Inequacao_2grau

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Joyce Danielle de Araújo - Engenharia de produção 
Inequação do Segundo 
Grau 
CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.1 
Introdução 
• As inequações representam uma desigualdade 
matemática. Elas são identificadas pelos sinais 
>(maior), <(menor), ≤(menor igual), ≥(maior 
igual). 
 
• São inequações do 2º grau ou quadráticas, as 
inequações constituídas por uma lei matemática 
com a forma de ax² + bx + c, onde a, b e c são 
números reais e a ≠ 0, acompanhada do sinal 
de desigualdade. Assim é uma inequação do 
segundo grau, por exemplo, 3x² +2x –5 > 0 
onde a = 3, b = 2 e c = -5. 
 
Exemplos de Inequações do 2º 
Grau 
ax² + bx + c > 0 
 
ax² + bx + c ≥ 0 
 
ax² + bx + c < 0 
 
ax² + bx + c ≤ 0 
 
ax² + bx + c ≠ 0 
 
Sendo a ≠ 0. 
Soluciando Inequações do 2º Grau 
Para solucionar inequações do 2º grau deve-se: 
 
1 – Determinar as raízes das funções; 
2 – Representar graficamente a função a partir dos 
pontos determinados com o cálculo das raízes e 
com a análise do coeficiente a; 
3 – Aplicar os conceitos de estudo do sinal; 
4 – Analisar os resultados e obter a resposta da 
inequação. 
Exemplo: 
Determine o conjunto solução da inequação: 
x² - 5x + 8 < 0 
 
Solução: 
Etapa1: Vamos encontrar as raízes da função. 
Observe que neste caso, queremos encontrar 
os valores onde a função é negativa. Assim: 
Δ = (-5)² - 4.1.8  Δ = 25 – 32  Δ = -7 
 
Ao colocarmos na fórmula de Bhaskara, vamos 
obter uma raiz quadrada negativa, logo ela não 
vai pertencer ao conjunto dos reais. 
 
Continuando: 
Etapa2: Como os valores das raízes 
encontradas não irão pertencer ao conjunto dos 
reais, a parábola não irá cortar o eixo x. Como 
sabemos que a =1, portanto a > 0, a parábola 
apresenta a concavidade para cima. 
 
 
 
Etapa 3 e 4: Como 
queremos f(x) < 0, 
estamos buscando os 
valores onde a função é 
negativa, porém o gráfico 
mostra que a função não 
tem valores negativos: 
S = { } 
Exercícios: 
1. Encontre o conjunto solução das inequações 
abaixo: 
a) x² - 6x + 8 < 0 
 
b) x² - 2x + 1 > 0 
 
Sistema de Inequações do 2º grau 
Para resolver um sistema de 
inequações podemos resolver cada 
uma das inequações separadamente 
e, em seguida, fazer a intersecção dos 
conjuntos solução. 
 
Exemplo: 
1. Resolva o sistema: 𝑥2 − 6𝑥 + 9 ≥ 0 
 3𝑥 − 6 > 0 
 
Determinando os zeros das funções f(x) = x² - 6x + 9 e 
g(x) = 3x – 6 
 
Em f(x) = x² - 6x + 9 
Δ = (-6)² - 4.1.9 
Δ = 0 
x’ = x’’ = 3 
 
Queremos que f(x) ≥ 0 e g(x) > 0. 
 
 
Em g(x) = 3x – 6 
3x – 6 = 0 
3x = 6 
X = 2 
Continuando: 
Estudando os sinais das funções: 
 
 
 
 
 
Indicando os valores de x que satisfazem as 
inequações: 
 V1 = R V2 = {x ∈ IR/ x 
> 2} 
 
 
Continuando: 
Fazendo a intersecção dos conjuntos soluções: 
 
 
 
 
 
 
 
V = {x ε IR/ x > 2} 
 
 
Inequeção-Produto 
Considerando f(x) e g(x) funções da variável x, 
chamamos de inequação-produto 
desigualdades como: 
 
 
A resolução de uma inequação-produto pode 
ser feita com o estudo dos sinais das funções 
separadamente, seguido da determinação dos 
sinais do produto f(x).g(x) e posteriormente, 
identificando os valores de x que satisfazem a 
inequação-produto. 
 
f(x).g(x) > 0, f(x).g(x) ≥ 0, f(x).g(x) < 0, f(x).g(x) ≤ 0 
Exemplo: 
1. Determine o conjunto solução da inequação-
produto: 
(x² - 7x + 10).(6x + 12) ≥ 0 
Solução: 
Determinando os zeros das funções f(x) = x² - 7x + 
10 e 
g(x) = 6x +12 
 
x² - 7x + 10 = 0 
Δ = (-7)² - 4.1.10 = 9 
 
x1 = (7+3)/2 = 5 
x2 = (7-3)/2 = 2 
 
 
6x + 12 = 0 
6x = -12 
x = -2 
Vamos estudar os sinais das funções  
Continuando: 
Estudando os sinais das funções: 
 
 
 
 
 
 
 
Queremos que f(x).g(x) ≥ 0. 
 
 
Continuando: 
Estudando os sinais do produto das funções: 
 
 
 
 
 
 
 
Identificando os valores de x que satisfazem a 
inequação, temos: 
S = {x ε IR/ -2 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 5} 
 
 
Inequação-Quociente 
Considerando f(x) e g(x) funções de variável x, 
chamamos de inequação-quociente 
desigualdades como: 
 
 
 
 
Na resolução de uma inequação-quociente 
devemos lembrar que o denominador deve ser 
diferente de zero e a regra de sinais é a mesma, 
tanto para multiplicação como para divisão, no 
conjunto dos reais. 
 
 
Exemplo: 
Determine o conjunto solução da inequação-quociente: 
 
 
 
 
Determinando o zero das funções f(x) = -x² + 4x–3 e g(x) 
= -x+2: 
 
-x² + 4x–3 = 0 
Δ = 4² - 4.(-1).(-3) = 4 
 
x1 = (-4+2)/(-2) = 1 
x2 = (-4-2)/(-2) = 3 
 
-x + 2 = 0 
-x = -2 
x = 2 
Continuando: 
Estudando o sinal das funções: 
 
 
 
 
 
 
 
Queremos que f(x)/g(x) ≥ 0. 
 
 
Continuando: 
Estudando os sinais do quociente das funções: 
 
 
 
 
 
 
Identificando os valores de x que satisfazem a 
inequação, temos: 
 
S = {x ε IR/ 1 ≤ x < 2 ou x ≥ 3} 
 
 
Exercícios: 
1. Resolva as inequações abaixo: 
 
a) x² + 2x – 5 ≤ -3x + 1 ≤ 4x² + x +2 
 
 
b) (x² – 2x + 1).(-x + 6) < 0 
 x + 4 
 
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