação:
Uma base no espaço é ortonormal se os vetores forem unitários e dois a dois forem ortogonais.
Sendo a base ortonormal a norma de qualquer vetor pode ser calculada
 
 = ( a, b, c ) ( 
 = ( a2 + b2 + c2
Aplicando a lei dos co-senos ao triângulo POQ resulta:
 P
 
	 
2 = 
2 + 
2 – 2 
 + 
 cos ( ( 1 )
 (
 0 
 Q
 
2 = 
 -2 = 
2 + 
2 = 
- 
, 
 - 
, 
 - 
2 = 
= (
-
)2 +(
-
)2 +(
-
)2 = 
+
+
+
+
+
 - 2(
�� EMBED Equation.3 +
�� EMBED Equation.3 +
�� EMBED Equation.3 )
Substituindo em ( 1 ), resulta
 
 
 cos ( = 
�� EMBED Equation.3 +
�� EMBED Equation.3 +
�� EMBED Equation.3 ( 2 )
expressão esta que nos permite calcular cos (, pois 
 = ( 
+
+
 e
 = ( 
+
+
 A expressão ( 2 ) nos mostra que 
�� EMBED Equation.3 +
�� EMBED Equation.3 +
�� EMBED Equation.3 não depende da base ortonormal fixada, pois o primeiro membro não depende. 
	Se 
 ou 
 são nulos, a expressão do 2º membro é nula.
Definição 2:
Chama-se produto escalar dos vetores 
 e 
 ao número 
 ( 
 dado por:
 0 se 
 = 
 ou 
 = 
 
 ( 
 
 
 
 cos ( se 
 ( 
 ou 
 ( 
 
 sendo ( a medida do ângulo entre 
 e 
.
Desde que as coordenadas usadas se referirem a uma base ortonormal podemos escrever: 
 ( 
 = 
�� EMBED Equation.3 +
�� EMBED Equation.3 +
�� EMBED Equation.3 
Da definição, resulta que se 
 ( 
 ou 
 ( 
 então:
 cos ( = 
 ( 
 
 
 
Observe que decorre da própria definição que: 
 = ( 
 ( 
 
pois 
 ( 
 = 
�� EMBED Equation.3 + 
�� EMBED Equation.3 + 
�� EMBED Equation.3 = 
 + 
 + 
 = 
2 
proposição 1
Quaisquer que sejam 
, 
, 
 de V3 e qualquer que seja ( real, tem-se:
1) 
 ( (
 + 
 ) = 
 ( 
 + 
 ( 
 
2) 
 ( ( (
 ) = ((
) ( 
 = ( (
 ( 
)
3) 
 ( 
 = 
 ( 
 
4) 
 ( 
 ( 0 ; 
 ( 
 = 0 ( 
 = 
 
proposição 2
 
 ( 
 ( 
 ( 
 = 0
Demonstração
Se 
 ou 
 é nulo, é imediato. 
Se 
 ( 
 = 0 ( cos ( = 0 ( ( = 
 ( 
 ( 
 ( lembre-se que 0 ( ( ( () 
Observação:
“ uma condição necessária e suficiente para que uma tripla (
 , 
 , 
) de vetores de V3 seja uma base ortonormal é que
 
 ( 
 = 
 ( 
 = 
 ( 
 = 1
e
 
 ( 
 = 
 ( 
 = 
 ( 
 = 0 
resumindo: 
 ( 
 = 1, se i = j
 0, se i ( j 
Atenção:
Evite o erro seguinte: sendo 
 ( 
 = 
 ( 
, cancelar 
 e concluir que 
 = 
. ISTO É FALSO
 
 ( 
 = 
 ( 
 ( 
 ( 
 - 
 ( 
 = 0 ( 
 ( (
 - 
) = 0 ( 
 ( (
 - 
)
Exemplos:
É fixada uma base ortonormal
 1) Ache a medida em radianos do ângulo entre os vetores 
= (2, 0,-3) e 
 = (1, 1, 1).
Resolução:
 
 ( 
 = (2, 0, -3) ( (1, 1, 1) = 2 . 1 + 0 . 1 + (-3) . 1 = -1
 
 = 
 = ( 22 + 02 + (-3)2 = 
 
 
 = 
 = ( 12 + 12 + 12 = 
 ( cos ( = 
 ( 
 = - 1 = - 1 
 
 
 
 
 
 ( ( = ARC COS ( 
)
2) Ache a medida em graus do ângulo entre os vetores 
 = (1, 10, 200) e 
 
	= ( -10, 1, 0)
Resolução:
 
 ( 
 = (1, 10, 200) ( ( -10, 1, 0) = 1 . (-10) + 10 . 1 + 200 . 0 = 0
 Logo: 
 ( 
, e ( = 900 (em graus)
3) Demonstre a desigualdade de Schwarz:
 
( 
 ( 
 
Resolução:
 Se 
 ou 
 é nulo, é imediato, pois ambos os membros se anulam.
 Se 
( 
 e 
 ( 
, então a desigualdade de Schwarz resulta imediatamente de cos ( = 
 ( 
 e │ cos ( │≤ 1
 
 
 Observe que a igualdade vale se e somente se um dos dois vetores é nulo ou, caso contrário, se │ cos ( │≤ 1
O ângulo entre 
 e 
 mede 1200 . Sendo 
 = 4, 
 = 3, 
= 
 + 
 e 
 = 
 - 2 
, o ângulo entre 
 e 
 é agudo, reto ou obtuso?
Solução:
 X 
 = (
 + 
) X (
 - 2 
) = 
 X 
 - 2 
 X 
 + 
 X 
 - 2 (
X 
) (
( 
 X 
 = 
2 – 2 
2 - 
 X 
 
Mas, 
 X 
 = 
 
 cos 1200 = 4 . 3 . 
 = -6 Assim, 
 
 X 
 = 16 – 2 . 9 – ( -6) = 4.
Como o produto escalar entre 
 e 
 é positivo, concluímos que o ângulo entre 
 e 
 é agudo.
Qual o valor de m para que os vetores sejam ortogonais? 
a) 
 = (m, 2, 3) e 
 = ( 2, -1, 2)
b) 
 = ( m, 3, 4 ) e 
 = ( m, -2, 3 )
Solução:
 a) 
 X 
 = ( m, 2, 3 ) X ( 2, -1, 2 ) = 2m –2 + 6 = 0 ( m = -2
 b) 
 X 
 = ( m, 3, 4 ) X ( m, -2, 3 ) = m2 –6 + 12 = ( m2 + 6 = 0 (
 ( não existe m real, ou seja, os vetores nunca são ortogonais, para um mesmo valor de m real.
Calcular o ângulo entre os vetores:
a) 
 = (1, 2, 2 ) e 
 = ( 1, -4, 8 )
b) 
 = ( 4, -1, 3 ) e 
 = ( 1, 1, -1 )
Solução:
 a) cos ( 
 = 
 ( ( = arc cos 
 ( 710
 b) cos ( = (4, -1, 3) X (1, 1, -1 ) = 0 = zero ( ( = 900
 
 . 
 
 . 
 
isto é, 
 e 
 são ortogonais.
Ângulos diretores
 Os ângulos que um vetor forma com os eixos coordenados são chamados de ANGULOS DIRETORES. Eles são assim chamados porque fornecem a direção do vetor (e também o sentido)
 Como os eixos coordenados possuem a mesma direção e sentido dos vetores 
, 
 e 
.
 Assim, temos: z
 
	= (a, b, c) = a
 + b
 + c
 então: ( 
 cos ( = 
 X (1, 0, 0) ( cos ( = 
 0 ( y
 cos ( = 
 X (0, 1, 0) ( cos ( = 
 x
 cos ( = 
 X (0, 0, 1) ( cos ( = 
 Os co-senos dos ângulos diretores (, ( e ( são chamados de COSSENOS DIRETORES.
PROPRIEDADES:
 a) Seja o vetor 
 = ( a, b, c ). Designando o versor de 
 por 
, vem: 
 
 = 
 = ( 
 , 
 , 
 ) ( 
 ou 
 
	= ( cos (, cos ( , cos ( )
 Portanto, as componentes do versor de um vetor são os cossenos diretores deste vetor.
 b) Como o versor de 
 é um vetor unitário, o módulo de um versor é igual a 1, assim temos: 
 (cos (, cos (, cos ( ( = 1
 mas, (cos (, cos (, cos ( ( = ( cos2 ( + cos2 ( + cos2 ( 
 logo:
 ( cos2 ( + cos2 ( + cos2 ( = 1 ( cos2 ( + cos2 ( + cos2 ( = 1
Exemplos: 
 1) Achar os ângulos diretores do vetor 
 = 
 -2
 + 2
 = (1, -2, 2)
Solução: cos ( = 
 ( ( = arc cos 
 ( ( ( 710
 cos ( = 
 ( ( = arc cos 
 ( ( ( 1320
 cos ( = 
 ( ( = arc cos 
 ( ( ( 480
2) Os ângulos diretores de um vetor são (, 450 e 600. Determinar (.
Solução:
 Substituindo na igualdade: cos2 ( + cos2 ( + cos2 ( = 1
 ( por 450 e ( por 600, temos:
 cos2 ( + cos2 450 + cos2 600 = 1
 cos2 ( + 
2 + 
2 = 1 
 cos2 ( = 1 - 
 - 
 ( cos2 ( = 
 ( cos ( = ( 
 ( cos ( = ( 
 logo: ( = 600 ou ( = 1200 
Vetor – componente
 Um problema de muita aplicação na Física Geral é o de achar o vetor-componente ou vetor-projeção de um vetor dado em uma direção dada, ou ainda, a decomposição de um vetor em dois vetores. Veja a figura a seguir: 
 
 
 
 
- 
 
- 
 
 
	
 
 
 = 
 
 O vetor 
 é chamado de vetor-componente ou vetor-projeção de 
 na direção de 
, 
 não nulo. 	
 Para encontrarmos o vetor 
, conhecidos 
 e 
 , basta observarmos que: 
( i ) 
// 
 e ( ii ) 
- 
 ( 
 
De ( i ) , vem; existe m ( ( tal que 
 = mDe ( ii ) , vem:
(
- 
) X 
 = 0 ( ( 
 - m 
) X 
 = 0 ( 
 X 
 - m ( 
 X 
) = 0 (
( 
 X 
 = m ( 
 X 
) ( m = 
 X 
 = 
 X 
 . Temos assim o vetor 
 
 X 
 
2 
isto é, 
 = 
 X 
 . 
 ( 
 
 X 
 
 ( 
 = ( 
 X 
 ) . 
Exemplo: Decompor o vetor 
 = ( 6, -3, 9 ) em dois vetores 
 e 
, sendo 
 
 paralelo a 
 e 
 ortogonal a 
, onde 
 = ( 1, 2, 2).
Solução: 
 Veja a figura 
 
 
 
 Decompor um vetor 
 é encontrar
 vetores que somados dão, como 
 
 resultante o vetor 
 
Neste caso, 
 = 
 + 
 sendo 
 o vetor-componente de 
 na direção de 
 e o vetor 
 o vetor-diferença entre 
 e 
, isto é: 
 = 
 - 
. Assim, temos:
	= [ ( 6, -3, 9 ) X 
 ] . 
	= 6 . 
 ( 
 = (2, 4, 4) = 2
 +4
 + 4
 
	= 
 - 
 = (6, -3, 9) – (2, 4, 4) = (4, -7, 5) = 4
 -7
 + 5
Observações:
( i ) Os vetores 
 e 
, do exemplo acima, são as componentes ortogonais do vetor 
, tendo 
 a direção de 
( ii ) O módulo do vetor-componente ou vetor-projeção 
 será dado por 
 
 = 
 X 
�� EMBED Equation.3 que é o módulo da expressão que está dentro dos colchetes, na segunda indicação da fórmula do vetor-componente 
.
Projeção de um Vetor
 Sejam os vetores 
 e 
, com 
 ( 0 e 
 ( 0, e ( o ângulo por eles formado. Deve-se calcular o vetor 
 que representa a projeção de 
sobre 
.
Observe a figura:
 
 
 
 ( (
 
 
 
 
 Como 
 e 
 têm a mesma direção, segue-se que:
 
 = k 
, k ( (
 Então:
 
 = (k( 
 ou
 
 (k(= 
 
 = 
 
 ( k = 
 logo: 
 = 
 
 Portanto, o vetor projeção de 
 sobre 
 ( proj. 
�� EMBED Equation.3 = 
) é:
 proj. 
�� EMBED Equation.3 = 
 X 
 
 ou proj. 
�� EMBED Equation.3 = 
 
Exemplos:
Determinar o vetor projeção de 
 = ( 2,3,4 ) sobre 
 = ( 1, -1, 0 )
Solução:
 Utilizando a fórmula proj. 
�� EMBED Equation.3 = 
 
 obtem –se:
proj. 
�� EMBED Equation.3 = 
 (1, -1, 0) = 
 (1, -1, 0)
proj. 
�� EMBED Equation.3 = 
 ( 1, -1, 0 ) = - 
 ( 1, -1, 0 ) = ( - 
, 
, 0 ) 
 2) Dada a base ortonormal B = ( 
, 
, 
), sejam 
 = 2
-2
+
 e 
 = 3
- 6
Obtenha a projeção ortogonal de 
 sobre 
 
Determine 
 e 
 tais que 
 = 
 + 
, sendo 
 paralelo e 
 ortogonal a 
Solução:
Em relação a B, 
 = ( 2, -2, 1 ) e 
 = ( 3, -6, 0 ). 
Logo, 
2 = 22 + (-2)2 + 12 = 9 e 
 X 
 = 3 . 2 + ( -6) (-2) + 0 . 1 = 18
Logo, proj. 
�� EMBED Equation.3 = 
�� EMBED Equation.3 
 = 
 ( 2, -2, 1 ) = ( 4, -4, 2 )
 b) O vetor 
 é a projeção ortogonal calculada em ( a ), e 
 é a diferença 
 - 
. Portanto 
 = 
 - 
 = ( 3, -6, 0 ) – ( 4, -4, 2) = ( -1, -2, -2 ) 
PRODUTO VETORIAL
Definição: 
Dados os vetores 
 = a
 + b
 + c
 e
 
 = d
 + e
 + f
 , definimos produto vetorial dos vetores 
 e 
 como sendo o vetor dado pelo determinante formal:
 
 
 
 ^ 
 = a b c = b c . 
 - a c . 
 + a b . 
 d e f e f d f d e
 
onde, o 2º lado da igualdade corresponde à expansão do determinante, pela regra de Laplace, através da primeira linha.
Exemplo:
 
 
 
a) ( 1, 3, 5 ) ^ ( 1, 1, 1 ) = 1 3 5 = -2 
 + 4
 -2
 1 1 1
 
 
 
b) ( 1, 1, 1 ) ^ ( 1, 3, 5 ) = 1 1 1 = 2
 - 4
 + 2
 1 3 5
 
 
 
c) ( 0, 0, 0 ) ^ ( 2, 1, 7 ) = 0 0 0 = 0
 + 0
 + 0
 = 
 2 1 7
 
 
 
d) ( 2, 4, 6 ) ^ ( 3, 6, 9 ) = 2 4 6 = 0
 + 0
 + 0
 = 
 3 6 9
Propriedades:
P1. 
 X 
 = 
 ( o determinante possui duas linhas iguais)
P2. 
 ^ 
 = - 
 ^ 
 ( 
 , 
 ( V3 Anti-comutativa 
P3. 
 ^ ( 
 + 
 ) = 
 ^ 
 + 
 ^ 
 ( 
, 
, 
 ( V3 Distributiva
P4. m . (
 ^ 
 ) = ( m 
) ^ 
 = 
 ^ ( m 
) ( 
, 
 ( V3 e m ( ( 
 Associativa com um número real 
P5. a) Se 
 = 
 ou 
 = 
 ( 
 ^ 
 = 
 ; 
 b) Se 
 ( 
 ou 
 ( 
 , 
 ^ 
 = 
 ( 
 // 
P6. Se 
 e 
 são LI, isto é, 
 ^ 
 ( 
 então (
 ^ 
) é ortogonal a 
 e a 
, 
 ao mesmo tempo.
P7. (
 ^ 
(2 = (
(2 . (
 (2 – ( 
 X 
) Identidade de Lagrange
P8. (
 ^ 
( = (
 (. (
( . sen ( ( 
, 
 ( V3 com 
 ( 
 , 
 ( 
 e 
 ( o ângulo entre 
 e 
P9. Se 
 e 
 são L I é habitual afirmar-se que os vetores 
, 
 e 
 ^ 
 
 possuem orientação positiva ou dextrógira (regra da mão direita). 
 Observação: 
 1) Se dois vetores são LD, isto é, paralelos ou pelo menos um deles nulo, 
 então o produto vetorial deles será o vetor nulo; 
Se dois vetores, 
 e 
 são LI, isto é, o ângulo entre suas direções não é zero, então o produto vetorial deles será um vetor não nulo, tal que:
Direção: a direção de 
 ^ 
 será perpendicular a um plano que contenha representantes de 
 e 
 ; 
Módulo: o módulo de 
 ^ 
 será numericamente igual ao produto dos módulos de 
 e de 
 multiplicado pelo seno do ângulo entre
e 
;
Sentido: Supondo que o plano, que contém representantes de 
 e 
, seja horizontal e que o ângulo entre eles seja percorrido no sentido anti-horário, quando vamos de 
 para 
, nessas condições, o sentido de 
 ^ 
 será para cima.
Vetor ortogonal a dois vetores LI
 Dados dois vetores paralelos ou pelo menos um deles nulo então o produto vetorial será o vetor nulo.
 Dados dois vetores LI o produto vetorial deles será um vetor não nulo ortogonal aos dois vetores operados.
 Esta é a principal aplicação física ou geométrica do produto vetorial.
Exemplo:
Sejam dados os vetores 
 = ( 2, -2, 1 ) e 
 = ( 2, 0, -1 ). Ache o conjunto dos vetores ortogonais a 
 e a 
, ao mesmo tempo. Encontre um vetor unitário pertencente a esse conjunto.
Solução:
Como o vetor 
 ^ 
 tem direção perpendicular a 
 e a 
, então todos vetores que forem ortogonais a 
 e a 
 serão paralelos a 
 ^ 
. Assim, o conjunto será formado pelos vetores m (
 ^ 
).
 
 
 
 
 ^ 
 = 2 -2 1 = ( 2, 4, 4 )
 2 0 -1
 Assim, temos o conjunto: { m . ( 2, 4, 4 ), m ( ( }. Um vetor unitário pode ser o versor do vetor ( 2, 4, 4 ), isto é, 
 = ( 
, 
, 
 ).
Observação importante:
 Se conhecemos um vetor 
 ortogonal a 
 e a 
, então 
 é paralelo ao vetor 
 ^ 
, isto é: 
 ( 
 e 
 ( 
 ( 
 // ( 
 ^ 
)
Área do paralelogramo
Consideremos o paralelogramo ABCD, cujos lados AB e AC são representantes dos vetorese 
, respectivamente.
A área S do paralelogramo ABCD é dada por: S = b . h, onde b é o comprimento de AB e h é o comprimento de CH. Mas, no triângulo retângulo ACH, temos: h = c . sen ( , onde c é o comprimento de AC. Assim, S = b . c . sen ( . 
Por outro lado, o módulo de 
 ^ 
 é igual a 
. 
. sen ( , logo S é numericamente igual ao módulo de (
 ^ 
(, isto é: SABCD = (
 ^ 
(
Observação:
O módulo ou comprimento de um vetor é uma medida linear enquanto que área é uma medida em unidades quadradas, daí, dizemos que a área do paralelogramo é numericamente igual ao módulo do vetor produto vetorial de vetores cujos representantes sejam os lados não paralelos desse paralelogramo. Em unidades : Se o vetor, resultado do produto vetorial, tiver módulo 15 cm então a área do correspondente paralelogramo será 15 cm2.
Exemplo:
Calcular a área do paralelogramo cujos vértices são A = ( 4, 1, 5), B = ( 6, 0, 5 ), C = ( 4, 2, 4 ) e D = ( 6, 1, 4 ).
Solução:
Sejam B – A = ( 2, -1, 0 ) = 
 e C – A = ( 0, 1, -1 ) = 
Assim: C D
 
 
 
 S = (
 ^ 
( = 2 -1 0 = (( 1, 2, 2 )(
 0 1 -1 
( S = 3 unidades quadradas. A B
Área do triângulo
A diagonal de um paralelogramo divide-o em C D
dois triângulos iguais (simétricos em relação
a essa diagonal). Assim, a área de um triângulo
é sempre igual à metade da área do paralelogramo A B
de modo que um dos lados do triângulo seja a diagonal do paralelogramo.
Seja o triângulo ABC da figura. A área S do triângulo será dada por:
 S = 
 . ( ( B – A ) ^ ( C – A ) (
Exemplo:
Calcular a área do triângulo ABC, onde A = ( 2, 0, 3 ), B = ( 8, 8, -3 ) e C = ( 2, 2, 2 )
Solução:
É preciso encontrar os vetores cujos representantes C
são os lados do triângulo ABC. 
 B – A = ( 6, 8, -6 ) e C – A = ( 0, 2, -1 ) 
A área do triângulo será: A B
 
 
 
 S = 
 . (( B – A ) ^ ( C – A )(= 6 8 -6 = 
 . (( 4, 6, 12 )(= 
. 14
 0 2 -1
( S = 7 unidades quadradas.
Observação:
O cálculo da área do triângulo não depende dos lados escolhidos. Assim, no exemplo acima, poderíamos ter escolhido os lados AB e BC ou, então, os lados AC e BC.
Produto Misto
Dados os vetores 
 = x1
 + y1
 + z1
 , 
 = x2
 + y2
 + z2
 e 
 
 = x3
 + y3
 + z3
, tomados nessa ordem, chama-se produto misto dos vetores 
, 
 e 
 ao número real 
 . (
 X 
). Indica-se o produto misto por (
 , 
, 
 ). Tendo em vista que:
 
 
 
 
 X 
 = x2 y2 z2 = 
 y2 z2 - 
 x2 z2 + 
 x2 y2
 x3 y3 z3 y3 z3 x3 z3 x3 y3
e levando em consideração a definição de produto escalar de dois vetores, o valor de 
 . (
 X 
) é dado por:
 
 (
 , 
, 
 ) = x1 y2 z2 - y1 x2 z2 + z1 x2 y2
 y3 z3 x3 z3 x3 y3
 ou
 x1 y1 z1
 (
 , 
, 
 ) = x2 y2 z2
 x3 y3 z3 
Exemplo:
Calcular o produto misto dos vetores 
 = 2
 + 3
 + 5
 , 
 = -
 + 3
 + 3
 e 
 = -4
 -3
 + 2
.
 2 3 5
 (
 , 
, 
 ) = -1 3 3 = 27
 -4 -3 2 
Observação:
Produto escalar de dois vetores é número real.
Produto vetorial de dois vetores é vetor. 
Propriedades do Produto Misto/
1) (
 , 
, 
 ) = 0 se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três são coplanares.
2) O produto misto independe da ordem circular dos vetores, isto é: 
 (
 , 
, 
 ) = ( 
, 
, 
) = ( 
, 
 , 
 ) 
 Entretanto, o produto misto muda de sinal quando se trocam as posições de dois vetores consecutivos, isto é: 
 (
 , 
, 
 ) = - ( 
, 
 , 
 ) 
 Esta propriedade do produto misto é uma conseqüência da propriedade dos determinantes relativamente à circulação de linhas e à troca de duas colunas.
Observação:
Resulta desta propriedade, denominada propriedade cíclica, que os sinais . e X permutam entre si no produto misto de três vetores: 
 
 . ( 
 X 
 ) = (
 X 
) . 
 
3) (
 , 
, 
 + 
) = (
 , 
, 
 ) + (
 , 
, 
) =
4) (
 , 
, m 
 ) = (
 , m 
, 
 ) = ( m 
 , 
, 
 ) = m (
 , 
, 
 ) 
Observação:
O produto vetorial e o produto misto não são definidos no (2
Exemplos:
1) Verificar se são coplanares os seguintes vetores:
 
 = ( 3, -1, 4 ) , 
 = ( 1, 0 –1 ) , 
 = ( 2, -1, 0 ) 
Solução:
Os três vetores são coplanares se: ( 
 , 
, 
 ) = 0
 3 -1 4
mas, (
 , 
, 
 ) = 1 0 -1 = -5 ( 0
 2 -1 0
Logo, os vetores não são coplanares.
2) Qual deve ser o valor de m para que os vetores 
 = ( m, 2, -1 ) , 
 = ( 1, -1, 3 ) , 
 = ( 0, -2, 4 ) sejam coplanares?
Solução:
Para que 
 , 
 e 
 sejam coplanares, deve-se ter: ( 
 , 
, 
) = 0
Isto é: m 2 -1
 1 -1 3 = 0
 0 -2 4
ou: -4m + 6m –8 + 2 = 0 ( 2m –6 = 0 ( 2m = 6 ( m = 3
3) Verificar se os pontos A ( 1, 2, 4 ), B ( -1, 0, -2 ), C ( 0, 2, 2 ) e D ( -2, 1, -3 ) estão no mesmo plano.
Solução: 
Os quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores 
, 
 e 
, e, para tanto, deve-se ter: (
, 
 , 
) = 0
e,
 -2 -2 -6
 (
, 
 , 
) = -1 0 -2 = 0
 -3 -1 -7
Logo, os pontos dados são coplanares.
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto
 Geometricamente, o produto misto 
 . ( 
 X 
) é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores 
 = 
, 
 = 
 e 
 = 
 .
 
Sabe-se que o volume V de um paralelepípedo é V = (área da base X altura)
ou: V = Ab X h mas, ( 
 X 
 ( e sendo ( o ângulo entre os vetores 
 e 
X 
, lembrando que o vetor 
X 
 é perpendicular à base, a altura do paralelepípedo é dada por: h = (
( (cos( (
( É necessário considerar o valor absoluto (cos( (, pois ( pode ser um ângulo obtuso)
Logo, o volume do paralelepípedo é: V = (
X 
( (
( (cos (( 
Fazendo 
X 
 = 
 , vem: V = (
( (
 ((cos (( ( 1 ) 
Mas, 
 . 
 = (
( (
 ((cos (( 
E, em conseqüência: ( 
 . 
( = (
( (
 ((cos (( ( 2 )
Comparando ( 1 ) e ( 2 ), temos:
V = (
 . 
 (
Logo: V = (
 . ( 
 X 
) ( = (( 
 , 
 , 
)(
Volume do tetraedro
Todo paralelepípedo é equivalente a dois prismas triangulares iguais. Como todo prisma triangular equivale a três pirâmides (que no caso são tetraedros) de base e altura equivalentes à base e à altura do prisma, o volume de cada uma destas pirâmides é 
 do volumedo paralelepípedo.
 Sendo A, B, C e D quatro pontos do espaço, não situados num mesmo plano, e três a três não colineares, as arestas do paralelepípedo são determinadas pelos vetores 
, 
 , 
 e, portanto, o volume do tetraedro ABCD é V = 
 ((
, 
 , 
) (
Exemplos:
1) Dados os vetores 
 = ( x, 5, 0 ) , 
 = ( 3, -2, 1 ) e 
 = ( 1, 1, -1 ), calcular o valor de x para que o volume do paralelepípedo determinado por 
 , 
 e 
 seja 24 u.v. (unidades de volume).
Solução:
O volume do paralelepípedo é dado por: V = ((
 , 
 , 
)( e, no caso presente, deve-se ter: ((
 , 
 , 
)(= 24 mas,
 x 5 0
 (
 , 
 , 
) = 3 -2 1 = x + 20
 1 1 -1
logo: (x + 20 (= 24
pela definição de módulo, implica duas hipóteses:
 x + 20 = 24 ou -x –20 = 24
portanto: x = 4 ou x = - 44
2) Calcular o volume do tetraedro cujos vértices são: A ( 1, 2, 1 ), B ( 7, 4, 3 ), C ( 4, 6, 2 ) e D ( 3, 3, 3 )
Solução:
O volume do tetraedro é dado por: V = 
 ((
, 
 , 
)(
mas: 
 = ( 6, 2, 2), 
 = ( 3, 4, 1 ) , 
 = ( 2, 1, 2 )
e: 6 2 2
 (
, 
 , 
) = 3 4 1 = 24
 2 1 2
 Portanto, o volume do tetraedro é: V = 
 . 24 = 4 u. v. 
Duplo Produto Vetorial
 Dados os vetores 
 = x1
 + y1
 + z1
 , 
 = x2
 + y2
 + z2
 e 
 
 = x3
 + y3
 + z3
, chama-se duplo produto vetorial dos vetores 
 , 
 e 
 ao vetor 
 X (
 X 
).
Observação:
Tendo em vista que o produto vetorial não é associativo, em geral
 
 X ( 
 X 
) ( (
 X 
) X 
Decomposição do duplo Produto Vetorial
O duplo produto vetorial pode ser decomposto na diferença de dois vetores com coeficientes escalares: 
 X (
 X 
) = (
 . 
) 
 - (
 . 
) 
Com efeito, o vetor 
 X (
 X 
) é coplanar com 
 e 
, isto é:
 
 X (
 X 
) = m
 + n
 ( 1 )
Para determinar m e n, escolhe-se a base ortonormal {
, 
 , 
} com 
paralelelo a 
 , 
 coplanar com 
 e 
, e 
 paralelo a 
 X 
 
 De acordo com a figura, pode-se escrever:
 
	= 
 
 = 
 + 
 ( 2 )
 
 = 
 + 
 + 
 
Por outro lado: 
 
 
 
 X 
 = a 0 0 = ac 
 
 b c 0
e
 
 
 
 X (
 X 
) = x y z = acy
 - acx
 0 0 ac
 ou:
 
 X (
 X 
) = acy
 - acx
 + abx
 - abx
 
 X (
 X 
) = 
 ( bx + cy ) - ax ( 
 + 
)
 tendo em vista as igualdades em ( 2 ): 
 
 X (
 X 
) = ( bx + cy ) 
 - ax
 ( 3 )
comparando as igualdades ( 1 ) e ( 3 ), temos:
 m = bx + cy n = - ax
mas, de acordo com a definição de produto escalar e tendo em vista as igualdades ( 2 ), temos:
 bx + cy = 
 . 
 e ax = 
 . 
 
logo:
 m = 
 . 
 e n = - 
 . 
 
substituindo m e n em ( 1 ), temos:
 
 X (
 X 
) = ( 
 . 
)
 - ( 
 . 
)
 
Esta forma pode ser escrita sob a forma de determinante:
 
 X (
 X 
) = 
 
 
.
 
.
exemplo:
Se 
 = 3
 - 2
 - 6
 , 
 = 2
 - 
 e 
 = 
 + 3
 + 4
, temos:
 
.
 = 3 x 2 – 2 x ( - 1) – 6 x 0 = 8 
 
.
 = 3 x 1 – 2 x 3 – 6 x 4 = - 27
logo:
 
 X (
 X 
) = 
 
 = 
 
 
.
 
.
 8 - 21
 
 X (
 X 
) = - 21
 - 8 
 = - 21 (2
 - 
) – 8 (
 + 3
 + 4
)
 
 X (
 X 
) = - 42
 + 21
 - 8
 - 24
 - 32
 = - 50
 - 3
 - 32
 
por outro lado;
 
 . 
 = 1 x 3 – 3 x 2 – 4 x 6 = - 27
 
 . 
 = 1 x 2 – 3 x 1 + 4 x 0 = - 1
logo:
 
 X ( 
 X 
) = 
 
 = 
 
 
 
.
 
.
 -27 -1
 
 X ( 
 X 
) = -1
 + 27
 = - (3
 - 2
 - 6
) + 27 (2
 - 
) 
 
 X ( 
 X 
) = -3
 + 2
 + 6
 + 54
 - 27
 = 51
 - 25
 + 6
 
comparando 
 
 X (
 X 
) e 
 X ( 
 X 
) , verifica-se que :
 
 X (
 X 
) ( 
 X ( 
 X 
)
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Geometria Analítica Espacial
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