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Aula 17: Transformada de Laplace.
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais
To´pico: Transformada de Laplace
Professora: Luiza Vidigal Gonc¸alves
Exemplo: Seja n um inteiro positivo. A transformada de Laplace da func¸a˜o
fn : [0,∞) → R dada por fn(t) = t
n, para n = 0, 1, 2, · · · e´:
Para calcular a transformada de Laplace de outras func¸o˜es vamos usar as
propriedades que apresentaremos a seguir:
Teorema (Linearidade) Se a transformada de Laplace de f(t) e´ F (s), para
s > a1, e a transformada de Laplace de g(t) e´ G(s), para s > a2, enta˜o para
quaisquer constantes α e β:
L(αf(t) + βg(t)) = αL(f(t)) + βL(g(t)) = αF (s) + βG(s)
para s > max{a1, a2}
Demonstrac¸a˜o:
L(αf(t) + βg(t)) =
∫
∞
0
e−st(αf(t) + βg(t))dt
= α
∫
∞
0
e−stf(t)dt+ β
∫
∞
0
e−stg(t)dt
= αF (s) + βG(s)
Exemplo: A transformada de Laplace do polinoˆmio f(t) = 2t2 + 3t+ 5 e´:
Dizemos que uma func¸a˜o f(t) e´ cont´ınua por partes em um intervalo [a, b]
se f(t) e´ cont´ınua em [a, b], exceto possivelmente em um nu´mero finito de
pontos, nos quais os limites laterais existem. Dizemos que uma func¸a˜o f(t)
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e´ cont´ınua por partes em um intervalo [a,∞), se f(t) e´ cont´ınua por partes
para todo intervalo da forma [a,A], com A > a.
Se a func¸a˜o crescer muito ra´pido, ela pode na˜o ter transformada de Laplace,
como por exemplo f(t) = et
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. Isto na˜o acontece para func¸o˜es f(t), para as
quais existem M > 0 e k > 0 tais que
|f(t)| ≤Mekt, para todo t > 0 (∗)
Func¸o˜es que sa˜o cont´ınuas por partes e que satisfazem a condic¸a˜o (∗) sa˜o
chamadas func¸o˜es admiss´ıveis.
Se duas func¸o˜es admiss´ıveis teˆm a mesma transformada de Laplace enta˜o
elas sa˜o iguais exceto possivelmente nos pontos de descontinuidade.
Teorema: (Injetividade) Dadas duas func¸o˜es f(t) e g(t) admiss´ıveis se
F (s) = G(s),
para s > a enta˜o f(t) = g(t), exceto possivelmente nos pontos de desconti-
nuidade.
Portanto se F (s) e´ a transformada de Laplace de uma func¸a˜o admiss´ıvel
f(t), esta func¸a˜o esta´ determinada a menos dos pontos de descontinuidade e
dizemos que f(t) e´ a transformada de Laplace inversa de F (s) e escrevemos:
L−1(F (s)) = f(t),
considerando duas func¸o˜es iguais, se elas foram iguais em todos os pontos
onde ambas sa˜o cont´ınuas.
Exemplo: Se a transformada de Laplace de uma func¸a˜o f(t) e´
F (s) =
s+ 3
s2 − 3s+ 2
determine a func¸a˜o f(t).
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1o Teorema do Deslocamento: Seja a uma constante. Se a transformada
de Laplace da func¸a˜o f : [0,∞) → R e´ F (s), para s > c enta˜o a transformada
de Laplace da func¸a˜o
g(t) = eatf(t)
e´
G(s) = F (s− a),
para s > a+ c
Demonstrac¸a˜o:
G(s) =
∫
∞
0
e−steatf(t)dt =
∫
∞
0
e−(s−a)tf(t)dt = F (s− a)
Exemplo: Sejam a, b ∈ R. Se g(t) = cos(at), temos que G(s) =
s
s2 + a2
.
Se f : [0,∞) → R e´ dada por f(t) = ebt cos(at), enta˜o sua transformada de
Laplace e´:
Exemplo: Sejam a, b ∈ R. Se g(t) = sen(at), temos que G(s) =
a
s2 + a2
.
Se f : [0,∞) → R e´ dada por f(t) = ebtsen(at), enta˜o sua transformada de
Laplace e´:
Exemplo: Seja a ∈ R e n um inteiro positivo. Se g(t) = tn, temos que
G(s) =
n!
sn+1
. Se f : [0,∞) → R e´ dada por f(t) = eattn, enta˜o sua transfor-
mada de Laplace e´:
Exemplo: Se a transformada de Laplace de uma func¸a˜o f(t) e´
F (s) =
s− 3
s2 + 4s+ 4
vamos determinar a func¸a˜o f(t).
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