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CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos CEFET-SP Uned Cubatão Curso: Curso Superior de Tecnologia em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos Turma: SAI – 171 Matéria: Geometria Analítica Aluno: Flávio Alves Monteiro Matrícula: 051017 GEOMETRIA ANALÍTICA Conceito de vetor Definição 1 Um, segmento orientado é um par ordenado (A, B) de pontos do espaço. A é dito origem, B extremidade do segmento orientado. Os segmentos orientados da forma (A, A) são ditos nulos. Se A ( B, (A, B) é diferente de (B, A). Definição 2 Dizemos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) têm o mesmo comprimento se os segmentos geométricos AB e CD têm o mesmo comprimento. Suponha (A, B) e (C, D) não nulos. Então dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesma direção se AB // CD (AB // CD inclui o caso em que as retas suportes coincidem) . Nesse caso dizemos que (A, B) e (C, D) são paralelos. .Suponha que (A, B) e (C, D) têm mesma direção. a) Se as retas AB e CD são distintas, dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesmo sentido se a intersecção entre os segmentos AC e BD for vazia. Caso AB ( CD ( ( , dizemos que (A, B) e (C, D) têm sentido contrário. b) Se as retas AB e CD coincidem, tome (A', B') tal que A' não pertença à reta AB e (A', B') tenha mesma direção, e mesmo sentido que (A, B). Então dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesmo sentido se (A', B' ) e (C, D) têm mesmo sentido. Se não, dizemos que (A, B) e (C, D) têm sentido contrario. Definição 3 . Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes, e indica-se (A,B) ( (C,D), se um dos casos seguintes ocorrer: ambos são nulos; nenhum é nulo, e têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. Proposição 1: A relação de equipolência goza das seguintes propriedades: a) (A , B) ( (A , B) (reflexiva) b) (A ,B) ( (C , D) ( (C,D) ( (A,B) (simétrica) c) (A,B) ( (C,D) e (C,D) ( (E ,F) ((A ,B)((E,F) (transitiva) Observação: (Uma relação que goza das propriedades a), b) e c) se chama de relação de equivalência. Definição 4 Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados de E3. Se (A,B) é um segmento orientado, o vetor correspondente (ou seja, o vetor cujo representante é (A,B)) será indicado por . Usam-se também letras latinas minúsculas encimadas por uma seta ( , , etc.), não se fazendo desse modo referência ao representante. Chamaremos vetor nulo ao vetor cujo representante é um segmento orientado nulo (A,A) e indica-se o vetor nulo por . Os vetores e não-nulos são paralelos ( // ) se um representante de é paralelo a um representante de (e portanto a todos). Se // , e têm mesmo sentido se um representante de e um representante de têm mesmo sentido. Consideramos o vetor nulo paralelo a qualquer vetor. Chamaremos norma (ou módulo, ou comprimento) de um vetor ao comprimento de qualquer um de seus representantes; indica-se a norma de por ( (. Se ( ( = 1, dizemos que o vetor é unitário. Observação O vetor é chamado vetor oposto do vetor e eles só diferem no sentido (se A(B), já que seus representantes (A,B) e (B,A) têm mesma direção, mesmo comprimento e sentido contrário. O vetor oposto do vetor é indicado também por - ; o vetor oposto de um vetor é indicado por - . OPERAÇÕES COM VETORES ADIÇÃO DE VETORES Sejam os vetores e representados pelos segmentos orientados AB e BC. Os pontos A e C determinam o vetor soma dos vetores e Propriedades da adição A1) PROPRIEDADE ASSOCIATIVA ( + ) + = + ( + ), ( , , ( V3 A2) PROPRIEDADE COMUTATIVA + = + ( , ( V3 A3) ELEMENTO NEUTRO Existe um só vetor nulo tal que para todo vetor se tem: + = + = , ( ( V3 + = + = = . A4) ELEMENTO OPOSTO Dado um vetor qualquer, existe um vetor que somado a dá como resultado o vetor nulo: trata-se do vetor oposto de , que se indica por - . + ( - ) = - + = + ( - ) = + = = Diferença de vetores Chama-se diferença de dois vetores e , e se representa por = - , ao vetor + ( - ) . Dados dois vetores e , representados pelos segmentos orientados AB e AC, respectivamente, e construído o paralelogramo ABCD verifica-se que a soma = + é representada pelo segmento orientado AD (uma das diagonais) e pela diferença = - é representada pelo segmento orientado CB (a outra diagonal) Multiplicação por um número real Dado um vetor ( e um número real k ( 0, chama-se produto do número real k pelo vetor o vetor = k , tal que: módulo: = = direção: a mesma de sentido: o mesmo de se k ( 0 , e contrário ao de se k ( 0. Observações: Se k = 0 ou = , o produto é o vetor , isto é k = . Dados dois vetores e , colineares, sempre existe k ( R tal que = k . Exemplo: se = = O versor de um vetor ( 0 é o vetor unitário = �� EMBED Equation.3 ou = De fato, ele é unitário = = = 1 Daí, concluí-se que = isto é, o vetor é o produto de seu módulo pelo vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de Propriedades da multiplicação de número por vetor. Se e são vetores quaisquer e ( e ( são números reais, temos: M1) ( ( + ) = ( + ( , ( ( ( R , ( , ( V3 (distributiva em relação à adição de vetores) M2) ( ( + ( ) = ( + ( , ( (, ( ( R , ( ( V3 M3) 1 . = , ( ( V3 M4) ( ( ( ) = (( ( ) = ( ( ( ) , ( (, ( ( R , ( ( V3 Observação Se ( ( R e ( V3 , com ( ( 0 , significa Soma de ponto com vetor Cada ponto P ( E3 e cada vetor ( V3 associa um único ponto Q de E3 indicado por P + e chamado soma de P com . Assim: ( P ( E3 , ( ( V3 : P + = Q = donde P + = Q Observação: A notação P - indica a soma do ponto P com o vetor oposto do vetor Assim: P - = P + ( ) Propriedades dessa operação: P1 P + = P ( P ( E3 P + = P P2 P + = P + + Seja Q = P + = P + por def. decorre = e = Logo = P3 ( P + ) + = P + ( + ) ( , ( V3 ( P ( E3 Sejam A = P + e B = A + ( logo B = (P + ) + ) por def. decorre que = e = somando, temos: + = + mas, + = , portanto temos = + Pela definição de soma de ponto com vetor, temos: B = P ( + ) e portanto: (P + ) + = P + ( + ) P4 A + = B + A = B A + = B + (A + ) - = (B + ) - A + ( - ) = B + ( - ) A + = B + A = B P5 ( P - ) + = P ( P - ) + = [P + ( - ) ] + P + [ - + ] = P + P Dependência Linear Dados n vetores , , ,....., chama-se combinação linear dos n vetores a qualquer vetor da forma: a1 + a2 + ....+ an em que a1 , a2 , a3 ,......,an são números reais. Observe que os números a1 , a2 , a3 ,......, an que figuramna combinação linear podem ser nulos ou não. O vetor nulo é combinação linear de qualquer vetor pois: = 0 + 0 + +..... + 0 , onde p é qualquer número natural, maior do que zero. Exemplo: No triângulo ABC, M é o ponto médio de BC. Escrever o vetor como combinação linear de e A B M C Solução: Traçar pelo ponto M, paralelas aos lados AB e AC. Pelo teorema de Pitágoras ( P e N são pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. A P N B M C Como o quadrilátero APMN é um paralelogramo, temos: = + e = �� EMBED Equation.3 e = �� EMBED Equation.3 portanto: = �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 Condições para que um vetor possa ser dado como combinação linear de outros vetores. Proposição 1 (para dois vetores) Dados um vetor , não nulo, e um vetor , tais que // , então existe um único número real m tal que = m Se o vetor for nulo, basta fazer m = 0. Se o vetor também também não for nulo, teremos: ( ( = (m ( ( ( ( = (m ( ( ( ( m = ( , sendo m ( 0 se e têm mesmo sentido e m ( 0 se e têm sentidos contrários. “Dois vetores são paralelos se e somente se um deles é igual ao outro multiplicado por um número real” . exemplo: Sejam dados os vetores e , paralelos e de sentidos contrários tais que = 4 e = 7. Escreva em função de e em função de . Solução: Como e têm sentidos contrários, o número que multiplicando um deles dá o outro será um número negativo. 4 = 7 ( = e = Quando a combinação linear existe, dando um vetor em função do outro, dizemos que existe uma dependência linear entre eles e, o conjunto formado por dois vetores paralelos é linearmente dependente. ( LD ). Um vetor não nulo forma uma base para o conjunto de todos os vetores que possuem a mesma direção de , isto é, todos os vetores paralelos a são múltiplos de . Proposição 2 ( para 3 vetores ) Dados os vetores e , LI, e o vetor tais que , e sejam coplanares, então existem e são únicos os números n e m , tais que = m + n . Se o vetor for nulo, basta fazer m = 0 e n = 0. Se o vetor for paralelo a , basta fazer n = 0 e achar m conveniente. Se o vetor for paralelo a , basta fazer m = 0 e achar n conveniente. Se o vetor não for nulo e não for paralelo a nenhum dos dois vetores, tomemos os três vetores aplicados em um mesmo ponto A e seja = B P A C Traçando-se por P paralelas a e a forma-se o quadrilátero ABPC paralelogramo ( = + Como // , existe um número real m tal que = m e como // , Existe um número real n tal que = n e, portanto: = m + n . ( Pela definição da operação adição de dois vetores pode-se afirmar que “ = m + n então , e são coplanares” pois , m e n possuem representantes que são lados de um triângulo, sendo portanto coplanares e, conseqüentemente , e também são coplanares. “Três vetores são coplanares se e somente se um deles é igual a uma combinação linear dos outros dois”. Exemplo: Dados os vetores , e , como na figura, e sendo = 2 , = 3 e = 6, Obter como combinação linear de e . ( = 600 C P ( ( A B Por P traça-se // a e a . Assim, ABPC é um paralelogramo sendo que o triângulo ABP é eqüilátero. = 3 e = 2 , logo: = + = 3 + 2 ( Dados três vetores coplanares, sendo dois deles LI, o outro poderá ser expresso como combinação linear dos dois primeiros. ( Como essa combinação linear sempre existe, dando um vetor em função dos outros dois pode-se dizer que existe uma dependência linear entre eles ou seja, o conjunto formado por três vetores coplanares é LD. ( O conjunto formado por três vetores não coplanares é LI. ( Dois vetores LI formam uma base para o conjunto de todos os vetores coplanares com eles isto é, todo vetor , coplanar com e , LI , pode ser sempre escrito como combinação linear de e . Proposição 3 ( para 4 vetores ) Dados , e , LI , e o vetor qualquer, então existem e são únicos os números reais m , n e p tais que = m + n + p Se o vetor for nulo, basta fazer m = 0 , n = 0 e p = 0. Se o vetor for paralelo a , basta fazer n = 0 e p = 0 e encontrar o m conveniente. Se o vetor for paralelo a , basta fazer m = 0 e p = 0 e encontrar o n conveniente. Se o vetor for paralelo a , basta fazer m = 0 e n = 0 e encontrar o p conveniente. Se o vetor não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas for coplanar a e , basta fazer p = 0 e encontrar m e n convenientes. Se o vetor não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas for coplanar a e , basta fazer m = 0 e encontrar n e p convenientes. Se o vetor não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas for coplanar a e , basta fazer n = 0 e encontrar m e p convenientes. Se o vetor não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, nem coplanar com dois deles, tomemos os quatro vetores aplicados em um mesmo ponto A . Seja = . Traçando por P paralelas a , a e a obtemos, assim, um paralelogramo. Portanto: = + + Como // existe um número real m tal que = m ; // existe um número real n tal que = n ; // existe um número real p tal que = p ( = m + n + p E P A D B C “ Dados quatro vetores no espaço, sempre um deles é combinação linear dos outros três” – Os vetores são LD. Exemplo: Dados os vetores , e , ortogonais dois a dois; sendo = 1; = 2; = 3; = 6 e sabendo que forma ângulos iguais com , e , obter como combinação linear de , e . Solução: E P A D B C Tracemos por P, paralelas a , e . Obtemos, assim, um cubo de aresta 6 logo: = 6 = 3 = 2 portanto = 6 + 3 + 2 Base Chama-se base de V3 a qualquer trinca ordenada de vetores LI. Assim, se ( , , ) é uma base de V3 então qualquer vetor de V3 é gerado por , , , ou seja, existem números reais m, n e p tais que = m + n + p . Como esses números são únicos, associamos a cada vetor de V3 uma única trinca de números reais (m, n, p). Esses números são chamados de coordenadas de vetor em relação à base ( , , ) ; os vetores m , n e p são componentes do vetor . Exemplos: Fixada uma base E = ( , , ) Verificar se são LI ou LD os vetores: a) = (1, 2, 3) e = ( 2, 1, 1) ( ( eles não são proporcionais ( ( , ) é LI b) = (1, 7, 1) e = ( , , ) = = são proporcionais - fator de proporcionalidade: 2 = 2 ( ( , ) é LD 2) Verificar se são LI ou LD os vetores: = (1, -1, 2) = ( 0, 1, 3) = ( 4, -3, 11) 1 -1 2 0 1 3 = 0 4 -3 11 resulta que ( , , ) é LI 3) Sejam: = 2 - = - + 2 = + 2 Mostre que ( , , ) é LI e portanto base de V3 Resolução: Tem-se: = (2 , - 1 , 0 ) = (1, - 1, 2 ) = ( 1, 0, 2 ) 2 -1 0 1 -1 2 = -4 ( 0 logo ( , , ) é LI 1 0 2 4) Calcule as coordenadas do vetor = ( 1, 1, 1 )E na base F do exercício anterior. Resolução: Sabemos que: = 2 - = - + 2 = + 2 Resolvendo as equações acima com relação a , , temos: = - ( = - = 2 - ( = 2 - ( - ) ( + - = 2 ( = - + = + 2 ( - = 2 ( - ( - + ) = ( = - + = - + = - + + como = ( 1, 1, 1 )E , temos = + + e, portanto: = - + donde = ( , - , ) isto é, as coordenadas de na base F são: , - , BASE Chama-se base V3 a qualquer tripla ordenada E = ( , , ) LI de vetores de V3. Se ( , , ) é uma base de V3, todo vetor de V3 é gerado por , e , isto é, para todo ( V3, existem escalares , , , tais que = �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 . Essa tripla ( , , ) de escalares é única. Escolhida uma base E de V3 fica associada univocamente a cada vetor uma tripla ordenada de escalares ( , , ). Essa tripla é denominada tripla de coordenadas do vetor em relação à base E. Observe que é importante a ordem dos escalares , , ; trata-se de uma tripla ordenada ( = �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 . A notação utilizada para indicar que , , são coordenadas (nessa ordem) do vetor em relação à base E é = ( , , )E ou = ( , , ) É conveniente que as operações entre vetores sejam feitas diretamente com coordenadas, evitando perda de tempo. a) Adição: Se = ( , , ) e = ( , , ) então + = ( + , + , + ) De fato: = ( , , ) ( = �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 = ( , , ) ( = �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 Logo: + = ( + ) + ( + ) +( + ) ou seja: + = ( + , + , + ) Para o procedimento acima é essencial que e estejam referidos a uma mesma base. b) Multiplicação por escalar: Se = ( , , ) e ( é um escalar, então ( = (( , ( , ( ) De fato: = ( , , ) ( = �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 ( ( = ( ( �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 ) = = ( ( ) + (( ) + (( ) ( ( = (( , ( , ( ) Observação: = ( = ( 0, 0, 0 ) Vamos reexaminar em termos de coordenadas o conceito de dependência e independência linear. Proposição 1: Os vetores = ( , , ) e = ( , , ) são LD se e somente se , , , são proporcionais a , , Proposição 2: = ( , , ) , = ( , , ) , = ( , , ) são LI se e somente se ( 0 O conceito de ortogonalidade de vetor com setas e planos se define de modo natural, usando os mesmos conceitos para os segmentos orientados que representam o vetor. Definição: = é ortogonal à reta r [ ao plano ( ] se existe um representante (A, B) de tal que o segmento AB é ortogonal a r [ a ( ]. O vetor nulo é considerado ortogonal a toda reta r e a todo plano (. Os vetores e são ortogonais se um deles é nulo, ou, caso contrário, admitirem representantes perpendiculares. Para ortogonalidade usaremos o símbolo ( . Proposição 3: Os vetores e são ortogonais se e somente se + 2 = 2 + 2 . Demonstração: Tomando um ponto ) qualquer, ( se e somente se os pontos 0, 0 + , 0 + + , são vértices de um triângulo retângulo. 0 + + + 0 0 + Definição: Uma base E = ( , , ) é ortonormal se , , são unitários ( = = = 1) e dois a dois ortogonais. 0 Proposição 4: Se E = ( , , ) é base ortonormal, e = x + y + z então = ( x2 + y2 + z2 Ângulo entre vetores – Produto Escalar Seja os vetores não nulos e . Tomemos um ponto 0 ( E3 e, sejam P, Q ( E3 tais que = , = . Seja ( a medida em radianos (graus) do ângulo POQ satisfazendo 0 ( ( ( ( [ 0 ( ( ( 1800 ] P P’ ( ( 0 Q 0 Q’ Se tivéssemos tomado outro ponto 0’ ( E3 em lugar de 0, e P’, Q’ com = , = obteríamos que a medida em radianos [graus] de P’Ô’Q’, ainda seria ( (como na figura) Definição 1 O número ( se chama medida em radianos [graus] do ângulo e . Para encontrar uma expressão que forneça ( em termos de e fixa-se uma base ortonormal ( , , ) e sejam = ( , , ) e = ( , , ) Observação: Uma base no espaço é ortonormal se os vetores forem unitários e dois a dois forem ortogonais. Sendo a base ortonormal a norma de qualquer vetor pode ser calculada = ( a, b, c ) ( = ( a2 + b2 + c2 Aplicando a lei dos co-senos ao triângulo POQ resulta: P 2 = 2 + 2 – 2 + cos ( ( 1 ) ( 0 Q 2 = -2 = 2 + 2 = - , - , - 2 = = ( - )2 +( - )2 +( - )2 = + + + + + - 2( �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 ) Substituindo em ( 1 ), resulta cos ( = �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 ( 2 ) expressão esta que nos permite calcular cos (, pois = ( + + e = ( + + A expressão ( 2 ) nos mostra que �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 não depende da base ortonormal fixada, pois o primeiro membro não depende. Se ou são nulos, a expressão do 2º membro é nula. Definição 2: Chama-se produto escalar dos vetores e ao número ( dado por: 0 se = ou = ( cos ( se ( ou ( sendo ( a medida do ângulo entre e . Desde que as coordenadas usadas se referirem a uma base ortonormal podemos escrever: ( = �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 Da definição, resulta que se ( ou ( então: cos ( = ( Observe que decorre da própria definição que: = ( ( pois ( = �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 + �� EMBED Equation.3 = + + = 2 proposição 1 Quaisquer que sejam , , de V3 e qualquer que seja ( real, tem-se: 1) ( ( + ) = ( + ( 2) ( ( ( ) = (( ) ( = ( ( ( ) 3) ( = ( 4) ( ( 0 ; ( = 0 ( = proposição 2 ( ( ( = 0 Demonstração Se ou é nulo, é imediato. Se ( = 0 ( cos ( = 0 ( ( = ( ( ( lembre-se que 0 ( ( ( () Observação: “ uma condição necessária e suficiente para que uma tripla ( , , ) de vetores de V3 seja uma base ortonormal é que ( = ( = ( = 1 e ( = ( = ( = 0 resumindo: ( = 1, se i = j 0, se i ( j Atenção: Evite o erro seguinte: sendo ( = ( , cancelar e concluir que = . ISTO É FALSO ( = ( ( ( - ( = 0 ( ( ( - ) = 0 ( ( ( - ) Exemplos: É fixada uma base ortonormal 1) Ache a medida em radianos do ângulo entre os vetores = (2, 0,-3) e = (1, 1, 1). Resolução: ( = (2, 0, -3) ( (1, 1, 1) = 2 . 1 + 0 . 1 + (-3) . 1 = -1 = = ( 22 + 02 + (-3)2 = = = ( 12 + 12 + 12 = ( cos ( = ( = - 1 = - 1 ( ( = ARC COS ( ) 2) Ache a medida em graus do ângulo entre os vetores = (1, 10, 200) e = ( -10, 1, 0) Resolução: ( = (1, 10, 200) ( ( -10, 1, 0) = 1 . (-10) + 10 . 1 + 200 . 0 = 0 Logo: ( , e ( = 900 (em graus) 3) Demonstre a desigualdade de Schwarz: ( ( Resolução: Se ou é nulo, é imediato, pois ambos os membros se anulam. Se ( e ( , então a desigualdade de Schwarz resulta imediatamente de cos ( = ( e │ cos ( │≤ 1 Observe que a igualdade vale se e somente se um dos dois vetores é nulo ou, caso contrário, se │ cos ( │≤ 1 O ângulo entre e mede 1200 . Sendo = 4, = 3, = + e = - 2 , o ângulo entre e é agudo, reto ou obtuso? Solução: X = ( + ) X ( - 2 ) = X - 2 X + X - 2 ( X ) ( ( X = 2 – 2 2 - X Mas, X = cos 1200 = 4 . 3 . = -6 Assim, X = 16 – 2 . 9 – ( -6) = 4. Como o produto escalar entre e é positivo, concluímos que o ângulo entre e é agudo. Qual o valor de m para que os vetores sejam ortogonais? a) = (m, 2, 3) e = ( 2, -1, 2) b) = ( m, 3, 4 ) e = ( m, -2, 3 ) Solução: a) X = ( m, 2, 3 ) X ( 2, -1, 2 ) = 2m –2 + 6 = 0 ( m = -2 b) X = ( m, 3, 4 ) X ( m, -2, 3 ) = m2 –6 + 12 = ( m2 + 6 = 0 ( ( não existe m real, ou seja, os vetores nunca são ortogonais, para um mesmo valor de m real. Calcular o ângulo entre os vetores: a) = (1, 2, 2 ) e = ( 1, -4, 8 ) b) = ( 4, -1, 3 ) e = ( 1, 1, -1 ) Solução: a) cos ( = ( ( = arc cos ( 710 b) cos ( = (4, -1, 3) X (1, 1, -1 ) = 0 = zero ( ( = 900 . . isto é, e são ortogonais. Ângulos diretores Os ângulos que um vetor forma com os eixos coordenados são chamados de ANGULOS DIRETORES. Eles são assim chamados porque fornecem a direção do vetor (e também o sentido) Como os eixos coordenados possuem a mesma direção e sentido dos vetores , e . Assim, temos: z = (a, b, c) = a + b + c então: ( cos ( = X (1, 0, 0) ( cos ( = 0 ( y cos ( = X (0, 1, 0) ( cos ( = x cos ( = X (0, 0, 1) ( cos ( = Os co-senos dos ângulos diretores (, ( e ( são chamados de COSSENOS DIRETORES. PROPRIEDADES: a) Seja o vetor = ( a, b, c ). Designando o versor de por , vem: = = ( , , ) ( ou = ( cos (, cos ( , cos ( ) Portanto, as componentes do versor de um vetor são os cossenos diretores deste vetor. b) Como o versor de é um vetor unitário, o módulo de um versor é igual a 1, assim temos: (cos (, cos (, cos ( ( = 1 mas, (cos (, cos (, cos ( ( = ( cos2 ( + cos2 ( + cos2 ( logo: ( cos2 ( + cos2 ( + cos2 ( = 1 ( cos2 ( + cos2 ( + cos2 ( = 1 Exemplos: 1) Achar os ângulos diretores do vetor = -2 + 2 = (1, -2, 2) Solução: cos ( = ( ( = arc cos ( ( ( 710 cos ( = ( ( = arc cos ( ( ( 1320 cos ( = ( ( = arc cos ( ( ( 480 2) Os ângulos diretores de um vetor são (, 450 e 600. Determinar (. Solução: Substituindo na igualdade: cos2 ( + cos2 ( + cos2 ( = 1 ( por 450 e ( por 600, temos: cos2 ( + cos2 450 + cos2 600 = 1 cos2 ( + 2 + 2 = 1 cos2 ( = 1 - - ( cos2 ( = ( cos ( = ( ( cos ( = ( logo: ( = 600 ou ( = 1200 Vetor – componente Um problema de muita aplicação na Física Geral é o de achar o vetor-componente ou vetor-projeção de um vetor dado em uma direção dada, ou ainda, a decomposição de um vetor em dois vetores. Veja a figura a seguir: - - = O vetor é chamado de vetor-componente ou vetor-projeção de na direção de , não nulo. Para encontrarmos o vetor , conhecidos e , basta observarmos que: ( i ) // e ( ii ) - ( De ( i ) , vem; existe m ( ( tal que = mDe ( ii ) , vem: ( - ) X = 0 ( ( - m ) X = 0 ( X - m ( X ) = 0 ( ( X = m ( X ) ( m = X = X . Temos assim o vetor X 2 isto é, = X . ( X ( = ( X ) . Exemplo: Decompor o vetor = ( 6, -3, 9 ) em dois vetores e , sendo paralelo a e ortogonal a , onde = ( 1, 2, 2). Solução: Veja a figura Decompor um vetor é encontrar vetores que somados dão, como resultante o vetor Neste caso, = + sendo o vetor-componente de na direção de e o vetor o vetor-diferença entre e , isto é: = - . Assim, temos: = [ ( 6, -3, 9 ) X ] . = 6 . ( = (2, 4, 4) = 2 +4 + 4 = - = (6, -3, 9) – (2, 4, 4) = (4, -7, 5) = 4 -7 + 5 Observações: ( i ) Os vetores e , do exemplo acima, são as componentes ortogonais do vetor , tendo a direção de ( ii ) O módulo do vetor-componente ou vetor-projeção será dado por = X �� EMBED Equation.3 que é o módulo da expressão que está dentro dos colchetes, na segunda indicação da fórmula do vetor-componente . Projeção de um Vetor Sejam os vetores e , com ( 0 e ( 0, e ( o ângulo por eles formado. Deve-se calcular o vetor que representa a projeção de sobre . Observe a figura: ( ( Como e têm a mesma direção, segue-se que: = k , k ( ( Então: = (k( ou (k(= = ( k = logo: = Portanto, o vetor projeção de sobre ( proj. �� EMBED Equation.3 = ) é: proj. �� EMBED Equation.3 = X ou proj. �� EMBED Equation.3 = Exemplos: Determinar o vetor projeção de = ( 2,3,4 ) sobre = ( 1, -1, 0 ) Solução: Utilizando a fórmula proj. �� EMBED Equation.3 = obtem –se: proj. �� EMBED Equation.3 = (1, -1, 0) = (1, -1, 0) proj. �� EMBED Equation.3 = ( 1, -1, 0 ) = - ( 1, -1, 0 ) = ( - , , 0 ) 2) Dada a base ortonormal B = ( , , ), sejam = 2 -2 + e = 3 - 6 Obtenha a projeção ortogonal de sobre Determine e tais que = + , sendo paralelo e ortogonal a Solução: Em relação a B, = ( 2, -2, 1 ) e = ( 3, -6, 0 ). Logo, 2 = 22 + (-2)2 + 12 = 9 e X = 3 . 2 + ( -6) (-2) + 0 . 1 = 18 Logo, proj. �� EMBED Equation.3 = �� EMBED Equation.3 = ( 2, -2, 1 ) = ( 4, -4, 2 ) b) O vetor é a projeção ortogonal calculada em ( a ), e é a diferença - . Portanto = - = ( 3, -6, 0 ) – ( 4, -4, 2) = ( -1, -2, -2 ) PRODUTO VETORIAL Definição: Dados os vetores = a + b + c e = d + e + f , definimos produto vetorial dos vetores e como sendo o vetor dado pelo determinante formal: ^ = a b c = b c . - a c . + a b . d e f e f d f d e onde, o 2º lado da igualdade corresponde à expansão do determinante, pela regra de Laplace, através da primeira linha. Exemplo: a) ( 1, 3, 5 ) ^ ( 1, 1, 1 ) = 1 3 5 = -2 + 4 -2 1 1 1 b) ( 1, 1, 1 ) ^ ( 1, 3, 5 ) = 1 1 1 = 2 - 4 + 2 1 3 5 c) ( 0, 0, 0 ) ^ ( 2, 1, 7 ) = 0 0 0 = 0 + 0 + 0 = 2 1 7 d) ( 2, 4, 6 ) ^ ( 3, 6, 9 ) = 2 4 6 = 0 + 0 + 0 = 3 6 9 Propriedades: P1. X = ( o determinante possui duas linhas iguais) P2. ^ = - ^ ( , ( V3 Anti-comutativa P3. ^ ( + ) = ^ + ^ ( , , ( V3 Distributiva P4. m . ( ^ ) = ( m ) ^ = ^ ( m ) ( , ( V3 e m ( ( Associativa com um número real P5. a) Se = ou = ( ^ = ; b) Se ( ou ( , ^ = ( // P6. Se e são LI, isto é, ^ ( então ( ^ ) é ortogonal a e a , ao mesmo tempo. P7. ( ^ (2 = ( (2 . ( (2 – ( X ) Identidade de Lagrange P8. ( ^ ( = ( (. ( ( . sen ( ( , ( V3 com ( , ( e ( o ângulo entre e P9. Se e são L I é habitual afirmar-se que os vetores , e ^ possuem orientação positiva ou dextrógira (regra da mão direita). Observação: 1) Se dois vetores são LD, isto é, paralelos ou pelo menos um deles nulo, então o produto vetorial deles será o vetor nulo; Se dois vetores, e são LI, isto é, o ângulo entre suas direções não é zero, então o produto vetorial deles será um vetor não nulo, tal que: Direção: a direção de ^ será perpendicular a um plano que contenha representantes de e ; Módulo: o módulo de ^ será numericamente igual ao produto dos módulos de e de multiplicado pelo seno do ângulo entre e ; Sentido: Supondo que o plano, que contém representantes de e , seja horizontal e que o ângulo entre eles seja percorrido no sentido anti-horário, quando vamos de para , nessas condições, o sentido de ^ será para cima. Vetor ortogonal a dois vetores LI Dados dois vetores paralelos ou pelo menos um deles nulo então o produto vetorial será o vetor nulo. Dados dois vetores LI o produto vetorial deles será um vetor não nulo ortogonal aos dois vetores operados. Esta é a principal aplicação física ou geométrica do produto vetorial. Exemplo: Sejam dados os vetores = ( 2, -2, 1 ) e = ( 2, 0, -1 ). Ache o conjunto dos vetores ortogonais a e a , ao mesmo tempo. Encontre um vetor unitário pertencente a esse conjunto. Solução: Como o vetor ^ tem direção perpendicular a e a , então todos vetores que forem ortogonais a e a serão paralelos a ^ . Assim, o conjunto será formado pelos vetores m ( ^ ). ^ = 2 -2 1 = ( 2, 4, 4 ) 2 0 -1 Assim, temos o conjunto: { m . ( 2, 4, 4 ), m ( ( }. Um vetor unitário pode ser o versor do vetor ( 2, 4, 4 ), isto é, = ( , , ). Observação importante: Se conhecemos um vetor ortogonal a e a , então é paralelo ao vetor ^ , isto é: ( e ( ( // ( ^ ) Área do paralelogramo Consideremos o paralelogramo ABCD, cujos lados AB e AC são representantes dos vetorese , respectivamente. A área S do paralelogramo ABCD é dada por: S = b . h, onde b é o comprimento de AB e h é o comprimento de CH. Mas, no triângulo retângulo ACH, temos: h = c . sen ( , onde c é o comprimento de AC. Assim, S = b . c . sen ( . Por outro lado, o módulo de ^ é igual a . . sen ( , logo S é numericamente igual ao módulo de ( ^ (, isto é: SABCD = ( ^ ( Observação: O módulo ou comprimento de um vetor é uma medida linear enquanto que área é uma medida em unidades quadradas, daí, dizemos que a área do paralelogramo é numericamente igual ao módulo do vetor produto vetorial de vetores cujos representantes sejam os lados não paralelos desse paralelogramo. Em unidades : Se o vetor, resultado do produto vetorial, tiver módulo 15 cm então a área do correspondente paralelogramo será 15 cm2. Exemplo: Calcular a área do paralelogramo cujos vértices são A = ( 4, 1, 5), B = ( 6, 0, 5 ), C = ( 4, 2, 4 ) e D = ( 6, 1, 4 ). Solução: Sejam B – A = ( 2, -1, 0 ) = e C – A = ( 0, 1, -1 ) = Assim: C D S = ( ^ ( = 2 -1 0 = (( 1, 2, 2 )( 0 1 -1 ( S = 3 unidades quadradas. A B Área do triângulo A diagonal de um paralelogramo divide-o em C D dois triângulos iguais (simétricos em relação a essa diagonal). Assim, a área de um triângulo é sempre igual à metade da área do paralelogramo A B de modo que um dos lados do triângulo seja a diagonal do paralelogramo. Seja o triângulo ABC da figura. A área S do triângulo será dada por: S = . ( ( B – A ) ^ ( C – A ) ( Exemplo: Calcular a área do triângulo ABC, onde A = ( 2, 0, 3 ), B = ( 8, 8, -3 ) e C = ( 2, 2, 2 ) Solução: É preciso encontrar os vetores cujos representantes C são os lados do triângulo ABC. B – A = ( 6, 8, -6 ) e C – A = ( 0, 2, -1 ) A área do triângulo será: A B S = . (( B – A ) ^ ( C – A )(= 6 8 -6 = . (( 4, 6, 12 )(= . 14 0 2 -1 ( S = 7 unidades quadradas. Observação: O cálculo da área do triângulo não depende dos lados escolhidos. Assim, no exemplo acima, poderíamos ter escolhido os lados AB e BC ou, então, os lados AC e BC. Produto Misto Dados os vetores = x1 + y1 + z1 , = x2 + y2 + z2 e = x3 + y3 + z3 , tomados nessa ordem, chama-se produto misto dos vetores , e ao número real . ( X ). Indica-se o produto misto por ( , , ). Tendo em vista que: X = x2 y2 z2 = y2 z2 - x2 z2 + x2 y2 x3 y3 z3 y3 z3 x3 z3 x3 y3 e levando em consideração a definição de produto escalar de dois vetores, o valor de . ( X ) é dado por: ( , , ) = x1 y2 z2 - y1 x2 z2 + z1 x2 y2 y3 z3 x3 z3 x3 y3 ou x1 y1 z1 ( , , ) = x2 y2 z2 x3 y3 z3 Exemplo: Calcular o produto misto dos vetores = 2 + 3 + 5 , = - + 3 + 3 e = -4 -3 + 2 . 2 3 5 ( , , ) = -1 3 3 = 27 -4 -3 2 Observação: Produto escalar de dois vetores é número real. Produto vetorial de dois vetores é vetor. Propriedades do Produto Misto/ 1) ( , , ) = 0 se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três são coplanares. 2) O produto misto independe da ordem circular dos vetores, isto é: ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) Entretanto, o produto misto muda de sinal quando se trocam as posições de dois vetores consecutivos, isto é: ( , , ) = - ( , , ) Esta propriedade do produto misto é uma conseqüência da propriedade dos determinantes relativamente à circulação de linhas e à troca de duas colunas. Observação: Resulta desta propriedade, denominada propriedade cíclica, que os sinais . e X permutam entre si no produto misto de três vetores: . ( X ) = ( X ) . 3) ( , , + ) = ( , , ) + ( , , ) = 4) ( , , m ) = ( , m , ) = ( m , , ) = m ( , , ) Observação: O produto vetorial e o produto misto não são definidos no (2 Exemplos: 1) Verificar se são coplanares os seguintes vetores: = ( 3, -1, 4 ) , = ( 1, 0 –1 ) , = ( 2, -1, 0 ) Solução: Os três vetores são coplanares se: ( , , ) = 0 3 -1 4 mas, ( , , ) = 1 0 -1 = -5 ( 0 2 -1 0 Logo, os vetores não são coplanares. 2) Qual deve ser o valor de m para que os vetores = ( m, 2, -1 ) , = ( 1, -1, 3 ) , = ( 0, -2, 4 ) sejam coplanares? Solução: Para que , e sejam coplanares, deve-se ter: ( , , ) = 0 Isto é: m 2 -1 1 -1 3 = 0 0 -2 4 ou: -4m + 6m –8 + 2 = 0 ( 2m –6 = 0 ( 2m = 6 ( m = 3 3) Verificar se os pontos A ( 1, 2, 4 ), B ( -1, 0, -2 ), C ( 0, 2, 2 ) e D ( -2, 1, -3 ) estão no mesmo plano. Solução: Os quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores , e , e, para tanto, deve-se ter: ( , , ) = 0 e, -2 -2 -6 ( , , ) = -1 0 -2 = 0 -3 -1 -7 Logo, os pontos dados são coplanares. Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto Geometricamente, o produto misto . ( X ) é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores = , = e = . Sabe-se que o volume V de um paralelepípedo é V = (área da base X altura) ou: V = Ab X h mas, ( X ( e sendo ( o ângulo entre os vetores e X , lembrando que o vetor X é perpendicular à base, a altura do paralelepípedo é dada por: h = ( ( (cos( ( ( É necessário considerar o valor absoluto (cos( (, pois ( pode ser um ângulo obtuso) Logo, o volume do paralelepípedo é: V = ( X ( ( ( (cos (( Fazendo X = , vem: V = ( ( ( ((cos (( ( 1 ) Mas, . = ( ( ( ((cos (( E, em conseqüência: ( . ( = ( ( ( ((cos (( ( 2 ) Comparando ( 1 ) e ( 2 ), temos: V = ( . ( Logo: V = ( . ( X ) ( = (( , , )( Volume do tetraedro Todo paralelepípedo é equivalente a dois prismas triangulares iguais. Como todo prisma triangular equivale a três pirâmides (que no caso são tetraedros) de base e altura equivalentes à base e à altura do prisma, o volume de cada uma destas pirâmides é do volumedo paralelepípedo. Sendo A, B, C e D quatro pontos do espaço, não situados num mesmo plano, e três a três não colineares, as arestas do paralelepípedo são determinadas pelos vetores , , e, portanto, o volume do tetraedro ABCD é V = (( , , ) ( Exemplos: 1) Dados os vetores = ( x, 5, 0 ) , = ( 3, -2, 1 ) e = ( 1, 1, -1 ), calcular o valor de x para que o volume do paralelepípedo determinado por , e seja 24 u.v. (unidades de volume). Solução: O volume do paralelepípedo é dado por: V = (( , , )( e, no caso presente, deve-se ter: (( , , )(= 24 mas, x 5 0 ( , , ) = 3 -2 1 = x + 20 1 1 -1 logo: (x + 20 (= 24 pela definição de módulo, implica duas hipóteses: x + 20 = 24 ou -x –20 = 24 portanto: x = 4 ou x = - 44 2) Calcular o volume do tetraedro cujos vértices são: A ( 1, 2, 1 ), B ( 7, 4, 3 ), C ( 4, 6, 2 ) e D ( 3, 3, 3 ) Solução: O volume do tetraedro é dado por: V = (( , , )( mas: = ( 6, 2, 2), = ( 3, 4, 1 ) , = ( 2, 1, 2 ) e: 6 2 2 ( , , ) = 3 4 1 = 24 2 1 2 Portanto, o volume do tetraedro é: V = . 24 = 4 u. v. Duplo Produto Vetorial Dados os vetores = x1 + y1 + z1 , = x2 + y2 + z2 e = x3 + y3 + z3 , chama-se duplo produto vetorial dos vetores , e ao vetor X ( X ). Observação: Tendo em vista que o produto vetorial não é associativo, em geral X ( X ) ( ( X ) X Decomposição do duplo Produto Vetorial O duplo produto vetorial pode ser decomposto na diferença de dois vetores com coeficientes escalares: X ( X ) = ( . ) - ( . ) Com efeito, o vetor X ( X ) é coplanar com e , isto é: X ( X ) = m + n ( 1 ) Para determinar m e n, escolhe-se a base ortonormal { , , } com paralelelo a , coplanar com e , e paralelo a X De acordo com a figura, pode-se escrever: = = + ( 2 ) = + + Por outro lado: X = a 0 0 = ac b c 0 e X ( X ) = x y z = acy - acx 0 0 ac ou: X ( X ) = acy - acx + abx - abx X ( X ) = ( bx + cy ) - ax ( + ) tendo em vista as igualdades em ( 2 ): X ( X ) = ( bx + cy ) - ax ( 3 ) comparando as igualdades ( 1 ) e ( 3 ), temos: m = bx + cy n = - ax mas, de acordo com a definição de produto escalar e tendo em vista as igualdades ( 2 ), temos: bx + cy = . e ax = . logo: m = . e n = - . substituindo m e n em ( 1 ), temos: X ( X ) = ( . ) - ( . ) Esta forma pode ser escrita sob a forma de determinante: X ( X ) = . . exemplo: Se = 3 - 2 - 6 , = 2 - e = + 3 + 4 , temos: . = 3 x 2 – 2 x ( - 1) – 6 x 0 = 8 . = 3 x 1 – 2 x 3 – 6 x 4 = - 27 logo: X ( X ) = = . . 8 - 21 X ( X ) = - 21 - 8 = - 21 (2 - ) – 8 ( + 3 + 4 ) X ( X ) = - 42 + 21 - 8 - 24 - 32 = - 50 - 3 - 32 por outro lado; . = 1 x 3 – 3 x 2 – 4 x 6 = - 27 . = 1 x 2 – 3 x 1 + 4 x 0 = - 1 logo: X ( X ) = = . . -27 -1 X ( X ) = -1 + 27 = - (3 - 2 - 6 ) + 27 (2 - ) X ( X ) = -3 + 2 + 6 + 54 - 27 = 51 - 25 + 6 comparando X ( X ) e X ( X ) , verifica-se que : X ( X ) ( X ( X ) � EMBED PI3.Image ��� �PAGE � �PAGE �1� Geometria Analítica Espacial _1185717535.unknown _1187811831.unknown _1187816979.unknown _1187891253.unknown _1187900220.unknown _1187900323.unknown _1187900751.unknown _1187901005.unknown _1187901152.unknown _1187901177.unknown _1187901035.unknown _1187900787.unknown _1187900515.unknown _1187900263.unknown _1187900285.unknown _1187900242.unknown _1187894378.unknown _1187896576.unknown _1187900195.unknown _1187894549.unknown _1187893547.unknown _1187893621.unknown _1187891319.unknown _1187891320.unknown _1187891271.unknown _1187891318.unknown _1187818194.unknown _1187876162.unknown _1187880903.unknown _1187881605.unknown _1187891230.unknown _1187881518.unknown _1187878750.unknown _1187878778.unknown _1187876371.unknown _1187876177.unknown _1187876311.unknown _1187823924.unknown _1187876097.unknown _1187876140.unknown _1187818279.unknown _1187818301.unknown _1187822435.unknown _1187818205.unknown _1187817217.unknown _1187817851.unknown _1187818143.unknown _1187818170.unknown _1187817461.unknown _1187817514.unknown _1187817515.unknown _1187817439.unknown _1187817216.unknown _1187817122.unknown _1187817141.unknown _1187817159.unknown _1187816995.unknown _1187814855.unknown _1187816211.unknown _1187816735.unknown _1187816908.unknown _1187816949.unknown _1187816827.unknown _1187816526.unknown _1187816555.unknown _1187816287.unknown _1187815893.unknown _1187815992.unknown _1187815931.unknown _1187815771.unknown _1187815796.unknown _1187815013.unknown _1187814874.unknown _1187813898.unknown _1187814658.unknown _1187814788.unknown _1187814010.unknown _1187813614.unknown _1187813698.unknown _1187812581.unknown _1187808634.unknown _1187810197.unknown _1187811537.unknown _1187811765.unknown _1187811581.unknown _1187811633.unknown _1187810988.unknown _1187811098.unknown _1187810962.unknown _1187810987.unknown _1187810944.unknown _1187810023.unknown _1187810095.unknown _1187810140.unknown _1187810039.unknown _1187809903.unknown _1187809956.unknown _1187808664.unknown _1185743946.unknown _1185744299.unknown _1185745397.unknown _1185746069.unknown _1185746180.unknown _1185748873.unknown _1185750158.unknown _1185750616.unknown _1185751026.unknown _1185751313.unknown _1185751369.unknown _1185751483.unknown _1185752086.unknown _1185752166.unknown _1187808500.unknown _1185752278.unknown _1185752119.unknown _1185751907.unknown _1185751948.unknown 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