A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
45 pág.
Geometria Analítica Espacial - Apostila.doc

Pré-visualização | Página 1 de 9

CEFET-SP Uned Cubatão
Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
CEFET-SP Uned Cubatão
Curso:	Curso Superior de Tecnologia em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
Turma:			SAI – 171
Matéria:		Geometria Analítica
Aluno:		Flávio Alves Monteiro
Matrícula:			051017
GEOMETRIA ANALÍTICA
Conceito de vetor 
Definição 1
Um, segmento orientado é um par ordenado (A, B) de pontos do espaço. A é dito origem, B extremidade do segmento orientado. Os segmentos orientados da forma (A, A) são ditos nulos. Se A ( B, (A, B) é diferente de (B, A).
Definição 2
Dizemos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) têm o mesmo comprimento se os segmentos geométricos AB e CD têm o mesmo comprimento.
Suponha (A, B) e (C, D) não nulos. Então dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesma direção se AB // CD (AB // CD inclui o caso em que as retas suportes coincidem) . Nesse caso dizemos que (A, B) e (C, D) são paralelos.
.Suponha que (A, B) e (C, D) têm mesma direção.
a) Se as retas AB e CD são distintas, dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesmo sentido se a intersecção entre os segmentos AC e BD for vazia. Caso AB ( CD ( ( , dizemos que (A, B) e (C, D) têm sentido contrário.
b) Se as retas AB e CD coincidem, tome (A', B') tal que A' não pertença à reta AB e (A', B') tenha mesma direção, e mesmo sentido que (A, B). Então dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesmo sentido se (A', B' ) e (C, D) têm mesmo sentido. Se não, dize​mos que (A, B) e (C, D) têm sentido contrario.
Definição 3 .
	Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes, e indica-se (A,B) ( (C,D), se um dos casos seguintes ocorrer:
ambos são nulos;
nenhum é nulo, e têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido.
Proposição 1: A relação de equipolência goza das seguintes propriedades:
a) (A , B) ( (A , B) (reflexiva) 
 
b) (A ,B) ( (C , D) ( (C,D) ( (A,B) (simétrica)
 
c) (A,B) ( (C,D) e (C,D) ( (E ,F) ((A ,B)((E,F) (transitiva)
Observação: (Uma relação que goza das propriedades a), b) e c) se chama de relação de equivalência.
Definição 4
Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados de E3. Se (A,B) é um segmento orientado, o vetor correspondente (ou seja, o vetor cujo representante é (A,B)) será indicado por 
. Usam-se também letras latinas minúsculas encimadas por uma seta (
, 
, 
 etc.), não se fazendo desse modo referência ao representante. 
Chamaremos vetor nulo ao vetor cujo representante é um segmento orientado nulo (A,A) e indica-se o vetor nulo por 
.
Os vetores 
 e 
 não-nulos são paralelos (
//
) se um representante de 
 é paralelo a um representante de 
 (e portanto a todos). Se 
 // 
, 
 e 
 têm mesmo sentido se um representante de 
 e um representante de 
 têm mesmo sentido. Consideramos o vetor nulo paralelo a qualquer vetor.
Chamaremos norma (ou módulo, ou comprimento) de um vetor ao comprimento de qual​quer um de seus representantes; indica-se a norma de 
 por (
(. Se (
( = 1, dizemos que o vetor 
 é unitário.
Observação	
O vetor 
 é chamado vetor oposto do vetor 
 e eles só diferem no sen​tido (se A(B), já que seus representantes (A,B) e (B,A) têm mesma direção, mesmo comprimento e sentido contrário. O vetor oposto do vetor 
 é indicado também por -
; o vetor oposto de um vetor 
 é indicado por -
.
OPERAÇÕES COM VETORES
ADIÇÃO DE VETORES
Sejam os vetores 
 e 
 representados pelos segmentos orientados AB e BC.
Os pontos A e C determinam o vetor soma dos vetores 
 e 
Propriedades da adição
A1) PROPRIEDADE ASSOCIATIVA 
 (
 + 
 ) + 
 = 
 + (
 + 
 ), ( 
, 
, 
 ( V3 
A2) PROPRIEDADE COMUTATIVA
 
 + 
 = 
 + 
 ( 
, 
 ( V3
A3) ELEMENTO NEUTRO
 Existe um só vetor nulo 
 tal que para todo vetor 
 se tem: 
 
 + 
 
= 
 + 
 = 
, ( 
 ( V3
 
 + 
 
= 
 + 
 = 
 = 
.
A4) ELEMENTO OPOSTO
 Dado um vetor 
 qualquer, existe um vetor que somado a 
 dá como resultado o vetor nulo: trata-se do vetor oposto de 
, que se indica por -
.
 
 + ( -
) = -
 + 
 = 
 
 + ( -
) = 
 + 
 = 
 = 
 
 Diferença de vetores
Chama-se diferença de dois vetores 
 e 
, e se representa por 
 = 
- 
, ao vetor 
+ ( - 
) .
Dados dois vetores 
 e 
, representados pelos segmentos orientados AB e AC, respectivamente, e construído o paralelogramo ABCD verifica-se que a soma 
= 
+ 
 é representada pelo segmento orientado AD (uma das diagonais) e pela diferença 
 = 
- 
 é representada pelo segmento orientado CB (a outra diagonal)
Multiplicação por um número real
Dado um vetor 
 ( 
 e um número real k ( 0, chama-se produto do número real k pelo vetor 
 o vetor 
 = k
, tal que: 
módulo: 
 = 
 = 
 
direção: a mesma de 
sentido: o mesmo de 
 se k ( 0 , e contrário ao de 
 se k ( 0.
Observações:
Se k = 0 ou 
 = 
, o produto é o vetor 
, isto é k 
 = 
.
Dados dois vetores 
 e 
, colineares, sempre existe k ( R tal que 
= k 
. Exemplo: se 
 = 
 
 
 
 = 
 
O versor de um vetor 
 ( 0 é o vetor unitário 
= 
�� EMBED Equation.3 ou 
 
 = 
 De fato, ele é unitário 
 = 
 = 
 = 1
Daí, concluí-se que 
 = 
 
 isto é, o vetor 
 é o produto de seu módulo pelo vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de 
Propriedades da multiplicação de número por vetor.
Se 
 e 
 são vetores quaisquer e ( e ( são números reais, temos:
 
M1) ( ( 
 + 
 ) = ( 
 + (
, ( ( ( R , ( 
, 
 ( V3 (distributiva em relação à adição de vetores)
M2) ( ( + ( ) 
 = ( 
 + ( 
, ( (, ( ( R , ( 
 ( V3
M3) 1 . 
 = 
, (
 ( V3
M4) ( ( ( 
) = (( ( )
 = ( ( ( 
) , ( (, ( ( R , ( 
 ( V3 
Observação
 Se ( ( R e 
 ( V3 , com ( ( 0 , 
 significa 
 
Soma de ponto com vetor
Cada ponto P ( E3 e cada vetor 
 ( V3 associa um único ponto Q de E3 indicado por P + 
 e chamado soma de P com 
. Assim: ( P ( E3 , ( 
( V3 : P + 
 = Q 
 
 = 
 donde P + 
 = Q
Observação:
A notação P - 
 indica a soma do ponto P com o vetor oposto do vetor 
 Assim: P - 
 = P + (
)
Propriedades dessa operação:
P1 P + 
 = P ( P ( E3
 P + 
 = P
P2 P + 
 = P + 
 
 
 + 
 Seja Q = P + 
 = P + 
 por def. decorre 
 = 
 e 
 = 
Logo 
 = 
P3 ( P + 
) + 
 = P + (
 + 
) ( 
,
 ( V3 ( P ( E3
 Sejam A = P + 
 e B = A + 
 ( logo B = (P + 
) + 
)
 por def. decorre que 
 = 
 e 
 = 
 somando, temos: 
 
	+ 
 = 
 + 
 mas, 
 + 
 = 
, portanto temos 
 = 
 + 
 
 Pela definição de soma de ponto com vetor, temos: B = P ( 
 + 
) 
 e portanto: (P + 
) + 
 = P + (
 + 
) 
P4 A + 
 = B + 
 
 A = B 
 A + 
 = B + 
 
 (A + 
) - 
 = (B + 
) - 
 
 
 
 A + (
 - 
) = B + (
 - 
) 
 A + 
 = B + 
 
 A = B 
P5 ( P - 
) + 
 = P
 ( P - 
) + 
 = [P + ( - 
) ] + 
 
 P + [ - 
 + 
] = P + 
 
 P
 
Dependência Linear 
 Dados n vetores 
 , 
 , 
 ,....., 
 chama-se combinação linear dos n vetores a qualquer vetor da forma: a1
 + a2 
 + ....+ an 
 em que a1 , a2 , a3 ,......,an são números reais.
 Observe que os números a1 , a2 , a3 ,......, an que figuram